二进制数的运算方法

　　　　　 

　 

    电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。



1．二进制数的算术运算

　　二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。

（1）二进制数的加法

　　根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：

0＋0＝0 

0＋1＝1＋0＝1 

1＋1＝0　（进位为1）  

1＋1＋1＝1 （进位为1）

例如：1110和1011相加过程如下：

（2）二进制数的减法

　　根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

0－0＝0 

1－1＝0 

1－0＝1 

0－1＝1 （借位为1）

例如：1101减去1011的过程如下：

（3）二进制数的乘法

　　二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

0×0＝0 

0×1＝1×0＝0 

1×1＝1

　　例如：1001和1010相乘的过程如下：

　　由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法

　　二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如：100110÷110的过程如下：

所以，100110÷110＝110余10。



2．二进制数的逻辑运算

　　二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。

（1）逻辑“或”运算

　　又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

0＋0＝0或0∨0＝0 

0＋1＝1或0∨1＝1 

1＋0＝1或1∨0＝1 

1＋1＝1或1∨1＝1

　 

　　可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。

（2）逻辑“与”运算

　　又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

0×1＝0或0·1＝0或0∧1＝0 

1×0＝0或1·0＝0或1∧0＝0 

1×1＝1或1·1＝1或1∧1＝1

　　可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

（3）逻辑“非”运算

　　又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：

　　可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

（4）逻辑“异或”运算  

“异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：

00＝0 或 00＝0 

01＝1 或 01＝1 

10＝1 或 10＝1 

11＝0 或 11＝0

可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1

　　以上仅就逻辑变量只有一位的情况得到了逻辑“与”、“或”、“非”、“异或”运算的运算规则。当逻辑变量为多位时，可在两个逻辑变量对应位之间按上述规则进行运算。特别注意，所有的逻辑运算都是按位进行的，位与位之间没有任何联系，即不存在算术运算过程中的进位或借位关系。下面举例说明。

【例1.1】 如两变量的取值 X＝00FFH，Y＝5555H

求Z1＝X∧Y；Z2＝X∨Y；Z3＝；Z4＝XY的值。

解：X＝0000000011111111

Y＝0101010101010101

则：Z1＝0000000001010101＝0055H

Z2＝0101010111111111＝55FFH


Z3＝1111111100000000＝FF00H


Z4＝0101010110101010＝55AAH

二进制数的运算方法




　

    电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。

1．二进制数的算术运算

　　二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。


（1）二进制数的加法


　　根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：



0＋0＝0

0＋1＝1＋0＝1

1＋1＝0　（进位为1） 

1＋1＋1＝1 （进位为1）


例如：1110和1011相加过程如下：





（2）二进制数的减法


　　根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：



0－0＝0

1－1＝0

1－0＝1

0－1＝1 （借位为1）


例如：1101减去1011的过程如下：





（3）二进制数的乘法


　　二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：



0×0＝0

0×1＝1×0＝0

1×1＝1



　　例如：1001和1010相乘的过程如下：




　　由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。


（4）二进制数的除法


　　二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。


例如：100110÷110的过程如下：




所以，100110÷110＝110余10。
 

2．二进制数的逻辑运算

　　二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。


（1）逻辑“或”运算


　　又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：



0＋0＝0或0∨0＝0

0＋1＝1或0∨1＝1

1＋0＝1或1∨0＝1

1＋1＝1或1∨1＝1

　

　　可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，或运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法加以区别。


（2）逻辑“与”运算


　　又称为逻辑乘，常用符号“×”或“· ”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：


0×1＝0或0·1＝0或0∧1＝0

1×0＝0或1·0＝0或1∧0＝0

1×1＝1或1·1＝1或1∧1＝1


　　可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。


（3）逻辑“非”运算


　　又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：








　　可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。
 
（4）逻辑“异或”运算 

“异或”运算，常用符号“”或“”来表示，其运算规则为：


00＝0 或 00＝0

01＝1 或 01＝1

10＝1 或 10＝1

11＝0 或 11＝0
可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1
 


　　以上仅就逻辑变量只有一位的情况得到了逻辑“与”、“或”、“非”、“异或”运算的运算规则。当逻辑变量为多位时，可在两个逻辑变量对应位之间按上述规则进行运算。特别注意，所有的逻辑运算都是按位进行的，位与位之间没有任何联系，即不存在算术运算过程中的进位或借位关系。下面举例说明。


【例1.1】 如两变量的取值 X＝00FFH，Y＝5555H


求Z1＝X∧Y；Z2＝X∨Y；Z3＝；Z4＝XY的值。


解：X＝0000000011111111

Y＝0101010101010101


则：Z1＝0000000001010101＝0055H

    Z2＝0101010111111111＝55FFH

    Z3＝1111111100000000＝FF00H

    Z4＝0101010110101010＝55AAH




                                                            
    【转载自太原理工大学课件】

(2)
实现上述功能的VB程序如下，请在①、②、③的划线处填入合适的代码。
Dim m As Integer
' 学生人数
Dim score(1 To 3000) As Integer  ' 存放学生分数
Dim xm(1 To 1000) As String  ' 存放学生姓名
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer, t As Integer, code As Integer, mc As
Integer
Dim a(0 To 100) As Integer  '存放每个分数的个数
Dim b(0 To 100) As Integer  '存放每个分数的名次
Dim
code_n(1 To 3) As String
code_n(1)
= "游泳" : code_n(2) = "跑步" :
code_n(3) = "跳远"
code
= Val(Text1.Text)
For i
= 0 To 100
a(i) = 0
Next
i
sum =
0
For i
= 1 To m  '计算每个分数的个数及体能测试优秀的人数
t =①
a(score(t)) = a(score(t)) + 1
If score(t) >= 90 Then sum = sum + 1
Next
i
mc =
1
For i
= 100 To 0 Step -1  '计算每个分数的名次
If a(i) <> 0 Then
b(i) = mc
mc =②
End If
Next
i
List2.Clear
List2.AddItem
" 姓名  " +③ + "
名次"
For i
= 1 To m
'在List2中输出m个学生的姓名、指定项目的分数及名次，代码略
Next
i
sum =
Int(sum / m * 10000 + 0.5) / 100
Label2.Caption
= "优秀率是：" + Str(sum) +"%"
End
Sub
Private
Sub Form_Load()
’从数据库读取姓名存入数组xm，体能测试数据存入数组score，总人数存入变量m。
’代码略
End
Sub
①________②________③________

二进制运算分为两大块：算数运算和逻辑运算。
１、二进制的算术运算
　　二进制数的算术运算非常简单，它的基本运算是加法。在计算机中，引入补码表示后，加上一些控制逻辑，利用加法就可以实现二进制的减法、乘法和除法运算。

1）二进制的加法运算
　　二进制数的加法运算法则只有四条：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10(向高位进位) 
　　例：计算1101+1011的和
　　由算式可知，两个二进制数相加时，每一位最多有三个数：本位被加数、加数和来自低位的进位数。按照加法运算法则可得到本位加法的和及向高位的进位。

（2）二进制数的减法运算
　　二进制数的减法运算法则也只有四条： 0-0=0　0-1=1(向高位借位) 1-0=1　1-1=0
　　例：计算11000011 00101101的差
　　由算式知，两个二进制数相减时，每一位最多有三个数：本位被减数、减数和向高位的借位数。按照减法运算法则可得到本位相减的差数和向高位的借位。

（3）二进制数的乘法运算
　　二进制数的乘法运算法则也只有四条： 0*0=0　0*1=0　1*0=0　1*1=1
　　例：计算1110×1101的积
　　由算式可知，两个二进制数相乘，若相应位乘数为1，则部份积就是被乘数；若相应位乘数为0，则部份积就是全0。部份积的个数等于乘数的位数。以上这种用位移累加的方法计算两个二进制数的乘积，看起来比传统乘法繁琐，但它却为计算机所接受。[b]累加器的功能是执行加法运算并保存其结果，它是运算器的重要组成部分。[/b]

（4）二进制数的除法运算
　　二进制数的除法运算法则也只有四条： 0÷0=0　0÷1=0　1÷0=0(无意义)　1÷1=1
　　例：计算100110÷110的商和余数。
　　由算式可知，(100110)2÷(110)2得商(110)2，余数(10)2。但在计算机中实现上述除法过程，无法依靠观察判断每一步是否“够减”，需进行修改，通常采用的有“恢复余数法”和“不恢复余数法”，这里就不作介绍了。 

２、二进制数的逻辑运算
　　计算机所以具有很强的数据处理能力，是由于在计算机里装满了处理数据所用的电路。这些电路都是以各种各样的逻辑为基础而构成的简单电路经过巧妙组合而成的。
　　逻辑变量之间的运算称为逻辑运算，它是逻辑代数的研究内容。在逻辑代数里，表示"真"与"假"、"是"与"否"、"有"与"无"这种具有逻辑属性的变量称为逻辑变量，像普通代数一样，逻辑变量可以用A，B，C，……或X，Y，Z……来表示。对二进制数的1和0赋以逻辑含义，例如用1表示真，用0表示假，这样将二进制数与逻辑取值对应起来。由此可见，逻辑运算是以二进制数为基础的。值得指出的是，普通代数的变量可以有各种各样的取值，而逻辑变量的取值只有两种：真和假，也就是1和0。
　　逻辑运算包括三种基本运算：逻辑加法（又称"或"运算）、逻辑乘法（又称"与"运算）和逻辑否定（又称"非"运算）。此外，还有异或运算和符合运算，等等。[b]计算机的逻辑运算是按位进行的，不像算术运算那样有进位或借位的联系。[/b]

（1）逻辑加法（“或”运算）
     逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。逻辑加法运算规则如下：
     0+0=0， 0∨0=0
     0+1=1， 0∨1=1
     1+0=1， 1∨0=1
     1+1=1， 1∨1=1
     从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1。

（2）逻辑乘法（“与”运算）
     逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。逻辑乘法运算规则如下：
     0×0=0， 0∧0=0， 0·0=0
     0×1=0， 0∧1=0， 0·1=0
     1×0=0， 1∧0=0， 1·0=0
     1×1=1， 1∧1=1， 1·1=1
     不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。

（3）逻辑否定（非运算）
     逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为：
     0=1 非0等于1
     1=0 非1等于0

（4）异或逻辑运算（半加运算）
     异或运算通常用符号"⊕"表示，其运算规则为：
     0⊕0=0 0同0异或，结果为0
     0⊕1=1 0同1异或，结果为1
     1⊕0=1 1同0异或，结果为1
     1⊕1=0 1同1异或，结果为0
     即两个逻辑变量相异，输出才为1