二进制是如何将加减乘除变换为加法实现的？加法是如何由逻辑运算与、或、异或来实现的？
 
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匿名用户
 
5分钟教会你古中国人古埃及人和计算机如何用二进制做乘除法 。 有空整理
 
找的“
 
1.乘法
 
由于计算机中，所有数值都是用2的N次方来表示的:2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4.....
 
因此x*y,(x)*(2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4)=(x*2^n0)+(x*2^n1)+(x*2^n2)+(x*2^n3)+(x*2^n4)+......即(x左移n0)+(x左移n1)+(x左移n2)+(x左移n3)+(x左移n4)+......
 
用15(x)*13(y)来举例，15*13 为1111*1101
 
a.首先y的最低位为1(2^0)，x左移0位得到1111
 
b.然后y的最低第二位为0，没有2^1存在，因此本次无运算(结果可以看作为0)
 
c.然后y的最低第三位为1(2^2)，x左移2位得到111100
 
d.然后y的最低第四位为1(2^3)，x左移3位得到1111000
 
e.把a、b、c、d的结果相加1111+0+111100+1111000=11000011(195),该结果就是乘法的结果
 
特别的，x*y中，如果y是2的N次方，因此相当于x右移N位。
 
2.除法(加减交替法)
 
x/y其实就是，x不断减y的过程。小学时候学的长长除法就是这个原理。
 
用二进制的除法x/y，比十进制容易写，商不是0即是1，而且如果除数大于除数的1倍，商就是标记在另一个位上面了
 
二进制除法x/y=0.1001/0.1011手工计算如下
 
0.11
 
_______
 
0.1001/0.1001
 
10010(后面补0)
 
-1011
 
------
 
111(余数)
 
1110(后面补0)
 
-1011
 
--------
 
1(余数)
 
设ri表示第i次运算后所得的余数,则：
 
若ri>0，则商1，余数和商左移1位，再减去除数，即ri+1=2ri-y
 
若ri<0，则商0，余数和商左移1位，再加上除数，即ri+1=2ri+y
 
用85/6来举例,85/6=1010101/110
 
a.101(0101)左移1位到第3位都小于110，因此商=000
 
b.1010(101)左移四位是1010,比110大，商=0001,余数=1010-110=100(101)
 
c.余数100(101)左移一位是1001,比110大，商=00011,余数=1001-110=11(01)
 
d.余数11(01)左移一位是110,等于110，商=000111,余数=0(1)
 
e.余数0(1)左移一位是01,小于110,商=0001110,余数=01
 
因此85/6=1010101/110=0001110，即14，余数为最后的余数1
 
”
 
编辑于 2015-11-09
 
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知乎用户
 
加法是由基本门电路实现的
 
这个是全加器
 
其实基本都是数学知识
 
努力填坑中
 
半加器(英语：half adder)电路是指对两个输入数据位相加，输出一个结果位和进位，没有进位输入的加法器电路。 是实现两个一位二进制数的加法运算电路。
 
我们只需要一个异或门、一个与门即可实现。
 
全加器英语名称为full-adder，是用门电路实现两个二进制数相加并求出和的组合线路，称为一位全加器。一位全加器可以处理低位进位，并输出本位加法进位。多个一位全加器进行级联可以得到多位全加器。
 
我看的是《计算概论A》，感觉这个课程不错，我贴个课程链接https://www.coursera.org/course/pkuic
 
在计算机基础知识部分，我们将为大家解答一些与计算机程序设计相关的基础问题，例如，“计算机为什么能够进行计算？”，“计算机程序在计算机中是如何运行的？”，“计算机的发展规律是什么？”，“下一代的计算机将会是什么样子？”等等。我们希望通过对这些问题的解答，达到两个目的：A 培养起大家对计算机科学的兴趣；B 帮助大家建立起学习计算机科学所需要的“背景知识框架”。
 
本课程的内容针对“信息科学技术”专业的一年级本科生而设，我们不要求也不假设选课学生有任何信息科学技术相关专业的知识背景，也不要求有任何的程序设计知识背景。
 
编辑于 2015-11-09
 
早乙女瑞穂
 
学化学的医科毕业的程序猿
 
/***大家快闪开，我要装B了***/
 
乘除法已经更新了算法，浮点数计算下次再写……
 
楼上
 
@李震
 
的加法器其实已经回答了大半的问题了。
 
对于一般的计算机来说，有两种运算，一种叫做“整数运算”，另一种叫做“浮点小数运算”(某些特殊用途的单片机还有“固定小数点小数运算”)
 
【整数运算】
 
整数运算的基础就是加法和位移。这两种运算的组合囊括了五种基本的计算(加，减，乘，除，求余)
 
ps：除了加减法和位移操作之外，其他算法基本都是通过汇编来实现的。能用电路直接实现的计算只有(与或非和它们的衍生，例如加法，异或)
 
在介绍运算方法之前，首先需要了解以下的概念从而了解计算机记录整数的方法。
 
比特(bit):包含电流通/断信息的一个单位。又被称为“位”。一个“位”能表示二进制数的一个位。
 
字节(byte):由8个比特组成的单位，一个字节共能表示2^8=256个数。
 
补数：2个数A，B相加等于C，那么就说A是B的C补数。例如2是8的10补数。
 
为了方便描述计算机处理的二进制数据，人们也会用8进制和16进制来书写2进制数。记住0-15所对应的2进数和16进数的写法对计算机等级考试很有帮助。
 
例如，对于一个8位整数：
 
10进制：10
 
2进制：0000 1010
 
8进制：0012(3位的2进制数和1位的8进数等价)
 
16进制：0A(4位2进数和1位16进数等价)
 
一个8位(无符号)整数能表示的范围是“0～255”，共256个数。
 
加法：
 
加法运算就是将两个数通过加法器进行相加和进位。加法器的原理这里就不赘述了。
 
例如，对于2个8位整数“10”和“15”
 
0000 1010 +0000 1111 =0001 1001
 
0001对应16进数“1”，1001对应16进数“9”，于是直接答案可以写作16进数的“19”，也就是16+9=25。
 
再例如，对于2个8位(无符号)整数“3”和“254”，有
 
0000 0011+1111 1110这样得到的结果理应是“10000 0001”。但是，因为限定了“8位整数”这个条件，所以结果第九位的1就被计算机吞掉了。于是算出的最终结果是0000 0001。也就是“1”。
 
减法：为了减少计算机设计的复杂程度，工程师们人为规定了一个2进数的2补数为负数。同时规定一个整数的最上位的比特表示正负号(正数最上位为0，负数为1)。
 
因为最上位挪去表示正负号了，所以8位有符号整数的表示范围是“-128～127”，共256个数(因为0只有一个而且算正数，所以负数比正数多一个)
 
2补数的计算方法：
 
一个2进整数的所有比特全部翻转然后加上“1”。
 
例如：10进数“1”对应的8位有符号整数就是0000 0001而“-1”就是全部翻转后的1111 1110再加“1”得到1111 1111。这两个数相加得到“1 0000 0000”。因为是8位数，第九位被吃掉，于是得到“0”。
 
再举例：计算10进数“15-10”
 
首先，10的2进是0000 1010，-10就是
 
翻转后的1111 0101加1，1111 0110。
 
于是计算：
 
0000 1111(15)+1111 0110(-10)
 
得到“10000 0101”，去掉第9位得到“0000 0101”也就是“5”。
 
(文章最后我提供了一个方便的转换补数的工具“比特转换器”)
 
再举例：计算“15-16”
 
0000 1111 +1111 0000 = 1111 1111
 
“1111 1111”因为最上位是1，是负数，于是翻转后加1得到“0000 0001”，为“-1”。
 
乘除法：乘除法不仅需要加法和位移(关于实现位移的电路，请百度：桶式位移器)，还需要寄存器记录下计算过程中的结果。一般情况下不会以纯电路来实现，而是结合电路和汇编代码来实现。当然，对于流行的单片机，例如51系列，atmega(arduino的cpu)系列，它们都有一系列的指令集来简化代码的复杂程度。可以说就是把这些个汇编算法写成语法糖方便嵌入式程序猿使用。
 
乘法：
 
对于10进数来说，将有效数字向左右位移能造成扩大/缩小10倍的效果。
 
10右移一位得到1，缩小10倍；左移一位得到100，扩大10倍。
 
同理，对于2进数来说，左右移能够扩大/缩小2倍。
 
0000 1010(10)右移一位得到0000 0101(5)；左移一位得到0001 0100(16进数“14”，16+4=20)。
 
单靠位移只能变化偶数倍，结合加法便能变化奇数倍。
 
计算“10*5”(包含汇编算法，写的不好，还请大家包涵)
 
首先，寄存器中寄存初始的乘数10和5。
 
我们记做寄存器A和寄存器B。然后比较2个值的大小，发现A的值不小于B。
 
这时将寄存器A的值复制到寄存器C中，于是寄存器A和C的值都是0000 1010 。
 
因为寄存器B的值为0000 0101，大于0000 0010(2)。于是便将寄存器C的值向
 
左移一位后得到0001 0100(20)，同时寄存器B减去0000 0010(2)得到0000 0011(3)，依旧大于0000 0010(2)。
 
于是继续左移寄存器C的值一位，得到0010 1000(2*16+8=40)，同时寄存器B继续减0000 0010(2)得到0000 0001(1)，小于2大于0。
 
这时将寄存器C的值加上寄存器A的值得到0011 0010(3*16+2=50)，同时寄存器B减去1得到0，算法结束，输出寄存器C的值0011 0010(50)作为结果。
 
除法和求余：
 
除法和求余比较复杂，而且是成对出现的。
 
例如“10/3”(这个汇编算法有待优化)
 
将被除数赋值给寄存器A，除数赋值给寄存器B、C，同时将寄存器D清零。
 
此时寄存器状态为
 
A：0000 1010(10)
 
B：0000 0011(3)
 
C：0000 0011(3)
 
D：0000 0000(0)
 
此时C的值不大于A，D的值增加1为0000 0001，将C加上B得到0000 0110(6)，不大于A，将此值赋与C，
 
此时寄存器状态为
 
A：0000 1010(10)
 
B：0000 0011(3)
 
C：0000 0110(6)
 
D：0000 0001(1)
 
此时C不大于A，D的值增加1，为0000 0010(2)。继续将B和C相加得到0000 1001(9)，不大于A，将值赋给C。
 
此时寄存器状态为
 
A：0000 1010(10)
 
B：0000 0011(3)
 
C：0000 1001(9)
 
D：0000 0010(2)
 
此时C不大于A，D的值增加1，为0000 0011(3)。继续将B和C相加得到0000 1100(12)，大于A，舍弃。输出D的值“3”作为商输出。同时将A(10)的值减去C(9)的值得到0000 0001(1)作为余数输出。
 
PS：顺便夹带点私货：比特转换器
 
专门为理解计算机的整数运算而设计的安卓app
 
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mycompany.posiconv&hl=cn
 
【小数的运算】
 
小数运算利用的是浮点小数运算单元进行计算的，和整数运算法则完全不同。
 
(今天太累了，以后再写……)

 
文章目录
 
定义
一、二进制数转换成十进制数
二、十进制数转换为二进制数
1. 十进制整数转换为二进制整数
2．十进制小数转换为二进制小数
 

 
 
定义
 
进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法。
 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。
 
 
一、二进制数转换成十进制数
 
由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。
 
例如把二进制数 110.11 转换成十进制数。
 
 
二、十进制数转换为二进制数
 
十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。
 
1. 十进制整数转换为二进制整数
 
十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
 
例如把 (173)10 转换为二进制数。
 
解：
 
 
2．十进制小数转换为二进制小数
 
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
 
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
 
例如把（0.8125）转换为二进制小数。
 
解：
 
 
例：
 
（173.8125）10＝（ ）2
 
解：
 
在上个例子中得（173）10＝（10101101）2
 得（0.8125）10＝（0.1101）2
 把整数部分和小数部分合并得：
 
（173.8125）10＝（10101101.1101）2
 
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又 得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的整数部分为零，或者整数部分为1，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。
 
然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
 
十进制小数转二进制
 
如：0.625=（0.101）B
 
0.625*2=1.25======取出整数部分1 
0.25*2=0.5========取出整数部分0 
0.5*2=1==========取出整数部分1 
 
再如：0.7=（0.1 0110 0110…）B
 
0.7*2=1.4========取出整数部分1 
0.4*2=0.8========取出整数部分0 
0.8*2=1.6========取出整数部分1 
0.6*2=1.2========取出整数部分1 
0.2*2=0.4========取出整数部分0　 
0.4*2=0.8========取出整数部分0 
0.8*2=1.6========取出整数部分1 
0.6*2=1.2========取出整数部分1 
0.2*2=0.4========取出整数部分0

转：十进制小数转化为二进制小数
 
一、二进制数转换成十进制数
     由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。
    例1105 把二进制数110.11转换成十进制数。   
 
 
二、十进制数转换为二进制数
     十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。
    1. 十进制整数转换为二进制整数
     十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
    例1107 把 (173)10 转换为二进制数。
     解：   
 
 
    2．十进制小数转换为二进制小数
     十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。
     然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。
 
    【例1108】把（0.8125）转换为二进制小数。
    解： 
 
 
    例1109 （173.8125）10＝（ ）2
    解： 由［例1107］得（173）10＝（10101101）2
 由［例1108］得（0.8125）10＝（0.1101）2
 把整数部分和小数部分合并得： （173.8125）10＝（10101101.1101）2
 
 
 
参考：http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/29/elecTec/resource/knowledge/zsd11/z1103.htm 
 
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又 得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的整数部分为零，或者整数部分为1，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。
 　　然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。　
 　　十进制小数转二进制
 　　如：0.625=（0.101）B
 　　0.625*2=1.25======取出整数部分1
 　　0.25*2=0.5========取出整数部分0
 　　0.5*2=1==========取出整数部分1

 　　再如：0.7=（0.1 0110 0110...）B
 　　0.7*2=1.4========取出整数部分1
 　　0.4*2=0.8========取出整数部分0
 　　0.8*2=1.6========取出整数部分1
 　　0.6*2=1.2========取出整数部分1
 　　0.2*2=0.4========取出整数部分0　
 　　0.4*2=0.8========取出整数部分0
 　　0.8*2=1.6========取出整数部分1
 　　0.6*2=1.2========取出整数部分1
 　　0.2*2=0.4========取出整数部分0
 
参考：http://whudongyang.iteye.com/blog/1208120

 

 

  
 
 
二进制是在计算机中常用的一种进制数，其数据用0和1两个数码来表示数据。我们人类常用的是十进制，那么二进制和十进制之间是有一个转换方法的。
 
二进制转换十进制
 
一个二进制数转换为十进制数，是比较简单的，其方法就是用每一个位置上的数字乘以该位置的权重，然后相加得到。举个例子，二进制的1010转换为十进制的话，从其最后面一位0开始，一直往前，其权重依次为2º、2¹、2²、2³，所以这个数转换为十进制就是0×2º+1×2¹+0×2²+1×2³=9.如果出现小数怎么办？方法一样，小数部分的每一位也有其权重，小数点后第一位权重为2的负一次方，2的负二次方以此类推。例如：二进制的1.01转换为十进制就是1.25。
 
十进制转换为二进制
 
十进制转换为二进制是稍微有点复杂的过程，需要分为整数和小数两部分。整数部分用“除以二取余”的方法。具体说就是用短除法的形式让十进制的数除以二，将其每次的余数依次写下来，就是二进制的数，如十进制的26变为二进制的话，如图。
 

 

  
 
 
所以十进制的26变为二进制就是11010。对于小数部分，采用的是“乘以二取整”的方法。具体来说就是把小数部分拿出来，乘以2，得到的数把整数部分留下，小数部分继续乘2，得到的数继续进行这样的运算，直到小数部分为0或者取到足够的位数.然后将每次计算的整数部分依次写下来就是二进制下的该数字。计算如图。
 

 

  
 
 
当然，也会出现循环的情况，比如十进制下的0.2转换二进制时就会出现0011循环的情况，这个时候就是十进制的0.2转换为二进制的话就是（0.001100110011......）.
 
所以在十进制下的26.625就是二进制下的11010.101。
 
二进制八进制，十六进制
 
其实除了二进制，十进制之外，我们还会见到八进制，十六进制，它们与二进制的关系非常密切。我们能够看到8是2的三次方，16是2的四次方，所以一个八进制为相当于3个二进制位；一个16进制位相当于4个二进制位。
 
举个例子，当我们将八进制下的26转换为二进制时，我们可以把2和6两个数字拆开来看，6相当于二进制的110, 2相当于二进制下的010，所以八进制下的26相当于二进制下的010110，最高位0可以省去，就是10110.这样我们就把八进制的一个数转换为二进制。
 
二进制转换为八进制也简单，就是三个二进制位是一个八进制为。举个例子，二进制下的11001转换时，可以这样看011 001，这样就可以分别计算011相当于0×2²+1×2¹+1×2º=3,001相当于1,。所以转换为八进制就是31。这里需要注意的一点是计算加法时要做到满8进1，因为八进制下不可能出现比8大的数字。
 
十六进制的转换类似，不过是一个十六进制位相当于4个二进制位。十六进制中就有了ABCDEF表示10 11 12 13 14 15。
 
这就是关于二进制的各种转换问题，当然，这里讨论的都是正数，负数问题需要跟进一步讨论。因为对于负数在二进制里有相应的表示方法，这里就不过多赘述了。