虽然很早就接触了二进制，却一直没有正视这个问题，阅读《计算机科学导论》的时候，基本上是跳过了这一部分，总是以“这么基础的东西，反正工作中基本用不上”的理由给搪塞过去。最近正在阅读《编码》和《程序员的数学思维修炼》，心想终究还是得面对的，于是记录了一点笔记，希望不再回避letcode上关于二进制计算的题目。
10对于我们来讲是一个很平常但又十分神奇的数字。根据《编码》上面的解释，人类的双手非常适合数数，因而我们早已经适应了以10为基础的数字系统。也正是这个习惯，让我在刚接触二进制的时候，感到无比困惑，明明十分简单的概念，却始终不得要领。
十进制中以0-9这十个数码进行组合来表示数字，且赋予10的整数次幂重大的意义：十，百，千，万，亿...
那么，什么是二进制呢？
1. 概念
二进制就是使用0和1这两个数码进行组合来表示数字的一种计数方法。
计算机使用二进制的主要优点有：
技术实现简单，计算机的逻辑电路只需要表示两个状态(电路的断开与连接)，使用1和0表示就够了；如果使用十进制，则只能依靠电压的高低进行区分，这无疑会大大增加技术实现的难度
运算规则简单，二进制的运算规则比十进制少了很多(不需要在文具盒上背诵加法表乘法表了)，规则少意味着能够简化计算机的内容结构
适合逻辑运算，计算机不仅需要进行算术运算，还需要进行逻辑元素，二进制只有两个数码，恰好与逻辑代数中的真和假完全吻合！
2. 算术运算
2.1. 四则预算
2.1.1. 加
逢二进一
跟十进制的加法一样，只是进位从10变成了2，这是第一个需要认清的问题
// 加法表
0 + 0 = 0;
1 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 1; // 进位1
比如计算111 + 101，从右往左利用基本规则进行计算
第一位(从右往左的顺序)1 + 1 = 0;，进位1,
第二位原本是1 + 0，由于进位变成了1 + 1 = 0，继续进位1,
第三位原本是1 + 1 = 0并进位1，由于进位继续计算0 + 1 = 1，未再次进位
最后结果1100
好吧，我放弃用语言描述这个过程了，老老实实拿笔在纸上算两次就好了，实际上跟十进制没有任何区别，只是需要背诵的加法表缩短为仅仅四条了(考虑到加法交换率，实际上只有3条)！
2.1.2. 减
借一当二
// 减法表
0 - 0 = 0;
1 - 1 = 0;
1 - 0 = 1;
0 - 1 = 1; // 借位为1
比如计算111 - 101，最后结果10
2.1.3. 乘
与十进制相比(九九八十一种)，二进制的乘法要简单得多(只有四种)，只有1 * 1 = 1，其余全为0
// 乘法表
0 * 0 = 0;
0 * 1 = 0;
1 * 0 = 0;
1 * 1 = 1;
运算过程也与十进制类似，用第二个乘数的每位依次乘以第一个乘数，最后运用加法规则将结果相加，就得到了两个二进制数的乘积，可以理解为：“0乘以任何数都等于0，而1乘以任意数都等于乘数本身”。
乘法实际上可以看作是加法与移位的操作，如111 * 101可转换为111 + 0000 + 11100 = 100011。
2.1.4. 除
// 除法表
0 / 0 = 0; // 无意义
1 / 0 = 0; // 无意义
0 / 1 = 0;
1 / 1 = 1;
除法可以使用试商法进行，先从被除数的最高位开始，将被除数(或中间余数)与除数相比较，若被除数(或中间余数)大于除数，则用被除数(或中间余数)减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
除法实际上可以看作减法和移位的操作。如：111/101 = 1 余 10。
2.2. 与十进制的转换
2.3. 二进制转十进制
虽然只有0和1两个数码，但是在位置化数字系统中，数码所处的位置不同(位置被称为权)，其代表的实际数据大小也不相同。如1101，在二进制中：
第一个1表示1的个数
第二个0表示2的个数
第三个1表示4的个数
第四个1表示8的个数
好吧，实际上这儿又被带进坑了。更准确的说法是2的0次幂，2的1次幂，2的2次幂，2的3次幂的个数，只是2的2次幂用十进制表示是4，2的3次方幂用十进制表示是8罢了。
可见，只需要计算1*1 + 2*0 + 4*1 + 8*1，就可以二进制转换成十进制的数字了，结果显而易见13。其他二进制转十进制同理。
实际上这种转换方式并不是二进制独有的，其他进制转10进制也可以采用同样的方法，只需要将基数2转换成对应进制的基数就行了。
2.4. 十进制转二进制
十进制转二进制看起来要麻烦一点，通常采用“除2取余，逆序排序的方法”。比如将数字23转换为二进制表示的过程可如下表示：
23/2 = 11...1
11/2 = 5...1
5/2 = 2...1
2/2 = 1...0
最后结果逆序排序表示为1,0,1,1,1，所以23的二进制表示为10111;
上述过程用代码展示应该要清晰一些
function ten2bin(n){
if (n == 0){
return 0;
}
var res = "";
while(n){
res = n%2 + res;
n = Math.floor(n/2);
}
return res;
}
3. 逻辑运算
计算机不仅执行算术运算，也可以执行逻辑运算。在逻辑代数中，只有真和假两种逻辑值，这跟二进制中的仅有的两个数码1和0完全吻合。下面整理了关于逻辑运算的一些东西
3.1. 基本逻辑运算
逻辑运算中，"与"、"或"、"非"是三种最基本的运算规则。
3.1.1. 与
使用&&表示与运算，参与运算的所有逻辑代数必须全部为真，整个结果才为真。
在电路中表示就是：所有串联的开关必须全部闭合，灯泡才会通电。
1&& 1 = 1
1&& 0 = 0
0&& 1 = 0
0&& 0 = 0
发现没，"与"规则表跟二进制算术运算中的乘法是一模一样的哦！
3.1.2. 或
使用||表示或运算，参与运算的所有逻辑代数只要有一个为真，整个结果就为真。
在电路中表示就是：所有并联的开关只要有一个闭合，灯泡就会通电。
1|| 0 = 1
1|| 1 = 1
0|| 1 = 1
0|| 0 = 0
同样地，"或"运算规则表跟二进制算术运算中的加法基本一样(逻辑运算中不存在进位的说法)。
3.1.3. 非
使用!表示非运算，整个逻辑表达式的结果与逻辑代数相反
在电路中表示就是：如果开关闭合，则灯泡被短路；开关断开，灯泡通电
!1 = 0
!0 = 1
3.2. 复杂逻辑运算
"与"、"或"、"非"是三种最基本的运算规则，其他复杂的逻辑运算都可以用基本运算组合而成。
与非，运算中所有的逻辑代数都为真，则结果为假，!(a && b && c)
或非，运算中只要有一个逻辑代数为真，则结果为假，!(a || b || c)
异或，运算中的两个逻辑代数，有一个为真且另一个为假时，则结果为真，(a&&!b) || (!a && b)
同或，运算中的两个逻辑代数，都为真或者都为假时，则结果为真，(a && b) || (!a && !b)
4. 位运算
大部分高级编程语言都提供了按位操作数字的功能。这一点似乎有些不合理，在日常生活中的计算都是按照某个数字具体代表的值来进行计算的。但是在计算机中，操作数字的某个特定位是很有意义的。下面我们来学习位运算。
4.1. 位逻辑运算符
位逻辑运算符与逻辑运算符有很大的区别：
位逻辑运算符只操作位(位上的数码只可能是0或者1)
逻辑运算符操作的是真或者假，这是由整个变量的值所决定的
4.1.1. 位反
按位取反也叫做二进制反码，使用~表示，指将操作数全部位中的1变成0，将每个0变成1
~1011)
=0100
按位取反有个小技巧：a取反加一，再取反加一，还等于a 。更通俗一点将，如果操作数为-1，则按位取反结果为0。
这一点很有用处，很多接口都使用-1来表示程序未返回预期结果，比如JavaScript中的indexOf()，此时可以使用~idx来判断，比起idx === -1要好不少(看起来)。
4.1.2. 位与
二进制运算符与&通过对两个操作数逐位进行比较，对于每个位置，只有对应的位都为1时，结果对应位置的值才为1，否则为0
1010
& 1100
= 1000
位于通常用来实现掩码。
4.1.3. 位或
二进制运算符或|通过对两个操作数逐位进行比较，对于每个位置，只要任意一个操作数对应位为1时，结果对应位置的值就为1，否则为0
1010
& 1100
= 1110
4.1.4. 位异或
二进制运算符异或^通过对两个操作数逐位进行比较，对于每个位置，只要任意一个操作数对应位为1时，另一个位置为0，结果对应位置的值就为1。
1010
^ 1100
= 0110
4.2. 移位运算符
移位运算符将位向左或向右移动。了解移位运算应当首先了解整数的存储形式，在C语言中，一个int类型的整数占4个字节，而通常一个字节包括8个位，即一个整数包含32位。移位运算就是移动整个操作数在32个位中的位置。
二进制中的移位运算类似于十进制中的移动小数点的操作，从而快速进行乘除法。
4.2.1. 左移运算符
左移运算符<
1010 << 2
= 101000
在不溢出的情况下，左移n位会将操作数扩大2^n倍。
4.2.2. 右移运算符
右移运算符将其左侧操作数的值的每位向右移动，并丢弃移出左侧操作数右端的数(肯定会移出的)
1010 >> 1
=  101
5. 八进制与十六进制
使用二进制存储数据带来的问题是：二进制数字的位数增长十分迅速，保存一个不是很大的数字就需要很长的位数。可见二进制并不适合在计算机外部保存数字，因此产生了八进制和十六进制
5.1. 八进制
八进制使用0~7这八个数码来表示数字，由于2^3 = 8，因此二进制和八进制的转换十分方便。
从二进制转八进制，只需要从右往将三个二进制分为一组(最左不足可用0填充)，然后计算为对应的八进制数码，最后将结果拼接在一起就可以了。比如101110：
将整个数字分为101和110
101计算结果为2^2 + 1 = 5,110计算结果为2^2 + 2^1 = 6
所以101110用八进制表示为56
同理，从八进制转二进制也十分简单，将八进制数字每位拆分成一个三个为二进制数(不足用0填充)，然后将结果拼接在一起，比如76用二进制表示为111110，过程这里就不详细写了。
5.2. 十六进制
十六进制使用0~9加A~F这十六个数码来表示数字。由于2^4 = 16，加之有了八进制与二进制的相互转换规律，十六进制与二进制的相互转换就轻而易举了，无非是将二进制数按4个一组进行划分，或者将一个十六进制数码转换成4位二进制数
F2二进制表示为11110010
101101十六进制表示为2D
6. 小结
关于二进制的运算先到这里了，另外还有浮点数等知识，先留个坑了。

在大学的学习中，一开始自认为已经学会了反码与补码，但在看到多种表述之后，反而是越来越乱，疑惑越来越多，即使记住了之后又会混淆，今天又看到了一次，为了防止以后再次忘记，写这篇博客记录一下（记录过程依据《数字电子技术（第十版）》，中英文结合）

首先从最一般的意义上，分别说一下二进制的反码和补码：
1、反码 (1’s complement)
把所有的0变为1，所有的1变为0。

如：

10110010   Binary number

01001101   1’s complement
2、补码 (2’s complement)
在反码的最低有效位上加1。

补码 = 反码 + 1

另一种求补码的方法：

从右边的最低有效位开始，往左边写下它们实际的位，直到遇到第一个1（包括1）
左边剩下的位求反码

如：

1011 1000  Binary number

0100 1000  2’s complement
这是在不区分正负数的情况下泛泛而谈的，其侧重点在于反码与补码如何操作，但实际上反码和补码的作用是用在带符号数上面的，下面进入重点。
3、带符号数 Signed Number
3.1 符号位 The Sign Bit
带符号的二进制的最左边的那一位就是符号位，指出这个数为正数还是负数，0表示正数，1表示负数。

下面介绍几种表示带符号数的形式。
3.2 符号数值的形式 Sign-Magnitude Form
最左边的一位是符号位，剩余的位都是数值位。其实也就是一般的带符号数的形式，数值位对于正数和负数来说都是二进制源码（in true (uncomplemented) binary）。如十进制数 +25 使用符号数值形式表示成8位带符号二进制数为：



十进制数 -25 表示为：



他们之间的唯一区别就是符号位不同。
3.3 反码形式 1’s Complement Form
正数的反码形式：与符号数值形式相同；

负数的反码形式：相应正数的反码。也就是为相应正数的符号数值形式的每一位取反。
应当注意的是并不是带符号数的反码都是每一位取反。

反码和补码其实是为了解决正数和负数的加减法运算的，所以正数其实不用做什么改变，而负数改变形式后可以巧妙解决一些运算问题。比如减去某个数和加上这个数的补码是一样的，这就是为什么计算机在所有的算术运算中都使用补码来表示负整数。

理解了反码是带符号数的一种表示形式及其目的，大概就能理解为什么正数的反码是其本身，下面要说到的补码也是一样的道理。
举例：在反码表示形式中，

十进制数 25 表示为：

00011001

十进制数 -25 表示为：

11100110
3.4 补码形式 2’s Complement Form
正数的补码形式：与符号数值形式相同；

负数的补码形式：负数的反码加1。
举例：在补码表示形式中，

十进制数 25 表示为：

00011001

十进制数 -25 表示为：

11100111
3.5 总结
对于带符号数，

正数的反码和补码与原码相同；

负数的反码等于相应正数的反码，补码等于相应正数的补码。
但这样的说法是会让人产生疑惑的，因为既然正数的反码等于原码，且负数的反码等于相应正数的反码（即等于正数的原码），那正数负数的表示不就一样了。我也觉得这种说法很有歧义，但如果把第二个反码看成是一种广义上的操作，即把每一位取反，这样就没问题了，总之只要能理解就好，有时候反码就是真的“反”码，实实在在的操作。但为了避免这种困惑，倒不如表述得更清楚直接些：
对于带符号数，

正数的反码和补码与原码相同；

负数的反码等于相应正数的符号数值形式的各个位取反，补码等于反码加1。

如有不合理的地方，欢迎指正。

C语言中8进制和16进制怎么表示


C语言本身支持的三种输入是：

1. 十进制。比如20,457； 

2. 十六进制，以0x开头。比如0x7a； 

3. 八进制，以0开头。比如05,0237

所以C语言没有二进制输入，最多可用函数去实现。



八进制数的表达方法

C/C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上一个0（数字0），如：123是十进制，但0123则表示采用八进制。这就是八进制数在C、C++中的表达方法。

C和C++都没有提供二进制数的表达方法

现在，对于同样一个数，比如是100，我们在代码中可以用平常的10进制表达，例如在变量初始化时：

int a = 100;

我们也可以这样写：

int a = 0144; //0144是八进制的100；


八进制数在转义符中的使用

我们学过用一个转义符'/'加上一个特殊字母来表示某个字符的方法，如：'\n'表示换行(line)，而'\t'表示Tab字符，'\''则表示单引号。今天我们又学习了另一种使用转义符的方法：转义符'\'后面接一个八进制数，用于表示ASCII码等于该值的字符。

比如，查一下ASCII码表，我们找到问号字符（?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值：77，然后用 '\77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成 '\077'，但因为C/C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表示字符，所以这里的0可以不写。

例如：

printf("\077\n\77\n")

则输出结果为：

?

?

16进制的表示：以0X或0x开头的数字序列(数字0)

如24就是0x018

另外，A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15

例如

#include <stdio.h>

main()

{

int a=0x018,b=24,c=016;

printf("%d\n",a);

printf("%d\n",b);

printf("%d\n",c);

}

结果为

24

24

14



原码，反码及补码

概述
　　在计算机内，有符号数有3种表示法：原码、反码和补码。

　　在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。


详细释义
所谓原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。 　　

反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。 　　

补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。


原码、反码和补码的表示方法


定点整数表示方法
原码
在数值前直接加一符号位的表示法。 　

例如： 符号位 数值位 　

[+7]原= 0 0000111 B 　　

[-7]原= 1 0000111 B 　　

注意：

a. 数0的原码有两种形式：

[+0]原= 00000000B

[-0]原= 10000000B 　　

b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127



定点小数表示方法


反码
正数：正数的反码与原码相同。

负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如： 符号位 数值位

[+7]反= 0 0000111 B

[-7]反= 1 1111000 B

注意：

a. 数0的反码也有两种形式，即

[+0]反=00000000B

[- 0]反=11111111B

b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127


补码
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。

例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。

对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。

10和2对模12而言互为补数。 　　

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为2^8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。 　　

2）补码的表示：　　

正数：正数的补码和原码相同。

负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。

例如： 符号位 数值位

[+7]补= 0 0000111 B

[-7]补= 1 1111001 B

补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：

a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。

正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。

采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即

[0]补=00000000B。

若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。


原码、反码和补码之间的转换
由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。

在此，仅以负数情况分析。

（1） 已知原码，求补码。

　　例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码

解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。

1 0 1 1 0 1 0 0 原码

1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反

1 +1

1 1 0 0 1 1 0 0 补码

故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。

（2） 已知补码，求原码。

分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。

例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：由[X]补=11101110B知，X为负数。

1 1 1 0 1 1 1 0 补码

1 1 1 0 1 1 0 1 反码（减1）

1 0 0 1 0 0 1 0 原码（符号位不变，其它取反） 　　




 有符号数运算时的溢出问题



比如在32位机上1的原码是（十六进制） 0000 0001，那么它的反码是

1111 1110。

补码也是：1111 1110。

补码：正数的补码就是其反码(也是其原码)， 负数的补码是其原码按位取反，并在末位加一，所以

1 的补码也是0000 0001

而-1 的补码 是 1111 1110 再末位加1， 变成 1111 1111

即32位机器上-1的补码是 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

换算成十六进制就是ffff ffff



见下面的例子：

#include <stdio.h>

main()

{

int a=1,b=-1;

printf("%x\n",a);

printf("%x\n",b);

printf("%X\n",a);

printf("%X\n",b);

}



结果：

1

ffffffff

1

FFFFFFFF




typedef unsigned short int Uint16;
Uint16 a=10;
Uint16 b=20;
那么Uint16 c= a-b得到65526，
short int d=a-b得到-10，









C语言按位取反运算符~

注意：C语言的按位取反运算，对于符号位同样取反

C语言~12 按位取反的结果 是什么?

short 型为例 12的二进制为0000 1100

取反便成了。1111 0011

而这个数用带符号的整形(%d打印出)表示为-13

------------------------

负数的绝对值等于: 取反 + 1

1111 0011 取反加1为0000 1101 = 13

所以为-13

最高位为符号位

-----------------------------------

printf("%x,%d\n",~7,~7);//输出：fffffff8,-8

源码编译环境vs.net2005、32位机

//.NETCLR规定整型变量默认为int类型，也就是说此处的7在内存中占有4个字节。

00000000 00000000 00000000 00000111(7)

按位取反运算 

11111111 11111111 11111111 11111000 

printf("%x\n",~7)//十六进制输出：fffffff8

printf("%d\n",~7)//十进制输出 ：-8

之所以出现-8在于结果溢出，比如

printf("%u\n",~7)//十进制输出 ：4294967288

因此，输出结果为-8在于超过了int的范围

C语言中8进制和16进制怎么表示
C语言本身支持的三种输入是：
1. 十进制。比如20,457；
2. 十六进制，以0x开头。比如0x7a；
3. 八进制，以0开头。比如05,0237
所以C语言没有二进制输入，最多可用函数去实现。
八进制数的表达方法
C/C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上一个0(数字0)，如：123是十进制，但0123则表示采用八进制。这就是八进制数在C、C++中的表达方法。
C和C++都没有提供二进制数的表达方法
现在，对于同样一个数，比如是100，我们在代码中可以用平常的10进制表达，例如在变量初始化时：
int a = 100;
我们也可以这样写：
int a = 0144; //0144是八进制的100；
千万记住，用八进制表达时，你不能少了最前的那个0。否则计算机会通通当成10进制。不过，有一个地方使用八进制数时，却可以不使用加0，那就是用于表达字符的“转义符”表达法。
八进制数在转义符中的使用
我们学过用一个转义符'/'加上一个特殊字母来表示某个字符的方法，如：'\n'表示换行(line)，而'\t'表示Tab字符，'\''则表示单引号。今天我们又学习了另一种使用转义符的方法：转义符'\'后面接一个八进制数，用于表示ASCII码等于该值的字符。
比如，查一下ASCII码表，我们找到问号字符(?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值：77，然后用 '\77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成 '\077'，但因为C/C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表示字符，所以这里的0可以不写。
例如：
printf("\077\n\77\n")
则输出结果为：
?
?
16进制的表示：以0X或0x开头的数字序列(数字0)
如24就是0x018
另外，A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15
例如
#include 
main()
{
int a=0x018,b=24,c=016;
printf("%d\n",a);
printf("%d\n",b);
printf("%d\n",c);
}
结果为
24
24
14
原码，反码及补码
概述　　在计算机内，有符号数有3种表示法：原码、反码和补码。
在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。
详细释义所谓原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
原码、反码和补码的表示方法
定点整数表示方法
原码在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：
a. 数0的原码有两种形式：
[+0]原= 00000000B
[-0]原= 10000000B
b. 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
定点小数表示方法
反码正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
例如： 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：
a. 数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b. 8位二进制反码的表示范围：-127～+127
补码1)模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。
例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上(正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位，时针的位置不变。
对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了(注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。
10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8)，因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为2^8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。
2)补码的表示：
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反码+1”。
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：
a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。
正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。
采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即
[0]补=00000000B。
若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
原码、反码和补码之间的转换由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
(1) 已知原码，求补码。
例：已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码
解：由[X]原=10110100B知，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
1 0 1 1 0 1 0 0 原码
1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反
1 +1
1 1 0 0 1 1 0 0 补码
故：[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。
(2) 已知补码，求原码。
分析：按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。
例：已知某数X的补码11101110B，试求其原码。
解：由[X]补=11101110B知，X为负数。
1 1 1 0 1 1 1 0 补码
1 1 1 0 1 1 0 1 反码(符号位不变，数值位取反加1)
1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变，数值位取反) 　　1．3．2 有符号数运算时的溢出问题
比如在32位机上1的原码是(十六进制) 0000 0001，那么它的反码是
1111 1110。
补码也是：1111 1110。
补码：正数的补码就是其反码(也是其原码)， 负数的补码是其原码按位取反，并在末位加一，所以
1 的补码也是0000 0001
而-1 的补码 是 1111 1110 再末位加1， 变成 1111 1111
即32位机器上-1的补码是 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
换算成十六进制就是ffff ffff
见下面的例子：
#include 
main()
{
int a=1,b=-1;
printf("%x\n",a);
printf("%x\n",b);
printf("%X\n",a);
printf("%X\n",b);
}
结果：
1
ffffffff
1
FFFFFFFF
C语言按位取反运算符~
注意：C语言的按位取反运算，对于符号位同样取反：如
C语言~12 按位取反的结果 是什么?
short 型为例 12的二进制为0000 1100
取反便成了。1111 0011
而这个数用带符号的整形(%d打印出)表示为-13
------------------------
负数的绝对值等于: 取反 + 1
1111 0011 取反加1为0000 1101 = 13
所以为-13
最高位为符号位
-----------------------------------
printf("%x,%d\n",~7,~7);//输出：fffffff8,-8
源码编译环境vs.net2005、32位机
//.NETCLR规定整型变量默认为int类型，也就是说此处的7在内存中占有4个字节。
00000000 00000000 00000000 00000111(7)
按位取反运算
11111111 11111111 11111111 11111000
printf("%x\n",~7)//十六进制输出：fffffff8
printf("%d\n",~7)//十进制输出 ：-8
之所以出现-8在于结果溢出，比如
printf("%u\n",~7)//十进制输出 ：4294967288
因此，输出结果为-8在于超过了int的范围
例如：下面两正数相加结果变成了负数.
1)(+72)+(+98)=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
+ 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -86
补码的真值例:-65
原码：11000001
反码：10111110
补码:：10111111
若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。
那么，如何得到其真值呢？
直接按照补码的反过程就行了：
如果要得到一个负二进制数的真值，只要先减1，然后各位取反(不包括符号位)就行了。
二进制值：10111111(-65的补码)
减1 ：10111110
各位取反：11000001
此变为结果
~-2 结果是1