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  • 非运算 ~7:-8 7的二进制原码:0000 0111 取反1变0,0变1得到负数补码:1111 1000 = -8 负数二进制的逆运算补码 -1得负数的补码:1111 0111 负数的补码取反得负数的绝对值:0000 1000= 8 异或运算7^4=3 相同为0,...

    负数的二进制表示:

    实例-7 的二进制:1111 1001

    1. 0000 0111
    2. 反码:1111 1000
    3. 补码:在反码的基础上 加1:1111 1001

    非运算 ~7:-8

    1. 7的二进制原码:0000 0111
    2. 取反1变0,0变1得到负数补码:1111 1000 = -8
    3. 负数二进制的逆运算补码 减1得负数的补码:1111 0111
    4. 负数的补码取反得负数的绝对值:0000 1000= 8

    异或运算7^4=3

    1. 相同为0,不同为1
    2. 7的二进制:0000 0111;4的二进制:0000 0100
    3. 7^4:0000 0011=3
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  • 二进制数的运算前,我们先看看二进制数的值十进制数的值是如何相互转换的, 十进制转换成二进制 将十进制数除以2,得到的商再除以2,依次类推直到商为1时为止,然后在旁边标出各步的余数,最后从下往上倒着写...

    二进制数与十进制数的转换

    聊二进制数的运算前,我们先看看二进制数的值与十进制数的值是如何相互转换的,
    十进制转换成二进制
    将十进制数除以2,得到的商再除以2,依次类推直到商为1时为止,然后在旁边标出各步的余数,最后从下往上倒着写出来,高位补零就可以成功转换成二进制。
    例如下图49的二进制数就是110001
    在这里插入图片描述
    二进制转换成十进制
    只需将二进制数的各数位的值和位权相乘,然后将相乘的结果相加即可,有木有感觉特别方便。
    在这里插入图片描述
    二进制数的符号位
    二进制数中表示负数值时,一般会把最高位作为符号位来使用,最高位为0代表正数,最高位为1代表负数。
    这时了解二进制的人可能就会疑问,既然最高位1代表负数,1是00000001,那-1应该是10000001,为什么是11111111呢?要解释这个我们要先引入“补数”的概念,因为计算机在做加减运算时其实内部只会做加法运算,所以为了表示负数,就用正数来表示负数,这就是负数的概念。得到补数的方法很简单,进行取反操作,将二进制数的各位数的数值由1变为0,0变为1,再将结果加上1就可以了。

    00000001——————1(十进制)
    先进行取反操作,之后再加上1
    11111110
    变成
    11111111——————-1(十进制)

    不信的同学还可以验证以下,就会发现8位二进制的-1+1刚好等于100000000,而计算机会直接忽略掉最高位溢出的那个数字,所以刚好是00000000了。

    二进制数的乘除运算

    二进制数的乘除运算有两种方法,要么先转化位十进制数进行运算之后再转换为二进制(想来有点麻烦),要么头铁直接用二进制数进行乘除运算。

    在这里插入图片描述
    二进制数111乘以1011,乘数1011的每一位分别与乘数相乘,得到111、1110、00000、111000,将其加起来,得到1001101,这便是二进制乘法最直接的解求过程;也可以将111转化为十进制数7,1011转化为十进制数11,显版然7乘以11等于77,再将十进制数77化为二进制数1001101,显然1x26+1x23+1x22+1x20=64+8+4+1=77,所求结果完全正确。——百度

    二进制数的移位运算

    移位运算可是二进制的门面招牌
    在这里插入图片描述

    移位运算指的是将二进制数值的各数位进行左右移位(shift=移位)的运算。移位有左移(向高位方向)和右移(向低位方向)两种。在一次运算中,可以进行多个数位的移位操作。在程序代码中<<这个运算符表示左移,>>这个运算符表示右移,

    int a=1;
    int b;
    b=a<<3;//b现在为8

    运算符左侧是被移位的值,右侧表示要移位的位数。看到这有些同学就会想到,这移了几位不多了几个空白处么,计算机这千年老怪早想好了,如果是左移运算的话,它就会在空出来的低位补0。如果是右移运算的话,就稍微有点特殊,因为存在两种情况,既可以填1也可以填0,这就是逻辑右移和算数右移的区别。

    当二进制数的值表示图形模式而非数值时,移位后需要在最高位补0.类似于霓虹灯往右滚动的效果。这就称为逻辑右移。
    将二进制数作为带符号的数值进行运算时,移位后要在最高位填充移位前符号位的值(0或1)。这就称为算数右移。例如负数就在最高位补1,正数就在最高位补0。
    在这里插入图片描述

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  • 二进制数的运算方法

    万次阅读 多人点赞 2017-08-29 14:12:13
    1.二进制数的算术运算 二进制数的算术运算包括:加、减、乘、除四则运算,下面分别予以介绍。 (1)二进制数的加法 根据“逢二进一”规则,二进制数加法的法则为: 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=0 (进位为1)...

    1.二进制数的算术运算
    二进制数的算术运算包括:加、减、乘、除四则运算,下面分别予以介绍。

    (1)二进制数的加法

      根据“逢二进一”规则,二进制数加法的法则为:
      0+0=0
      0+1=1+0=1
      1+1=0 (进位为1) 
      1+1+1=1 (进位为1)
    
      例如:1110和1011相加过程如下:
    

    在这里插入图片描述

      (2)二进制数的减法
    
      根据“借一有二”的规则,二进制数减法的法则为:
    
      0-0=0
      1-1=0
      1-0=1
      0-1=1 (借位为1)
    
      例如:1101减去1011的过程如下:
    

    在这里插入图片描述

      (3)二进制数的乘法
    
      二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位,导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为:
    
      0×0=0
      0×1=1×0=0
      1×1=1
    
      例如:1001和1010相乘的过程如下:
    

    这里写图片描述

      由低位到高位,用乘数的每一位去乘被乘数,若乘数的某一位为1,则该次部分积为被乘数;若乘数的某一位为0,则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐,所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
    
      (4)二进制数的除法
    
      二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始,将被除数(或中间余数)与除数相比较,若被除数(或中间余数)大于除数,则用被除数(或中间余数)减去除数,商为1,并得相减之后的中间余数,否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位,重复以上过程,就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
    
      例如:100110÷110的过程如下:
    

    这里写图片描述

      所以,100110÷110=110余10。
    

    2.二进制数的逻辑运算
    二进制数的逻辑运算包括逻辑加法(“或”运算)、逻辑乘法(“与”运算)、逻辑否定(“非”运算)和逻辑“异或”运算。

      (1)逻辑“或”运算
    
      又称为逻辑加,可用符号“+”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下:
    
      0+0=0或0∨0=0
      0+1=1或0∨1=1
      1+0=1或1∨0=1
      1+1=1或1∨1=1
    
      
      可见,两个相“或”的逻辑变量中,只要有一个为1,“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时,或运算的结果才为0。计算时,要特别注意和算术运算的加法加以区别。
    
      (2)逻辑“与”运算
    
      又称为逻辑乘,常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则:
    
      0×1=0或0·1=0或0∧1=0
      1×0=0或1·0=0或1∧0=0
      1×1=1或1·1=1或1∧1=1
    
      可见,两个相“与”的逻辑变量中,只要有一个为0,“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时,“与”运算的结果才为1。
    
      (3)逻辑“非”运算
    
      又称为逻辑否定,实际上就是将原逻辑变量的状态求反,其运算规则如下:
    
    
      可见,在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时,“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时,“非”运算的结果为0。
    
      (4)逻辑“异或”运算 
      “异或”运算,常用符号“”或“”来表示,其运算规则为:
    
      00=0 或 00=0
      01=1 或 01=1
      10=1 或 10=1
      11=0 或 11=0
    
      可见:两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时,“异或”的结果为0。取值相异时,“异或”的结果为1
    
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  • 二进制基础及位运算

    2019-12-04 16:06:09
    二进制计算 每一位上的数基数的索引次幂相加之和 例如:0101=12º+12²=5 第一位1基数2的索引0次幂+第三位1*基数2的2次幂等于5 其他进制计算等同 十进制转2进制:除2求余法 除2求余倒序表示 简便算法:记住2的10次...

    一、什么是二进制

    二进制是计算机运算时所采用的数制,基数是2,也就是说它只有两个数字符号,即0和1。如果在给定的数中,除0和1外还有其他数(例如1061),那它就绝不会是一个二进制数了。二进制数的最大数码也是基数减1,即2-1=1,最小数码也是0。二进制数的标志为B,如(1001010)B,也可用下标“2”来表示,如(1001010)2(注意是下标)。

    二、二进制转换为十进制

    二进制转换成十进制的方法,大家可能早就有所了解了,如在IPv4地址计算时就经常进行这样的操作。转换的方法比较简单,只需按它的权值展开即可。展开的方式是把二进制数首先写成加权系数展格式,然后按十进制加法规则求和。这种方法称为“按权相加”法。

    二进制整数部分的一般表现形式为:bn-1…b1b0(共n位),按权相加展开后的格式为(注意,展开式中从左往右各项的幂次是从高到低下降的,最高位的幂为n-1,最低的幂为0):

    bn-1×2n-1+bn-2×2n-2…+b1×21+b0×20

    如二进制数(11010)2的按权相加展开格式为:

    在这里插入图片描述
    用一句话概括来说就是:二进制数*基数的索引次幂相加之和

    二进制小数部分的幂次是反序排列的(也就是与整数部分的幂次序列相反,从左往右其绝对值是从低到高上升的),且为负值,最高位幂次(也就是最靠近小数点的第一个小数位的幂次)为“-1”。如二进制小数部分的格式为:0.bn-1…b1b0,则按权相加后的展开格式为:

    bn-1×2-1+bn-1×2-2…+b1×2-(n-1)+b0×2-n

    如(0.1011)2的按权相加展开格式为:

    1×2-1+0×2-2+1×2-3+1×2-4=0.5+0+0.125+0.0625=(0.6875)10

    三、十进制转二进制

    十进制整数转换为二进制的方法是:采用“除2逆序取余”法(采用短除法进行)。也就是先将十进制数除以2,得到一个商数(也是下一步的被除数)和余数;然后再将商数除以2,又得到一个商数和余数;以此类推,直到商数为小于2的数为止。然后从最后一步得到的小于2的商数开始将其他各步所得的余数(也都是小于2的0或1)排列起来(俗称“逆序排列”)就得到了对应的二进制数。

    在这里插入图片描述
    图 1-1 十进制整数48转换成二进制整数的步骤
    在这里插入图片描述
    图 1-2 十进制整数250转换成二进制整数的步骤

    简便算法:记住2的10次幂1024内的次幂值,比如计算114的二进制
    在这里插入图片描述

    四、二进制逻辑运算

    在计算机中所有数据都是以二进制的形式储存的。位运算其实就是直接对在内存中的二进制数据进行操作,因此处理数据的速度非常快。
    在实际编程中,如果能巧妙运用位操作,完全可以达到四两拨千斤的效果,正因为位操作的这些优点,所以位操作在各大IT公司的笔试面试中一直是个热点问题。因此本文将对位操作进行如下方面总结:

    • 位操作基础,用一张表描述位操作符的应用规则并详细解释。
    • 常用位操作小技巧,判断奇偶、交换两数、变换符号、求绝对值。
    • 位操作与空间压缩,针对筛素数进行空间压缩。

    1、位操作基础

    基本的位操作符有与、或、异或、取反、左移、右移、无符号右移这7种,它们的运算规则如下所示:

    符号描述运算规则
    &遇0则0
    |遇1则1
    ~求反,1变0,0变1
    ^异或不进位加(相同为0,相异为1)
    >>右移左补符号位
    <<左移右补0
    >>>无符号右移左补0
    注:
    1、在这6种操作符,只有~取反是单目操作符,其它5种都是双目操作符。
    2、位操作只能用于整形数据,对float和double类型进行位操作会被编译器报错。
    3、位操作符的运算优先级比较低,因此尽量使用括号来确保运算顺序,否则很可能会得到莫明其妙的结果。比如要得到像1,3,5,9这些2^i+1的数字。写成int a = 1 << i + 1;是不对的,程序会先执行i + 1,再执行左移操作。应该写成int a = (1 << i) + 1;
    4、另外位操作还有一些复合操作符,如&=、|=、 ^=、<<=、>>=。
    

    2、常用位操作小技巧

    下面对位操作的一些常见应用作个总结,有判断奇偶、交换两数、变换符号及求绝对值。这些小技巧应用易记,应当熟练掌握。

    1.判断奇偶

    只要根据最末位是0还是1来决定,为0就是偶数,为1就是奇数。因此可以用
    if ((a & 1) == 0 )代替if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。
    下面程序将输出0到100之间的所有奇数。

        static void oddOrEven() {
            IntStream.rangeClosed(1, 100)
                    .filter((i) -> (i & 1) == 1)
                    .forEach(System.out::println);
        }
    

    2.交换两数

    一般的写法是:

    static void swap(int a, int b) {
    	//定义一个临时变量
    	int c = a;
    	a = b;
    	b = c;
    }
    
    static void swap(int a, int b) {
            a = a^b;
            b = a^b;
            a = a^b;
            System.out.println("a=" + a + ",b= " + b);
        }
    

    可以这样理解:
    第一步:a = a^b
    第二部:b = a^b = (a^b)^b=第一步的值b。由于运算满足交换律,(a^b)^b=a^b^b。由于一个数和自己异或的结果为0并且任何数与0异或都会不变的,所以此时b被赋上了a的值。
    第三步 a=a^b,由于前面二步可知a=(a^b),b=a,所以a=a^b即a=(a^b)^a。故a会被赋上b的值。

    再来个实例说明下以加深印象。int a = 13, b = 6;
    a的二进制为 13=8+4+1=1101(二进制)
    b的二进制为 6=4+2=0110(二进制)
    第一步 a=a^b a = 1101 ^ 0110 = 1011;
    第二步 b=a^b b = 1011 ^ 0110 = 1101;即b=13
    第三步 a=a^b a = 1011 ^ 1101 = 0110;即a=6

    3.变换符号

    变换符号就是正数变成负数,负数变成正数。
    如对于-11和11,可以通过下面的变换方法将-11变成11
    1111 0101(二进制) –取反-> 0000 1010(二进制) –加1-> 0000 1011(二进制)
    同样可以这样的将11变成-11
    0000 1011(二进制) –取反-> 1111 0100(二进制) –加1-> 1111 0101(二进制)
    因此变换符号只需要取反后加1即可。完整代码如下:

    	static void signReversal(int a) {
            a = ~a + 1;
            System.out.println(a);
        }
    

    4.求绝对值

    位操作也可以用来求绝对值,对于负数可以通过对其取反后加1来得到正数。对-6可以这样:
    1111 1010(二进制) –取反->0000 0101(二进制) -加1-> 0000 0110(二进制)
    来得到6。
    因此先移位来取符号位,int i = a >> 31;要注意如果a为正数,i等于0,为负数,i等于-1。然后对i进行判断——如果i等于0,直接返回。否之,返回~a+1。完整代码如下:

    	static void abs(int a) {
            a = (a >> 31) == 0 ? a : ~a + 1;
            System.out.println(a);
        }
    

    现在再分析下。对于任何数,与0异或都会保持不变,与-1即0xFFFFFFFF异或就相当于取反。因此,a与i异或后再减i(因为i为0或-1,所以减i即是要么加0要么加1)也可以得到绝对值。所以可以对上面代码优化下:

        static void absNoDecide(int a) {
            int i = a >> 31;
            a = (a ^ i) - i;
            System.out.println(a);
        }
    

    注意这种方法没用任何判断表达式,因此建议读者记住该方法(^_^讲解过后应该是比较好记了)。

    5、获得int最大值

    System.out.println((1 << 31) - 1);// 2147483647, 由于优先级关系,括号不可省略
    System.out.println(~(1 << 31));// 2147483647
    

    6、获得int型最小值

    System.out.println(1 << 31);
    System.out.println(1 << -1);
    

    7、获得long类型的最大值

    System.out.println(((long)1 << 127) - 1);
    

    8、乘以2运算

    System.out.println(n << 1);
    

    9、除以2运算(负奇数的运算不可用,精度缺失)

    System.out.println(n >> 1);
    

    10、m乘以2的n次方

    System.out.println(m << n);
    

    11、m除以2的n次方

    System.out.println(m >> n);
    

    12、取两个数的最大值(某些机器上,效率比a>b ? a:b高)

    System.out.println(b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31));
    

    13、取两个数的最小值(某些机器上,效率比a>b ? b:a高)

    System.out.println(a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31));
    

    14、判断符号是否相同(true 表示 x和y有相同的符号, false表示x,y有相反的符号。)

    System.out.println((a ^ b) > 0);
    

    15、计算2的n次方 n > 0

    System.out.println(2 << (n - 1));
    

    16、判断一个数n是不是2的幂

    /*如果是2的幂,n一定是100... n-1就是1111....所以做与运算结果为0*/
    System.out.println((n & (n - 1)) == 0);
    

    17、求两个整数的平均值

    System.out.println((a + b) >> 1);
    

    18、从低位到高位,取n的第m位

    int m = 2;
    System.out.println((n >> (m - 1)) & 1);
    

    19、从低位到高位.将n的第m位置为1

    /*将1左移m-1位找到第m位,得到000...1...000 n在和这个数做或运算*/
    System.out.println(n | (1<<(m-1)));
    

    20、从低位到高位,将n的第m位置为0

    /* 将1左移m-1位找到第m位,取反后变成111...0...1111 n再和这个数做与运算*/
    System.out.println(n & ~(0 << (m - 1)));
    

    常见操作技巧

    取高位右移,取低位相与

    3、位操作与空间压缩

    筛素数法在这里不就详细介绍了,本文着重对筛素数法所使用的素数表进行优化来减小其空间占用。要压缩素数表的空间占用,可以使用位操作。下面是用筛素数法计算100以内的素数示例代码(注2):

    	static void getPrime() {
            int max = 100;
            boolean[] flag = new boolean[100];
            int[] primes = new int[max / 3 + 1];
    
            int i, j;
            int pi = 0;
            for (i = 2; i < max; i++) {
                if (!flag[i]) {
                    primes[pi++] = i;
                    /**
                     * 对于每个素数,它的倍数必定不是素数
                     */
                    for (j = i; j < max; j += i)
                        flag[j] = true;
                }
            }
    
            Arrays.stream(primes)
                    .limit(pi)
                    .forEach((p) -> System.out.print(p + ","));
        }
    

    在上面程序是用boolean数组来作标记的,boolean型数据占1个字节(8位),因此用位操作来压缩下空间占用将会使空间的占用减少八分之七。
    下面考虑下如何在数组中对指定位置置1,先考虑如何对一个整数在指定位置上置1。对于一个整数可以通过将1向左移位后与其相或来达到在指定位上置1的效果,代码如下所示:

    //在一个数指定位置上置1
    int i = 0;
    i |= i << 10;
    

    同样,可以1向左移位后与原数相与来判断指定位上是0还是1(也可以将原数右移若干位再与1相与)。

    //判断指定位上是0还是1
    int i = 1 << 10;
    if ((i & (1 << 10)) != 0) {
    	System.out.println("指定位上为1");
    } else {
    	System.out.println("指定位上为0");
    }
    

    扩展到数组上,我们可以采用这种方法,因为数组在内存上也是连续分配的一段空间,完全可以“认为”是一个很长的整数。先写一份测试代码,看看如何在数组中使用位操作:

    		int[] bits = new int[40];
    
            for (int m = 0; m < 40; m += 3) {
                bits[m / 32] |= (1 << (m % 32));
            }
    
            // 输出整个bits
            for (int m = 0; m < 40; m++) {
                if (((bits[m / 32] >> (m % 32)) & 1) != 0) {
                    System.out.print('1');
                } else {
                    System.out.print('0');
                }
            }
    

    运行结果如下:
    1001001001001001001001001001001001001001

    可以看出该数组每3个就置成了1,证明我们上面对数组进行位操作的方法是正确的。因此可以将上面筛素数方法改成使用位操作压缩后的筛素数方法:

    	static void getPrimeByBitwise() {
            int max = 100;
            int[] flag = new int[max/32 + 1];
            int[] primes = new int[max / 3 + 1];
    
            int i, j;
            int pi = 0;
            for (i = 2; i < max; i++) {
                if ((((flag[i/32] >> (i % 32))& 1) == 0)) {
                    primes[pi++] = i;
                    /**
                     * 对于每个素数,它的倍数必定不是素数
                     */
                    for (j = i; j < max; j += i)
                        flag[j/32] |= (1 << (j % 32));
                }
            }
    
            Arrays.stream(primes)
                    .limit(pi)
                    .forEach((p) -> System.out.print(p + ","));
        }
    
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