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  • float范围: 最小负数−2∗2127-2*2^{127}−2∗2127 最大负数−1∗2−126-1 * 2^{-126}−1∗2−126,0 最小正数 1∗2−1261*2^{-126}1∗2−126最大正数2∗21272*2^{127}2∗2127。 double范围: 负数:(-1....

    在这里插入图片描述
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    float范围:

    最小负数22127-2*2^{127} 最大负数12126-1 * 2^{-126},0
    最小正数 121261*2^{-126}最大正数221272*2^{127}

    double范围:

    负数:(-1.7976931348623157E+308,-4.94065645841246544E-324);
    零:0 ;
    正数:(4.94065645841246544E-324,1.7976931348623157E+308)。
    即绝对值为0和2^1022 —— 2^1024。

    精度:

    float和double的精度是由尾数的位数来决定的;
    浮点数在内存中是按科学计数法来存储的,其整数部分始终是一个隐含着的“1”,由于它是不变的,故不能对精度造成影响;
    float:2^23 =8388608,共七位,意味着最多能有7位有效数字,但绝对能保证的为6位,也即float的精度为6~7位有效数字;
    double:2^52 = 4503599627370496,一共16位,同理,double的精度为15~16位。
    原因
    float:1bit(符号位)+8bits(指数位)+23bits(尾数位);
    double:1bit(符号位)+ 11bits(指数位)+ 52bits(尾数位)。
    以float为例,阶码(指数)用移码来表示,8位移码(偏移量为127) 本来应该可以表示-128~127,但是全0和全1被用来 表示特殊状态的指数 ,所以为-126~127(无符号8位表示0-255,去除全0和1后是1-254,减去偏移量127,就是-126~127)。 这里为什么要使用127来作为偏移量,若使用128 则8位移码表示范围-127~126,由于表示一个大的正数 比一个小的负数更加重要,所以127作为偏移量比较合适。 现在可以计算其表示范围了: 尾数部分的取值范围[1,2),所以最小负数22127-2*2^{127},最大负数12126-1*2^{-126} ,最小正数 121261*2^{-126} ,最大正数 221272*2^{127}

    总结:

    以上我们不难看出,尽管floatdouble可以表示的数字范围很大,但是他们的精度是十分有限的,这主要受制于他们各自的尾数(M)长度有限,float仅有23位尾数长度,double也只有52位的尾数长度。

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  • 十进制整数转二进制 输入整数以补码形式显示 ...十进制浮点数转IE754格式二进制 IE754格式二进制 S 符号位:     1 表示negative负数 ; 0表示 positive正数 Exponent(阶码):     规格化阶码范围为0000 0001 (-

    十进制整数转二进制

    输入整数以补码形式显示

    例如:
    input: 10
    outout: 1010

    正整数的补码为其原码,负数的补码为其模减去该负数的绝对值(模运算)

    例如:
    input: -9
    outout: s(1)1110111 //其中s(1)为符号位

    二进制整数转换器

    十进制浮点数转IE754格式二进制

    IE754格式二进制
    在这里插入图片描述
    S 符号位:
        1 表示negative负数 ; 0表示 positive正数
    Exponent(阶码):
        规格化阶码范围为0000 0001 (-126) ~ 1111 1110 (127)
        阶码使用移码表示,移码为偏置常数+指数值,bias(偏置常数)为127 (single单精度), 1023 (double双精度)
    Significand(尾数部分):
        规格化尾数最高位总是1(小数点前),所以隐含表示,省1位,转换时需要加上隐含的1

    例如:
    input: 1.5
    outout: 0 01111111 110000000000000000000000
    input: -1.5
    outout: 1 01111111 110000000000000000000000

    IE754二进制浮点数转换器

    代码如下:

    #include<iostream>
    //引入STL栈,用于转二进制时存放除余结果
    #include <stack>
    //引入STL字符串,用于存放二进制结果(数值类型可能溢出)
    #include <string>
    //用于数值转换字符串
    #include <sstream>
    //浮点小数部分乘2取整floor方法
    #include <math.h>
    using namespace std;
    //十进制整数转换二进制字符串
    string getReal(int num){
    	if (num<0)
    	{
    		num=128+num;
    	}
    	stack<int> st;
    	while (num>0)
    	{
    		st.push(num%2);	
    		num=num>>1;
    		if (num<2 && num!=0)
    		{
    			st.push(num);
    			num=num>>1;
    		}
    	
    
    	}
    	int n=st.size();
    	string sum="";
    	stringstream s;
    	for (int i=0;i<n;i++)
    	{
    		s<<st.top();
    		sum+=s.str();
    		s.str("");
    		st.pop();
    		
    	}
    	return sum;
    	
    }
    //十进制浮点转换IE754二进制
    string getFloat(double num){
    	string result;
    	if (num>0)
    	{
    		result="0 ";
    	}else{
    		result="1 ";
    		num=-num;
    	}
    	int Real=(int)num;
    	double decimals=num-Real;
    	
    	string real=getReal(Real);
    	//Step Code
    	string StepCode=getReal(real.size()+127-1)+" ";//IE754格式化尾数隐含位1,故需指数-1
    	if (StepCode.size()<=8)
    	{
    		StepCode="0"+StepCode;
    	}
    	//组合符号和阶码
    	result+=StepCode;
    	//运算小数部分
    	string dec="";
    	double n=0;
    	stringstream s2;
    	for(int i=0;i<24-real.size();i++)
    	{
    		int k;
    		n = decimals * 2;
    		k =floor(n);
    		s2<<k;
    		dec += s2.str();
    		s2.str("");
    		decimals = n - k;
    	}
    	real+=dec;
    	result+=real;
    	return result;
    
    }
    int main(){
    	
    	double num=0;
    	cout<<"请输入一个数: ";
    	cin>>num;
    	int Real=(int)(num>0?num:-num);
    	if ((num>0?num:-num)-Real>0)
    	{
    		cout<<"输入为浮点数,以IE754表示为:";
    		cout<<"10->2:"<<getFloat(num)<<endl;
    
    	}else{
    		
    		cout<<"输入为整数,以补码(模128)形式表示:";
    		cout<<"10->2: "<<(num>0?"":"s(1)")<<getReal(num)<<endl;
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    
    
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  • 与科学计数法相似,任意一个J进制数N,总可以写成 N = ...这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动,所以称为浮点表示法。 IEEE754标准规定:单精度浮点数的最高位为符号为,后面

     

    与科学计数法相似,任意一个J进制数N,总可以写成

    N = J E × M

    式中M称为数 N 的尾数(mantissa),是一个纯小数;E 为数 N 的阶码(exponent),是一个整数,J称为比例因子 J E 的底数。这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动,所以称为浮点表示法。 

    IEEE754标准规定:单精度浮点数的最高位为符号为,后面跟8位经偏移的阶码(移码),偏移量为+127。尾数用原码表示,且把尾数规格话为1.XXX...X(X为0或者1),并将1去掉,尾数用23位表示。根据该标准,十进制数+12.25的规格化表示形式为?

    答案为

    0 1000001 1000100000000000000000

    12.25直接化为2进制是

    1100.01

    这里关键是将10进制的数转化成普通的2进制。

    这里0.25,转换位分数为1/4,即2^(-2),所以这里0.25-->0.01(二进制)

    然后

    将其规格化得:

    1.10001*2^3{此处是2的3次幂}

    所以其阶码为3,尾数为10001。

    将阶码偏移+127的130,

    这里130为128+2,所以2^7+2^1

    即整数部分位1000001,其又位整数符号是0

    所以最后表示成:

    0 1000001 1000100000000000000000

     这里是初探,会慢慢深入研究,错误请指正
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  • Day03 Java基础 一、进制表示 整数 public class Demo03 { ... //二进制0b 十进制 八进制0 十六进制0x int i = 10; int i2 = 010; // 八进制0 int i3 = 0x10;// 十六进制0x System.out.println(i);

    Day03

    一、进制表示


    • 整数

    public class Demo03 {
        public static void main(String[] args) {
          //二进制0b 十进制 八进制0 十六进制0x
            
            int i = 10;
            int i2 = 010; // 八进制0
            int i3 = 0x10;// 十六进制0x
            
            System.out.println(i);
            System.out.println(i2);
            System.out.println(i3); 
        }
    }
    

    结果如下:

    10

    8

    16

    • 浮点数

      public class Demo03 {
        public static void main(String[] args) {
          float f = 0.1f;
          double d = 0.0000001;
        }
    }
    

    二、浮点数


    1.为什么会存在浮点数?

    ​ 这是来自知乎灵剑的回答。

    ​ 小数点在数制中代表一种对齐方式,比如说你要比较1000和200哪个比较大你应该怎么做呢?你必须把他们右对齐:

    1000
    200
    

    ​ 然后发现1比0(前面补零)大,所以1000比较大。那么如果是比较1000和200.01呢?这时候就不是右对齐了,而是对应位对齐,也就是小数点对齐:

    1000
    200.01
    

    ​ 小数点位置在进制表示中是至关重要的,位置差一位整体就要差进制倍(十进制就是十倍)。在计算机中也是这样,虽然计算机使用二进制,但在处理非整数时,也需要考虑小数点位置的问题,无法对齐小数点就无法做加法、减法比较这样的操作。我们说小数点位置,永远是说相对于我们存储的数位来说的,比如说我们存储了01001001,然后小数点在第三位之后,也就是010.01001了。
    在计算机中处理小数点位置有浮点和定点两种,定点就是小数点永远在固定的位置上,比如说我们约定一种32位无符号定点数,它的小数点永远在第5位后面,这样最大能表示的数就是11111.111111111111111111111111111,它是32 - 2-27,最小非零数是2-27。定点数是提前对齐好的小数,整数是一种特殊情况,小数点永远在最后一位之后。
    定点数的优点是很简单,大部分运算实现起来和整数一样或者略有变化,但是缺点则是表示范围,比如我们刚才的例子中,最大只能表示32;而且在表示很小的数的时候,大部分位都是0,精度很差,不能充分运用存储单元。浮点数就是设计来克服这个缺点的,它相当于一个定点数加上一个阶码,阶码表示将这个定点数的小数点移动若干位。由于可以用阶码移动小数点,因此称为浮点数。

    ​ 总而言之,在表示小数时,如果采用定点数需要占用大量的存储资源,同时精度很差,这时引入了浮点数,利用浮点数就可以在位数有限的情况下扩大数的表示范围,同时能保持一定的有效精度

    2.浮点数的表示方法

    ​ 浮点数是一种 公式化 的表达方式,用来近似表示实数,并且可以在表达范围和表示精度之间进行权衡。

    通常情况下,浮点数表示为:N = M × r^E

    例如 : 12 = 1.1×2^3

    ​ 式子里面r是浮点数阶码的底在计算机中是隐含的,通常情况下r=2。 E 和 M 都是带符号的定点数, E 被称之为阶码M 被称之为尾数,而r被称之为阶码的基数。其中E的大小越大,能表示的数范围越大,M的位数越大,数的有效精度越高。

    IEEE 754标准采用的浮点数的格式:

    在这里插入图片描述

    ​ S为数符,表示浮点数的符号,E为阶码部分,用移码表示,M是尾数部分,用原码表示,数字在计算机中是以二进制补码方式存储

    ​ IEEE 754标准规定常用的浮点数格式有短浮点数(单精度、float)、长浮点数(双精度、double型)、临时浮点数。

    float数符占1位;阶码占8位,以2为底,用移码表示,阶码偏置值为127(阶码全1表示无限大,E的范围是1~254,空出全0表示非规格化数);尾数部分为23位。

    double数符占1位;阶码占11位,以2为底,用移码表示,阶码偏置值为1023(阶码全1表示无限大,E的范围是1~2046,空出全0表示非规格化数);尾数部分为52位。

    小tips:

    ​ 在IEEE754标准中长浮点数和短浮点数的尾数采用隐藏位策略的原码表示,什么意思呢。举个例子来说,以短浮点数为例,尾数占23位。我们知道,规格化浮点数后,尾数最高位一定是一位有效值,对于二进制浮点数来说,尾数最高位一定是1,那么我们为了充分利用资源,既然最高位一定是1了,我们干脆就把它隐藏好了,因此尾数实际上是24位,在表示的时候尾数23位是纯小数。比如说十进制12(1100),转化为二进制浮点数规格化后为1.1×2^3,这里我们就把整数部分的1 隐藏了,整数部分的1不存在23位尾数中,存的时候就是这样的32位:0 1000 0010 1000 0000 0000 0000 0000 000。

    3.浮点数取值范围

    ​ 浮点数的取值范围主要看指数部分。

    float的指数部分有8bit(2^8),由于是有符号型,所以得到对应的指数范围-128~128。

    double的指数部分有11bit(2^11),由于是有符号型,所以得到对应的指数范围-1024~1024。

    ​ 由于float的指数部分对应的指数范围为-128~128,所以取值范围为:
    -2^128 ~ 2^128,约等于**-3.4E38** ~ +3.4E38

    4.精度(有效数字)

    浮点数的精度主要看尾数位。

    float的尾数位是23bit,对应7~8位十进制数,所以有效数字有的编译器是7位,也有的是8位

    double的尾数位是52bit,对应15~16位十进制数,所以有效数字有的编译器是15位

    参考


    • https://blog.csdn.net/m0_37482190/article/details/87218019
    • https://blog.csdn.net/shuzfan/article/details/53814424
    展开全文
  • 工业标准IEEE754: 1985年IEEE(Institute of Electrical...P为阶码,通常用移码表示,M为尾数,用原码表示,根据二进制的规格化方法,最高数字位总是1,该标准将这个1缺省存储,使得尾数表示范围比实际存储的多一位。
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