1．二进制数的算术运算
 二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。
 
（1）二进制数的加法
 
  根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：
  0＋0＝0
  0＋1＝1＋0＝1
  1＋1＝0　（进位为1） 
  1＋1＋1＝1 （进位为1）

  例如：1110和1011相加过程如下：
 
 
  （2）二进制数的减法

  根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

  0－0＝0
  1－1＝0
  1－0＝1
  0－1＝1 （借位为1）

  例如：1101减去1011的过程如下：
 
 
  （3）二进制数的乘法

  二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

  0×0＝0
  0×1＝1×0＝0
  1×1＝1

  例如：1001和1010相乘的过程如下：
 
 
  由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

  （4）二进制数的除法

  二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

  例如：100110÷110的过程如下：
 
 
  所以，100110÷110＝110余10。
 
2．二进制数的逻辑运算
 二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
 
  （1）逻辑“或”运算

  又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

  0＋0＝0或0∨0＝0
  0＋1＝1或0∨1＝1
  1＋0＝1或1∨0＝1
  1＋1＝1或1∨1＝1

  
  可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。

  （2）逻辑“与”运算

  又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

  0×1＝0或0·1＝0或0∧1＝0
  1×0＝0或1·0＝0或1∧0＝0
  1×1＝1或1·1＝1或1∧1＝1

  可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

  （3）逻辑“非”运算

  又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：


  可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

  （4）逻辑“异或”运算 
  “异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：

  00＝0 或 00＝0
  01＝1 或 01＝1
  10＝1 或 10＝1
  11＝0 或 11＝0

  可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1

 一、二进制数转换成十进制数 
     由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。
    例1105 把二进制数110.11转换成十进制数。
     
                    
    二、十进制数转换为二进制数 
     十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。
     1. 十进制整数转换为二进制整数
     十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个 商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。
    例1107 把 (173)10 转换为二进制数。
     解： 
     
     2．十进制小数转换为二进制小数
     十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数 部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。 
     然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。 
 
     【例1108】 把（0.8125）转换为二进制小数。
    解： 

    例1109 （173.8125）10 ＝（ ）2 
    解： 由［例1107］得（173）10 ＝（10101101）2 
 由［例1108］得（0.8125）10 ＝（0.1101）2 
 把整数部分和小数部分合并得： （173.8125）10 ＝（10101101.1101）2 

 
中计数采用了多种记数制,比如：十进制,六十进制(六十秒为一分,六十分为一小时,即基数为60,运算规则是逢六十进一),…….在计算机中常用到十进制数、二进制数、八进制数、十六进制数等,下面就这几种在计算机中常用的数制来介绍一下.
 
1．十进制数
 
我们平时数数采用的是十进制数,这种数据是由十个不同的数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意组合构成,其特点是逢十进一.
 
任何一个十进制数均可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.例如：
 
?
 
?
 
?
 
这里的10为基数,各位数对应的权是以10为基数的整数次幂.为了和其它的数制区别开来,我们在十进制数的外面加括号,且在其右下方加注10.
 
2．二进制数
 
在计算机中,由于其物理特性(只有两种状态：有电、无电)的原因,所以在计算机的物理设备中获取、存储、传递、加工信息时只能采用二进制数.二进制数是由两个数字0、1任意组合构成的,其特点是逢二进一.例如：1001,这里不读一千零一,而是读作：一零零一或幺零零幺.为了与其它的数制的数区别开来,我们在二进制数的外面加括号,且在其右下方加注2,或者在其后标B.
 
任何一个二进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、2、4、8、16、32、64、128、……,其小数部分的权由高向低依次是：0.5、0.25、0.125、0.0625、…….
 
二进制数也有其运算规则：
 
加法：0+0=0?0+1=1?1+0=1?1+1=10
 
乘法：0×0=0?0×1=0?1×0=0?1×1=1
 
二进制数与十进制数如何转换：
 
(1) 二进制数—→十进制数
 
对于较小的二进制数：
 
对于较大的二进制数：
 
方法1：各位上的数乘权求和?例如：
 
(101101)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=45
 
(1100.1101)2=1×23+1×22+0×21+0×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4=12.8125
 
方法2：任何一个二进制数可转化成若干个100…0?的数相加的总和?例如：
 
(101101)2=(100000)2+(1000)2+(100)2+(1)2
 
而这种100…00形式的二进制数与十进制数有如下关联：1后有n个0,则这个二进数所对应的十进制数为2n.
 
所以：(101101)2=(100000)2+(1000)2+(100)2+(1)2=25+23+22+20=45
 
(2)十进制数—→二进制数
 
整数部分：整除以2取余法.例如：75
 
75/2=37…1?37/2=18…1?18/2=9…0?9/2=4…1?4/2=2…0?2/2=1…0?1/2=0…1
 
将得到的一系列的余数倒过来书写就得到该数所对应的二进制数(1001011)2
 
小数部分：乘以2取整法.例如：0.7
 
0.7×2=1.4…1?0.4×2=0.8…0?0.8×2=1.6…1?0.6×2=1.2…1?0.2×2=0.4…0
 
3．八进制数
 
八进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8任意组合构成的,其特点是逢八进一.为了与其它的数制的数区别开来,我们在八进制数的外面加括号,且在其右下方加注8,或者在其后标Q.
 
八进制数的基数是8,任何一个八进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、8、82、83、84、85、……,其小数部分的权由高向低依次是：8-1、8-2、8-3、8-4、…….
 
八进制数与其它数制的转换：
 
(1)与十进制数的互换
 
八进制数—→十进制数
 
十进制数—→八进制数
 
方法均与二进制数与十进制数互换的方法一样.
 
(2)与二进制数的互换
 
八进制数—→二进制数
 
把八进制数的每一位改成等值的三位二进制数,即“一位变三位”.
 
例如：56.103Q
 
?5?6?.?1?0?3
 
? ↓?↓?↓?↓?↓?
 
? 101?110?001?000?011
 
所以(56.103)8=(101110.001000011)2
 
二进制数—→八进制数
 
把二进制数从小数点开始向两边每三位为一段(不足补0),每段改成等值的一位八进制数即可,即“三位变一位”.
 
4．十六进制数
 
十六进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F任意组合构成的,其特点是逢十六进一.为了与其它的数制的数区别开来,我们在十六进制数的外面加括号,且在其右下方加注16,或者在其后标H.
 
十六进制数的基数是16,任何一个十六进制数亦可拆分成由各位数字与其对应的权的乘积的总和.其整数部分的权由低向高依次是：1、16、162、163、164、165、……,其小数部分的权由高向低依次是：16-1、16-2、16-3、16-4、…….
 
十六进制数与其它数制的转换：
 
(1)与十进制数的互换
 
十六进制数—→十进制数
 
十进制数—→十六进制数
 
方法均与二进制数与十进制数互换的方法一样.
 
(2)与二进制数的互换
 
十六进制数—→二进制数
 
把十六进制数的每一位改成等值的四位二进制数,即“一位变四位”.
 
例如：(3AD.B8)16
 
?3?A?D.?B?8
 
? ↓?↓?↓?↓?↓?
 
? 0011?1010?1101?1011?1000
 
所以(3AD.B8)16=(1110101101.10111)2
 
二进制数—→十六进制数
 
把二进制数从小数点开始向两边每四位为一段(不足补0),每段改成等值的一位十六进制数即可,即“四位变一位”.
 
下表中列出了一些数的二、八、十和十六进制形式
 
二进制数 八进制数 十进制数 十六进制数 二进制数 八进制数 十进制数 十六进制数
 
0000 0 0 0 1001 11 9 9
 
0001 1 1 1 1010 12 10 A
 
0010 2 2 2 1011 13 11 B
 
0011 3 3 3 1100 14 12 C
 
0100 4 4 4 1101 15 13 D
 
0101 5 5 5 1110 16 14 E
 
0110 6 6 6 1111 17 15 F
 
0111 7 7 7 10000 20 16 10
 
1000 10 8 8 10001 21 17 11
 
? 二、计算机中数的表示
 
在计算机中所有的数据、指令以及一些符号等都是用特定的二进制代码表示的.
 
? 1．数值数据的表示
 
我们把一个数在计算机内被表示的二进制形式称为机器数,该数称为这个机器数的真值.机器数有固定的位数,具体是多少位受到所用计算机的限制.机器数把其真值的符号数字化,通常是用规定的符号位(一般是最高位)取0或1来分别表示其值的正或负.例如：假设机器数为8位,则其最高位是符号位,那么在整数的表示情况下,对于00101110和10010011,其真值分别为十进制数+46和-19.
 
机器数常采用原码和补码的形式作为其编码方式.
 
(1)原码
 
整数X的原码是指：其符号位的0或1表示X的正或负,其数值部分就是X的绝对值的二进制表示.通常用[X]原表示X的原码.
 
例如：假设机器数的位数是8,那么：[+17]原=00010001?[-39]原=10100111
 
注意：由于[+0]原=00000000,[-0]原=10000000,所以数0的原码不唯一,有“正零”和“负零”之分.
 
(2)反码
 
在反码的表示中,正数的表示方法与原码相同；负数的反码是把其原码除符号位以外的各位取反(即0变1,1变0).通常,用[X]反表示X的反码.
 
例如：[+45]反=[+45]原=00101101?[-32]原=10100000?[-32]反=11011111
 
(3)补码
 
在补码的表示中,正数的表示方法与原码相同；负数的补码在在其反码的最低有效位上加1.通常用[X]补表示X的补码.
 
例如：[+14]补=10100100?[-36]反=11011011?[-36]补=11011100
 
注意1：数0的补码的表示是唯一的,即[0]补=[+0]补=[-0]补=00000000
 
注意2：利用公式?[X]补+[±Y]补=[X±Y]补?可以把加法和减法统一成加法.(符号位和其它位上数一样运算,如果符号位上有进位,则把这个进位的1舍去不要,即不考虑“溢出”问题).
 
例如：?X=6,Y=2?求X-Y
 
?[X]补=00000110?[-Y]补=11111110
 
? [X-Y]补=00000100
 
另：机器数中采用定点或浮点数的方式来表示小数!(略)
 
? 2．ASCII码
 
计算机除了能处理数值外还能处理字符(指字母A、B、…、Z、a、b、…、z,数字0、1、…、9,其它一些可打印显示的符号如：+、-、*、/、、…).在计算机内部,这些符号也得用二进制代码来表示,目前,在国际上广泛采用的是美国标准信息交换代码(American?Standard?Code?for?Information?Interechang),简称ASCII码.
 
标准的ASCII码中共有128(27)个字符,所以标准的ASCII码采用7位二进制编码.因为其中的字符排列是有序的,其对应的ASCII码也是相连的,所以我们只需要记几个关键字符的ASCII码,其它可以推算.
 
‘0’——48?‘A’——65?‘a’——97
 
注：标准的ASCII码能表示的字符较少,于是在其基础上又设计了一种扩
 
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对于算法竞赛来说，算法的效率自然是很重要的。有些时候我们可以使用一切巧妙地办法借助数据本身的特点进行处理。比如今天这个题。
 
二进制数数
 
问题描述
 
给定L,R。统计[L,R]区间内的所有数在二进制下包含的“1”的个数之和。如5的二进制为101，包含2个“1”。
 
输入格式
 
第一行包含2个数L,R
 
输出格式
 
一个数S，表示[L,R]区间内的所有数在二进制下包含的“1”的个数之和。
 
样例输入
 
2 3
 
样例输出
 
3
 
数据规模和约定
 
L<=R<=100000;
 
题目解析
 
进制，即进位计数制，是人为定义的一种带进位的计数方法，便于使用有限的数字字符表示所有的数。对于任何一种进制都表示某一位置上的数字达到某一值后向上进一位。如常用的十进制计算9+1时，当个位数字9增加1时，应该变为十，但是我们采用十进制计数，所以在这一位上并不会出现表示十的数字，而是向上进位变为10。同理，对于8进制而言，当计算7+1时，并不出现8这个数字，而是变为10，而这个8进制的10与十进制的8是相等的。也可以发现，进制的转换并不会改变数值本身的大小，只是表示方法的改变。
 
进制的转换通常可以使用连续做除法取余数的方式，如十进制数6转二进制可以如下方式计算：
 
$6÷2=3......0$
 $3÷2=1......1$
 $1÷2=0......1$
 
将余数从下往上倒过来即是相应进制，即6的二进制表示为110。
 
因为在进制转换的过程中数值大小本身并不变化，所以人工计算时对于不方便计算的数值也可以通过转换为其他进制作为媒介来进行。
 
题解
 
对于该题目来说，我们可以将过程分为几步：
 
 
循环[L,R]之间所有整数
 
 
将整数表示为二进制
 
 
通过变量计数二进制数中1的个数
 
 
有以下程序框架
 
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int L, R;
    int count = 0;
 
    scanf("%d %d", &L, &R);

    //1. 循环`[L,R]`之间所有整数

    //2. 将整数表示为二进制

    //3. 通过变量计数二进制数中1的个数

    printf("%d", count);

    return 0;
}
 
使用for循环[L,R]之间所有整数
 
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int L, R;
    int count = 0;

    //加入循环变量
    int i = 0;

    scanf("%d %d", &L, &R);

    //1. 循环`[L,R]`之间所有整数
    for(i = L ; i <= R; i++)
    {
        //2. 将整数表示为二进制

        //3. 通过变量计数二进制数中1的个数
    }

    printf("%d", count);

    return 0;
}
 
将整数表示为二进制的方法在上面已经讲到，在计算机中，我们使用取模运算符%可以直接得到余数，然后对该整数除以2，再取余数，直到商为0为止。
 
同时，第3步计数的过程可以直接与取模运算同时进行，这样还可以节省存储二进制数的内存空间。
 
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int L, R;
    int count = 0;

    //加入循环变量
    int i = 0;

    //加入计算时的临时变量，以避免改变循环变量导致计算逻辑出错
    int t = 0;

    scanf("%d %d", &L, &R);

    //1. 循环`[L,R]`之间所有整数
    for (i = L; i <= R; i++)
    {
        t = i;
        //2. 将整数表示为二进制
        do
        {
            if (t % 2 == 1)
            {
                //3. 通过变量计数二进制数中1的个数
                count++;
            }
            t = t / 2;
        } while (t != 0);
    }

    printf("%d", count);

    return 0;
}
 
这还不够，这样一个简单的题目我们并不能满足于将其做对，而应该对其进行优化，使其效率更高。这样在复杂问题中才能够尽可能解决更多测试数据。
 
所以对于本题，我将输入数据扩大到L<=R<=100000000;来测试算法效率（题目约定范围的1,000倍）
 
测试，输入数据0 100000000
 
输出1314447116
 
用时11.98秒。
 
优化1
 
由于我们数的是二进制中1的个数，所以在计数时我们不需要先判断t % 2是否等于1，可以直接让count变量加上t % 2的值，如果t % 2为1，则count加1，若为0，则不变。
 
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int L, R;
    int count = 0;

    //加入循环变量
    int i = 0;

    //加入计算时的临时变量，以避免改变循环变量导致计算逻辑出错
    int t = 0;

    scanf("%d %d", &L, &R);

    //1. 循环`[L,R]`之间所有整数
    for (i = L; i <= R; i++)
    {
        t = i;
        do
        {
            //2. 将整数表示为二进制
            //3. 通过变量计数二进制数中1的个数
            //两步合一
            count += t % 2;
            t = t / 2;
        } while (t != 0);
    }

    printf("%d", count);

    return 0;
}
 
测试输入数据0 100000000，输出1314447116，用时6.651秒。
 
优化2
 
在计算机中，由于计算机的原理所致，在计算和保存时，实际上都是以二进制方式进行的，每个二进制位称为一个比特（bit），为了便于操作，又有每8个比特为一个字节（byte）。
 
也就是说实际上我们需要的二进制数据在计算机中已经存在了，不需要做除法就可以获得我们需要的数据。我们只需要将计算机内存中每一位的数据取出计数即可。
 
对于计算机中“位”的操作和运算，我们称之为“位操作”、“位运算”。而位操作的速度相比数值运算更快，所以我们通过位操作能够提高解题效率。本题中，我们将每一位取出的操作可以使用“移位操作”和“位与运算”。
 
移位操作即将内存中的二进制数据向指定方向移动指定个位，如有一8位整型变量n = 53，53的二进制表示为0011 0101，对其进行向右移2位的操作语句为n >> 2;，得到二进制表示为0000 1101的数13。
 
位与运算即将两个数按二进制位做与操作，对于8位整型变量n = 53，将其和22(10)作与操作，53的二进制表示为0011 0101，22的二进制表示为0001 0110，将二者按位作与运算，可得二进制表示为0001 0100的数20。
 
那么对于二进制数而言，想取出其中某1位数据，只需要对其进行移位操作和位与运算，如对于n = 53，希望取出其第4位（右数，0开始），即(n >> 4) & 1。53的二进制表示0011 0101右移4位后为0000 0011，位与0000 0001后为0000 0001，所以53的第4位为1.
 
将以上思路带入我们的算法
 
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int L, R;
    int count = 0;
    int i = 0, t = 0;

    scanf("%d %d", &L, &R);

    //1. 循环`[L,R]`之间所有整数
    for (i = L; i <= R; i++)
    {
        //2. 将整数表示为二进制
        //3. 通过变量计数二进制数中1的个数
        //两步合一，改为位运算
        for(t = 0; i >> t; t++)
        {
            count += i >> t & 1;
        }
    }

    printf("%d", count);

    return 0;
}
 
测试输入数据0 100000000，输出1314447116，用时4.756秒。