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  • 半精度二进制浮点数的大批量转换,发现没有现成的转换代码,就根据原理用matlab撸了一个,与在线转换器对比暂时没有发现bug,通过写blog的方式debug(小黄鸭调试法),也欢迎大家帮我找茬,一起debug. 半精度浮点数...

    最近设计用到了十进制浮点数->半精度二进制浮点数的大批量转换,发现没有现成的转换代码,就根据原理用matlab撸了一个,与在线转换器对比暂时没有发现bug,通过写blog的方式debug(小黄鸭调试法),也欢迎大家帮我找茬,一起debug.
    半精度浮点数数据格式16bit,遵循IEEE754的标准,1bit符号位,5bit阶码,10bit尾数。
    关于浮点数的计算可以看下面这个blog,写的很详细:

    https://blog.csdn.net/fwb330198372/article/details/70238982

    IEEE754 在线计算器链接,可以benchmark:

    http://weitz.de/ieee/

    下面是matlab函数:

    function [half_float_num] = dec2half_float(input_num)
    %UNTITLED2 此处显示有关此函数的摘要
    %   此处显示详细说明
    	integer = abs(fix(input_num));
    	Decimal = abs(input_num) - integer;
    	if(input_num >=0)
    	    sign = '0';
    	else
    	    sign = '1';
    	end
    	integer_bin = dec2bin(integer);
    	Decimal_bin = dec2bin(0,24);
    	
    	d(1) = Decimal;
    	for i = 1:24
    	    if(d(i)*2 >= 1)
    	        d(i+1) = d(i)*2 - 1;
    	        Decimal_bin(i) = '1';
    	    else
    	        d(i+1) = d(i)*2;
    	        Decimal_bin(i) = '0';
    	    end
    	
    	end
    	
    	input_num2_bin = strcat(integer_bin,Decimal_bin);
    	if(abs(input_num)>=0.000061035)   %code ! = 00000
    	    for i = 1:length(input_num2_bin)
    	        if(input_num2_bin(i)=='1')
    	            pos = i;
    	            break;
    	        end
    	    end
    	    code = 15 + (length(integer_bin) - pos);
    	    code_bin = dec2bin(code,5); 
    	else
    	    code_bin = dec2bin(0,5);
    	end
    	if(abs(input_num)>=1)
    	    mantissa = input_num2_bin(2:11);
    	elseif(abs(input_num)<=0.000061035)
    	    mantissa = input_num2_bin(16:25);
    	else
    	    mantissa = input_num2_bin(16 - code + 1:25-code + 1);
    	end
    	half_float_num = strcat(sign,code_bin,mantissa);
    end
    
    

    附python版本:

    def dec2half (input_num):
        sign = '0'
        if(input_num<0):
            sign = '1'
        else:
            sign = '0'
            
        integer = abs(int(input_num))
        Decimal = abs(input_num) - integer
        decimal = np.zeros(25)
        decimal[0] = Decimal
        integer_bin = bin(integer)[2:]
        Decimal_bin = ''
        
        for i in range(0,24):
            if(decimal[i]*2 >= 1):
                decimal[i+1] = decimal[i]*2 - 1
                Decimal_bin = Decimal_bin + '1'
            else:
                decimal[i+1] = decimal[i]*2
                Decimal_bin = Decimal_bin + '0'       
                   
        input_num2_bin = integer_bin + Decimal_bin   
        if(abs(input_num)>=0.000061035):   
            for i in range (0 , len(input_num2_bin)):
                if(input_num2_bin[i]=='1'):
                    pos = i
                    break    
            code = 15 + (len(integer_bin) - pos) - 1
            code_bin = bin(code)[2:]
            while(len(code_bin)<5):
                code_bin = '0' + code_bin
        else:
            code_bin = '00000'    
            
        if(abs(input_num)>=1):
            mantissa = input_num2_bin[1:11]
        elif(abs(input_num)<=0.000061035):
            mantissa = input_num2_bin[15:25]
        else:
            mantissa = input_num2_bin[16 - code :25-code + 1]  
            
        half_float_num = sign + code_bin + mantissa
        return(half_float_num)
    
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  • 计算机内部的二进制浮点数加减运算计算机内部的二进制浮点数加减运算计算机内部的二进制浮点数加减运算十进制科学计数法的加法例子1.123×10^5 + 2.560×10^2=1.123×10^5 + 0.002560×10^5=1.12556×10^5=1.126×10...

    计算机内部的二进制浮点数加减运算

    计算机内部的二进制浮点数加减运算

    计算机内部的二进制浮点数加减运算

    十进制科学计数法的加法例子

    1.123×10^5 + 2.560×10^2

    =1.123×10^5 + 0.002560×10^5

    =1.12556×10^5

    =1.126×10^5

    进行尾数加减运算前,必须“对阶”!最后还要考虑舍入。

    计算机内部的二进制运算也是一样。

    “对阶”操作:目的是使两数的阶码相同。小阶向大阶看齐,阶小的那个数的尾数右移,右移位数等于两个阶码差的绝对值。

    IEEE 754尾数右移时,要将隐含的“1”移到小数部分,高位补0,移出低位保留到特定的“附加位”上。

    402102a819178fce9c00a83d45ef809c.png

    例子1:用二进制浮点数形式计算 0.5+(-0.4375)

    解: 将两数转换为二进制

    0.5=1.000×2^-1 , -0.4375= -1.110×2^-2

    对阶:-1.110×2^-2 ——> -0.111×2^-1

    加减:1.000×2^-1 + (-0.111×2^-1)= 0.001×2^-1

    左规:0.001×2^-1 ——> 1.000×2^-4

    判断溢出:无

    结果:1.000×2^-4 = 0.0625

    例子2:用二进制浮点数形式计算 26.5+4.375

    解:将两数转换为二进制

    26.5=11010.1=1.10101×2^4

    4.375=100.011=1.00011×2^2

    对阶:1.00011×2^2 ——> 0.0100011×2^4

    相加:1.10101×2^4 + 0.0100011×2^4

    =1.1110111×2^4

    =30.875

    判断溢出:无

    若有错误的地方请各位指教。

    计算机内部的二进制浮点数加减运算相关教程

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  • IEEE 754 单精度浮点数转换 在线计算器 http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php 十进制小数的二进制表示: 整数部分:除以2,取出余数,商继续除以2,直到得到0为止,将取出的余数逆序 小数部分:乘以2,然后取出整数...

    IEEE 754 单精度浮点数转换 在线计算器

    http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php

    十进制小数的二进制表示:

    整数部分:除以2,取出余数,商继续除以2,直到得到0为止,将取出的余数逆序

    小数部分:乘以2,然后取出整数部分,将剩下的小数部分继续乘以2,然后再取整数部分,一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零,则按要求保留足够位数的小数,最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序排列。

    举例:22.8125 转二进制的计算过程:

    整数部分:除以2,商继续除以2,得到0为止,将余数逆序排列。
    22 / 2 11 余0
    11/2 5 余 1
    5 /2 2 余 1
    2 /2 1 余 0
    1 /2 0 余 1
    得到22的二进制是10110

    小数部分:乘以2,取整,小数部分继续乘以2,取整,得到小数部分0为止,将整数顺序排列。
    0.8125x2=1.625 取整1,小数部分是0.625
    0.625x2=1.25 取整1,小数部分是0.25
    0.25x2=0.5 取整0,小数部分是0.5
    0.5x2=1.0 取整1,小数部分是0,

    得到0.8125的二进制是0.1101

    结果:十进制22.8125等于二进制00010110.1101

    C语言和C#语言中,对于浮点类型的数据采用单精度类型(float)和双精度类型(double)来存储,float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候,是如何分配内存的呢?如果胡乱分配,那世界岂不是乱套了么,其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的,float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。

    无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分:
    

    符号位(Sign) : 0代表正,1代表为负
    指数位(Exponent):用于存储科学计数法中的指数数据,并且采用移位存储
    尾数部分(Mantissa):尾数部分
    其中float的存储方式如下图所示:

    float类型的存储方式

    而双精度的存储方式为:

    double类型数据的存储方式

    R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的,比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*clip_image0021,而120.5可以表示为:1.205*clip_image0022,这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据,他只认识0,1,所以在计算机存储中,首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示,8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠,不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为:1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*clip_image002[2],1110110.1可以表示为1.1101101*clip_image002[3],任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*clip_image002[1],尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛,干嘛还要表示呀?可以将小数点前面的1省略,所以23bit的尾数部分,可以表示的精度却变成了24bit,道理就是在这里,那24bit能精确到小数点后几位呢,我们知道9的二进制表示为1001,所以4bit能精确十进制中的1位小数点,24bit就能使float能精确到小数点后6位,而对于指数部分,因为指数可正可负,8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了,所以指数部分的存储采用移位存储,存储的数据为元数据+127,下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。
    
     首先看下8.25,用二进制的科学计数法表示为:1.0001*clip_image002[2]
    

    按照上面的存储方式,符号位为:0,表示为正,指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

    单精度浮点数8.25的存储方式

    而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

    单精度数120.5的存储方式

    那么如果给出内存中一段数据,并且告诉你是单精度存储的话,你如何知道该数据的十进制数值呢?其实就是对上面的反推过程,比如给出如下内存数据:0100001011101101000000000000,首先我们现将该数据分段,0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000,在内存中的存储就为下图所示:

    根据我们的计算方式,可以计算出,这样一组数据表示为:1.1101101*clip_image002[3]=120.5

    而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异,不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了,只将120.5的最后存储方式图给出,大家可以仔细想想为何是这样子的

    文本框: 0     100 0000 0101    1101 1010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

    下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑,请看下面一段程序,注意观察输出结果

            float f = 2.2f;
            double d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            f = 2.25f;
            d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
    

    可能输出的结果让大家疑惑不解,单精度的2.2转换为双精度后,精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837,而单精度的2.25转换为双精度后,变为了2.2500000000000,为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢?很奇怪吧?其实通过上面关于两种存储结果的介绍,我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式,很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候,数值是不会变的,而我们再看看2.2呢,2.2用科学计数法表示应该为:将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数2,取整数部分,所以0.282=0.4,所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0,0.4×2=0.8,第二位为0,0.82=1.6,第三位为1,0.6×2 = 1.2,第四位为1,0.2*2=0.4,第五位为0,这样永远也不可能乘到=1.0,得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011… ,对于单精度数据来说,尾数只能表示24bit的精度,所以2.2的float存储为:

    单精度数202的存储方式

    但是这样存储方式,换算成十进制的值,却不会是2.2的,应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确,如2.2,而double类型的数据也存在同样的问题,所以在浮点数表示中会产生些许的误差,在单精度转换为双精度的时候,也会存在误差的问题,对于能够用二进制表示的十进制数据,如2.25,这个误差就会不存在,所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

    展开全文
  • 进制浮点数的表示方法

    万次阅读 2010-02-20 23:39:00
    使用十进制浮点数,可以避免二进制浮点数与我们习惯的十进制数之间的表示误差.这个在金融领域是非常重要的.但是计算机基本都只能对二进制浮点数进行计算,也就是IEEE754格式表示的浮点数.很多程序都会自己模拟十进制...

    使用十进制浮点数,可以避免二进制浮点数与我们习惯的十进制数之间的表示误差.这个在金融领域是非常重要的.但是计算机基本都只能对二进制浮点数进行计算,也就是IEEE754格式表示的浮点数.很多程序都会自己模拟十进制浮点数的计算.为了统一,IEEE754做了扩展,包括了十进制的浮点数.

    IEEE 754-2008里面规定了十进制浮点数的一些规范.不过里面没有说具体的二进制表示方法.只是规定了32位,64位,128位的十进制浮点数的表示范围和有效位数. 因为具体一个浮点数的二进制里面每个位表示啥,都是每个机器自己决定的.不需要跟外界一致.只是在传输的时候要保证数据的精度和范围一致就行了.下表来自wikipedia,列出了每种浮点数的有效位数,指数的范围.

     

     

    Name Common name Base Digits E min E max 
    binary16 Half precision  210+1  -14 15
    binary32 Single precision  223+1  -126 127
    binary64 Double precision  252+1  -1022 1023
    binary128 Quadruple precision  2112+1  -16382 16383
    decimal32   10 7 -95 96
    decimal64   10 16 -383 384
    decimal128   10 34 -6143

    6144 

     


    实际的系统中,十进制浮点数有两种表示方法,分别是Densely Packed Decimal(密集十进制数)和Binary Integer Decimal(二进制整数表示的十进制数).

    DPD表示方便转换成十进制的浮点数字符串,但是需要专门的计算单元来做计算,软件模拟比较麻烦.

    而BID表示更直观,转换到二进制会比较容易.很方便用二进制的整数运算单元来计算.

     

    所以Power6上有了硬件的十进制浮点计算单元,就用DPD表示.而在x86 x64 cpu上没有十进制计算单元, 各种软件实现的十进制浮点库默认大都用BID方式表示.比如Intel就实现了一个开源的c 语言的十进制浮点数库。http://software.intel.com/en-us/articles/intel-decimal-floating-point-math-library/

     

    十进制浮点的意义,在于更符合人们的习惯,比如下面的例子

    #include<stdio.h>
    int main()
    {
        double a = 7.0;
        double b = 0.00007;
        printf("%d/n",a==b*100000);
    }
    正确的输出应该是1,但是实际的输出结果是0,在做相等比较的时候,还不得不考虑一下这个误差了。而某些时候误差会在计算过程中累计,变成比较明显的错误了。

    如果用intel的十进制浮点库赖做这个计算,结果就会不同了。intel这个库明显还在试验阶段,用起来比较麻烦。

    int main()
    {
        Decimal64 a, b, c;
        _IDEC_round my_rnd_mode = _IDEC_dflround;
        _IDEC_flags my_fpsf = _IDEC_allflagsclear;
        a = bid64_from_int32(7);
        b = bid64_from_string("0.00007",my_rnd_mode, &my_fpsf);
        c = bid64_mul(b,bid64_from_int32(100000),my_rnd_mode,&my_fpsf);
        printf("%d/n",bid64_quiet_equal(a,c,&my_fpsf));
        return 0;
    }

    使用和double位数相同的Decimal64,结果就是1了。这里显然不是精度的问题,而是十进制浮点数能丝毫不变的表示十进制的小数。

    我们可以看到这里使用的是BID的表示方法。函数名前面都带个bid前缀。

    接下来,我们来具体看看BID的表示方法,我们可以把刚才程序中的a和c按照十六进制输出

        printf("%llx/n%llx/n",a,c);

    结果是

    31c0000000000007
    31200000000aae60

    可见,两个相等的十进制浮点数的BID表示不一定是相同的。也就是说,一个数有多种表示方法。

    a的表示里,最低位的16进制数就是7,而c的表示里,最低的5位15进制数aae60,其实就是十进制的700000。看来这后面的就是有效数字部分了。查一下BID的表示方法,还是比较复杂的,有6种情况。最高位是符号位,这里当然是0.符号位后面的两位是00,01,或10时,64位BID每个位的意义是这样的,s后面的2位和之后的8位是指数部分,之后53位T和t都是有效数字部分

    s 00eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    s 01eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    s 10eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    而如果符号位后面的两位是11,那么每一位的意义是
    s 11 00eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    s 11 01eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    s 11 10eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
    这时,有效数字前面就加了隐含的100.
    这个BID表示的数的值就是 (-1)^S *T*10^(E-398) ,其中T 是实际的有效数字(就是说如果有隐含的100需要加上后计算),E是指数,T,E都是2进制表示的
    还是回到我们的例子
    a的二进制数
    0 0110001110 00000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000111
    指数部分就是0110001110,也就是398,所以a就是 7*10^(398-398) ,也就是7

    而c的二进制是
    0 0110001001 00000 00000000 00000000 00000000 00001010 10101110 01100000
    指数部分是 0110001001,也就是393, 所以c的值是 700000*10^(393-398), 还是7.
    这就能看明白为啥同样是7,二进制表示却不同。这也是十进制浮点和二进制浮点一个不同之处,十进制浮点没有规定一定要是哪一种表示。这也给相等比较带来了一点麻烦。

     

    power6 里面内置了十进制浮点计算单元,而power6上面的编译器也就支持了内置的十进制浮点类型。前面已经说了,power上面的十进制浮点才用的是DPD表示方法。还是看个程序吧。下面这个程序在一个使用Power6的P520机器上,操作系统是AIX5.3 ML6, 用xlc 10.2编译。_Decimal64就是64位的十进制浮点。

     

    其中 atodecimal是自己写的一个帮助函数

     

    这个程序用xlc 10.2编译时,跟上参数表示使用硬件十进制浮点。不过这样会导致编译出来的可执行文件在power5以前的cpu上无法运行。

    运行的时候输入参数 ./dfp_hw 1 1.00000091 6000000

    dfp_hw是程序的名字,1就是程序里面的 fund,1.00000091是interest,也就是利息,6000000是count,输出结果:

    value=0x22180000,0x800001b
    double  fund=        1.0000000000 interest=        1.000000910000000020616539586630
    Decimal fund=        1.0000000000 interest=        1.000000910000000000000000000000
    Print final funds
    double  fund=                235.0968403429
    Decimal fund=                235.0968403137

    可以看到用double存储利息,再输出,就不再是1.00000091了,后面有一点误差。而用_Decimal64存储输入结果,再输出,是一点误差都没有。

    然后把interest乘6000000次,也就是1.0000091的6000000次方,输出的结果误差就比较明显了。用windows自带的计算器可以验证,_Decimal64的结果是正确的。

    现在来看看1.00000091的二进制表示。也就是0x22180000,0x800001b,注意这里这个power机器是大端的,所以前面以前是高4字节,后面是低4字节。连起来看,就是0x22180000 0800001b也就是

    00100010 00011000 00000000 00000000 00001000 00000000 00000000 00011011

    DPD表示方法也比较复杂,从高位开始看,第一位还是符号位0,DPD的规定如果符号位后面的两位是00,01,或者10,那么每一位的意义如下

    s 00 mmm (00)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
    s 01 mmm (01)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
    s 10 mmm (10)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
    其中,e是指数,e的表示方法跟前面的BID方式很像。t和m是有效数字,其中,每10位t组成一个declet,表示一个3位的十进制数。m实际的位置是在第4位到第6位,但是它逻辑上的位置是在那些t前面,所以用()表示放到e的后面。

    因为2的10次方是1024,刚好能表示10的3次方。但是表示起来还是需要点技巧的,declet表示三位十进制数的规则比较复杂,这也是这个表示方法叫Densely Packed Decimal(密集十进制数)的原因。下表是编码的方式。b9-b0代表10个二进制数,d2 d1 d0代表3个十进制数。

     

    b9

    b8

    b7

    b6

    b5

    b4

    b3

    b2

    b1

    b0

    d2

    d1

    d0

    编码值

    数位的模式

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    0

    g

    h

    i

    0abc

    0def

    0ghi

    (07) (07) (07)

    3位小数字

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    1

    0

    0

    i

    0abc

    0def

    100i

    (07) (07) (89)

    两位小数字,一位大数字

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    1

    0

    1

    i

    0abc

    100f

    0dei

    (07) (89) (07)

    a

    b

    c

    d

    e

    f

    1

    1

    0

    i

    100c

    0def

    0abi

    (89) (07) (07)

    a

    b

    c

    1

    0

    f

    1

    1

    1

    i

    0abc

    100f

    100i

    (07) (89) (89)

    一位小数字,两位大数字

    a

    b

    c

    0

    1

    f

    1

    1

    1

    i

    100c

    0abf

    100i

    (89) (07) (89)

    a

    b

    c

    0

    0

    f

    1

    1

    1

    i

    100c

    100f

    0abi

    (89) (89) (07)

    x

    x

    c

    1

    1

    f

    1

    1

    1

    i

    100c

    100f

    100i

    (89) (89) (89)

    三位大数字

     

    就我们的例子来看一下,最低的10位是0000011011,看b3b2b1,这里是101,所以就是上表第3行的情况,三位数字就是 (0000)(1001)(0001)也就是091,然后看从低位数的第3个10位二进制数,也就是00100000000,这显然是第一种情况,也就是100,连起来就是100000091,指数部分是390,那么这个十进制的值就是 10^(390-398)*100000091 = 1.00000091.

    通过这个简单的例子,就应该对DPD方式的十进制浮点表示方式有个大概的了解了。这个方式算起来比较麻烦,所以除非有硬件支持,软件模拟的方式都不会使用的,但是DPD转换成十进制浮点的字符串表示就会很方便。

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二进制浮点数计算器