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  • 二进制生成多项式
    千次阅读 多人点赞
    2019-03-21 11:21:38

    如题:代码10110011 对应的多项式为 X7+X5+X4+X+1;

    解题思路: 1就是有,0就是没有。倒着开始看从1到x的n次方。比如x2+x,没有1,那么代码就是110;再比如x3+1,没有x2和x,即1001。

    找了很多资料都没说到点上, 其实方法很简单。

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  • 白话 CRC

    2020-10-08 23:20:36
    下面是具体的计算过程: (1)首先把生成多项式转换成二进制数,由P(X) = X4 + X3 + 1可以知道,它一共是 5 位(总位数等于最高位的幂次加1,即 4+1=5),然后根据多项式各项的含义(多项式只列出二进制值为 1 的位...

    0.前言

    我们经常碰到 CRC 这个概念,尤其是在通信领域。但是 CRC 的原理是什么呢?我们有必要了解一下。

    1.简介

    CRC(Cyclic Redundancy Check,循环冗余校验)是一种数据错误检测方法,主要用来检测数据传输或者保存后是否出现错误。

    CRC 相对于其他检测手段(如奇偶校验、算术和校验等),因其检错能力强、开销小、易于编码器和检测电路实现,从检错的正确率与性能等方面,都比其他校验方式有优势,所以 CRC 成为计算机通信领域最为普遍的校验方式。

    2.原理

    CRC 原理看起来比较复杂难懂,因为大多数书上基本上是以二进制的多项式形式来说明。其实 CRC 原理比较简单,其根本思想是在发送的数据帧后面附加一个数(这个就是 CRC 校验码),生成一个新帧发送给接收端。接收端收到数据后,采用相同的除数对数据进行模2除法运算。因为在发送端发送数据帧之前就已通过附加一个数,做了“去余”处理(即可以被整除了),所以结果应该是没有余数。如果有余数,则表明该帧在传输过程中出现了差错

    理解 CRC,最为关键的就是理解 CRC 校验码的生成方法。 CRC 校验码生成方法是对原始数据采用特定的多项式(对应一个二进制数)进行模 2 除法运算,得到的余数即为 CRC 校验码。

    从上面可以看出,CRC 校验中有两个关键点:
    一是要预先确定一个发送端和接收端都用来作为除数的二进制比特串(多项式);
    二是把原始帧与上面选定的除数进行模2除法运算,计算出 CRC 校验码。多项式可以随机选择,也可按国际上通行的标准选择,但最高位和最低位必须均为 1。

    3.模 2 除法

    模 2 除法与算术除法类似,但每一位除的结果不影响其它位,即不向上一位借位,所以实际上就是异或。

    例如被除数 100101(2) 对除数 1110(2) 采用模 2 除法后,商为 11(2),余数为 1。
    在这里插入图片描述

    4.CRC 校验码计算示例

    由以上分析可知,既然除数是随机的,或者按标准选定,所以 CRC 校验的关键是如何求出余数,也就是 CRC 校验码。

    下面以一个例子来具体说明整个过程。现假设选择的 CRC 生成多项式为 P(X) = X4 + X3 + 1,要求出二进制序列 10110011 的 CRC 校验码。下面是具体的计算过程:

    (1)首先把生成多项式转换成二进制数,由P(X) = X4 + X3 + 1可以知道,它一共是 5 位(总位数等于最高位的幂次加1,即 4+1=5),然后根据多项式各项的含义(多项式只列出二进制值为 1 的位,也就是这个二进制的第 4 位、第 3 位、第 0 位的二进制均为 1,其它位均为 0)很快就可得到它的二进制比特串为 11001。

    (2)因为生成多项式的位数为 5,根据前面的介绍,得知 CRC 校验码的位数为 4(校验码的位数比生成多项式的位数少 1)。因为原数据帧 10110011,在它后面再加 4 个 0,得到 101100110000,然后把这个数以“模2除法”方式除以生成多项式,得到的余数,即 CRC 校验码为 0100。

    如下图所示。在这里插入图片描述
    (3)把上步计算得到的 CRC 校验码 0100 替换原始帧 101100110000 后面的四个 0,得到新帧 101100110100。再把这个新帧发送到接收端。

    (4)当以上新帧到达接收端后,接收端会把这个新帧再用上面选定的除数 11001 以模2除法方式去除,验证余数是否为 0,如果为 0,则证明该帧数据在传输过程中没有出现差错,否则出现了差错。

    5.常用CRC版本

    CRC 校验码的生成关键是选择一个二进制多项式作为除数。目前不同版本的 CRC 已经有标准的二进制多项式,下面给出常用 CRC 版本:

    名称多项式表示法应用举例
    CRC-8X8+X2+X+10x107
    CRC-12X12+X11+X3+X2+X+10x180Ftelecom systems
    CRC-16X16+X15+X2+10X18005Bisync, Modbus, USB, ANSI X3.28, SIA DC-07, many others; also known as CRC-16 and CRC-16-ANSI
    CRC-CCITTX16+X12+X5+10X11021ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS
    CRC-32X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X+10x104C11DB7ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
    CRC-32CX32+X28+X27+X26+X25+X23+X22+X20+X19+X18+X14+X13+X11+X10+X9+X8+X6+10x11EDC6F41iSCSI, SCTP, G.hn payload, SSE4.2, Btrfs, ext4, Ceph

    6.小结

    通过以上 CRC 校验原理的剖析和 CRC 校验码的计算示例,大家应该对这种看似复杂的 CRC 校验原理和计算方法应该比较清楚了。


    参考文献

    百度百科.模2除法
    CSDN.CRC码计算及校验原理的最通俗诠释

    展开全文
  • CRC查表和生成多项式

    千次阅读 2021-03-15 02:35:11
    CRC查表和生成多项式 [转贴 2006-12-11 14:45:09] 字号:大 中 小下表中列出了一些见于标准的CRC资料:名称生成多项式简记式*应用举例CRC-4x4+x+1ITU G.704CRC-12x12+x11+x3+x+1CRC-16x16+x12+x2+11005IBM SDLCCRC-...

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    下表中列出了一些见于标准的CRC资料:

    名称

    生成多项式

    简记式*

    应用举例

    CRC-4

    x4+x+1

    ITU G.704

    CRC-12

    x12+x11+x3+x+1

    CRC-16

    x16+x12+x2+1

    1005

    IBM SDLC

    CRC-ITU**

    x16+x12+x5+1

    1021

    ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS

    CRC-32

    x32+x26+x23+...+x2+x+1

    04C11DB7

    ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS

    CRC-32c

    x32+x28+x27+...+x8+x6+1

    1EDC6F41

    SCTP

    CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31

    CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07

    CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E

    CRC-16 x16+x15+x2+1 0x8005

    * 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1,故在简记式中,将最高的1统一去掉了,如04C11DB7实际上是104C11DB7。

    ** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。

    CRC字节型算法

    比特型算法逐位进行运算,效率比较低,不适用于高速通信的场合。数字通信系统(各种通信标准)一般是对一帧数据进行CRC校验,而字节是帧的基本单位。最常用的是一种按字节查表的快速算法。该算法基于这样一个事实:计算本字节后的CRC码,等于上一字节余式CRC码的低8位左移8位,加上上一字节CRC右移8位和本字节之和后所求得的CRC码。如果我们把8位二进制序列数的CRC(共256个)全部计算出来,放在一个表里 ,编码时只要从表中查找对应的值进行处理即可。

    CRC-ITU的计算算法如下:

    a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。

    b.寄存器组向右移动一个字节。

    c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算,得出一个指向值表的索引。

    d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。

    f.数据指针加1,如果数据没有全部处理完,则重复步骤b。

    g.寄存器组取反,得到CRC,附加在数据之后。

    CRC-ITU的验证算法如下:

    a.寄存器组初始化为全"1"(0xFFFF)。

    b.寄存器组向右移动一个字节。

    c.刚移出的那个字节与数据字节进行异或运算,得出一个指向值表的索引。

    d.索引所指的表值与寄存器组做异或运算。

    e.数据指针加1,如果数据没有全部处理完,则重复步骤b (数据包括CRC的两个字节)。

    f.寄存器组的值是否等于“Magic Value”(0xF0B8),若相等则通过,否则失败。

    下面是通用的CRC-ITU查找表以及计算和验证CRC的C语言程序:

    8f900a89c6347c561fdf2122f13be562.png

    961ddebeb323a10fe0623af514929fc1.pngView Code

    //CRC-ITU查找表const u16 crctab16[] =

    {

    0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,

    0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,

    0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,

    0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,

    0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,

    0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,

    0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,

    0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,

    0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,

    0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,

    0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,

    0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,

    0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,

    0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,

    0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,

    0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,

    0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,

    0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,

    0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,

    0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,

    0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,

    0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,

    0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,

    0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,

    0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,

    0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,

    0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,

    0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,

    0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,

    0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,

    0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,

    0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78,

    };

    //计算给定长度数据的16位CRC。u16 GetCrc16(const byte* pData, int nLength)

    {

    u16 fcs = 0xffff; //初始化

    while(nLength>0)

    {

    fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];

    nLength--;

    pData++;

    }

    return ~fcs; //取反}

    //检查给定长度数据的16位CRC是否正确。bool IsCrc16Good(const byte* pData, int nLength)

    {

    u16 fcs = 0xffff; //初始化

    while(nLength>0)

    {

    fcs = (fcs >> 8) ^ crctab16[(fcs ^ *pData) & 0xff];

    nLength--;

    pData++;

    }

    return (fcs == 0xf0b8); //0xf0b8是CRC-ITU的"Magic Value"}

    使用字节型算法,前面出现的PPP帧FCS计算和验证过程,可用下面的程序片断实现:

    byte ppp[13] = {0xFF, 0x03, 0xC0, 0x21, 0x04, 0x03, 0x00, 0x07, 0x0D, 0x03, 0x06, 0x00, 0x00};

    u16 result;

    //计算CRC result = GetCrc16(ppp, 11);

    //填写FCS,先低后高 ppp[11] = result & 0xff;

    ppp[12] = (result >> 8) & 0xff;

    //验证FCS if(IsCrc16Good(ppp, 13))

    {

    ... ...

    }

    该例中数据长度为11,说明CRC计算并不要求数据2字节或4字节对齐。

    至于查找表的生成算法,以及CRC-32等其它CRC的算法,可参考RFC 1661, RFC 3309等文档。需要注意的是,虽然CRC算法的本质是一样的,但不同的协议、标准所规定的初始化、移位次序、验证方法等可能有所差别。

    #include

    unsigned char crc8_table[256] = {

    0x00, 0x31, 0x62, 0x53, 0xc4, 0xf5, 0xa6, 0x97,

    0x88, 0xb9, 0xea, 0xdb, 0x4c, 0x7d, 0x2e, 0x1f,

    0x21, 0x10, 0x43, 0x72, 0xe5, 0xd4, 0x87, 0xb6,

    0xa9, 0x98, 0xcb, 0xfa, 0x6d, 0x5c, 0x0f, 0x3e,

    0x73, 0x42, 0x11, 0x20, 0xb7, 0x86, 0xd5, 0xe4,

    0xfb, 0xca, 0x99, 0xa8, 0x3f, 0x0e, 0x5d, 0x6c,

    0x52, 0x63, 0x30, 0x01, 0x96, 0xa7, 0xf4, 0xc5,

    0xda, 0xeb, 0xb8, 0x89, 0x1e, 0x2f, 0x7c, 0x4d,

    0xe6, 0xd7, 0x84, 0xb5, 0x22, 0x13, 0x40, 0x71,

    0x6e, 0x5f, 0x0c, 0x3d, 0xaa, 0x9b, 0xc8, 0xf9,

    0xc7, 0xf6, 0xa5, 0x94, 0x03, 0x32, 0x61, 0x50,

    0x4f, 0x7e, 0x2d, 0x1c, 0x8b, 0xba, 0xe9, 0xd8,

    0x95, 0xa4, 0xf7, 0xc6, 0x51, 0x60, 0x33, 0x02,

    0x1d, 0x2c, 0x7f, 0x4e, 0xd9, 0xe8, 0xbb, 0x8a,

    0xb4, 0x85, 0xd6, 0xe7, 0x70, 0x41, 0x12, 0x23,

    0x3c, 0x0d, 0x5e, 0x6f, 0xf8, 0xc9, 0x9a, 0xab,

    0xcc, 0xfd, 0xae, 0x9f, 0x08, 0x39, 0x6a, 0x5b,

    0x44, 0x75, 0x26, 0x17, 0x80, 0xb1, 0xe2, 0xd3,

    0xed, 0xdc, 0x8f, 0xbe, 0x29, 0x18, 0x4b, 0x7a,

    0x65, 0x54, 0x07, 0x36, 0xa1, 0x90, 0xc3, 0xf2,

    0xbf, 0x8e, 0xdd, 0xec, 0x7b, 0x4a, 0x19, 0x28,

    0x37, 0x06, 0x55, 0x64, 0xf3, 0xc2, 0x91, 0xa0,

    0x9e, 0xaf, 0xfc, 0xcd, 0x5a, 0x6b, 0x38, 0x09,

    0x16, 0x27, 0x74, 0x45, 0xd2, 0xe3, 0xb0, 0x81,

    0x2a, 0x1b, 0x48, 0x79, 0xee, 0xdf, 0x8c, 0xbd,

    0xa2, 0x93, 0xc0, 0xf1, 0x66, 0x57, 0x04, 0x35,

    0x0b, 0x3a, 0x69, 0x58, 0xcf, 0xfe, 0xad, 0x9c,

    0x83, 0xb2, 0xe1, 0xd0, 0x47, 0x76, 0x25, 0x14,

    0x59, 0x68, 0x3b, 0x0a, 0x9d, 0xac, 0xff, 0xce,

    0xd1, 0xe0, 0xb3, 0x82, 0x15, 0x24, 0x77, 0x46,

    0x78, 0x49, 0x1a, 0x2b, 0xbc, 0x8d, 0xde, 0xef,

    0xf0, 0xc1, 0x92, 0xa3, 0x34, 0x05, 0x56, 0x67};

    unsigned char get_value( unsigned short crc )

    {

    unsigned char i = 0;

    for(i = 0; i < 9; i++ )

    {

    if( (crc&0x0100) !=0 )

    {

    crc*=2;

    crc^=0x31;

    }

    else

    {

    crc*=2;

    }

    }

    return (unsigned char)crc;

    }

    void init_tabl()

    {

    unsigned short i = 0;

    for ( i = 0; i < 0x100; i++ )

    {

    crc8_table[i] = get_value(i);

    if ( !(i%8) )

    {

    printf( "\n" );

    }

    printf( "0x%.2x,", crc8_table[i] );

    }

    }

    unsigned char count_crc8( unsigned char* pbuf, int len, unsigned char seed )

    {

    unsigned char* data = pbuf;

    unsigned char crc = seed;

    while ( len-- )

    {

    crc = crc8_table[crc^*(data++)];

    }

    return crc;

    }

    void main()

    {

    unsigned char data[32] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

    unsigned char crc_v = 0;

    crc_v = count_crc8( data, 31, 0 );

    data[31] = crc_v;

    crc_v = count_crc8( data, 32, 0 );

    }

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  • 本资源用MATLAB实现求已知阶数多项式是否为不可约多项式。其中可以设置阶数最大值,即可求出该阶数以内的所有不可约多项式。本程序中涉及到二进制的加法,除法运算,以及二进制与十进制,矩阵,字符串之间的转换。
  • CRC二进制除法的一些总结

    千次阅读 2020-10-08 16:21:23
    使用Matlab生成一个〖0 ~2〗^60-1的随机数,用2048个12位的多项式对其做除法运算,查看其余数的重复情况。 用足够多的随机数(〖0 ~2〗^60-1)做第一问的除法运算,观察总体的重复的概率分布。
    使用Matlab生成一个 60位的随机数,用2048个12位的多项式对其做除法运算,查看其余数的重复情况。
    用足够多的随机数60位随机数做第一问的除法运算,观察总体的重复的概率分布。
    

    第一次用matlab编程。
    查找了crc循环冗余的资料,就跟着crc求余数的思路。

    Crc方法:把12位多项式当做除数,把多项式系数变成二进制01编码,最高次1, 于是12位多项式相
    然后,把生成的随机数也变成二进制,在其后面补R=(多项式长度-1)个0,
    再除以多项式,二进制除法就相当于异或计算,不进位。余数的取最后的R位。(做到这里就达到题目的要求了)再将随机数的后R位用余数替换,除以二进制多项式,若余数为0,则正确,不为0,错误。

    1.十进制转二进制dec2bin
    转化后的二进制格式,要转变成向量矩阵,才能进行矩阵合并,进而补0
    oba=dec2bin(a) ;
    d=[];
    for l=1:length(oba)
    d=[d str2num(oba(l))];
    end
    d;
    2.设置一个空矩阵x[],最后填充时,格式要对,还要把向量转成十进制
    r=num2str(r)
    r=bin2dec (r

    1. 1XXXXXXXXXXX共2048个12位多项式,十进制时2048到4095
      后一位确定为1,所以都不能被2整除所以可以作为判断条件。
    2. [q,v]=deconv()相当于多项式除法,结果可能为负数
      Mod2,模2取余法,求得余数。
      5.用二进制计算要注意之前各种数据格式的转化!!格式不对,会报错。而且有时回报2^53的错
      在这里插入图片描述
      这是crc,运行100次的概率图
      在这里插入图片描述
      这是用十进制直接除100次的概率图在这里插入图片描述
      十进制运行1W次的概率。
      用crc算法,matlab运行太慢,里面有太多的for循环。其核心是多项式除法,即异或除法,所以和10进制除法不一样。

    附加crc代码:
    x=[];
    i=0;
    a=unidrnd(2^60-1)
    oba=dec2bin(a) ;
    d=[];
    for l=1:length(oba)
    d=[d str2num(oba(l))];
    end
    d;

    for m=2048:4095

         obj=dec2bin(m) ;
         c=[];
        for j=1:length(obj)
            c=[c str2num(obj(j))];
        end
           c;
    

    R=length(c)-1;
    [q,r] = deconv([d zeros(1,R)],c);

    r=mod(r(end-R+1:end),2);
    r=num2str(r);
    r=bin2dec®;
    i=i+1;
    x(i)=r;
    end
    end
    fprintf(‘x=%dx[]’)


    第二问
    假设用2000个随机数分别求第一个多项式…第2048个多项式,看哪个余数的重复最少。即验证2048个crc多项式哪个最优。
    只用把除数的循环提前,再加一个2000次循环就可以了。

    把数据导入excel中操作比较方便,筛选出余数个数最多的多项式。111001010011在这里插入图片描述

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