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  • MATLAB计算二重数值积分(dblquad)
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    2020-12-22 23:44:06

    第二,启动MATLAB,新建脚本(Ctrl+N),输入如下代码:

    close all; clear all; clc

    figure('Position',[50,50,600,500],'Name','double integration')

    f=@(x,y) x*sin(y)-cos(x)+y-3;

    Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)

    x=linspace(0,2*pi);y=linspace(-pi,pi);

    ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3;

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)

    grid on; view(35,35)

    xlabel('x','FontSize',15); ylabel('y','FontSize',15)

    其中Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)采用默认方法quad计算二重积分,绝对计算精度设为1.0e-3。

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)是绘制被积分函数ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3的图像。

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    c67123b8d0c33b6467c463eae7fb77d3.png

    工具/材料

    MATLAB

    dblquad

    plot3

    操作方法

    01

    第一,使用MATLAB计算下图中的二重积分。

    348df3434420dabcce76196cc550022a.png

    02

    第二,启动MATLAB,新建脚本(Ctrl+N),输入如下代码:

    close all; clear all; clc

    figure('Position',[50,50,600,500],'Name','double integration')

    f=@(x,y) x*sin(y)-cos(x)+y-3;

    Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)

    x=linspace(0,2*pi);y=linspace(-pi,pi);

    ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3;

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)

    grid on; view(35,35)

    xlabel('x','FontSize',15); ylabel('y','FontSize',15)

    其中Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)采用默认方法quad计算二重积分,绝对计算精度设为1.0e-3。

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)是绘制被积分函数ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3的图像。

    5c9dc3ab17251c5de854e4ad62c2235c.png

    03

    第三,保存和运行上述脚本,在命令行窗口(Command Window)得到如下结果:

    Q1 =

    -118.4351

    也就是说,该二重数值积分的结果为-118.4351.

    90698472d15699dc6229e9d59aeca06b.png

    04

    第四,同时得到被积分函数x.*sin(y)-cos(x)+y-3的图像。

    32ee1849b1451f06e722f829d49e155e.png

    05

    第五,在Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)后面再添加一行命令,Q2=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3,'quadl')。也就是在绝对计算精度都是1.0e-3的情况下,使用quadl方法计算二重数值积分。

    1523f7984f520698b40b471a64a4b7ce.png

    06

    第六,保存和运行上述脚本,在命令行窗口(Command Window)得到采用quad方法(默认)和quadl方法计算的二重数值积分结果。

    Q1 =

    -118.4351

    Q2 =

    -118.4355

    也就是说,采用采用quad方法(默认)计算的二重数值积分结果为-118.4351,而采用quadl方法计算的二重数值积分结果为-118.4355,两者在小数点第四位略有差别。

    e6282a140e8a5e5f35a7190ead153cf9.png

    好了,以上就是大致内容了,(END)

    按照积分变量dxdy的顺序,x称为内积分变量,y称为外积分变量。

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    报 告

    专业:

    学号:

    学生姓名:

    指导教师:

    一、题目

    数值积分中二重积分探究。

    二、理论

    数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单,就是将积分核用插值多项式替代,用多项式的结果近似定积分的值。

    一般常用的方法是,将积分区间等分为个子区间,即取步长

    子区间端点为(k=0,1,…,n),在每个子区间上套用插值积分公式,再将个区间的结果累加起来。

    比较常用的有梯形公式,是在每个子区间上用1阶多项式(即直线段)近似并积分的结果:

    另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是,在每个子区间上用2阶多项式(即抛物线)近似并积分,得到著名的辛普森(Simpson)公式:

    其中。

    三、方法、算法与程序设计

    Ⅰ.辛普森公式求二重积分

    考虑二重积分,它是曲面与平面区域R围成的体积,对于矩形区域,可将它写成累次积分

    若用复合辛普森公式,可分别将,分成N,M等份,步长

    ,,

    先对积分,应用复合辛普森公式,令,,则

    从而得

    。对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求得积分值。MATLAB程序见附录1,MATLAB中自带自适应辛普森公式dblquad(),对于变量区域同样适用。

    对于变量区域,写成累次积分的形式:

    进行数值计算的表达式为:

    上面的表达式中、表示权重,取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森公式,先对内积分进行计算,在计算外积分,与矩形区域情况基本一致。

    Ⅱ高斯求积公式求二重积分

    在高斯求积公式中,若取权函数,区间为,则得公式

    勒让德多项式是区间上的正交多项式,因此,勒让德多多项式的零点就是求积公式的高斯点。

    若取的零点做节点构造求积公式

    若取的零点构造求积公式

    当时,求积公式为

    同样先用高斯求积公式求内积分,再求外积分,可得二重积分值。

    四、算例、应用实例

    算例:

    计算二重积分。

    (1)若区域,试分别用复合辛普森公式(取n=4)及高斯求积公式(取n=4)求积分。

    (2)若区域用复合辛普森公式(取n=4)求积分。

    解:

    (1)

    =

    对各个积分应用复合辛普森公式。

    也可应用MATLAB中的函数进行计算,程序见附录2。

    先将区域变换为区域,其中

    ,等价于,有

    对于取时的高斯求积公式节点及系数,即

    ,,,,

    ,,,

    用的高斯积分公式计算积分I,

    (2)

    等分为4等份,对应值为的值,用

    节点应用辛普森公式对内积分求积,再用复合辛普森公式对外积分求积,

    也可用MATLAB中的函数实现,结果和程序如下(附录3)。

    五、参考文献

    【1】 数值分析 李庆扬,王朝能,易大义 清华大学出版社

    【2】 数值分析课程设计 陈越,童若锋 浙江大学出版社

    【3】 MATLAB教程 张志涌 北京航空航天大学出版社

    六、附录

    附录1:

    function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,n)if(m==1 && n==1)??%辛普森公式q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2}));else?? %复合辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)/2/n;y=b+2*j*(B-b)/2/m;?????????

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二重数值积分