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十进制小数转换成二进制的原理理解

浮点数 

发布于 2018-03-08  约 2 分钟

十进制小数转换成二进制的原理理解

在学习浮点数据类型的时候，涉及到了10进制的小数如何转成2进制数的问题（此文章不讨论精度问题，仅涉及转换原理--乘2取整).学习到的方法是“乘2取整“，但是一直不知道具体原理是什么，现在从数学上说明一下原理

乘2取整的操作方法

将十进制的小数部分乘2，将所得结果的整数位作为二进制的位。舍弃乘2所得结果的整数部分，如果剩余部分为0，计算结束。否则继续乘2，进行取整操作（所得整数位继续向右添加）。(如果出现循环，则终止计算，写成循环小数格式,或根据精度位数要求，保留结果位数，停止计算)

举例说明:


十进制数:0.25

1. 0.25 x 2 = 0.5 二进制数 : 0.0

2. 0.5 x 2 = 1.0 二进制数 : 0.01

结果二进制数: 0.01


原理解释

十进制数的小数部分 M 对应二进制部分应为 A1 * 2^(-1) + A2 * 2^(-2) + ... + An * 2^(-n) 其中An 为 0 或 1

现在将 M 乘 2 ：M * 2 = A1 * 2^0 + A2 * 2^-1 + ... + An * 2^(1-n)

此时，A1 * 2^0 = A1 即为 M * 2的整数部分的值 求出了A1.

然后舍弃M * 2 的整数部分，即舍弃了 A1. M * 2 - A1 = A2 * 2^-1 + ... + An * 2^(1-n)

最后不断重复这一计算方式，直到乘2所得的结果小数部分为0（或者达到要求精度的位数）为止，二进制小数即为: 0.A1A2..Am (为0时m=n,否则根据精度要求决定m大小)

阅读 7.3k发布于 2018-03-08

'''
今天也要努力成为Python做题家：笔算十进制转换二进制的原理和方法
十进制
10 = 1*10^1
100 = 1*10^2
1000 = 1*10^3
二进制
10 = 1*2^1
100 = 1*2^2
1000 = 1*2^3
笔算十进制转二进制的方法
例如将9转二进制
9/2 = 4    余数 1    # 9除以2，余数1，最后1位为1
4/2 = 2    余数 0    # 将上面结果再除以2，余数0，倒数第2位为0
2/2 = 1    余数 0    # 将上面结果再除以2，余数0，倒数第3位为0
1/2 = 0    余数 1    # 将上面结果再除以2，余数0，倒数第4位为1
9 = 1001
证明
9 = 2*4+1
9 = 2*(2*2+0) + 1
9 = 2*(2*(2*1+0)+0)+1
9 = 2*(2*(2*(2*0+1)+0)+0)+1
9 = 2*2*(2*(2*0+1)+0)+2*0+1
9 = 2*2*2*(2*0+1)+2*2*0+2*0+1
9 = 2*2*2*2*0+2*2*2*1+2*2*0+2*0+1
9 = 2^4*0 + 2^3*1 + 2^2*0 +2^1*0 +1
9 = 00000 +1000 + 000 +00 +1
9 = 1001
'''
# 现在开始用Python来辅助计算一下
number = int(input('请输入要转换为二进制的数字：'))
binary = ''
binary_test = format(number, 'b')
while number > 0:
remainder = number % 2
binary = str(remainder) + binary
number = number // 2
if binary == binary_test:
print('转换结果binary：'+binary)
#print('转换结果binary_test：' + binary_test)
print('\n')
'''
二进制转换为十进制的方法
9 = 1001
9 = 1000 + 000 +00 +1
9 =  1*2^3 + 0*2^2 +0*2^1 +1*2^0
'''
print('需要转换为二进制的数字：'+binary)
Digits = len(binary)
number = 0
while Digits > 0:
number = int(binary[-Digits])*2**(Digits-1) + number
Digits = Digits-1
print(f'转换结果number：{number}')
D:\Python\Project02\bit>bit.py
请输入要转换为二进制的数字：123
转换结果binary：1111011
需要转换为二进制的数字：1111011
转换结果number：123
D:\Python\Project02\bit>bit.py
请输入要转换为二进制的数字：123688
转换结果binary：11110001100101000
需要转换为二进制的数字：11110001100101000
转换结果number：123688

假设一个十进制的数能够写成二进制的edcba形式
那么这个十进制的数一定等于
a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4)
将以上数列除以2，所得的余数是a，商是b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3)
再除以二，余数为b。当这这个数不能再被2除时，把所有的余数反过来写，就得到数列edcba，这既是方法也是原理
转载于:https://www.cnblogs.com/any91/p/3447470.html

两个字节转成一个汉字
1.汉字信息交换码（国标码）
　　《信息交换用汉字 编码字符集·基本集》是我国于1980年制定的国家标准 GB2312-80,代号为国标码,是国家规定的用于汉字信息处理使用的代码依据.
　 　GB2312-80中规定了信息交换用的6763个汉字和682个非汉字图形符号(包括几种外文字母、数字和符号)的代码.
　　6763个汉字又按其 使用频度、组词能力以及用途大小分成一级常用汉字3755个和二级常用汉字3008个.
　　一级汉字按拼音字母顺序排列；若遇同音字,则 按起笔的笔形顺序排列；若起笔相同,则按第二笔的笔形顺序排列,依次类推.所谓笔形顺序,就是横、竖、撇、点和折的顺序.二级汉字按 部首顺序排列.
　
　　在此标准中,每个汉字(图形符号)采用双字节表示.每个字节只用低7位,最高位恒为1.由于低7位中有34种状态是用 于控制字符,因此,只有94(128-34=94)种状态可用于汉字编码.这样,双字节的低7位只能表示94×94=8836种状态.


编码范围
二进制数码
十进制数码
基本 ASCII 码    
00000000～01111111    
0～127    
控制字符    
00000000～00100000、01111111    
0～32、127    
可用汉字段    
00100001～01111110    
33～126 (1～94)    
扩充 ASCII 码    
10000000～11111111    
128～255    
控制字符    
10000000～10100000、11111111    
128～160、255    
GB2312-80    
10100001～11111110    
161～254 (1～94)    
　　此标准的汉字编码表有94行、94列,其行号称为区号,列号称为位号.双字节中,用 高字节表示区号,低字节表示位号.非汉字图形符号置于第1～11区,一级汉字3755个且于第16～55区,二级汉字3008个置于第56～87区.
　　每个图形字符的汉字交换码,均用两个字节的低7位二进制码表示.汉字国标码通常用十六进制数表示.
　　例如：“中”字的区号为 54,位号为48,计算它的二进制数和十六进制数国标码.