什么叫二进制？

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，0来表示“关”。

二进制的优点

数字装置简单可靠，所用元件少；

只有两个数码0和1，因此它的每一位数都可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示；

基本运算规则简单，运算操作方便。

十进制是啥呢？

600，3/5，-7.99……看着这些耳熟能详的数字，你有没有想太多呢?其实这都是全世界通用的十进制，即1.满十进一，满二十进二，以此类推……2.按权展开，第一位权为10^{0，第二位10}1……以此类推，第N位10^(N-1)，该数的数值等于每位位的数值*该位对应的权值之和。

二进制与十进制的计算方法

#口诀：除二取余，逆序
举个例子：

小数

#口诀：乘二取整，顺序
举个例子：

有符号数和无符号数

有符号数

有符号数是针对二进制来讲的。用最高位作为符号位，“0"代表”+"，“1"代表”-" ;其余数位用作数值位，代表数值。

有符号数的表示:计算机中的数据用二进制表示，数的符号也只能用0/1表示。一般用最高有效位(MSB)来表示数的符号，正数用0表示，负数用1表示。

如何区分有符号数和无符号数呢？

用0和1作为第一位来区分，0表示正数，1表示负数
举个例子：

数的机器码表示

原码：

原码(true form)是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位(即最高位为符号位):正数该位为0，负数该位为1(0有两种表示:+0和-0)，其余位表示数值的大小。

补码：

补码(two’s complement) 1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示（存储）。 主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补 码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。 2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

反码：

反码是数值存储的一种，多应用于系统环境设置，如linux平台的目录和文件的默认权限的设置umask，就是使用反码原理。

为什么要引入补码？

于是又引入了反码：

三者之间的转换方法：

举个例子：

再举个小数的例子：

总结

直接上图：

带符号二进制数的表示方法与常用编码

1.原码
字长最高位为符号位，正号用0表示，负号用1表示。
当字长为n位时，X=x_n-1 x_n-2 … x₁ x₀

• 整数

0 <= X < 2^n-1     X_原码=X
-2^n-1 < X < 0     X_原码=2^n-1-X = 2^n-1+|X| = 符号位为1，其余各位与数值相同

• 小数
  0 <= X < 1  X_原码=X
  -1 <X <= 0  X_原码=1+|X| = 1.x_n-1 x_n-2 … x₁ x₀
   

2.反码

• 整数
  0 <= X < 2^n-1  X_反码=X
  -2^n-1< X <= 0  X_反码=（ 2ⁿ-1）+X = 符号位保持不变，其余各位按位取反。
   
• 小数
  0<= X <1  X_反码=X
  -1<X<=0   X_反码=（ 2-2^-(n-1))+X

 
 
3.补码

• 整数
  0 <= X < 2^n-1  X_补码=X
  -2^n-1< X <= 0  X_补码=-2ⁿ+X = X_反码+1

• 小数
  0<= X <1   X_补码=X
  -1<X<=0   X_补码=2+X=X_反码+ 2^-（n-1）

负数的X_补码可以由X_反码最低位加1实现。
 

 
4.带符号数的加减法运算
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
带符号数的加减法运算是由补码来实现的，减去一个数是加上该数负数的补码。
[X+Y]_补码=[X]_补码+[Y]_补码=直接相加，符号位的进位溢出直接扔掉

5.溢出原因
最高数值位有进位，符号位无进位
最高数值位无进位，符号位有进位
即最高数值位与符号位进位情况相同时才不会溢出。
eg.

1. X=7=0111B
   Y=10=1010B
   X_补码+Y_补码=00111+01010=10001（溢出) （最高数值位有进位，符号位无进位）

2. X= -7 = -0111B
   Y= -10 = -1010B
   X_补码+Y_补码=11001+10110=101111（溢出）（符号位有进位，最高数值位无进位）

以4字节的整型为例，4byte=32bit：

32位数一共可以表示个数，对于有符号数来说，表示，其中第一位是符号位。符号为1表示负数；0表示正数。

源码表示：

注意：源码的反码和补码都是本身，负数的反码除符号位不变之外其他位均按位反，补码在反码的基础上加1。

负整数A补码的计算方法还可以是使用的二进制表示。