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  • 二进制除法运算原理
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    2020-04-01 16:42:32

    二进制乘除法原理

    计算机所能完成的最基本操作是加减法和左右移。
    虽然ISA中一般都有MUL类指令,但是这些经过译码之后最终的元操作还是加法和移位指令。

    二进制乘法

    假设不能使用乘除运算求a×b的结果,当a=b=123时,最直接的方法是通过88个88相加。但是,我们不难发现这样的规律:
    123 × 123 = (100+20+3)×123 = (100×123) + (20 × 123) + (3 × 123)
    因此,我们需要进行计算的次数为min(len(a), len(b))
    根据这个原理,不难想出二进制的乘法运算:
    0011 * 1001 = ( 0011 * 1000)+( 0011 * 0001)
    注意,这时应该使用位移运算来取代乘法运算:
    0011*1000 => 3<<3
    0011 * 0001 => 3<<0

    //不用乘除做整数乘法运算
    int Mult(int a, int b){
    	int ans = 0;
    	for (int i = 0; i < 32; i++){
    		ans += ( b & (1 << i) ? a << i : 0);
    	}
    	return ans;
    }
    

    二进制除法

    二进制除法的原理与在十进制时差不多,但实现起来要比二进制乘法稍微复杂一些,先上一个例子(38除以6等于6余2):
    在这里插入图片描述
    我们从被除数的最高位开始,每步循环结束后被除数必定小于除数,然后通过位移的方式让被除数长度加1。

    No.运算结果余数
    11/11001
    210/110010
    3100/1100100
    41000/01101011
    50111/011011
    610/11001
    (个位数,循环结束)
    //二进制除法运算
    int Dvi(int a, int b){
    	int ans = 0;
    	for (int j = 31; j >= 0; j--){
    		int tmp = a >> j;
    		if (tmp >= b){
    			ans = ans | (1 << j);
    			a -= (b << j);
    		}
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    除法器(除法算法)是一类算法。给定两个整数 N(分子)和 D(分母),计算它们的和(或)余数。其中某些算法可以通过人工手动计算,而另一些则需要依赖数字电路的设计或软件。[1] 除法算法主要分为两类:慢除法快除法。慢除法在每次迭代的过程中给出结果(商)的一位数字。慢除法包括复原法(restoring)、非复原法(non-restoring)和SRT除法等。快除法从商的一个近似估计开始,并且在每次迭代过程中产生有效位数为最终商的两倍多的中间值。Newton-Raphson和GoldSchmidt属于这一类。-----维基百科

    本文所讲的除法器主要针对正整数的除法运算,使用的是慢除法的设计思想。

    上篇博客中提到乘法器是被乘数左移相加,而除法器刚好相反,是被除数左移相减。

    一、实现思想

    除法器实现思想:假设被除数data_a[3:0]=‘b0101,除数data_b[1:0]='b11,

    要想实现data_a[3:0]÷data_b[1:0] = result[3:0]......remainder[3:0],需要以下步骤:

    1、定义两个寄存器变量result[3:0]和remainder[3:0];

    2、每个时钟周期将data_a[3:0]向左移移位,移出的那一位送到remainder的最低位,即remainder <= {remainder[2:0],移出的那一位};

    3、比较移位后的remainder[3:0]与data_b[1:0]的大小,若remainder[3:0]>=data_b[1:0],则remainder[3:0]-data_b[1:0],同时result最低左移入1;若remainder[3:0]<=data_b[1:0],则remainder[3:0保持不变,同时result最低位左移入0;

    4、判断data_a[3:0]移位完成,若未完成,重复步骤2-3,反之输出完成标志信号。

    二、对应的算法状态机

    按照上述除法器的实现思想,可以画出除法器的实现流程,如下所示:

    图1 算法状态机

     图1中算法状态机描述了除法器的实现思想,接下来就可以根据算法状态机来画实现该电路的数据路径。

    三、数据路径

    图2 数据路径

     数据路径如图2所示,左移寄存器data_a在每个时钟周期将移出的数据data_bit0送给remainder移位寄存器的最低位,移位后的数据跟data_b相减是在en_c信号控制下进行的,同时result移位寄存器最低位移入0还是1也是由en_c决定的。这些信号何时有效在接下来的控制信号的流程图中都可以明确的给出。

    四、控制信号

    图3 控制信号

     根据图1和图2确定了使能信号在哪个状态应该使能,其中flag信号是移位完成标志信号。其余信号分别是寄存器和加法器的使能信号和加载信号,对比图2可以理清这些信号的功能。

    五、verilog描述

    接下来使用verilog描述上述数据路径,代码如下:

    顶层代码:

    module divider(input clk,
    					input rst,
    					input start,
    					input load_a,
    					input load_b,
    					input [3:0]data_a,
    					input [1:0]data_b,
    					output [3:0]result,
    					output [3:0]remainder,
    					output reg done
        );
    wire flag;
    reg en_a;
    reg en_b;
    reg en_c;
    reg load_c;
    wire valid;
    //wire [3:0]remainder;
    parameter s0 = 'b001;
    parameter s1 = 'b010;
    parameter s2 = 'b100;
    reg [2:0]current_state = 'd0;
    reg [2:0]next_state = 'd0;
    reg en_o = 'd0;///结果移位使能信号
    
    ///次态向现态转移
    always @(posedge clk)
    	if(!rst)
    		current_state <= s0;
    	else
    		current_state <= next_state;
    ///次态生成
    always@(*)
    	case(current_state)
    		s0:	begin
    			if(start)
    				next_state <= s1;
    			else
    				next_state <= s0;
    		end
    		s1:	begin
    			if(flag)	
    				next_state <= s2;
    			else
    				next_state <= s1;
    		end
    		s2:	begin
    			if(!start)
    				next_state <= s0;
    			else
    				next_state <= s2;
    		end
    		default:
    				next_state <= s0;
    	endcase
    ///输出结果赋值
    always@(*)
    	case(current_state)
    		s0:	begin
    			load_c = 'd1;
    			en_a = 'd0;
    			en_b = 'd0;
    			en_c = 'd0;
    			done = 'd0;
    			en_o = 'd0;
    		end
    		s1:	begin
    			en_o = 'd1;
    			load_c = 'd0;
    			en_a = 'd1;
    			en_b = 'd1;	
    			done = 'd0;
    			if(valid&&(data_b!=0))	begin
    				en_c = 'd1;
    			end
    			else	begin
    				en_c = 'd0;				
    			end
    		end
    		s2:	begin
    				load_c = 'd0;
    				en_a = 'd0;
    				en_b = 'd0;	
    				en_c = 'd0;	
    				done = 'd1;	
    				en_o = 'd0;				
    		end
    		default:	begin
    				load_c = 'd1;
    				en_a = 'd0;
    				en_b = 'd0;	
    				en_c = 'd0;	
    				done = 'd0;	
    				en_o = 'd0;					
    		end
    	endcase
    wire data_bit0;
    wire enb_control;
    // Instantiate the module	
    left_shifter left_shifter (
        .clk(clk), 
        .en_a(en_a), 
        .load_a(load_a), 
        .data_a(data_a), 
    	 .flag(flag),///移位完成标志位
    	 .enb_control(enb_control),
        .data_bit0(data_bit0)
        );
    // Instantiate the module
    left_shifter_se left_shifter_se (
        .clk(clk), 
        .en_b(en_b), 
        .en_c(en_c), 
        .load_b(load_b), 
        .data_bit0(data_bit0), 
        .data_b(data_b), 
    	 .valid(valid),
        .remainder(remainder),
    	 .enb_control(enb_control)
        );
    // Instantiate the module
    result_1 result_1 (
        .clk(clk), 
    	 .load_c(load_c),
        .en_c(en_c), 
    	 .en_o(en_o),
        .result(result)
        );
    endmodule
    

     data_a左移寄存器代码:

    module left_shifter(input clk,
    						  input en_a,
    						  input load_a,
    						  input [3:0]data_a,
    						  output flag,
    						  output data_bit0,
    						  output enb_control
        );
    reg [3:0]data = 'd0;
    always @(posedge clk)
    	if(load_a)	begin
    		data <= data_a;
    	end
    	else if(en_a)	begin
    		data <= {data[2:0],1'b0};
    	end
    	else	begin
    		data <= data;
    	end
    assign data_bit0 = data[3];
    reg [2:0]count = 'd0;
    always @(posedge clk)
    	if(load_a)
    		count <= 'd0;
    	else if(en_a)
    		count <= count + 'd1;
    	else
    		count <= count;
    assign flag = (count=='d4)?'d1:'d0;
    assign enb_control = (count=='d4)?'d0:'d1;
    		
    endmodule
    

     remainder左移寄存器及加法器代码:

    module left_shifter_se(input clk,
    							  input en_b,//控制以为寄存器使能
    							  input en_c,//控制余数和被除数相减的减法器使能
    							  input load_b,
    							  input data_bit0,
    							  input [1:0]data_b,//被除数
    							  output reg valid = 'd0,
    							  output reg [3:0]remainder,
    							  input enb_control
        );
    reg [3:0]remainder_1 = 'd0;
    
    always @(posedge clk)
    	if(load_b)	
    		remainder <= 'd0;
    	else if(en_b&enb_control)	
    		remainder <= {remainder_1[2:0],data_bit0};
    	else	
    		remainder <= remainder_1;
    
    always @(*)
    	if(load_b)
    		remainder_1 = 'd0;
    	else if(en_c)
    		remainder_1 = remainder + (~data_b+1);
    	else
    		remainder_1 = remainder;
    
    always @(*)
    	if(remainder >= data_b)
    		valid = 'd1;
    	else
    		valid = 'd0;
    		
    endmodule
    

     result左移寄存器代码:

    module result_1(input clk,
    				  input en_c,
    				  input load_c,
    				  input en_o,
    				  output reg[3:0]result = 'd0
        );
    always @(posedge clk)
    	if(load_c)
    		result <= 'd0;
    	else if(en_o)	begin
    		if(en_c)
    			result <= {result[2:0],1'b1};
    		else
    			result <= {result[2:0],1'b0};
    	end
    	else
    		result <= result;
    endmodule
    

    仿真文件代码:

    module test;
    
    	// Inputs
    	reg clk;
    	reg rst;
    	reg start;
    	reg load_a;
    	reg load_b;
    	reg [3:0] data_a;
    	reg [1:0] data_b;
    
    	// Outputs
    	wire [3:0] result;
    	wire [3:0]remainder;
    	wire done;
    
    	// Instantiate the Unit Under Test (UUT)
    	divider uut (
    		.clk(clk), 
    		.rst(rst), 
    		.start(start), 
    		.load_a(load_a), 
    		.load_b(load_b), 
    		.data_a(data_a), 
    		.data_b(data_b), 
    		.result(result), 
    		.remainder(remainder),
    		.done(done)
    	);
    
    	initial begin
    		// Initialize Inputs
    		clk = 0;
    		rst = 0;
    		start = 0;
    		load_a = 0;
    		load_b = 0;
    		data_a = 0;
    		data_b = 0;
    
    		// Wait 100 ns for global reset to finish
    		#100;
            
    		// Add stimulus here
    
    	end
    	 always #5 clk = ~clk;
    	reg[4:0] cnt = 'd0;
    	always @(posedge clk)
    		if(cnt == 'd30)
    			cnt <= 'd30;
    		else
    			cnt <= cnt + 'd1;
    	///复位信号
    	always @(posedge clk)
    		if(cnt <= 'd2)
    			rst <= 'd0;
    		else
    			rst <= 'd1;
    	//加载信号和数据
    	always @(posedge clk)
    		if((cnt> 'd2)&&(cnt < 'd5))	begin
    			load_a <= 'd1;
    			load_b <= 'd1;
    			data_a <= 'd5;
    			data_b <= 'd3;
    		end
    		else	begin
    			load_a <= 'd0;
    			load_b <= 'd0;
    			data_a <= 'd0;
    			data_b <= data_b;
    		end
    	///start信号
    	always @(posedge clk)
    		if((cnt> 'd8)&&(cnt < 'd25))
    			start <= 'd1;
    		else
    			start <= 'd0;
    endmodule
    
    

     Isim行为仿真结果:

    图4 仿真波形

     由仿真结果可知,在done信号拉高时,输出正确的除法结果。本实例中:data_a = 5,data_b=3;5 ÷ 3 = 1...2 。

     

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  • 二进制补码乘法除法 1)二进制乘法 (1) Binary Multiplication) Binary numbers can be multiplied using two methods, 二进制数可以使用两种方法相乘, Paper method: Paper method is similar to multiplication ...

    二进制补码乘法除法

    1)二进制乘法 (1) Binary Multiplication)

    Binary numbers can be multiplied using two methods,

    二进制数可以使用两种方法相乘,

    1. Paper method: Paper method is similar to multiplication of decimal numbers on paper.

      纸张方法:纸张方法类似于纸张上十进制数字的乘法。

    2. Computer method: Computer method is used by digital machines to multiply the binary numbers.

      计算机方法:数字计算机使用计算机方法乘以二进制数。

    However, both these methods follow the same rule of multiplication which is,

    但是,这两种方法都遵循相同的乘法规则,即

        0 * 0 = 0
        0 * 1 = 0
        1 * 0 = 0
        1 * 1 = 1
    
    

    Note: If two binary numbers are of 'n' bits each in magnitude, then their product can be maximum '2n' bits long in magnitude.

    注意:如果两个二进制数的大小均为'n'位,则它们的乘积最大为'2n'位。

    长手乘法/纸张方法 (Long Hand Multiplication/Paper Method)

    The long Hand Multiplication technique is similar to decimal multiplication that we do on paper.

    长手乘法技术类似于我们在纸上进行的十进制乘法。

    In this technique, we multiply the multiplicand with each bit of multiplier and add the partial products together to obtain the result.

    在这项技术中,我们将被乘数与乘数的每一位相乘,并将部分乘积相加以获得结果。

    We scan the multiplier from the RHS, if the multiplier bit is 1 then we copy the whole multiplicand in the partial product and if the multiplier bit is 0, we replace all the bits of the multiplicand with 0 in the partial product.

    我们从RHS扫描乘数,如果乘数位为1,则复制部分乘积中的整个被乘数,如果乘数位为0,则将乘积中的所有位替换为部分乘积中的0。

    Example 1: Compute (10)2 * (11)2

    示例1:计算(10) 2 *(11) 2

    Solution:

    解:

    binary multiplication 1

    Therefore, the result is (10)2 * (11)2 = (110)2

    因此,结果是(10) 2 *(11) 2 =(110) 2

    Verification:

    验证:

    We can verify our result by converting the binary numbers to respective decimal numbers and multiplying them to get the result.

    我们可以通过将二进制数字转换为相应的十进制数字并乘以它们以获得结果来验证我们的结果。

    Here, (10)2 = (2)10, (11)2 = (3)10 and (110)2 = (6)10. When we will multiply 2 and 3, we will get the product as 6, which we are getting by multiplication of binary numbers. Hence our solution is correct.

    在此, (10) 2 =(2) 10(11) 2 =(3) 10(110) 2 =(6) 10 。 当我们将23相乘时,我们将得到乘积为6 ,这是通过二进制数相乘得到的。 因此,我们的解决方案是正确的。



    Example 2: Compute (111)2 * (101)2

    示例2:计算(111) 2 *(101) 2

    Solution:

    解:

    binary multiplication 2

    Therefore, the result is (111)2 * (101)2 = (100011)2

    因此,结果为(111) 2 *(101) 2 =(100011) 2



    Example 3: Compute (1010.01)2 * (1.01)2

    示例3:计算(1010.01) 2 *(1.01) 2

    Solution:

    解:

    binary multiplication 3

    Therefore, the result is (1010.01)2 * (1.01)2 = (1100.1101)2

    因此,结果为(1010.01) 2 *(1.01) 2 =(1100.1101) 2

    2)二进制除法 (2) Binary Division)

    Like binary multiplication, division of binary numbers can also be done in two ways which are:

    像二进制乘法一样,二进制数的除法也可以通过两种方式完成:

    1. Paper Method: Paper Method division of binary numbers is similar to decimal division.

      纸张方法 :纸张方法对二进制数的除法类似于十进制除法。

    2. Computer Method: Computer Method is used by the digital devices where they make use of 2's complement of a number to subtract the numbers during division.

      计算机方法 :数字设备使用数字方法使用数字的补码来在除法运算中减去数字。

    长手分割法/纸法 (Long Hand Division Method/Paper Method)

    In binary division, there are only two possibilities either 0 or 1. If the divisor goes into the dividend then quotient will be 1 and if the divisor doesn’t then the quotient will be 0. Similar, to decimal division, we will subtract divisor from the dividend and the result will be appended by the next bit in the dividend. This process repeats until all the bits of the dividend are considered.

    二进制除法中 ,只有两种可能性,即0或1。如果除数进入被除数,则商将为1;如果除数没有,则商将为0。类似于十进制除法,我们将减去除数的红利和结果将被添加到红利的下一位。 重复此过程,直到考虑了除数的所有位。

    Example 1: Divide (111101)2 by (100)2

    范例1:将(111101) 2除以(100) 2

    Solution:

    解:

    binary division 1

    Therefore, the result is (111101)2 / (100)2 gives (1111)2 (Quotient) and 1 (Remainder)

    因此,结果为(111101) 2 /(100) 2得出(1111) 2 (商)和1(余数)



    Example 2: Divide (110101.11)2 by (101)2

    范例2:将(110101.11) 2除以(101) 2

    Solution:

    解:

    binary division 2

    Therefore, the result is (110101.11)2 / (101)2 gives (1010.11)2.

    因此,结果为(110101.11) 2 /(101) 2给出(1010.11) 2

    Verification:

    验证:

    We can verify our result by converting the binary numbers to respective decimal numbers and then dividing the dividend by the divisor to get the result.

    我们可以通过将二进制数字转换为相应的十进制数字,然后将除数除以除数来得到结果,从而验证我们的结果。

    Here, (110101.11)2 = (53.75)10, (101)2 = (5)10 and (1010.11)2 = (10.75)10. When we will divide 53.75 by 5, we will get the result as 10.75, which we are getting by doing division of binary numbers. Hence our solution is correct.

    在此, (110101.11) 2 =(53.75) 10(101) 2 =(5) 10(1010.11) 2 =(10.75) 10 。 当我们将53.75除以5时 ,将得到10.75的结果,这是通过对二进制数进行除法得到的。 因此,我们的解决方案是正确的。



    Example 3: Divide (1010.1)2 by (101.01)2

    示例3:将(1010.1) 2除以(101.01) 2

    Solution:

    解:

    binary division 3

    Therefore, the result is (1010.1)2 / (101.01)2 gives (10)2.

    因此,结果是(1010.1)2 /(101.01)2给出了(10)2。

    翻译自: https://www.includehelp.com/basics/binary-multiplication-and-division.aspx

    二进制补码乘法除法

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二进制除法运算器