“异或”的数学运算符表示为“⊕”，“同或”的数学运算符表示为“⊙”，在计算机网络中“1”表示“真”，“0”表示“假”
 
 
目录
 
异或运算
 
多异或连续运算
 
同或运算
 
多同或连续运算
 

Hello！你好哇，我是灰小猿！
 
在学习计算机网络的时候，有用到对二进制数进行异或（符号：⊕）和同或（符号：⊙）运算，所以在这里简单记录一下。
 
在数学中异或和同或常用于命题的判断，而在计算机中则常用于二进制数之间的运算，
 
 
 
异或运算
 
关于异或运算有以下的规定：
 
0⊕0=0 0同0异或，结果为0
 
0⊕1=1 0同1异或，结果为1
 
1⊕0=1 1同0异或，结果为1
 
1⊕1=0 1同1异或，结果为0
 
即两个逻辑变量相异，输出才为1
 
也可以用两句话表示：“异为1，同为0”
 
 
 
多异或连续运算
 
而在计算机网络中真正对其进行使用的时候，两个二进制数之间的简单异或运算并不多见，更多的则是多异或连续运算。
 
首先看几个多异或连续运算的式子：
 
1⊕0⊕1⊕1⊕1=0
 
1⊕0⊕1⊕0⊕1=1
 
0⊕0⊕1⊕0=1
 
0⊕1⊕1⊕0=0
 
关于这种多异或连续运算，通常的思路是：
 
多个异或连续运算，就类似数学上的连加、连乘运算：将前两个数的运算结果，与第三个数继续运算；再将结果与第四个运算；直到最后得出结果，其中的每一步都要按照相应运算的规则进行；
 
但是也还有另外一种比较简单的判断方法：
 
多个命题（或命题变量）的“异或”运算：其结果依赖于参与运算的所有量中，取值为“真（1）”的量的“个数”的“奇偶性”：
 
　　若含“奇数”个“真命题（1）”，则结果为“真（1）”；
 
　　若含“偶数”个“真命题（1）”，则结果为“假（0）”；（注：零个也是偶数个）
 
所以这样看来，上面的式子中：
 
第一个有偶数个“1”则结果为“0”，
 
第二个有奇数个“1”则结果为“1”，
 
换句话说：命题表达式 A⊕B⊕C⊕D 结果为“真”，当且仅当 A、B、C、D 中有奇数个（即 1 个或 3 个）变量的取值为“真”；
 
而至于其中“假命题”的个数，则对结果“无任何影响”。关于这一点的证明，可以从下面两个恒等式中找到思路：
 
p ⊕ 1 = 非p；——增加一个“真命题”参与运算，总会将“原命题”变成其“反命题”；
 
p ⊕ 0 = p；——增加一个“假命题”参与运算，对“原命题”永远没影响；
 
 
 
同或运算
 
关于同或运算有以下几点要注意：
 
1.“同或”是一个数学运算符，应用于逻辑运算。 其运算法则为a同或b=ab+a‘b’（a'为非a）。
 
真“同或”假的结果是假，假“同或”真的结果也是假，真“同或”真的结果是真，假“同或”假的结果是真。
 
换句话说就是：两个值相同，则同或结果为真。反之，为假。——简称同真，异假。即，同或：相同为一，不同为零。
 
2. 同或符号为⊙。（圆圈内为点）
 
3. 同或和异或互为非运算。
 
4. 同或公式：
 
a⊙b=ab+a'b'(a'为非a，b'为非b)；
 
5. 同或真值表
 
 
a
 
 
b
 
 
a⊙b
 
 
0
 
 
0
 
 
1
 
 
1
 
 
1
 
 
1
 
 
0
 
 
1
 
 
0
 
 
1
 
 
0
 
 
0
 
6.同或运算只有交换律和结合律
 
a ⊙ b = b ⊙ a; (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c);
  
 
多同或连续运算
 
对于多个输入的同或可以这样理解：
 
a ⊙ 1 = a; a⊙ 0⊙ 0 = a;
 
即a与任意个1或偶数个0的同或，结果是a本身
 
例如：
 
1⊙ 1⊙ 0⊙ 1⊙ 0⊙ 0的运算方法为：
 
1）根据交换律，可以把输入中的 1 全部向右靠在一起得
 
0⊙ 0⊙ 0⊙ 1 ⊙1⊙ 1，然后根据结合律
 
0⊙ 0⊙ 0⊙ (1⊙1⊙ 1)，消去所有 1，得
 
0⊙ 0⊙ 0
 
2）消去偶数个 0，得结果为：0
 
如果步骤 1）将得到偶数个 0 则少消除一个 1 作为结果
 
简而言之，同或运算就是观察输入中 0 的个数。奇数个 0 则结果为 0 ，偶数个 0 则结果为 1
 
 
 
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二进制下异或运算与二进制数中1个数的奇偶性联系，也就是说有三种情况，1.拥有奇数个1的二进制数与拥有奇数个1的二进制数的异或运算。2.拥有奇数个1的二进制数与拥有偶数个1的二进制数的异或运算。3.拥有偶数个1的二进制数与拥有偶数个1的二进制数的异或运算。
 
假设前提：总位数为w,数一拥有x个0,数二拥有y个0,数一中0匹配了数二中k个1(k<=x)。
 
因为异或运算产生1只有两种情况：数一的0与数二的1,数一的1与数二的0.
 
第一种情况1的个数：k.
 
第二种情况1的个数：数一中0与数二中0匹配的个数为x-k,这不会产生1,这时1的个数应为：y-(x-k)
 
故1的总个数为：k+y-(x-k)=2*k+y-x
 
此时可以分三种情况讨论：
 
1.拥有奇数个1的二进制数与拥有奇数个1的二进制数的异或运算：应为w为偶数位，所以x,y均为奇数，此时y-x结果为偶数。
 
2.拥有奇数个1的二进制数与拥有偶数个1的二进制数的异或运算：同上，此时x为奇数，y为偶数，y-x结果为奇数。
 
3.拥有偶数个1的二进制数与拥有偶数个1的二进制数的异或运算：此时x为偶数，y为偶数，y-x为偶数或0.
 
 

 

在数学中异或和同或常用于命题的判断，而在计算机中则常用于二进制数之间的运算，
 
异或运算
 
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关于异或运算有以下的规定：
 
0⊕0=0 0同0异或，结果为0
 
0⊕1=1 0同1异或，结果为1
 
1⊕0=1 1同0异或，结果为1
 
1⊕1=0 1同1异或，结果为0
 
即两个逻辑变量相异，输出才为1
 
也可以用两句话表示：“异为1，同为0”
 
多异或连续运算
 
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而在计算机网络中真正对其进行使用的时候，两个二进制数之间的简单异或运算并不多见，更多的则是多异或连续运算。
 
首先看几个多异或连续运算的式子：
 
1⊕0⊕1⊕1⊕1=0
 
1⊕0⊕1⊕0⊕1=1
 
0⊕0⊕1⊕0=1
 
0⊕1⊕1⊕0=0
 
关于这种多异或连续运算，通常的思路是：
 
多个异或连续运算，就类似数学上的连加、连乘运算：将前两个数的运算结果，与第三个数继续运算；再将结果与第四个运算；直到最后得出结果，其中的每一步都要按照相应运算的规则进行；
 
但是也还有另外一种比较简单的判断方法：
 
多个命题（或命题变量）的“异或”运算：其结果依赖于参与运算的所有量中，取值为“真（1）”的量的“个数”的“奇偶性”：
 
若含“奇数”个“真命题（1）”，则结果为“真（1）”；
 
若含“偶数”个“真命题（1）”，则结果为“假（0）”；（注：零个也是偶数个）
 
所以这样看来，上面的式子中：
 
第一个有偶数个“1”则结果为“0”，
 
第二个有奇数个“1”则结果为“1”，
 
换句话说：命题表达式 A⊕B⊕C⊕D 结果为“真”，当且仅当 A、B、C、D 中有奇数个（即 1 个或 3 个）变量的取值为“真”；
 
**而至于其中“假命题”的个数，则对结果“无任何影响”。**关于这一点的证明，可以从下面两个恒等式中找到思路：
 
p ⊕ 1 = 非p；——增加一个“真命题”参与运算，总会将“原命题”变成其“反命题”；
 
p ⊕ 0 = p；——增加一个“假命题”参与运算，对“原命题”永远没影响；
 
同或运算
 
====
 
关于同或运算有以下几点要注意：
 
1.“同或”是一个数学运算符，应用于逻辑运算。 其运算法则为a同或b=ab+a‘b’（a’为非a）。
 
真“同或”假的结果是假，假“同或”真的结果也是假，真“同或”真的结果是真，假“同或”假的结果是真。
 
换句话说就是：两个值相同，则同或结果为真。反之，为假。——简称同真，异假。即，同或：相同为一，不同为零。
 
2. 同或符号为⊙。（圆圈内为点）
 
3. 同或和异或互为非运算。
 
4. 同或公式：
 
a⊙b=ab+a’b’(a’为非a，b’为非b)；
 
5. 同或真值表
 
a
b
a⊙b
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
 
最后
 
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