2，　二进制数的算术运算
2.1　二进制数的算术运算
二进制数的算术运算包括加法、减法、乘法和除法。
1)加法运算
加法进位规则:逢二进一。
加法运算法则:
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=10(向高位进位)
例:(1101)2+(1011)2=?，解算如下:

从执行加法的过程可知，两个二进制数相加时，每一位是3个数参加运算，除被加数位加上加数位外，还要加来自低位的进位(进位是0或1)。
2)减法运算
减法借位规则:借一当二。
减法运算法则:
0－0=1－1=0
1－0=1
0－1=1(向高位借位)
例:(11000011)2－(00101101)2=?，解算如下:

从执行减法的过程可知，两个二进制数相减时，每一位也是3个数参加运算，除被减数位减去减数位外，还要减去来自低位的借位(进位是0或1)。
3)　乘法运算
乘法运算法则:
0×0=0
0×1=1×0=0
1×1=1
例:(1110)2×(1101)2=?，解算如下:

从执行乘法的过程可知，从乘数的低位开始每一位与被乘数相乘得到一个部分积，乘数的相应位是0时，部分积为0，乘数的相应位是1时，部分积为被乘数，每一次的部分积均依次左移一位，部分积的个数是乘数的位数，将各部分积累加起来就得到最终乘积。
4)除法运算
除法运算法则:
0÷0=0
0÷1=0(1÷0无意义)
1÷1=1
例:(100110)2÷(110)2=?，解算如下:
在计算机内部，二进制加法运算是基本运算，减法可以用补码加法来实现，乘法和除法也可以用加法和移位操作来实现。
i

1．二进制数的算术运算

二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。
（1）二进制数的加法
  根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：
  0＋0＝0
  0＋1＝1＋0＝1
  1＋1＝0　（进位为1） 
  1＋1＋1＝1 （进位为1）

  例如：1110和1011相加过程如下：


  （2）二进制数的减法

  根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

  0－0＝0
  1－1＝0
  1－0＝1
  0－1＝1 （借位为1）

  例如：1101减去1011的过程如下：


  （3）二进制数的乘法

  二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

  0×0＝0
  0×1＝1×0＝0
  1×1＝1

  例如：1001和1010相乘的过程如下：


  由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

  （4）二进制数的除法

  二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

  例如：100110÷110的过程如下：


  所以，100110÷110＝110余10。

2．二进制数的逻辑运算

二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
  （1）逻辑“或”运算

  又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

  0＋0＝0或0∨0＝0
  0＋1＝1或0∨1＝1
  1＋0＝1或1∨0＝1
  1＋1＝1或1∨1＝1

  
  可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。

  （2）逻辑“与”运算

  又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

  0×1＝0或0·1＝0或0∧1＝0
  1×0＝0或1·0＝0或1∧0＝0
  1×1＝1或1·1＝1或1∧1＝1

  可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

  （3）逻辑“非”运算

  又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：


  可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

  （4）逻辑“异或”运算 
  “异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：

  00＝0 或 00＝0
  01＝1 或 01＝1
  10＝1 或 10＝1
  11＝0 或 11＝0

  可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1

 

 



　　（3） 乘法运算规则 　　　例如：二进制数之间可以执行算术运算和逻辑运算,其规则简单,容易实现。


　　（1） 加法运算规则

　　　0 + 0 = 0 　　 　　　　　例如： 1 1 0 1

　　　0 + 1 = 1 　　　　　　　　　+） 1 0 0 1

　　　1 + 0 = 1 　　　　　　　　　　

　　　1 + 1 = 0 （产生进位）　　　　1 0 1 1 0



　　（2） 减法运算规则

　　　0 - 0 = 0 　　　　　　　 例如：

　　　0 - 1 = 1 （产生借位） 　　　　1 1 0 1

　　　1 - 0 = 1 　　　　　　　　　-）0 1 1 1

　　　1 - 1 = 0 　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 　　　　　0 1 1 0

　　　0 × 0 = 0　 　　　　　　　　　1 1 0 1

　　　0 × 1 = 0 　　　　 　　　　× 1 0 0 1

　　　1 × 0 = 0　　　　　　　　　

　　　1 × 1 = 1　　　　　　　　　　 1 1 0 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　 0 0 0 0　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 0 0 0 0

　　　　　　　　　　　　　　　 1 1 0 1

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　 1 1 1 0 1 0 1

　　（4） 除法运算规则

　　二进制数除法的计算方法，与十进制数除法类似，也由减法、上商等操作分步完成。

　　例如：

　　

　　逻辑运算是在对应的两个二进制位之间进行的,与相邻的高低位的值均无关,即不存在进位、借位等问题。

　　（5） 逻辑或运算规则(运算符为V)

　　　0ν0=0 　　　　　　例如：

　　　0ν1=1 　　　　　　　　　1100

　　　1ν0=1 　　　　　　　 　ν1010

　　　1ν1=1　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　1110

　　（6） 逻辑与运算规则(运算符为Λ)

　　　0Λ0=0 　　　　　　例如：

　　　0Λ1=0 　　　　　　　　　1100

　　　1Λ0=0 　　　　　　　 　Λ1010

　　　1Λ1=1　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　 1000

　　（7） 逻辑非运算规则(运算符为)
 

　　逻辑非实现对单个逻辑值的处理,而不是对两个逻辑值的运算,逻辑非又被称为逻辑取反操作。对逻辑数1011逐位进行取反,其结果为0100。

　　（8） 逻辑异或运算规则(运算符为?)


　　与、或、非操作是三种最基本的逻辑操作，用它们可以组合出任何逻辑运算功能。某些情况下,还要用到逻辑异或操作。逻辑异或实现的是按位加功能, 只有参与异或操作的两个逻辑值不同时(一个为0,另一个为1),结果才为1，和或操作结果的差异表现在：或操作中1或1 =1，而异或操作则是 1 异或 1 = 0。

转载：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6e51df7f0100tmw4.html

无符号二进制数的算术运算
本文内容参考自王达老师的《深入理解计算机网络》一书<中国水利水电出版社>
一、无符号二进制数的运算规则:

无符号二进制数的加、减、乘、除四则算数运算法则其实与十进制数的四则算数运算法则是一一对应的。如果你理解了十进制的四则算数运算法则，那么理解无符号二进制数的四则运算相对来讲就很简单了

–引用自王达老师《深入理解计算机网络》一书


1、加法运算

加法运算法则：0+0=0，0+1=1,1+0=1,1+1=10(10就表示进位，要向高位进1)。

做二进制加法运算的时候，需要将两个二进制数右对齐(也就是从最低位开始对齐)，数值大的放上面(通俗理解就是二进制位数多的放上面)，数值小的放下面(通俗理解就是二进制位数少的放下面)，同时保证两数的每一位二进制位也对齐，如果两个二进制位仅有一位是1，相加结果为1，如果两个二进制位为0，则结果为0，如果两个二进制位均为1，则结果为10(10就相当于十进制中的2)，就是向高位进1(也就是逢二进一规则)，与十进制中的逢十进一意思一样。

在进行二进制加减法运算时，最关键的一点就是逢二进一，而借1当2！如果你熟悉十进制的加减运算法则，那是逢十进一，借1当十。这样就会比较好理解，无符号的二进制运算法则就是将十进制中的10换成2。

示例:计算(10010)B+(10010)B。(一定要注意两数是从最低位对齐！)
// 二进制加法计算示例
   被加数  10010
   加数    11010
   结果   101100
   说明:
   最低位都是0，结果为0，
   倒数第二位，都是1，结果为10---这里记得向更高位进位1，
   倒数第三位都是0，结果是0，但是进位1，所以结果是1，
   倒数第四位分别是1和0，结果是1，
   倒数第五位都是1，结果是10，这里记得向跟高位进位1，
   没有倒数第六位了，直接写上倒数第五位进位的那个1，
   合起来，结果就是101100。
   实际上和十进制的运算规则完全一致。
   只是你需要习惯将10改成2。


2、减法运算

减法运算法则:1-1=0，1-0=1,0-0=0,0-1=-1(这里记得需要向最高位借1)。

做二进制加法运算的时候，需要将两个二进制数右对齐(也就是从最低位开始对齐)，数值大的放上面(通俗理解就是二进制位数多的放上面)，数值小的放下面(通俗理解就是二进制位数少的放下面)，同时保证两数的每一位二进制位也对齐。如果两个相减的二进制位同为0或者1，则结果为0，如果被减数的二进制位为1，减数的二进制位为0，则结果为1，如果被减数的二进制位为0，减数的二进制位为1，则需要向高位借1，此时是借1当2，与十进制中借1当10一个意思。

示例:计算(111010)B+(101011)B。(一定要注意两数是从最低位对齐！)
// 二进制减法示例
 被减数   111010
   减数   101011
   结果   001111
   说明：
   被减数最低位是0，减数是1，这个时候，被减数需要向高位借1，
   结果为1，
   被减数倒数第二位是1，但是被最低位借了1，所以实际上是0
   ，减数是1，这个时候，被减数需要继续向倒数第三位借1，
   结果为1，
   被减数倒数第三位是0，但是被倒数第二位借了1，所以实际上是1，
   减数是0， 结果为1，
   被减数倒数第四位是1，但是被倒数第三位借了1，所以实际上是0，
   减数是1，结果为1，
   被减数倒数第五位是1，但是被倒数第四位借了1，所以实际上是0，
   减数是0，结果为0，
   被减数最高位是1，这个时候并没有被借位，所以是1，减数是1，
   结果为0。


3、乘法运算

乘法运算法则：0 * 0=0，0 * 1=0,1 * 0=0,1 * 1=1

只有当两个相乘的二进制数都为1时，相乘的结果才为1，两个相乘的二进制数中只要有一位为0，结果就是0，这与十进制中的乘法运算法则是一样的。

乘法运算法则中，乘数的每一位要与被乘数的每一位分别相乘，而不仅仅是对应位相乘，而且乘数的每一位与被乘数的每一位相乘的结果的最低位要与对应的被乘数位上下对齐，规则与十进制是一样的。

示例:计算(1010)B+(101)B。(一定要注意两数是从最低位对齐！)
 // 二进制乘法示例
 被乘数   1010
    乘数   101
    过程:首先用乘数的最低位去乘以被乘数的每一位，得出的结果:
    1010
    然后用乘数的倒数第二位再去乘以被乘数的每一位，得出的结果:
    0000
    最后再用乘数的倒数第三位去乘以被乘数的每一位，得出的结果:
    1010。
    这里得出了3个结果，这三个结果的排列是有讲究的，必须是
       1010
     0000
   1010
   第一个结果的最低位要与成熟的最低位对齐，
   第二个结果的最低位要与乘数的倒数第二位对齐，
   第三个结果的最低位要去乘数的最高位对齐！
   然后按照这种对齐格式，将这三个结果相加，
   得出最后相乘的结果(相加的规则参照加法运算):
   110010


3、除法运算

除法运算法则：当被除数大于除数时，商是1，当被除数小于除数时，商是0，这个与十进制的除法类似，因为二进制只有0和1，因此它的上也只能是0和1，你不要整出2，3，4，5，6，7，8，9来了。

示例:计算(11001)B+(101)B。
  // 二进制除法计算
   除数  101     被除数 11001
   说明:
   因为除数是101三位，所以我们先看被除数的前三位：110，
   110明显比101更大，所以上商先上1，那么就变成了
   11001
   101
   0010
   这里的操作与十进制是一样的，对齐的相减，
   未涉及的下一位直接写，
   结果是10，10明显比101更小，所以商上0，
   最后还有一位1，所以是101,101刚好和101完全相同，
   所以商上1。
   最后得出的商是：101。
   实际上你需要注意的是，二进制只有0和1，
   而十进制有0-9，运算步骤是类似的。

在此，再次感谢王达老师的《深入理解计算机网络》一书对本文的启发！

PS：时间有限，有关计算机基础的内容会持续更新！今天就先写这么多，如果有疑问或者有兴趣，可以加QQ：2649160693，并注明CSDN，我会就博文中有疑义的问题做出解答。同时希望博文中不正确的地方各位加以指正！