开发工具与关键技术：进制换算

撰写时间：2019-04-17

本文主要总结了十进制换算成八位的二进制、八进制、十六进制的整数部分的换算。

一、介绍：

二进制：是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是逢二进一。
八进制：采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字，进位规则是逢八进1。
十进制：进位规则是满十进一，是日常生活中最常用的进制。
十六进制：用数字0到9和字母A到F（或a_{f）表示，其中:A}F表示10~15。进位规则是逢16进1。

划重点：计算机计算、存储用的二进制都是补码形式，以下图片中显示的二进制的结果都是补码。

二、十进制转二进制

计算十进制数转二进制数的方法：

正数：将十进制数除以2，得到商和余数，再将商除以2，又得到一个商和余数，继续这样的操作，直到商等于0。然后将所得到的余数，按倒叙排列，然后结合，作为二进制数。
负数：取得负数的绝对值，然后进行正数换算成二进制的操作，得到一个二进制数，然后对此二进制数进行全部取反（符号位变），然后加1，就可以得到该负数转成二进制数的补码。对此补码进行减1，然后取反（符号位不变），可得原码。
例如：

（1）计算十进制数119转成二进制数：

119 / 2 = 59 …… 1
  59 / 2 = 29 …… 1
  29 / 2 = 14 …… 1
  14 / 2 = 7   …… 0
    7 / 2 = 3   …… 1
    3 / 2 = 1   …… 1
    1 / 2 = 0   …… 1

将所得到的余数按倒叙排列，得到二进制数补码：111 0111。用0补齐八位：0111 0111。
正数原码等于补码，原码为 0111 0111。

计算器验证计算：输入十进制数119。

（2）计算十进制数-119转成二进制数：

将负数-119 的绝对值（即119）进行换算成二进制（参照上一个例子），得到一个二进制数：0111 0111。
对其进行全部取反：1000 1000；
然后加1，得到二进制数补码：1000 1001。
对此补码进行减1，然后取反（符号位不变，）得到原码 1111 0111。

计算器验证计算：输入十进制数-119。

三、十进制转八进制

计算十进制数转八进制数的方法：

将十进制数先换算成二进制，二进制数从右到左，每3位二进制数取成1位八进制数，不足3位的用0补上，计算每个小分组的二进制的值，然后结合值得到八进制数。
例如：

（1）计算十进制数119转成八进制数：

先计算十进制数换算成二进制数（参照第一个例子），得到二进制数：0111 0111。
对二进制数，每3位二进制数取成1位八进制数：001 110 111。
计算二进制数 001 转十进制：1 ；
计算二进制数 110 转十进制：5 ；
计算二进制数 111 转十进制：7 ；
得到 1、6、7，将值结合在一起得到八进制数：167。

计算器验证计算：输入十进制数119。

（2）计算十进制数-119转成八进制数：

先计算十进制数换算成二进制数（参照第二个例子），得到二进制数：1000 1001。
对二进制数，每3位二进制数取成1位八进制数：010 001 001 。
计算二进制数 010 转十进制：2 ；
计算二进制数 001 转十进制：1 ；
计算二进制数 001 转十进制：1；
得到 2、1、1，将值结合在一起得到八进制数：211。

计算器验证计算：输入十进制数-119。

四、十进制转十六进制

计算十进制数转十六进制数的方法：

将十进制数先换算成二进制，二进制数从右到左，每4位二进制数取成1位十六进制数，不足4位的用0补上，计算每个小分组的二进制的值，然后结合值得到八进制数。

例如：

（1）计算十进制数119转成十六进制数：

先计算十进制数换算成二进制数（参照第一个例子），得到二进制数：0111 0111。
对二进制数，每4位二进制数取成1位十六进制数：0111 0111。
计算二进制数 0111 转十进制：7 ；
计算二进制数 0111 转十进制：7 ；
结合在一起得到八进制数：77。
计算器验证计算：输入十进制数119。

（2）计算十进制数-119转成十六进制数：

先计算十进制数换算成二进制数（参照第二个例子），得到二进制数：1000 1001。
对二进制数，每4位二进制数取成1位八进制数：1000 1001 。
计算二进制数 1000 转十进制：8 ；
计算二进制数 1001 转十进制：9 ；
将值结合得到八进制数：89。
计算器验证计算：输入十进制数-119。

以上内容如有不正确的地方，还请指正。
感谢您的浏览。

十进制：数学里通常用十进制计算。

进位规则：满十进一

0~9：十个数字

例如：9（第十个数字） 因为再多一个数字就是满十进一了 ，所以9进1等于0，前面的一位数字0再进一就是1。所以“ 9 ”再往后就是“ 10 ”来表示。

二进制：计算机系统中通常用二进制系统。

进位规则：逢二进一

0~1：两个数字

例如：十进制中的2转换成二进制为10，十进制中的3转换成二进制为11，十进制中的4转换成二进制为100，十进制中的5转换成二进制为101，十进制中的6转换成二进制为110，十进制中的7转换成二进制为111，十进制中的8转换成二进制为1000

十六进制：RGB存放方式。

进位规则：满十六进一

0~9，A~F：与十进制的对应关系为0~9对应0~9，A~F对应10~15（字母不区分大小写）

例如：十进制中的16用十六进制表示为10，十六进制的19再加1等于1A

区分：二进制 / 十进制 / 十六进制

二进制结尾带B ，十进制结尾带D ，十六进制结尾带H（BDH不代入计算） 

例如：10B，10D，16H

二进制→十进制

    1           1           1           0           0           0 B                             →                      5   6  D

1×2^5   1×2^4   1×2^3   0×2^2    0×2^1    0×2^0(右边从0开始的）→依次相加等于 5 6

十六进制→十进制 

               A                  1              H  →              161D

           10×16^1       1×16^0            →依次相加等于161

十进制→二进制

 5 4D →（÷2余数为 0 or 1）27余0 → 13余1 → 6余1 → 3余0 → 1余1 从最后往前写 1 1 0 1 1 0B

十进制→十六进制

1 6 2D → （÷2求余数）10余2 → A 2H

二进制→十六进制 【可以通过二进制→十进制→十六进制，也可以采取以下方法】

①（1 1 0 0 ）           （1 0 1 1）                            → 四个为一组      C BH

1×2^3+1×2^2=12=C   1×2^3+1×2^1+1×2^0=11=B →                         C BH

②  （00 1 0）           （1 1 1 1 ）→不满四个在前面添加零                2 FH

        1×2^1=2                 15=F     →                                                     2 FH

一、 十进制与二进制之间的转换

1.1 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分

【1】整数部分

方法：采用"除2取余，逆序排列"法

即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。

举个栗子：将十进制数168转换为二进制数

             除数       被除数           商           余数

第0位：168      /        2       =     84  ......    0

第1位：84       /         2       =     42 ......     0

第2位：42       /         2       =     21 ......     0

第3位：21       /         2       =     10 ........   1

第4位：10       /         2       =      5 ........    0

第5位：5         /         2       =      2 ........    1

第6位：2         /         2       =      1 ........    0

第7位：1         /         2       =      0 ........    1

最后，读数字从最后的余数向前读，即10101000

(2)小数部分

方法：采用"乘2取整，顺序排列"法

即将小数部分乘以2，然后取整数部分；剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分；剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分为零为止。

如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。

换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数。

栗子1：将0.125换算为二进制

             乘数            乘数           积           整数部分      小数部分

第2位：0.125     *      2       =     0.25    ......     0    ......    0.25 

第1位：0.25       *      2       =     0.5      ......     0    ......    0.5

第0位：0.5         *      2       =     1.0      ......     1    ......    0.0

最后读数，从整数部分自上而下排序，第一位读起,读到最后一位,即为0.001

栗子2：将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）

            乘数            乘数              积           整数部分     小数部分

第4位：0.45      *      2         =     0.9    ......     0      ......    0.9

第3位：0.9        *      2         =     1.8    ......     1      ......    0.8 

第2位：0.8        *      2         =     1.6    ......     1      ......    0.6 

第1位：0.6        *      2         =     1.2    ......     1      ......    0.2 

第0位：0.2        *      2         =     0.4    ......     0      ......    0.4

从上面步骤可以看出，当第5次做乘法时候，得到的积是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8；继续，0.8又乘以2的，得到1.6；然后一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零。因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。

最后度数，从整数部分自上而下，可知将0.45转换为二进制约等于0.0111

上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是：

• 十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换。

• 当转换整数时，用的是除2取余法；

• 当转换小数时，用的是乘2取整法。

• 注意转换进制数的读数方向。

因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001，或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。

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1.2 二进制转换为十进制

方法：按权相加法

以小数点(.)为分界点，整数部分二进制转为十进制要从右到左用二进制的每个数去乘以2的相应次方，而小数点后的则是从左往右。

即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。

举个栗子：将二进制数101.101转换为十进制数。

101.101 =1*2^2+0*2^1+1*2^0+1*2^(-1)+0*2^(-2)+1*2^(-3) = 4+0+1+1/2+0+1/8 = 5.625​​​ 

得出结果：（101.101）2=(5.625)10

大家在做二进制转换成十进制需要注意的是：

• 要知道二进制每位的权值。

• 要能求出每位的值。

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二、 二进制与八进制之间的转换

首先，我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。

接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。

（1） 二进制转换为八进制

方法：取三合一法

即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

栗子1：将二进制数101110.101转换为八进制

按照取三合一原则，将101110.101划分为：101 110 . 101每三位对应一位八进制数，则

101 ----->1* 2^2 + 0* 2^1 + 1* 2^0 = 5 

110 ----->1* 2^2 + 1* 2^1 + 0* 2^0 = 6 

. 

101 ----->1* 2^2 + 0* 2^1 + 1* 2^0 = 5 

最后得到结果：将二进制101110.101转八进制数为56.5

栗子2：将二进制数1101.1转换为八进制

按照取三合一原则，不够三位的在高位补0，将1101.1划分为：001 101 . 100 每三位对应一位八进制数，则

001 ----->0* 2^2 + 0* 2^1 + 1* 2^0 = 1 

101 ----->1* 2^2 + 0* 2^1 + 1* 2^0 = 5 

. 

100 ----->1* 2^2 + 0* 2^1 + 0* 2^0 = 54

得到结果：将十进制数1101.1转八进制数为15.4

（2） 将八进制转换为二进制

方法：取一分三法

即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。

举个栗子：

1.将八进制数67.54转换为二进制

因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011

大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制

首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变

然后，按每位展开为22，21，20（即4、2、1）三位去做凑数，即a×22+ b×21 +c×20=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数

接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列

最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。

以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是：

• 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换
• 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误

三、 二进制与十六进制的转换

方法：与二进制与八进制转换相似，只不过是一位（十六）与四位（二进制）的转换

（1） 二进制转换为十六进制

方法：取四合一法

即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。

1.例：将二进制11101001.1011转换为十六进制

按照取四合一原则，不够四位的在高位补0，将11101001.1011划分为：1110 1001 . 1011 每四位对应一位八进制数，则

1110 ----->1*2^3 + 1* 2^2 + 1* 2^1 + 0* 2^0 = 14=E 

1001 ----->1*2^3 + 0* 2^2 + 0* 2^1 + 1* 2^0 = 9 

. 

1011 ----->1*2^3 + 0* 2^2 + 1* 2^1 + 1* 2^0 = 11=B

得到结果：将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B

2.例：将101011.101转换为十六进制

因此得到结果：将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A

（2）将十六进制转换为二进制

方法：取一分四法

即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。

1.将十六进制6E.2转换为二进制数

因此得到结果：将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010即110110.001

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四、八进制与十六进制的转换

方法：一般不能互相直接转换，一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。那么相应的转换请参照上面二进制与八进制的转换和二进制与十六进制的转。

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五、八进制与十进制的转换

（1）八进制转换为十进制

方法：按权相加法

即将八进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。

例：1.将八进制数67.35转换为十进制

（2）十进制转换为八进制

十进制转换成八进制有两种方法：

1）间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制

2）直接法：前面我们讲过，八进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换，下面来具体讲解一下：

1.整数部分

方法：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

2.小数部分

方法：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。

例：将十进制数796.703125转换为八进制数

解：先将这个数字分为整数部分796和小数部分0.703125

因此，得到结果十进制796.703125转换八进制为1434.55

上面的方法大家可以验证一下，你可以先将十进制转换，然后在转换为八进制，这样看得到的结果是否一样

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六、十六进制与十进制的转换

（1）十六进制转换为十进制

方法：按权相加法

即将十六进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。

16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。

举个栗子：将十六进数 0X5FA5转为十进制数

第0位：5 *16^0 = 5

第1位：A*16^1 = 10*16^1 = 160

第2位：F*16^2 = 15*16^2 = 3840

第3位：5*16^3 = 20480

将十六进数 0X5FA5转为十进制数即24485

可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

（2）十进制转换为十六进制

十进制转换成十六进制有两种方法：

1）间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成十六进制。

2）直接法：前面我们讲过，十六进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换。

下面来具体讲解一下直接法：

• 整数部分

方法：除16取余法

即每次将整数部分除以16，余数为该位权上的数，而商继续除以16，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。最后读数时，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

• 小数部分

方法：乘16取整法

即将小数部分乘以16，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以16，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以16，一直取到小数部分为0为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。故该法称“乘基取整法”

例：将十进制数120.12转换为十六进制数

解：先将这个数字分为整数部分120和小数部分0.12

因此，得到结果十进制120.12转换十六进制为0x78.1eb851eb852

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七、Java代码测试十进制分别转换为十六进制，二进制，八进制

核心思想：余数定理

测试类：

/**
 * 测试：十进制数分别转换为十六进制，二进制，八进制数
 * 核心思想：余数定理
 */
public class DataConvertDemo{
	public static void main(String[] args){

		int a = 27, b = 37, c = 47;

		System.out.print("十进制数" + a + "=>十六进制输出：");
		cha_16(a);

		System.out.println();
		System.out.print("十进制数" + b + "=>二进制输出：");
		cha_2(b);

		System.out.println();
		System.out.print("十进制数" + c + "=>八进制输出：");
		cha_8(c);
	}

	/**
	 *
	 * 转为16进制
	 */
	static void cha_16(int n) {
		if (n >= 16) {
			cha_16(n / 16);
		}
		if (n % 16 < 10) {
			System.out.print(n % 16);
		} else{
			System.out.print((char) (n % 16 + 55));
		}
	}

	/**
	 * 转为2进制
	 */
	static void cha_2(int n) {
		if (n >= 2){
			cha_2(n / 2);
		}
		System.out.print(n % 2);
	}

	/**
	 * 转为8进制
	 */
	static void cha_8(int n) {
		if (n >= 8) {
			cha_8(n / 8);
			System.out.print(n % 8);
		} else{
			System.out.print(n);
		}
	}
}

测试结果：

十进制数27=>十六进制输出：1B
十进制数37=>二进制输出：100101
十进制数47=>八进制输出：57