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  • 在 MATLAB 中计算有符号整数的二进制补码
  • 二进制补码进制补码及其内的运算——关于补码的一点学习
                   

     

    问题:输入两个整数a,b-10100<a, b < 10100, 编程计算a-b

    这是个非常简单的题目,因为a,b可能为正可能为负,所以有a-b, a-(-b), -a-b,-a-(-b)这四种情况。去括号后有a-b,-(a-b), a+b, -(a+b),其中共两种情况。写代码的话仍然比较烦。想到二进制的补码运算可以把减法变成加法从而统一加减运算,于是考虑实现十进制的补码运算。十进制的补码运算以及各种进制的运算(做这个题目时查看TAOCP第二卷时学到了关于任意进制的一些东西,包括b进制和bk进制的转换,尤其是-10进制,sqrt(2)进制等等,非常有趣,附在后面)在网上资料非常多,这里只是记下自己做这个题目的过程,备忘。

    二进制的补码运算是非常熟悉的了。(X+Y)X+Y(X-Y)X+(-Y),这是补码能统一加减运算的公式,对于十进制也是一样。对于任何进制的补码,都有公式:

    [X]=M+X(MOD M)

    有了这些,将补码应用于十进制就非常简单。自己当时有些偏执,一定想找两个数放在符号位上,替代二进制中01负的作用。因为二进制中,0表示什么都没有,1表示再放一个就会溢出,所以十进制中,用0取代二进制中的0,放在符号位上表示正,用9取代二进制中的1,放在符号位上表示负(其实自己把问题弄复杂了,大可不必如此)。这样,包括符号位在内的n个十进制位补码能表示的范围是[-10n-1, 10n-1-1]总共10n个数。例如,计算-46-37这个式子:-46的原码就是946,补码按位取反末位加1,得到954-37的原码为937,补码为963,补码相加得(-46)+(-37)补=954+963=1917,符号位进位舍掉,得到结果是917917的再按位取反末位加1得原码983,它表示的真值是-83,所以有-46-37=-83

    以上如果想计算-99-99就会溢出,如此必须用四位十进制位表示。但一个字节对计算机来说九牛一毛,所以到这里直接就写程序了。代码如下:

    #include <stdio.h>#include <string.h>char a[128], b[128], ta[128], tb[128];int main() { int i, j; scanf("%s%s", a,b); if(*a == '-') {  ta[103] = 9;  for(i = 0, j = strlen(a) - 1; j >= 1; i++, j--)   ta[i] = 9 - (a[j] - '0');  while(i <= 102) { ta[i] = 9; i++; }  ta[0] += 1; } else {  ta[103] = 0;  for(i = 0, j = strlen(a) - 1; j >= 0; i++, j--)   ta[i] = a[j] - '0'; } if(*b == '-') {  tb[103] = 0;  for(i = 0, j = strlen(b) - 1; j >= 1; i++, j--)   tb[i] = b[j] - '0'; } else {  tb[103] = 9;  for(i = 0, j = strlen(b) - 1; j >= 0; i++, j--)   tb[i] = 9 - (b[j] - '0');  while(i <= 102) { tb[i] = 9; i++; }  tb[0] += 1; } for(i = 0; i <= 103; i++) {  tb[i] += ta[i];  tb[i + 1] += tb[i] / 10;  tb[i] %= 10; } // print if(tb[103] == 0) {  for(i = 102; tb[i] == 0; i--);  while(i >= 0) { putchar(tb[i] + '0'); i--; }  putchar('/n'); } else {  for(i = 0; i <= 102; i++)   tb[i] = 9 - tb[i];  tb[0] += 1;  for(i = 0; tb[i] >= 10; i++) {   tb[i+1] += tb[i] / 10;   tb[i] %= 10;  }  putchar('-');  for(i = 102; tb[i] == 0; i--);  while(i >= 0) { putchar(tb[i] + '0'); i--; }  putchar('/n'); } return 0;} 

    这段代码只是为了AC

    现在小结一下。二进制补码定义形式非常漂亮,因为它具有对称性。在二进制里面,很多的东西都是“恰好如此”。恰好二进制只有01两个数,恰好只有正负两种状态,恰好2n+2n=2n+1……。在补码的对应规则下,n个数位能表示的数的个数还是那么多,只不过把其中的一半的正数的形式让给了负数。在这个意义下再看十进制的补码,如果是n位十进制数,它能表示10n个十进制数字串,如果使用补码,它必须分一半出来用于表示负数,所以它只能表示0.5 * 10n = 5 * 10n-1个正数。另外的一半就是负的了。我们常说的在补码表示中“符号位参与运算”这个优点,其实并没有什么,只不过权值最高的数位恰好同时能够表示一个数的正负而已,它本来就是应该而且必须参与到运算中去的。

    模仿二进制补码的形式定义十进制的补码如下:对于定点整数n+1位的十进制定点整数X=XnXn-1…X0,其补码为:

    [X]X, 如果0 <= X <=5 * 10n-1

    [X]10n+1 + X = 10n+1 - | X |,如果 -5 * 10n <= X<= -1

    当最高位Xn01234时,表示正,为56789时,表示负。例如三位十进制数补码能表示-5004991000个数。例如下列计算:

    -327+164: -327的补码是673-327à673, +164à164,-327+164à673+164=837, 837是负数,并且它是补码形式,它的绝对值的真值是163.所以-327+164=-163

    当运算结果的绝对值大于500时,会发生溢出。可以使用类似计算机组成原理中的双符号位检测是上溢还是下溢,但通常没有必要,不如把多出来的符号位用来参加计算,使得能够表示的数的范围扩大十倍,以前的溢出自然就没有了。

    下面是读到KnuthTAOCP第二卷的这一节时了解到的其它十分有趣的知识。自己只是走马观花看了一下,把记下来的记在这里:一,b进制和bk进制的互相转换非常简单,看2进制和8进制、16进制的互相转换就明白了。二,-10进制和-2进制是被发现非常有意思的。-2进制似乎也得到了应用。其它比如sqrt(2)i进制等等,非常神奇。这些进制的定义和其它进制一样,只不过每个数位上的权不一样了。例如,要把126这个十进制数转变成-10进制,还是那样除基取余的方法即可,126 / (-10) = -12……6,-12 / (-10) = 2……8,所以十进制的126-10进制下的表示是286.可以验算一下,2 * (-10)2 + 8 *(-10)1 + 6 = 126.不过-10进制数的运算规则自己还没学会。

    关于原码转变成补码的方法,在网上都能找到证明。

     

               

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  • 这些函数像内置的 MATLAB 函数 BIN2DEC 和 DEC2BIN 一样在二进制字符串和十进制数之间进行转换,但可以容纳负整数(通过二进制补码)和分数正负数(通过二进制补码固定点和字符串中的二进制小数点)。 请注意,许多...
  • 使用二进制补码表示二进制负数方法合理性的证明 目录 使用二进制补码表示二进制负数方法合理性的证明 二进制补码的定义 补码与反码的关系 定理 1 计算机中二进制负数 定理2 注释 二进制补码的定义...

    使用二进制补码表示二进制负数方法合理性的证明


    目录


    二进制补码的定义

    对k位的二进制数M的十进制值,我们可以表示为1


    M=ak12k1+ak22k2+...+a121+a020M=ak−12k−1+ak−22k−2+...+a121+a020

    其中
    ai=01ai=0或1

    或采取更为紧凑的形式
    M=i=0k1ai2iM=∑i=0k−1ai2i

    则我们把补码定义为
    M=2kMM补=2k−M

    而原来的M称为原码

    补码与反码的关系

    定义二进制数M的反码

    M=i=0k1Ai2iM反=∑i=0k−1Ai2i

    其中2

    Ai={0,1,ai=1ai=0Ai={0,ai=11,ai=0

    事实上,反码即为原码所有位数上 0 变成 1 ,1 变成 0 。
    这里有一个显然的性质:原码加反码得数所有k个数位上全是1;若此时往原码加反码的得数上加 1 ,则刚好进到2k2k上。于是我们得到公式
    M+M+1=2kM+M反+1=2k

    自然得到一下定理:

    定理 1

    补码等于反码加一
    证:因为

    M+M=2kM+M补=2k

    M+M+1=2kM+M反+1=2k

    显然
    M=M+1M补=M反+1

    计算机中二进制负数

    现在讨论计算机中二进制负数的储存。我们给出以下定理

    定理2

    在k位储存系统中,可以用负数绝对值的补码代替负数,使其在满足k位储存系统中的加法规律。
    证:利用定理一
    设我们需要储存正数M的负值:- M

    M+M+1=2kM+M反+1=2k

    然而第 2k2k 位(即第 k+1 位)不能被储存,剩下
    M+M+1=0M+M反+1=0

    所以
    M=M+1−M=M反+1

    因此M+1M反+1即为M的加法逆(负数)

    于是计算机中在小于 2k2k 位的内存内(所谓的不“溢出”)我们可以用负数绝对值的补码代替负数。

    注释


    1. 为了方便表述和理解,我们在整篇文章中都将采用值相同十进制数来表示二进制数,如M写成二进制即为:
      ak1ak2...a1a0ak−1ak−2...a1a0

      k=44a3=0a2=1a1=1a0=1k=4(4位),a3=0,a2=1,a1=1,a0=1

      二进制数即为0111
    2. 比如0111的反码为1000
    展开全文
  • 转载:http://blog.xdnice.com/blog40543i59178.htmlmatlab提供了一个系统函数dec2bin,可以用来进行十进制数的二进制转换,不过功能有限!在matlab中键入 help dec2bin,如下:DEC2BIN Convert decimal integer to a ...

    转载:http://blog.xdnice.com/blog40543i59178.html

    matlab提供了一个系统函数dec2bin,可以用来进行十进制数的二进制转换,不过功能有限!

    在matlab中键入 help dec2bin,如下:

    DEC2BIN Convert decimal integer to a binary string.

    DEC2BIN(D) returns the binary representation of D as a string.

    D must be a non-negative integer smaller than 2^52.

    DEC2BIN(D,N) produces a binary representation with at least

    N bits.

    Example

    dec2bin(23) returns '10111'

    可见,这个函数只能转换整数,对非整数就无能为力了.因此,自己编写了matlab小程序,顺便也贴出来,希望对需要的人能有所帮助!^_^

    1.小数转换为二进制数

    输入参数有2个,一个是输入的小数(小于1),一个是指定转换后的二进制位数!程序源码如下:

    y=dectobin(innum,N)

    %十进制小数转换为二进制数

    %输入参数为innum和N

    %innum为输入的十进制小数

    %N为指定转换后二进制的位数

    if (innum>1)|(N == 0)%判断输入的有效性

    disp('error!');

    return;

    end

    count=0;

    tempnum=innum;

    record=zeros(1,N);

    while(N)

    count=count+1;%长度小于N

    if(count>N)

    N=0;

    %         return;

    end

    tempnum=tempnum*2;%小数转换为二进制,乘2取整

    if tempnum>1

    record(count)=1;

    tempnum=tempnum-1;

    elseif(tempnum==1)

    record(count)=1;

    N=0;%stop loop

    else

    record(count)=0;

    end

    end

    y=record;

    2.如果要转换整数,则直接调用matlab的dec2bin即可!

    3.对于大于1的非整数,可以利用将其分为整数部分和小数部分的方法来处理:

    利用matlab的floor函数可以对输入的数(设为innum)向下取整,然后利用innum-floor(innum)就可以得到小数部分,调用上面的函数就可以得到其二进制表达式!

    注意,这里有一个小问题,就是dec2bin函数的返回值是一个char array,所以,我们应该先将其转换为double array!可以利用double()进行强制类型转换,得到ASCII码值,减去48就可以得到double array类型的0,1序列!

    程序代码如下:

    [num,numint,numf]=dectobin1(innum,N)

    %十进制数转换为二进制数

    %输入为十进制数innum,以及小数部分的位数N

    %输出为三个参数num,numint,numf

    %num为输出的二进制形式

    %numint为整数部分的二进制表达式

    %numf为小数部分的二进制表达式

    sep=5;%整数和小数部分的分隔符

    if(mod(innum,1)==0)%判断输入是否为整数,mod为取余函数

    numint=dec2bin(innum);

    numint=double(numint)-48;

    numf=zeros(1,N);

    num=[numint,sep,numf];

    return

    end;

    %输入为非整数的情况

    nint=floor(innum);%整数部分

    nf=innum-nint;%小数部分

    res_nint=dec2bin(nint);

    res_nint=double(res_nint)-48;

    res_nf=dectobin(nf,N);

    numint=res_nint;

    numf=res_nf;

    num=[numint,sep,numf];

    其中的dectobin函数就是最上面的小数转二进制函数!

    4.似乎已经大功告成了,是吗?NO,还有一个问题,那就是负数的情况,在这里,我们采用补码的方式,如果输入为正,则二进制表达式不变,如果为负,则按位取反并加1.因此,需要对上面的函数加上一个负数判断以及补码转换的功能.最终的表示结果可以采用1QN的格式.补码转换部分程序如下:

    [numo,numinto,numfo]=conv(numint,numf,flag)

    %二进制数的补码表示

    %输入参数为numint整数部分的二进制表达式,numf小数部分二进制表达式,flag负数标志

    %输出参数为numo输入的补码,numinto整数部分的补码,numfo小数部分的补码

    if (flag==0)

    numo=[0,numint,5,numf];%正数

    numinto=numint;

    numfo=numf;

    else%负数,整数和小数部分均进行按位取反并加一

    l1=length(numint);

    l2=length(numf);

    num=[numint,numf];

    l=l1+l2;

    for i=1:l

    if num(i)==1%按位取反

    num(i)=0;

    else

    num(i)=1;

    end

    end

    %取反后加一

    temp_l=l;

    while(temp_l~=0)

    if num(temp_l)==0%最低位为0

    num(temp_l)=1;

    temp_l=0;%结束循环

    else

    num(temp_l)=0;

    temp_l=temp_l-1;

    end

    end

    %    l1=length(numint);

    %    for i=1:l1

    %

    %        if numint(i)==1%按位取反

    %            numint(i)=0;

    %        else

    %            numint(i)=1;

    %        end

    %

    %    end

    %

    %    l2=length(numf);

    %    for i=1:l2

    %

    %        if numf(i)==1%按位取反

    %            numf(i)=0;

    %        else

    %            numf(i)=1;

    %        end

    %

    %    end

    %

    % %取反后加一

    %   temp_l1=l1;

    %   while(temp_l1~=0)

    %     if numint(temp_l1)==0%最低位为0

    %         numint(temp_l1)=1;

    %         temp_l1=0;%结束循环

    %     else

    %         numint(temp_l1)=0;

    %         temp_l1=temp_l1-1;

    %     end

    %   end

    %

    %   %取反后加一

    %   temp_l2=l2;

    %   while(temp_l2~=0)

    %     if numf(temp_l2)==0%最低位为0

    %         numf(temp_l2)=1;

    %         temp_l2=0;%结束循环

    %     else

    %         numf(temp_l2)=0;

    %         temp_l2=temp_l2-1;

    %     end

    numinto=num(1:l1);

    numfo=num(l1+1:l);

    %   numinto=numint;

    %   numfo=numf;

    numo=[1,numinto,5,numfo];

    end

    5.最后,用一个main函数连接以上的子函数

    [numo,numinto,numfo]=decimal2bin(innum,N)

    [num1,numint1,numf1,flag1]=dectobin1(innum,N);

    [numo,numinto,numfo]=conv(numint1,numf1,flag1)

    展开全文
  • 今天一场技术笔试一道编程题难住了我,算出一个十进制数的二进制补码和对应的16进制,由于时间紧张,加上紧张,做的极差,因此mark以下

    十进制转二进制补码

    首先要明确的是:十进制直接转成二进制是转化为二进制原码,正数的原码和补码相同,但负数的原码按位取反末位加一才是补码。
    因此流程图大概如下:
    在这里插入图片描述

    整个代码我贴在最后

    主要逻辑代码:

    public static String convert(int num) {
    		StringBuilder resultString = new StringBuilder();
    		// 初始化补码数组,共12位
    		String[] complementStrings = new String[] { "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" };
    		boolean ifNegative = false;
    		if (num < 0) {
    			complementStrings[0] = "1";
    			num = -num;
    			ifNegative = true;
    		}
    		// 加入到补码的数组中,开头从12-strings.length开始
    		String[] strings = Integer.toString(num, 2).split("");
    		// 对应在strings数组中的下标
    		int j = 0;
    		for (int i = 12 - strings.length; i < 12; i++) {
    			complementStrings[i] = strings[j];
    			j++;
    		}
    		// 如果为负数,先全部取反,否则直接拼接
    		if (ifNegative) {
    			for (int i = 1; i < complementStrings.length; i++) {
    				if (complementStrings[i].equals("1")) {
    					complementStrings[i] = "0";
    				} else {
    					complementStrings[i] = "1";
    				}
    			}
    			// 送进函数加一
    			resultString.append(binaryPlusOne(complementStrings, 11, 1));
    		} else {
    			resultString.append(strings.toString());
    		}
    		return resultString.toString();
    	}
    
    

    重要代码1:末位加一

    为递归算法,递归逻辑为每次将一位执行与进位的加法并拼接,走完整个数组,返回。

    	/**
    	 * 
    	 * @param strings 二进制数数组
    	 * @param temp 对哪一位执行加法
    	 * @param carry 进位值
    	 */
    	private static String binaryPlusOne(String[] strings, int temp, int carry) {
    		if (temp < 0) {
    			StringBuilder tempBuilder = new StringBuilder();
    			for (int i = 0; i < strings.length; i++) {
    				tempBuilder.append(strings[i]);
    			}
    			return tempBuilder.toString();
    		} else {
    			// 计算加上进位后的值
    			int tempInt = Integer.parseInt(strings[temp]) + carry;
    			// 更新对应位置上的值
    			strings[temp] = String.valueOf(tempInt % 2);
    			// 更新进位
    			carry = (tempInt) / 2;
    			// 更新坐标
    			temp--;
    		}
    		return binaryPlusOne(strings, temp, carry);
    	}
    

    二进制转16进制

    同样也是递归的思想,每次将二进制字符串最后四位进行转化,并拼接,知道拼完为止。

    重要代码

    	/**
    	 * 将二进制转为16进制
    	 * 
    	 * @param binaryString
    	 * @param length
    	 * @return
    	 */
    	private static String binaryTo16(String binaryString, int length) {
    		if (length < 4) {
    			return binaryString;
    		}
    		return binaryTo16(binaryString.substring(0, length - 4), length - 4)
    				+ binaryTo16Map.get(binaryString.substring(length - 4, length));
    	}
    

    总体代码,粘了就能用

    输入为一个十进制数(其二进制位数在12位以内)
    输出为 12位二进制补码和二进制补码对应的16进制码的拼接(以分号隔开)

    示例:

    输入:-7
    输出:111111111001;FF9
    
    import java.util.HashMap;
    
    public class BinaryCodeTransfer {
    	public final static int totalNumber = 12;
    	public final static HashMap<String, String> binaryTo16Map = new HashMap<String, String>() {
    		{
    			put("0000", "0");
    			put("0001", "1");
    			put("0010", "2");
    			put("0011", "3");
    			put("0100", "4");
    			put("0101", "5");
    			put("0110", "6");
    			put("0111", "7");
    			put("1000", "8");
    			put("1001", "9");
    			put("1010", "A");
    			put("1011", "B");
    			put("1100", "C");
    			put("1101", "D");
    			put("1110", "E");
    			put("1111", "F");
    		}
    	};
    
    	public static void main(String[] args) {
    		System.out.println(convert(-7));
    	}
    
    	public static String convertToBase72(int num) {
    
    		return Integer.toString(num, 2);
    	}
    
    	public static String convert(int num) {
    		StringBuilder resultString = new StringBuilder();
    		// 初始化补码数组,共12位
    		String[] complementStrings = new String[] { "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" };
    		boolean ifNegative = false;
    		if (num < 0) {
    			complementStrings[0] = "1";
    			num = -num;
    			ifNegative = true;
    		}
    		// 加入到补码的数组中,开头从12-strings.length开始
    		String[] strings = Integer.toString(num, 2).split("");
    		// 对应在strings数组中的下标
    		int j = 0;
    		for (int i = 12 - strings.length; i < 12; i++) {
    			complementStrings[i] = strings[j];
    			j++;
    		}
    		// 如果为负数,先全部取反,否则直接拼接
    		if (ifNegative) {
    			for (int i = 1; i < complementStrings.length; i++) {
    				if (complementStrings[i].equals("1")) {
    					complementStrings[i] = "0";
    				} else {
    					complementStrings[i] = "1";
    				}
    			}
    			// 送进函数加一
    			resultString.append(binaryPlusOne(complementStrings, 11, 1));
    		} else {
    			resultString.append(strings.toString());
    		}
    
    		// 如果大于零直接求出十六进制,否则,放入16进制处理函数中
    		resultString.append(";").append(binaryTo16(resultString.toString(), 12));
    		return resultString.toString();
    	}
    
    	/**
    	 * 
    	 * @param strings
    	 * @param temp
    	 * @param carry
    	 */
    	private static String binaryPlusOne(String[] strings, int temp, int carry) {
    		if (temp < 0) {
    			StringBuilder tempBuilder = new StringBuilder();
    			for (int i = 0; i < strings.length; i++) {
    				tempBuilder.append(strings[i]);
    			}
    			return tempBuilder.toString();
    		} else {
    			// 计算加上进位后的值
    			int tempInt = Integer.parseInt(strings[temp]) + carry;
    			// 更新对应位置上的值
    			strings[temp] = String.valueOf(tempInt % 2);
    			// 更新进位
    			carry = (tempInt) / 2;
    			// 更新坐标
    			temp--;
    		}
    		return binaryPlusOne(strings, temp, carry);
    	}
    
    	/**
    	 * 将二进制转为16进制
    	 * 
    	 * @param binaryString
    	 * @param length
    	 * @return
    	 */
    	private static String binaryTo16(String binaryString, int length) {
    		if (length < 4) {
    			return binaryString;
    		}
    		return binaryTo16(binaryString.substring(0, length - 4), length - 4)
    				+ binaryTo16Map.get(binaryString.substring(length - 4, length));
    	}
    }
    
    
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空空如也

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二进制补码表示的十进制