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  • 2018-12-16 13:52:36

    二进制除法

    在十进制中,从十位借一位到个位,用在个位减的时候,就是10+个位上的数,
    二进制,从十位借一位到个位,用在个位减的时候,就是2+个位上的数。
    定点数(整数),那就舍掉了。是浮点数,则继续加位运算,直到精度达到后舍掉。

    比如说:101-11,个位够减,为0,十位不够,从百位上借1,所以十位就为2,被减数十位-减数十位,为2-1=1,所以结果为10。

    二进制除法

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    二进制除法就是把十进制除法换成二进制表示。 主要掌握以下几点: 十进制与二进制相互转换 二进制乘法(对位相乘进位) 方法1: 按十进制除法的形式算,只是把元素全部表示为二进制。 方法2: 被除不动,除数...

    原理:

    二进制除法就是把十进制除法换成二进制表示。

    主要掌握以下几点:

    1. 十进制与二进制相互转换
    2. 二进制乘法(对位相乘进位)

    方法1:

    按十进制除法的形式算,只是把元素全部表示为二进制。
    在这里插入图片描述

    方法2:

    被除数不动,除数右移,相当于看最多几个除数累加能逼近于被除数。(加上余数后就等于被除数)
    在这里插入图片描述

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    此题主要要解决的是如何用减法模拟除法,如果一个一个减,是一定会超时的,效率也特别低。我们利用多重背包中的知识,即一个数可以由他的多个二进制组合表示。

    所以,我们从刚好小于他的二进制数开始减即可,如果不够了就让减数除以2,这样能实现log级别复杂度的算法。

    typedef long long ll;
    class Solution {
    public:
        int divide(int dividend, int divisor) {
            int sign = 1;
            if(dividend*(ll)divisor < 0)sign = -1;
    
            ll a = abs(dividend), b = abs(divisor);
    
            ll ans = 0;
            ll base = 1;
            while(b < a)b *= 2, base *= 2;
    
            while(a > 0)
            {
                while(a < b)b /= 2, base /= 2;
                ans += base;
                a -= b;
            }
    
            ans = ans*sign;
    
            if(ans > INT_MAX || ans < INT_MIN)return INT_MAX;
    
            return ans;
        }
    };
    
    展开全文
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    1. 题目

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    2. 读题(需要重点注意的东西)

    思路(二进制优化):
    主要思路是用减法减出最后所需要的商,但是一个个减是肯定会超时的,那么怎么优化呢?


    二进制优化:
    可以考虑使用二进制的方式来减,这就将所需减次数从n次缩小到了logn次:
    设被除数为x,除数为y,则可以预处理出2^30^y、2^29^y、2^28^y、...、2^0^y的值,然后从大到小去看每一项,即如果被除数x大于230y,则使得x = x - 230y,依次类推 229y、228y、…、20y,即可反推出商。


    接下来给个例子辅助理解:
    设有被除数为十进制数50,除数为9,预处理出22 * 9 = 36 , 21 * 9 = 18, 20 * 9 = 9
    则有:
    50 - 22 * 9 = 50 - 36 = 14
    14 - 20 * 9 = 5
    得到余数为5,商为22 + 20 = 5


    代码实现步骤:

    1. 处理符号,如果x和y的符号不同,需要全部处理为正数,若符号不同,最后则需要在答案中加上一个负号。(注意,最小负数的绝对值比最大正数多1,因此最小的负数转为正数后可能会溢出,因此要用longlong来存储转换后的值
    2. 计算 230y、229y、228y、…、20y的值
    3. 特判,若答案溢出,则返回 Integer.MAX_VALUE

    3. 解法

    ---------------------------------------------------解法---------------------------------------------------

    class Solution {
        public int divide(int x, int y) {
        	// 特判
            if(x == -2147483648 && y == 1) return Integer.MIN_VALUE;
            // 处理符号
            int flag = 1;
            if(x > 0 && y < 0 || x < 0 && y > 0) flag = -1;
            long a = x,b = y;
            if(a < 0) a = -a;
            if(b < 0) b = -b;
            // 预处理出2的各个次方乘y的结果
            long[] exp = new long[31];
            for(int i = 0;i < 31;i++) exp[i] = (1 << i) * b;
            
            // 减出商
            long res = 0;
            for(int i = 30;i >= 0;i--){
                if(a - exp[i] >= 0){
                    a -= exp[i];
                    res += (long)1 << i;
                }
            }
            res = flag*res;
            if(res > Integer.MAX_VALUE || res < Integer.MIN_VALUE) return Integer.MAX_VALUE;
            return (int)res;
        }
    }
    

    4. 可能有帮助的前置习题

    5. 所用到的数据结构与算法思想

    • 二进制优化

    6. 总结

    用二进制优化来使得时间复杂度优化为logn级,注意边界条件

    展开全文
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空空如也

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二进制数相除

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