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  • 计算机原理二进制加法

    千次阅读 2020-05-08 11:44:32
    因为有了加法以后,就能做减法、乘法、除法等。那么我们就来看看加法原理到底是什么。 1、二进制加法表: 如上所示,一对二进制数相加的结果中具有两个数位,其中一位叫做加法位,另一位则叫做进位位。比如1...

    有人说:加法计算是计算机要做的唯一工作。因为有了加法器以后,就能做减法、乘法、除法等。那么我们就来看看加法器的原理到底是什么。

    1、二进制加法表:

    在这里插入图片描述
    如上所示,一对二进制数相加的结果中具有两个数位,其中一位叫做加法位,另一位则叫做进位位。比如1加1等于0,进位为1

    加法位如下所示:
    在这里插入图片描述
    进位位如下所示:
    在这里插入图片描述
    不知道这里大家看懂了没有?结合加法位和进位位的表格来看,举个例子,当为二进制的1+1的时候,从表格就可以推算出,其加法位的结果为0,进位位的结果为1,那么得到的二进制结果就为10。转换为十进制也就是2了。

    2、加法器

    从二进制加法表,我们找到了规律,记住!发明的任何事物的前提都是找到了规律,然后通过规律来进行总结和利用!
    那么如果根据这个规律来做出一个可用的加法器呢?
    我们知道电路通和断是两种状态,而这两种状态如果添加上一个灯泡。那么灯泡的亮和熄不就可以作为1和0来进行表示了吗?
    那么我们就可以先把加法器的基本框架想象出来!
    在这里插入图片描述
    如上所示,两排开关作为加数,而灯泡作为结果。
    开关通电作为0,开关闭合作为1
    灯泡亮作为1,灯泡熄作为0.
    那么我们接下来的事情,就是要设计出里面的逻辑电路,让灯泡表示的结果符合我们总结出来的二进制表中的规律。那么加法器不就做成功了吗?

    3、加法器中的逻辑

    上面我们说到进位的表格如下所示:
    在这里插入图片描述
    是不是很熟悉?我们的与门得到的结果似乎也是这样的呀
    在这里插入图片描述
    那是否就意味着可以利用与门来计算两个二进制加法的进位?没错!是的!

    进位有这样的规律,那么加法位是否也有这样的规律呢?
    加法位的表格是这样的:
    在这里插入图片描述
    虽然没有直接的方法可以获取到加法位的结果,但是你看下面!
    在这里插入图片描述
    通过一个或门+与非门能得到两个输出结果。这两个输出的结果和想要的结果的区别如下所示(这里的想要的结果,就是加法位的结果)
    在这里插入图片描述
    那么这个时候你观察下,或门的输入+与非门的输出,和想要的结果之间有什么关联吗?
    是的,这两个结果做一个与的操作,就能得到想要的结果了!
    即使用如下的电路图,就能实现一个加法位图标所示的逻辑!这个电路我们称为异或门!
    在这里插入图片描述
    异或门的符号记为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4、小结一下

    1、将两个二进制数相加将产生一个加法位和一个进位位,且这两个算法可以通过两个逻辑门来实现!
    在这里插入图片描述
    XOR:表示的是异或门
    AND:表示的是与门

    2、知道逻辑门可以实现算法后,我们可以使用下面的图来表示加法位和进位位的输出结果:
    在这里插入图片描述
    3、那为什么上面得到的叫半加器呢?因为他不够完善!半加器将两个二进制数相加,得到一个加法位和一个进位位。但是绝大多数二进制是多余1位的,半加器没有做到的是将之前一次的加法可能产生的进位位纳入到下一次运算。如下所示:
    在这里插入图片描述
    4、为了解决半加器的问题,我们接下来画个新的图:
    在这里插入图片描述
    分析该图:最左边第一个半加器的输入A和输入B,其输出是一个加和及相应的进位。这个和必须与前一列的进位输入相加,然后再吧他们输入到第二个半加器中。第二个半加器的输出和是最后的结果!
    在这里插入图片描述
    5、为什么加法器需要144个继电器?
    在这里插入图片描述
    6、如何使用全加器来组装加法器?
    a、这是组装的最终结果
    在这里插入图片描述
    b、首先将最右端的两个开关和最右端的一个灯泡连接到一个全加器上
    在这里插入图片描述
    当两个二进制数相加时,第一列的处理方式和其他列有所不同,因为后面的几列可能包括来自前面加法的进位,而第一列不会!所以加法器的进位输入端是接地的。这表示第一位的进位输入是一个0。第一列二进制数相加后很可能会产生一个进位输出,这个进位输出是下一列加法的输入
    c、加法器的8个全加器连接起来,应该就是如下图所示:
    在这里插入图片描述
    d、则8位二进制加法器的示意图如下所示:
    在这里插入图片描述

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  • 文章目录原理进制分解程序示例运算结果   在嵌入式环境中虽然有乘法运算,而且芯片运算速度越来越快,但位运算还是最快速的,为了提高计算效率,可以将乘法运算使用位运算替换。 原理   乘法可以用按位运算...


      在嵌入式环境中虽然有乘法运算器,而且芯片运算速度越来越快,但位运算还是最快速的,为了提高计算效率,可以将乘法运算使用位运算替换。

    乘法

    原理

      若被乘数是2的整数倍,可以直接进行左移运算,这个比较简单,本文解释下当被乘数不是2的整数倍的情况,乘法进行位运算替换的基本原理,分两步

    1. 因式分解: A(B+C)=AB+ACA * (B + C) = A * B + A * C
    2. 位移替换乘法 :A2n=A<<nA * 2 ^ n = A << n

    十进制分解

      以10的整数倍为例,进行10进制替换:
    10=8+2=23+2110 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1
    100=64+32+4=26+25+22100 = 64 + 32 + 4 = 2^6 + 2^5 + 2^2
    1000=1024168=21024231000 = 1024 - 16 - 8 = 2^{10} - 2^4 - 2^3

    程序示例

    a = 543
    m10 = 10 # 10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1
    m100 = 100 # 100 = 64 + 32 + 4 = 2^6 + 2^5 + 2^2
    m1000 = 1000 # 1000 = 1024 - 16 - 8 = 2^10 - 2^4 - 2^3
    
    am10_cheng0 = a * m10
    am100_cheng0 = a * m100
    am1000_cheng0 = a * m1000
    am10_cheng1 = (a << 3) + (a << 1)
    am100_cheng1 = (a << 6) + (a << 5) + (a << 2)
    am1000_cheng1 = (a << 10) - (a << 4) - (a << 3)
    print ("乘以10:",am10_cheng0,"  ",am10_cheng1)
    print ("乘以100:",am100_cheng0,"  ",am100_cheng1)
    print ("乘以1000:",am1000_cheng0,"  ",am1000_cheng1)
    

    运算结果

      将源码保存为python文件,使用python直接执行可以查看结果,结果如下:
    在这里插入图片描述

    除法

    原理

      跟乘法类似,若分母为2的整数倍,则直接进行右移运算,但若分母不是2的整数倍,则需要对分母进行分解。不过由于除法不能直接分解分母,需要将分母作为独立项进行拆分,除法位运算替换的基本原理,分三步

    1. 分子分母分离:BA=B1A\frac{B}{A} =B * \frac{1}{A}
    2. 分母算术分解: 1A=12n\frac{1}{A} =\sum\frac{1}{2^n}
    3. 位移替换乘法 :B2n=B&gt;&gt;n\frac{B}{2 ^ n} = B &gt;&gt; n

    十进制分解

      由于第二步的分母算术分解不容易,即不容易找到精确解,因此分数分解为12\frac{1}{2}的整数倍的和比较麻烦,而且若需要较高精度则需要更高阶的倍数,即其中的n要很大,以10为例:

    116+132+1256+1512=0.09960.1=110\frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512} = 0.0996 \approx0.1=\frac{1}{10}

      若在有限位内可以找到精确解,即灯饰两边刚好相等,而不是约等于,则可以进行分解运算,但是这样多运算也许并不比直接除法更快,因此如果除法的分母不是2的整数倍,而且并没有确定的分解方式,可以考虑直接使用除法。

    110116+132+1256+1512+14096=124+125+128+129+1212\frac{1}{10} \approx \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512} + \frac{1}{4096} = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{2^{12}}

    程序示例

    a = 543
    m10 = 10 
    
    # 1/10 ~= 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + 1/4096 
    #       = 1/2^4 + 1/2^5 + 1/2^8 + 1/2^9 + 1/2^12
    am10_chu0 = int(a / m10)
    am10_chu1 = (a >> 4) + (a >> 5) + (a >> 8) + (a >> 9) + (a >> 12)
    print ("除以10:",am10_chu0,"  ",am10_chu1)
    

    运算结果

      将源码保存为python文件,使用python直接执行可以查看结果,结果如下:
    在这里插入图片描述

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  • 利用逻辑门电路构造二进制加法

    万次阅读 2014-12-31 10:53:35
    下面简单阐述二进制加法机的构造原理,这是cpu计算单元的基本计算原理。 加法计算实际上分为两步,计算和和计算进位。在一般人进行加法运算的时候先计算两个数和,然后计算数进位,依此依次从低位计算到高位。二进制...
    计算机所做的计算处理只有加法,有了加法就可以用加法计算除法,乘法,减法。而计算机所处理的数据也只是二进制数也就是0和1。下面简单阐述二进制加法机的构造原理,这是cpu计算单元的基本计算原理。
    加法计算实际上分为两步,计算和和计算进位。在一般人进行加法运算的时候先计算两个数和,然后计算数进位,依此依次从低位计算到高位。二进制加法也是如此,比如 0101和 1111 计算相加,依此从低位的1和1加,计算和为0,进位为 1。然后再计算0和1加的和为1在与前一位的进位加的和为0,计算第二为的进位为1。依此类推,计算出两个四位二进制的和为10100,第一位为产生的进位。
    现在,我们对一位二进制和一位二进制的相加进行分析其为两步:计算和,计算进位

    那么这两步如何用电路构造呢?

    计算和和计算进位逻辑电路构造

    先说计算进位,进位比较简单。分析一下二进制进位的计算,当两个加数都0,结果就是0,其中一个是1,结果是0,两个都是1,结果为1。由于是二进制数相加,那么可以认为输入的两个加数为条件的真假,输出为结果的真假,那么二进制的计算进位逻辑和逻辑上的与是一样的,当两个条件为假,结果就是假,其中一个是假,结果是假,当两个都为真,结果就为真。这样就可以用上一章的逻辑门电路中与门来作为计算进位的处理单元。

    再说计算和 ,计算和并不如计算进位那么容易实现,但是总会有办法实现。计算和完成的工作如下:

    在对比一下或门完成的工作,如下:

    通过上下对比发现,和的结果和或门的结果很像,只不过右下角结果不同。在对比一下与非门完成的工作,如下:

    通过与和的结果对比发现,与非门与和的结果也很像,只不过左上角的结果不同,那么现在把或门和与非门如下连接:

    此时,把或门和与非门的结果和所需要的结果输出表对比一下,如下:

    如果把或门和与非门的做为输入端,所需结果作为输出端,那么其和与门的工作恰好相同,现在把电路做如下连接:

    其输出的结果对比表如下:

    此时结果刚好与和计算需要的结果相同,至此,计算和的逻辑门电路构造完毕。其有一个名字叫异或门,电气工程符号如下:

    这里,我们已经分别把计算二进制和和二进制进位的逻辑电路都做好好了,现在在把这连个逻辑电路组合到一起如下:

    把其用下图表示:

    现在这个电路只能用来计算一位加法,还需要做如下连接才能进行全加:

    把其用下图表示 :

    至此,我们已经构造了一个全加器,一个加法处理单元 。


    简单八位二进制加法器构造


    现在构造一个如下的二进制加法器:

    上面一行表示一个八位的二进制数 ,下面一行表示一个二进制数,底下的灯泡则表示结果,亮表示1,不亮表示0。多出来 的一个表示进位,亮表示有进位,不亮表示无进位。那么,前面的每一个计算的单元可以如下构造:

    其中,最后的 一个有进位 的单元构造如下:

    整体构造图:



    基本上,计算机就是按照这种原理进行计算的。


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  • 定点原码一位除法器(余数恢复法)的原理是根据人工进行二进制除法的规则:判断被除数与除数的大小,若被除数小则商上0,并在余数最低位补0,再用余数和右移一位的除数比,若够除则商上1,否则商上0。然后继续重复...
  • 定点原码一位除法器原理是根据人工进行二进制除法的规则:判断被除数与除数的大小,若被除数小,则上商0,并在余数最低位补0,再用余数和右移一位的除数比,若够除,则上商1,否则上商0。然后继续重复上述步骤,...
  • FPGA系统性学习笔记连载_Day8【4位乘法器、4位除法器设计】 【原理及verilog实现、仿真】篇 连载《叁芯智能fpga设计与研发-第8天》 【4位乘法器、4位除法器设计】 【原理及verilog实现、仿真】 原创作者:紫枫...

    FPGA系统性学习笔记连载_Day8【4位乘法器、4位除法器设计】 【原理及verilog实现、仿真】篇

     

    连载《叁芯智能fpga设计与研发-第8天》 【4位乘法器、4位除法器设计】 【原理及verilog实现、仿真】

    原创作者:紫枫术河 转载请联系群主授权,否则追究责任

    一、乘法器原理

    1、我们先看十进制的乘法过程

    可以看出来,我们是分别用乘数的个位、十位、百位与被乘数相乘分别得到 ;

    最后的结果 等于 A + B10 + C100 = 401050

    2、二进制的乘法过程

    可以看出来,二进制乘法和十进制是一致的

    最后的结果 等于 A + B2 + C4 + D*8 = 1991

    二、verilog代码实现

    mult4bit.v

    module mult4bit(
        input   [3:0]       a,
        input   [3:0]       b,
         
        output  [7:0]       y
    );
     
        wire    [7:0]   temp1;
        wire        [7:0]       temp2;
        wire        [7:0]       temp3;
        wire        [7:0]       temp4;
     
        assign temp1 = {4'b0000,a&{4{b[0]}}};
        assign temp2 = {3'b000,a&{4{b[1]}},1'b0};
        assign temp3 = {2'b00,a&{4{b[2]}},2'b0};
        assign temp4 = {1'b0,a&{4{b[3]}},3'b0};
         
        assign y = temp1 + temp2 + temp3 + temp4;
     
    endmodule
    

    三、编写仿真脚本

    mult4bit.v

    `timescale 1ns/1ps
     
    module mult4bit_tb();
     
        reg     [3:0]       a;
        reg     [3:0]       b;
         
        wire    [7:0]       y;
     
        mult4bit mult4bit_inst(
            .a      (a),
            .b      (b),
             
            .y      (y)
        );
     
        initial begin
            repeat (100)begin
                a = {$random}%16;
                b = {$random}%16;  
                #20;
            end
        end
     
    endmodule
    

    四、仿真结果

    仿真结果显示我们的乘法器设计正确

    五、除法器原理

    1、我们先看十进制的除法过程

    从十进制的除法运算,我们可以看见有几个步骤;

    1.1、首先除法是从高位至低位依次进行;

    1.2、每一位要加上前一位留下来的余数,组成一个新数和除数比较;

    1.3、当新数大于/等于除数时,写商求余;

    1.4、按照上述方式依次进行,直到被除数最末尾,除法运算结束。

    2、二进制的除法过程

    从图中可以看出二进制的除法,和十进制一致

    六、代码实现

    div4bit.v

    module div4bit(
        input   [3:0]       a,
        input       [3:0]       b,
         
        output  [3:0]       s,
        output  [3:0]       y
     
    );
     
        wire    [3:0]   part1;
        wire    [3:0]   part2;
        wire    [3:0]   part3;
        wire    [3:0]   part4;
         
        assign s[3]     = (a[3] >= b)?1'b1:1'b0;
        assign part1    = (a[3] >= b)?(a[3]-b):a[3];
         
        assign s[2] = ({part1[0],a[2]} >= b)?1'b1:1'b0;
        assign part2 = ({part1[0],a[2]} >= b)?({part1[0],a[2]}-b):{part1[0],a[2]};
         
        assign s[1] = ({part2[1:0],a[1]} >= b)?1'b1:1'b0;
        assign part3 = ({part2[1:0],a[1]} >= b)?({part2[1:0],a[1]}-b):{part2[1:0],a[1]};
     
        assign s[0] = ({part3[2:0],a[0]} >= b)?1'b1:1'b0;
        assign part4 = ({part3[2:0],a[0]} >= b)?({part3[2:0],a[0]}-b):{part3[2:0],a[0]};
     
        assign y = part4;
     
    //这段代码执行也是对的,但是编译器会报警告,因为我们把5bit的数据赋值给4bit
     
    //  assign s[3] = a[3] >= b;
    //  assign part1 = (s[3]) ? a[3] - b : a[3];
    // 
    //  assign s[2] = {part1,a[2]} >= b;
    //  assign part2 = (s[2]) ? {part1,a[2]} - b : {part1,a[2]};
    // 
    //  assign s[1] = {part2,a[1]} >= b;
    //  assign part3 = (s[1]) ? {part2,a[1]} - b : {part2,a[1]};
    // 
    //  assign s[0] = {part3,a[0]} >= b;
    //  assign part4 = (s[0]) ? {part3,a[0]} - b : {part3,a[0]};
    // 
    //  assign y = part4;
         
    endmodule
    

    七、编写仿真文件

    div4bit_tb.v

    `timescale 1ns/1ps
     
     
    module div4bit_tb();
            reg     [3:0]       a;
            reg [3:0]       b;
             
            wire    [3:0]       s;
            wire    [3:0]       y;
     
            div4bit div4bit_isnt(
                .a      (a),
                .b      (b),
                 
                .s      (s),
                .y      (y)
            );
     
            initial begin
                repeat(100)begin
                    a ={$random}%16;
                    b ={$random}%16;
                    #20;
                end
             
            end
     
    endmodule
    

    八、仿真结果

    从仿真结果可以看出,我们设计的4bit除法器正确。

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  • 1)采用二进制:机器用二进制表示数据和指令; 2)存储程序:将程序和数据存放在存储器中; 3)程序控制:计算机在工作时从存储器取出指令加以执行,自动完成计算任务; 4)指令的执行是顺序的:即一般按照指令在...
  • 唐朔飞计算机组成原理答案完整版

    热门讨论 2011-12-11 21:51:19
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  • 在发送端,将要传送的K位二进制信息码左移R位,再将它与生成多项式G(x)做模2除法,生成一个R位校验码(余数),附在信息码后,构成一个新的CRC码。 b.在接收端利用收到的编码做模2除法,以检测和确定出错的位置;...
  • 2.5.2 无符号二进制乘法 56 2.5.3 快速乘法 57 2.5.4 除法 59 2.6 浮点数 63 2.6.1 IEEE浮点数 64 2.7 浮点运算 68 2.8 浮点运算和程序员 70 2.8.1 浮点运算中的误差传播 71 2.8.2 生成数学函数 72 本章小结 74 习题...
  • D 4位乘法运算和除法运算功能 4. 存储单元是指______。 A 存放一个二进制信息位的存贮元 B 存放一个机器字的所有存贮元集合 C 存放一个字节的所有存贮元集合 D 存放两个字节的所有存贮元集合; 5. 相联存贮是按_...

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二进制除法器原理