中计数采用了多种记数制,比如：十进制,六十进制(六十秒为一分,六十分为一小时,即基数为60,运算规则是逢六十进一),…….在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等,下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下.

1．十进制数

我们平时数数采用的是十进制数,这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成,其特点是逢十进一.

任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.例如：

?

?

?

这里的10为基数,各位数对应的权是以10为基数的整数次幂.为了和其它的数制区别开来,我们在十进制数的外面加括号,且在其右下方加注10.

2．二进制数

在计算机中,由于其物理特性(只有两种状态：有电、无电)的原因,所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数.二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的,其特点是逢二进一.例如：1001,这里不读一千零一,而是读作：一零零一或幺零零幺.为了与其它的数制的数区别开来,我们在二进制数的外面加括号,且在其右下方加注2,或者在其后标B.

任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……,其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、…….

二进制数也有其运算规则：

加法：0+0=0?0+1=1?1+0=1?1+1=10

乘法：0×0=0?0×1=0?1×0=0?1×1=1

二进制数与十进制数如何转换：

(1) 二进制数—→十进制数

对于较小的二进制数：

对于较大的二进制数：

方法1：各位上的数乘权求和?例如：

(101101)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45

(1100.1101)2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125

方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和?例如：

(101101)2=(100000)2+(1000)2+(100)2+(1)2

而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0,则这个二进数所对应的十进制数为2n.

所以：(101101)2=(100000)2+(1000)2+(100)2+(1)2=25+23+22+20=45

(2)十进制数—→二进制数

整数部分：整除以2取余法.例如：75

75/2=37…1?37/2=18…1?18/2=9…0?9/2=4…1?4/2=2…0?2/2=1…0?1/2=0…1

将得到的一系列的余数倒过来书写就得到该数所对应的二进制数(1001011)2

小数部分：乘以2取整法.例如：0.7

0.7×2=1.4…1?0.4×2=0.8…0?0.8×2=1.6…1?0.6×2=1.2…1?0.2×2=0.4…0

3．八进制数

八进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8任意组合构成的,其特点是逢八进一.为了与其它的数制的数区别开来,我们在八进制数的外面加括号,且在其右下方加注8,或者在其后标Q.

八进制数的基数是8,任何一个八进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、8、82、83、84、85、……,其小数部分的权由高向低依次是：8-1、8-2、8-3、8-4、…….

八进制数与其它数制的转换：

(1)与十进制数的互换

八进制数—→十进制数

十进制数—→八进制数

方法均与二进制数与十进制数互换的方法一样.

(2)与二进制数的互换

八进制数—→二进制数

把八进制数的每一位改成等值的三位二进制数,即“一位变三位”.

例如：56.103Q

?5?6?.?1?0?3

? ↓?↓?↓?↓?↓?

? 101?110?001?000?011

所以(56.103)8=(101110.001000011)2

二进制数—→八进制数

把二进制数从小数点开始向两边每三位为一段(不足补0),每段改成等值的一位八进制数即可,即“三位变一位”.

4．十六进制数

十六进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F任意组合构成的,其特点是逢十六进一.为了与其它的数制的数区别开来,我们在十六进制数的外面加括号,且在其右下方加注16,或者在其后标H.

十六进制数的基数是16,任何一个十六进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、16、162、163、164、165、……,其小数部分的权由高向低依次是：16-1、16-2、16-3、16-4、…….

十六进制数与其它数制的转换：

(1)与十进制数的互换

十六进制数—→十进制数

十进制数—→十六进制数

方法均与二进制数与十进制数互换的方法一样.

(2)与二进制数的互换

十六进制数—→二进制数

把十六进制数的每一位改成等值的四位二进制数,即“一位变四位”.

例如：(3AD.B8)16

?3?A?D.?B?8

? ↓?↓?↓?↓?↓?

? 0011?1010?1101?1011?1000

所以(3AD.B8)16=(1110101101.10111)2

二进制数—→十六进制数

把二进制数从小数点开始向两边每四位为一段(不足补0),每段改成等值的一位十六进制数即可,即“四位变一位”.

下表中列出了一些数的二、八、十和十六进制形式

二进制数 八进制数 十进制数 十六进制数 二进制数 八进制数 十进制数 十六进制数

0000 0 0 0 1001 11 9 9

0001 1 1 1 1010 12 10 A

0010 2 2 2 1011 13 11 B

0011 3 3 3 1100 14 12 C

0100 4 4 4 1101 15 13 D

0101 5 5 5 1110 16 14 E

0110 6 6 6 1111 17 15 F

0111 7 7 7 10000 20 16 10

1000 10 8 8 10001 21 17 11

? 二、计算机中数的表示

在计算机中所有的数据、指令以及一些符号等都是用特定的二进制代码表示的.

? 1．数值数据的表示

我们把一个数在计算机内被表示的二进制形式称为机器数,该数称为这个机器数的真值.机器数有固定的位数,具体是多少位受到所用计算机的限制.机器数把其真值的符号数字化,通常是用规定的符号位(一般是最高位)取0或1来分别表示其值的正或负.例如：假设机器数为8位,则其最高位是符号位,那么在整数的表示情况下,对于00101110和10010011,其真值分别为十进制数+46和-19.

机器数常采用原码和补码的形式作为其编码方式.

(1)原码

整数X的原码是指：其符号位的0或1表示X的正或负,其数值部分就是X的绝对值的二进制表示.通常用[X]原表示X的原码.

例如：假设机器数的位数是8,那么：[+17]原=00010001?[-39]原=10100111

注意：由于[+0]原=00000000,[-0]原=10000000,所以数0的原码不唯一,有“正零”和“负零”之分.

(2)反码

在反码的表示中,正数的表示方法与原码相同；负数的反码是把其原码除符号位以外的各位取反(即0变1,1变0).通常,用[X]反表示X的反码.

例如：[+45]反=[+45]原=00101101?[-32]原=10100000?[-32]反=11011111

(3)补码

在补码的表示中,正数的表示方法与原码相同；负数的补码在在其反码的最低有效位上加1.通常用[X]补表示X的补码.

例如：[+14]补=10100100?[-36]反=11011011?[-36]补=11011100

注意1：数0的补码的表示是唯一的,即[0]补=[+0]补=[-0]补=00000000

注意2：利用公式?[X]补+[±Y]补=[X±Y]补?可以把加法和减法统一成加法.(符号位和其它位上数一样运算,如果符号位上有进位,则把这个进位的1舍去不要,即不考虑“溢出”问题).

例如：?X=6,Y=2?求X-Y

?[X]补=00000110?[-Y]补=11111110

? [X-Y]补=00000100

另：机器数中采用定点或浮点数的方式来表示小数!(略)

? 2．ASCII码

计算机除了能处理数值外还能处理字符(指字母A、B、…、Z、a、b、…、z,数字0、1、…、9,其它一些可打印显示的符号如：+、-、*、/、、…).在计算机内部,这些符号也得用二进制代码来表示,目前,在国际上广泛采用的是美国标准信息交换代码(American?Standard?Code?for?Information?Interechang),简称ASCII码.

标准的ASCII码中共有128(27)个字符,所以标准的ASCII码采用7位二进制编码.因为其中的字符排列是有序的,其对应的ASCII码也是相连的,所以我们只需要记几个关键字符的ASCII码,其它可以推算.

‘0’——48?‘A’——65?‘a’——97

注：标准的ASCII码能表示的字符较少,于是在其基础上又设计了一种扩

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二进制表示浮点数

Prerequisite: Number systems

先决条件： 数字系统

We all very well know that very small and very large numbers in the decimal number system are represented using scientific notation form by stating a number (mantissa) and an exponent in the power of 10. Some of the examples are 6.27 * 10^-27 and 5.21 * 10³⁴. Similarly, Binary numbers can also be represented in the same form by stating a number (mantissa) and an exponent of 2. The format of this representation will be different for different machines.

众所周知，十进制数系统中的非常小和非常大的数字都是用科学计数形式表示的，即数字( 尾数 )和幂为10的指数。 一些示例是6.27 * 10 ^-27和5.21 * 10 ³⁴ 。 类似地，二进制数字也可以通过表示数字( 尾数 )和2的指数来以相同的形式表示。 对于不同的机器，此表示形式的格式将有所不同。

The 16-bit machine consists of 10 bits as the mantissa and 6 bits for the exponent part whereas 24-bit machine consists of 15 bits for mantissa and 9 bits for exponent.

16位机器由10位尾数组成， 指数部分为6位，而24位机器由尾数15位组成， 指数部分为9位。

Format of the 16-bit machine can be represented as:

16位计算机的格式可以表示为：

The mantissa is written in 2's complement form, so the MSB of the Mantissa can be thought of as a sign bit. The binary point is assumed to be to the right of this sign bit. The 6-bit of the exponent can be used to represent 0 to 63, however, to express negative exponents a number (32)₁₀ or (100000)₂ is added to the desired exponent.

尾数以2的补码形式编写，因此可以将尾数的MSB视为符号位。 假定二进制点在该符号位的右边。 指数的6位可用于表示0到63 ，但是，要表示负指数，则将数字(32) ₁₀或(100000) ₂添加到所需的指数。

Excess-32 Representation: This is a common system to represent floating-point numbers. In this notation, to represent a negative exponent, we add (32)₁₀ to the given exponent which are given by the 6 bits.

Excess-32表示法 ：这是表示浮点数的通用系统。 在这种表示法中，为了表示负指数，我们将(32) ₁₀加到由6位给出的给定指数上。

Given table illustrates representation of exponent part.

给定的表说明了指数部分的表示。

As given above, the floating-point number given in the above format is:

如上所述，以上述格式给出的浮点数为：

At the extreme left (MSB) is the sign-bit '0', which represents it is a positive number. Also, just after the sign-bit, we assume a binary point. Thus,

最左端( MSB )是符号位“ 0” ，表示它是一个正数。 同样，在符号位之后，我们假设一个二进制点。 从而，

    In Mantissa Part: .110011010
    In Exponent Part:  101010, In Excess-32 notation,32 is already added. So
    Subtracting 100000   001010 (i.e.,10 in decimal, so exponent part is 210)
    The number is N
        = +(.110011010)2 * 210
        = +(1100110100.00)
        = +(820)10

Example 1: Express the following decimal number into 16-bit floating point number (45365.125)₁₀

示例1：将以下十进制数表示为16位浮点数(45365.125) ₁₀

Solution:

解：

    Binary equivalent of (45365.125)10: 1011000100110101.001
    Binary format: .1011000100110101 * 216
    Mantissa: + .101100010
    Exponent: 010000 (Value of exponent is 16)
    Equivalent exponent: 010000 + 100000 = 110000

Since the number is a positive number an additional sign-bit '0' is added in the MSB.

由于该数字为正数，因此在MSB中添加了一个附加符号位“ 0”。

So, the floating-point format will be 0101100010110000

因此，浮点格式将为0101100010110000

Example 2: What floating point number do the given number 0100101001101011 represents?

示例2：给定的数字0100101001101011代表什么浮点数？

Solution:

解：

At the extreme left (MSB) is the sign-bit '0' which represents it is a positive number. Also, just after the sign-bit we assume a binary point. Thus,

最左边(MSB)是符号位“ 0”，表示它是一个正数。 同样，在符号位之后，我们假设一个二进制点。 从而，

    In Mantissa Part: .100101001
    In Exponent Part: 10101, In Excess-32 notation,32 is already added. So
    Subtracting 100000 001011 (i.e.,11 in decimal, so exponent part is 211)
    The number is N 
        = +(.100101001)2 * 211
        = +(10010100100.0)
        = +(1188)10

翻译自: https://www.includehelp.com/basics/floating-point-representation-of-binary-numbers.aspx

二进制表示浮点数