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  • 二进制浮点数怎么算
    2018-11-14 10:53:00

    小数部分乘以2,之后的数,整数部分如果是1 该位就是1, 否则该位就是0

    继续对剩余的小数部分使用上述过程

    转载于:https://www.cnblogs.com/sky-view/p/9956786.html

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    二进制浮点数表示

    在这里插入图片描述
    阶码(指数)就是指数位存储的值,而偏阶(移码)则不同精度的浮点数的偏阶也各不相同,具体可以查看指数偏差
    B i a s = 2 k − 1 − 1 Bias=2^{k-1}-1 Bias=2k11, 其中k是指数中的位数。

    半精度浮点数

    半精度浮点数 是一种被计算机使用的二进制浮点数据类型。半精度浮点数使用2个字节(16位)来存储。
    在IEEE 754-2008中,它被称作binary16。这种数据类型只适合存储对精度要求不高的数字,不适合用来计算。

    IEEE 754 标准指定了一个 binary16 要有如下的格式:
    Sign bit(符号位): 1 bit
    Exponent width(指数位宽): 5 bits
    Significand precision(尾数精度): 11 bits (有10位被显式存储)

    按如下顺序排列:
    在这里插入图片描述
    除非指数位全是0,否则就会假定隐藏的起始位是1。因此只有10位尾数在内存中被显示出来,而总精度是11位。据IEEE 754的说法,虽然尾数只有10位,但是尾数精度是11位的(log10(211) ≈ 3.311 十进制数).

    单精度浮点数

    单精度浮点数 格式是一种数据类型,在计算机存储器中占用4个字节(32 bits),利用“浮点”(浮动小数点)的方法,可以表示一个范围很大的数值。

    第1位表示正负,中间8位表示指数,后23位储存有效数位(有效数位是24位)。

    第一位的正负号0代表正,1代表负。

    中间八位共可表示 2 8 = 256 2^8=256 28=256个数,指数可以是二补码;或0到255,0到126代表-127到-1,127代表零,128-255代表1-128。

    有效数位最左手边的1并不会储存,因为它一定存在(二进制的第一个有效数字必定是1)。换言之,有效数位是24位,实际储存23位。

    在这里插入图片描述
    s i g n = + 1 sign = +1 sign=+1
    e x p o n e n t = ( − 127 ) + 124 = − 3 exponent = (-127)+124=-3 exponent=(127)+124=3
    f r a c t i o n = 1 + 2 − 2 = 1.25 fraction=1+2^{-2}=1.25 fraction=1+22=1.25
    v a l u e = ( + 1 ) × 1.25 × 2 − 3 = + 0.15625 value=(+1)\times1.25\times2^{-3}=+0.15625 value=(+1)×1.25×23=+0.15625

    双精度浮点数

    双精度浮点数(double)是计算机使用的一种资料类型。比起单精度浮点数,双精度浮点数(double)使用 64 位(8字节) 来存储一个浮点数。 它可以表示二进位制的53位有效数字,其可以表示的数字的绝对值范围为 [ 2 − 1024 , 2 1024 ] [2^{-1024}, 2^{1024}] [21024,21024]
    在这里插入图片描述

    特殊情况

    以双精度浮点数为例,说明一些特殊情况
    在这里插入图片描述

    当指数exponent全为0或者全为1时,有特殊含义,有以下四种情况,
    1、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± 0 exponent=0, fraction=0 \Rightarrow \pm0 exponent=0,fraction=0±0
    2、 e x p o n e n t = 0 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ 非 正 规 形 式 的 浮 点 数 exponent=0, fraction\neq0 \Rightarrow 非正规形式的浮点数 exponent=0,fraction=0
    3、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n = 0 ⇒ ± ∞ exponent=2047, fraction=0 \Rightarrow \pm\infty exponent=2047,fraction=0±
    4、 e x p o n e n t = 2047 , f r a c t i o n ≠ 0 ⇒ N a N exponent=2047, fraction\neq0 \Rightarrow NaN exponent=2047,fraction=0NaN

    在这里插入图片描述

    浮点数的运算步骤

    浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成:对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

    一、对阶

    所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。因为,当进行 M x ⋅ 2 E x M_x·2^{E_x} Mx2Ex M y ⋅ 2 E y M_y·2^{E_y} My2Ey加减运算时,只有使两浮点数的指数值部分相同,才能将相同的指数值作为公因数提出来,然后进行尾数的加减运算。对阶的具体方法是:首先求出两浮点数阶码的差,即 Δ E = E x − E y \Delta E = E_x - E_y ΔE=ExEy,将小阶码加上 Δ E \Delta E ΔE,使之与大阶码相等,同时将小阶码对应的浮点数的尾数右移相应位数,以保证该浮点数的值不变。几点注意:

    (1)对阶的原则是小阶对大阶,之所以这样做是因为若大阶对小阶,则尾数的数值部分的高位需移出,而小阶对大阶移出的是尾数的数值部分的低位,这样损失的精度更小。

    (2)若 Δ E \Delta E ΔE=0,说明两浮点数的阶码已经相同,无需再做对阶操作了。

    (3)采用补码表示的尾数右移时,符号位保持不变。

    (4)由于尾数右移时是将最低位移出,会损失一定的精度,为减少误差,可先保留若干移出的位,供以后舍入处理用。

    二、尾数运算

    尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。这里采用的就是我们前面讲过的纯小数的定点数加减运算。

    三、结果规格化

    在机器中,为保证浮点数表示的唯一性,浮点数在机器中都是以规格化形式存储的。对于IEEE754标准的浮点数来说,就是尾数必须是1.M的形式。由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后,尾数有可能是非规格化形式,为此必须进行规格化操作。

    规格化操作包括左规和右规两种情况。

    左规操作

    将尾数左移,同时阶码减值,直至尾数成为 1. M 1.M 1.M的形式。例如,浮点数 0.0011 ∗ 2 5 0.0011*2^5 0.001125是非规格化的形式,需进行左规操作,将其尾数左移3位,同时阶码减3,就变成 1.1100 ∗ 2 2 1.1100*2^2 1.110022规格化形式了。

    右规操作

    将尾数右移1位,同时阶码增1,便成为规格化的形式了。要注意的是,右规操作只需将尾数右移一位即可,这种情况出现在尾数的最高位(小数点前一位)运算时出现了进位,使尾数成为 10. x x x x 10.xxxx 10.xxxx 11. x x x x 11.xxxx 11.xxxx的形式。例如, 10.0011 ∗ 2 5 10.0011*2^5 10.001125右规一位后便成为 1.00011 ∗ 2 6 1.00011*2^6 1.0001126的规格化形式了。

    四、 舍入处理

    浮点运算在对阶或右规时,尾数需要右移,被右移出去的位会被丢掉,从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失,可以将一定位数的移出位先保留起来,称为保护位,在规格化后用于舍入处理。

    IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法:

    (1)就近舍入(round to nearest)这是标准列出的默认舍入方式,其含义相当于我们日常所说的“四舍五入”。例如,对于32位单精度浮点数来说,若超出可保存的23位的多余位大于等于 100 … 01 100…01 10001,则多余位的值超过了最低可表示位值的一半,这种情况下,舍入的方法是在尾数的最低有效位上加1;若多余位小于等于 011 … 11 011…11 01111,则直接舍去;若多余位为 100 … 00 100…00 10000,此时再判断尾数的最低有效位的值,若为0则直接舍去,若为1则再加1。

    (2) + ∞ +∞ +舍入(round toward + ∞ +∞ +)对正数来说,只要多余位不为全0,则向尾数最低有效位进1;对负数来说,则是简单地舍去。

    (3) − ∞ -∞ 舍入(round toward − ∞ -∞ )与朝 + ∞ +∞ +舍入方法正好相反,对正数来说,只是简单地舍去;对负数来说,只要多余位不为全0,则向尾数最低有效位进1。

    (4)朝0舍入(round toward 0)

    即简单地截断舍去,而不管多余位是什么值。这种方法实现简单,但容易形成累积误差,且舍入处理后的值总是向下偏差。

    五、 溢出判断

    与定点数运算不同的是,浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数,则为上溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正上溢,记为 + ∞ +∞ +,若浮点数为负数,则为负上溢,记为 − ∞ -∞ ;若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数,则为下溢,进一步,若此时浮点数为正数,则为正下溢,若浮点数为负数,则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

    要注意的是,浮点数的表示范围和补码表示的定点数的表示范围是有所不同的,定点数的表示范围是连续的,而浮点数的表示范围可能是不连续的。

    六、例子

    f l o a t      a = 0.3 ; b = 1.6 float \ \ \ \ a=0.3;b=1.6 float    a=0.3;b=1.6;

    a = ( 0.3 ) 10 = ( 0011   1110   1001   1001   1001   1001   1001   1010 ) 2 a=(0.3)_{10}=(0011\ 1110\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010)_2 a=(0.3)10=(0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010)2
    S a = 0      E a = 011   1110   1      M a = 1.001   1001   1001   1001   1001   1010 S_a=0\ \ \ \ E_a=011\ 1110\ 1\ \ \ \ M_a=1.001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1010 Sa=0    Ea=011 1110 1    Ma=1.001 1001 1001 1001 1001 1010

    b = ( 1.6 ) 10 = ( 0011   1111   1100   1100   1100   1100   1100   1101 ) 2 b=(1.6)_{10}=(0011\ 1111\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101)_2 b=(1.6)10=(0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101)2
    S b = 0      E b = 011   1111   1     M b = 1.100   1100   1100   1100   1100   1101 S_b=0\ \ \ \ E_b=011\ 1111\ 1\ \ \ M_b=1.100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1100\ 1101 Sb=0    Eb=011 1111 1   Mb=1.100 1100 1100 1100 1100 1101

    a + b = ? a+b=? a+b=?

    二进制浮点数加法

    第一步:对阶

    ∵ E a < E b     E b − E a = 2 ∵ E_a < E_b\ \ \ E_b-E_a=2 Ea<Eb   EbEa=2

    ∴ M a 要 调 整 为 0.0   1001   1001   1001   1001   1001   10         10 ∴ Ma要调整为 0.0\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 1001\ 10\ \ \ \ \ \ \ 10 Ma0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10       10

    E = 011    1111    1 E=011\ \ 1111\ \ 1 E=011  1111  1

    第二步:尾数运算

         0.01001100110011001100110 \ \ \ \ 0.01001100110011001100110     0.01001100110011001100110
    +   1.10011001100110011001101 +\ 1.10011001100110011001101 + 1.10011001100110011001101
    = 1.11100110011001100110011 =1.11100110011001100110011 =1.11100110011001100110011

    第三步:规格化

    1.11100110011001100110011 1.11100110011001100110011 1.11100110011001100110011‬已经是个规格化数据了

    第四步:舍入处理

    由于在对阶时, M a M_a Ma有右移,且第一次最高为1,第二次为0,所以按"0舍1入",尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100 1.11100110011001100110100 1.11100110011001100110100

    第五步:溢出判断

    没有溢出,阶码不调整,所以最后的结果为

    a + b = ( 0    01111111    11100110011001100110100 ) 2 = ( 0011   1111   1111   0011   0011   0011   0011   0100 ) 2 = ( 3 F F 33334 ) 16 a+b=(0\ \ 01111111\ \ 11100110011001100110100)_2=(0011\ 1111\ 1111\ 0011\ 0011\ 0011\ 0011\ 0100)_2=(3FF33334)_{16} a+b=(0  01111111  11100110011001100110100)2=(0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100)2=(3FF33334)16

    转为10进制

    a + b = 1.90000010 a+b=1.90000010 a+b=1.90000010

    二进制浮点数减法

    b − a = ? b-a=? ba=?
    第一步:对阶

    跟上面加法一样

    第二步:尾数运算

         1.10011001100110011001101 \ \ \ \ 1.10011001100110011001101     1.10011001100110011001101

    −   0.01001100110011001100110 -\ 0.01001100110011001100110  0.01001100110011001100110

    = 1.01001100110011001100111 =1.01001100110011001100111 =1.01001100110011001100111

    第三步:规格化

    1.01001100110011001100111 1.01001100110011001100111 1.01001100110011001100111已经是个规格化数据了

    第四步:舍入处理

    由于在对阶时, M a M_a Ma有右移,且第一次最高为1,第二次为0,所以按"0舍1入",尾数运算结果调整为 1.01001100110011001100110 1.01001100110011001100110 1.01001100110011001100110

    第五步:溢出判断

    没有溢出,阶码不调整,所以最后的结果为

    a − b = ( 0    01111111    01001100110011001100110 ) 2 = ( 0011    1111    1010    0110    0110    0110    0110    0110 ) 2 = ( 3 F A 66666 ) 16 a-b=(0\ \ 01111111\ \ 01001100110011001100110)2=(0011\ \ 1111\ \ 1010\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110\ \ 0110)_2=(3FA66666)_{16} ab=(0  01111111  01001100110011001100110)2=(0011  1111  1010  0110  0110  0110  0110  0110)2=(3FA66666)16

    转为10进制

    a − b = 1.29999995 a-b=1.29999995 ab=1.29999995

    二进制浮点数乘法

    浮点数的乘法分为以下几个步骤:

    计算符号位:通过异或操作计算符号位,若两个操作数符号位相同,则结果符号位为0,否则结果符号为1
    计算原始尾数:两个操作数的尾数相乘(注意,这里是1.M * 1.M),得到原始尾数
    计算原始指数:将两个操作数的指数(这里指的是指数幂次方,也就是阶码-移码后得到的数)相加,得到原始指数
    规格化与舍入:对原始尾数和原始指数进行规格化,获得结果的指数,再对尾数进行舍入,获得结果的尾数

    f l o a t      X = − 0.3 ; Y = 500.25 float \ \ \ \ X=-0.3;Y=500.25 float    X=0.3;Y=500.25;

    X = ( − 0.3 ) 10 = ( 0.010011001100110011... 循 环 ) 2 = ( 1.00110011... 循 环 ) 2 ∗ 2 − 2 = ( 1    01111101    00110011001100110011010 ) 2 ( 这 里 对 无 限 循 环 小 数 有 舍 入 处 理 ) X=(-0.3)_{10}=(0.010011001100110011...循环)_{2}=(1.00110011...循环)_2 * 2^{-2}=(1\ \ 01111101\ \ 00110011001100110011010)_2(这里对无限循环小数有舍入处理) X=(0.3)10=(0.010011001100110011...)2=(1.00110011...)222=(1  01111101  00110011001100110011010)2()
    Y = ( 500.25 ) 10 = ( 111110100.01 ) 2 = ( 1.1111010001 ) 2 ∗ 2 8 = ( 0    10000111    11110100010000000000000 ) 2 Y=(500.25)_{10}=(111110100.01)_2=(1.1111010001)_2*2^{8}=(0\ \ 10000111\ \ 11110100010000000000000)_2 Y=(500.25)10=(111110100.01)2=(1.1111010001)228=(0  10000111  11110100010000000000000)2

    X ∗ Y = ( X s ∗ Y s ) ∗ 2 X E + Y E X*Y=(X_s*Y_s)*2^{X_E+Y_E} XY=(XsYs)2XE+YE
    X E = − 2             X s = 1.00110011001100110011010 X_E=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_s=1.00110011001100110011010 XE=2           Xs=1.00110011001100110011010
    Y E = 8                  Y s = 1.1111010001 Y_E=8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_s=1.1111010001 YE=8                Ys=1.1111010001
       X s          1.0011001100110011001101 \ \ X_s\ \ \ \ \ \ \ \ 1.0011001100110011001101   Xs        1.0011001100110011001101
    ∗   Y s      ∗                          1.1111010001 *\ Y_s\ \ \ \ *\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1.1111010001  Ys                            1.1111010001
    = 10.01011000010011001100111001011101 =10.01011000010011001100111001011101 =10.01011000010011001100111001011101

    X ∗ Y = 10.01011000010011001100111001011101 ∗ 2 6 X*Y=10.01011000010011001100111001011101*2^6 XY=10.0101100001001100110011100101110126
                 = 1.001011000010011001100111001011101 ∗ 2 7 ( 右 规 操 作 ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =1.001011000010011001100111001011101*2^7(右规操作)             =1.00101100001001100110011100101110127()

    结果二进制就为(注意,上面的指数7要加上移码才是存在指数位中的阶码,即7+127=134)
    ( 1    10000110    00101100001001100110100 ) 2 (1\ \ 10000110\ \ 00101100001001100110100)_2 (1  10000110  00101100001001100110100)2
    至于最后的尾数是怎么得到,是由原始尾数(X和Y的尾数相乘后得到)经过舍入得到

    二进制浮点数除法

    除法与乘法相差不大,变更为指数相减,尾数相除。

    f l o a t      X = 91.34375 ; Y = 0.14453125 float \ \ \ \ X=91.34375;Y=0.14453125 float    X=91.34375;Y=0.14453125;

    X = ( 91.34375 ) 10 = ( 1011011.01011 ) 2 = ( 1.01101101011 ) 2 ∗ 2 6 = ( 0    10000101    01101101011000000000000 ) 2 X=(91.34375)_{10}=(1011011.01011)_{2}=(1.01101101011)_2 * 2^{6}=(0\ \ 10000101\ \ 01101101011000000000000)_2 X=(91.34375)10=(1011011.01011)2=(1.01101101011)226=(0  10000101  01101101011000000000000)2
    Y = ( 0.14453125 ) 10 = ( 0.00100101 ) 2 = ( 1.00101 ) 2 ∗ 2 8 = ( 0    01111100    00101000000000000000000 ) 2 Y=(0.14453125)_{10}=(0.00100101)_2=(1.00101)_2*2^{8}=(0\ \ 01111100\ \ 00101000000000000000000)_2 Y=(0.14453125)10=(0.00100101)2=(1.00101)228=(0  01111100  00101000000000000000000)2

    X / Y = ( X s / Y s ) ∗ 2 X E − Y E = ( X s / Y s ) ∗ 2 6 − ( − 3 ) X/Y=(X_s/Y_s)*2^{X_E-Y_E}=(X_s/Y_s)*2^{6-(-3)} X/Y=(Xs/Ys)2XEYE=(Xs/Ys)26(3)
    X E = 6                   X s = 1.01101101011 X_E=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_s=1.01101101011 XE=6                 Xs=1.01101101011
    Y E = − 3                  Y s = 1.00101 Y_E=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_s=1.00101 YE=3                Ys=1.00101
       X s          1.01101101011 \ \ X_s\ \ \ \ \ \ \ \ 1.01101101011   Xs        1.01101101011
    /   Y s      /    1.00101 /\ Y_s\ \ \ \ /\ \ 1.00101 / Ys    /  1.00101
    = 1.001111 =1.001111 =1.001111

    9 + 127 = 136 9+127 = 136 9+127=136

    ( 0    10001000    00111100000000000000000 ) 2 (0\ \ 10001000\ \ 00111100000000000000000)_2 (0  10001000  00111100000000000000000)2

    浮点运算逻辑电路

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    Reference

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/58731780
    https://www.yuejianzun.xyz/2019/05/28/%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0%E5%A4%84%E7%90%86/
    https://www.cnblogs.com/yilang/
    https://www.youtube.com/watch?v=MiOtePebraQ
    https://www.youtube.com/watch?v=27JjUa-eu_E&t=11s
    https://www.youtube.com/watch?v=fi8A4zz1d-s

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    十进制浮点数转二进制浮点数计算规则

       (1)单精度二进制浮点数存储格式如下图:

           那么一个单精度十进制浮点数转二进制浮点数的规则是如何的呢?假设这里有一个小数为3.625,那么该小数对应的整数部分就是11,小数部分就是101,那么该数表示成二进制就是11.101,由于我们需要表示成浮点二进制数,那么小数点要向左移动一位,那么变为1.1101,那么对应的浮点二进制整数部分就是127+1=128=0x80,小数部分为1101,由于该数是整数,所以符号位为0,将上述数字如图对号入座,其余空余的地方补1,可得转换后的数据是:0100 0000 0110 1000 0000 0000 0000 0000,对应的十六进制表示就是0x40680000,即3.625的单精度浮点二进制数表示就是0x40680000。

      (2)双精度二进制浮点数存储格式如下图:

          那么一个双精度浮点数的转换规则是怎样的呢?其实和单精度浮点数的转换机制类似,由(1)3.625对应的二进制数为11.101,小数点左移一位后为1.1101,整数部分就为1023+1=1024=0x800,小数部分为1101,符号位为0,按如图格式对号入座,其余部分补0,得到转换后的的数为0100 0000 0000 1101 000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000=0x400D000000000000,即3.625的双精度浮点二进制数表示就是0x400D000000000000。

       (3)便捷计算软件

          网上可以找到浮点数转换的便捷计算软件,非常方便,如下图这个软件:

           下载链接为:http://www.greenxf.com/soft/210343.html 

    展开全文
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    二进制 IEEE单精度浮点数转化为十进制浮点数

    公式: (-1)s ×1. M ×2(E-127)

    二进制IEEE单精度浮点数为32位,
    第1位为阶符(sign),
    第2位至第9位为阶码(exponent),
    第10位至第32位为尾数(mantissa)。

    S为0时表示正数,为1时表示负数。
    将二进制E转化为十进制,并用E-127作为2的指数,并将剩余的23位作为1. M中的M

    由于二进制的乘法可以用移位来表示,(E-127)为正数时将1. M的小数点向右移动(E-127)位,为负数时反之。

    将最后得到的二进制数化为十进制。

    例1: 41A4C000(16)化为十进制
    ①将十六进制化为十进制,即:
    0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000
    ②重新组合
    0 1000 0011 0100 1001 1000 0000 0000 000
    ③计算
    S为0,该数为正数;

    1000 0011 转化为十进制为131
    指数为131-127=4
    ×2^4

    1.M=1.0100 1001 1000 0000 0000 000
    由于1. M×2^4
    所以将小数点向右移动四位,即
    10100.1001 1000 0000 0000 000
    将其转化为十进制 为20.59375。

    例2:0 0111 1110 1000 0000 0000 0000 0000 000(2)转化为十进制

    s为0,该数为正数。
    0111 1110转化为十进制126
    ×2E-127 =×2-1
    1.1000 0000 0000 0000 0000 000小数点向左移移1位,0.1100 (后面的0忽略不计)
    0.1100 转化为十进制0.75

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