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  • 二重数值积分

    2012-05-24 13:44:26
    使用高斯、复合梯形、复合辛普生求解二重积分(矩形求积区域和三角型求积区域)的数值计算方法,使用C语言。
  • 提出了利用人工鱼群算法求解二重数值积分的方法,将不等距离分割方法与人工鱼群算法相结合来求解数值积分同时在积分求和式子中引入一个参数。最后给出几个数值积分算例,并与其它数值积分方法作了比较,仿真结果分析...
  • 该方法通过对被积函数进行恰当的离散化,将二重数值积分问题转化为矩阵运算,从而易于求解、方便计算。该方法不仅适用于积分区域是矩形区域,也适用于二重变限积分的情况。数值算例验证了该方法的可行性及有效性。
  • ylabel('y','FontSize',15) 其中Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)采用默认方法quad计算二重积分,绝对计算精度设为1.0e-3。 plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)是绘制被积分函数ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3的图像。

    第二,启动MATLAB,新建脚本(Ctrl+N),输入如下代码:

    close all; clear all; clc

    figure('Position',[50,50,600,500],'Name','double integration')

    f=@(x,y) x*sin(y)-cos(x)+y-3;

    Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)

    x=linspace(0,2*pi);y=linspace(-pi,pi);

    ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3;

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)

    grid on; view(35,35)

    xlabel('x','FontSize',15); ylabel('y','FontSize',15)

    其中Q1=dblquad(f,0,2*pi,-pi,pi,1.0e-3)采用默认方法quad计算二重积分,绝对计算精度设为1.0e-3。

    plot3(x,y,ff,'r','LineWidth',3)是绘制被积分函数ff=x.*sin(y)-cos(x)+y-3的图像。

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  • 对于本节内容,主要分为两个部分讲解,数值微分和数值积分,那么下面,就开始今天的学习吧!一、数值微分在正式开始之前,有几个新概念需要讲解一下(1) 数值差分与差商:微积分中 ,任意函数 f(x) 在x0 点的导数是...
    5b9e286c94e216d705256d9c8ee640dc.png点击上方蓝字  关注我们a75c5ffbe257477ab09f9ed49cb6675e.png

    从本节开始,我们将进入matlab的数值微积分与方程求解模块,一起学习如何利用matlab去解决微积分问题。

    对于本节内容,主要分为两个部分讲解,数值微分和数值积分,那么下面,就开始今天的学习吧!

    6a7a00b5f7847077bdc369e065214e1c.png一、数值微分

    在正式开始之前,有几个新概念需要讲解一下(1) 数值差分与差商:微积分中 ,任意函数 f(x) 在x0 点的导数是通过极限定义的(如下图所示):

    732b3c9af39d32636b4fc2038b2a199c.png

    如果去掉极限定义中h趋向于0的极限过程,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差分、向后差分和中心差分公式(如下图):

    58f0f697c4d4dfe8427a25b3cc4c32ad.png

    当步长h充分小时,得到函数在x0 点处以h( h>0 )为步长的向前差商、向后差商和中心差商公式(如下图):

    918f4d6e3dd7a0baa49124ddfe798940.png

    函数 f(x) 在 点x0的微分接近于函数在该点的差分,而f在点x的导数接近于函数在该点的差商。

    (2)数值微分的实现:

    MATLAB 提供了求向前差分的函数diff ,其调用格式有三种:

    dx=diff(x) :计算向量x的向前差分, dx(i)=x(i+1)- x(i) , i=1,2, … ,n, n- 1 。

    dx=diff( x,n) ) :计算向量x的n阶向前差分。例如,diff(x,2)=diff(diff(x)) 。

    dx=diff( A,n,dim) ) :计算矩阵A的n阶差分, dim=1 时(默认状态),按列计算差分;dim=2 ,按行计算差分。

    注意 :diff 函数计算的是向量元素间的差分,故差分向量元素的个数比原向量少了一个。同样,对于矩阵来说,差分后的矩阵比原矩阵少了一行或一列。

    另外,计算差分之后,可以用 f(x) 在某点处的差商作为其导数的近似值。

    例、设f(x)=ln(x),采用上述方法绘制出[0,10]之间的其导函数的图像,求解出导函数在1处的值,对比理论值1之间的差值,看相差大不大。

    >>  x=0:0.01:10;

    y=log(x);

    f1=diff(y)./diff(x);

    plot(x(1:end-1),f1);

    打开matlab的工作区查看f1在100处的值,即就是导函数在1处的值(如图):

    65becb078f314153add54b1eba5e9a0e.png

    值为1.005,与理论值1相差0.005,可能是由于x=0:0.01:10;这一语句导致,发现当取点越多时,结果越接近1,再看图像,其符合1/x的函数图像。

    d34741577bc6fd9818be9c5e3b819369.png6a7a00b5f7847077bdc369e065214e1c.png二、 数值积分

    1、数值积分基本原理在高等数学中,计算定积分依靠微积分基本定理,只要找到被积函数 f(x)的原函数F(x),则可用 牛顿 — 莱布尼兹 ( Newton- - Leibniz ) 公式:

    86a1284f3a5b4ccdf74593e6a09cd9ae.png

    在有些情况下,应用牛顿—莱布尼兹公式有困难,例如,当被积函数的原函数无法用初等函数表示,或被积函数是用离散的表格形式给出的。这时就需要用数值解法来求定积分的近似值 。

    求定积分的数值方法多种多样,如梯形法、辛普森( Simpson )法 、高斯求积公式等。它们的基本思想都是将积分区间 [a , b] 分成n个子区间 [xi,xi+1] ,i=1 ,2 ,… ,n,其中x1 =a ,xn+1=b ,这样求定积分问题就分解为下面的求和问题。

    32a7f69a9d22f132b7de4bfaf9dab762.png

    在 每一个小的子区间上定积分的值可以近似求得, , 从而避免了 牛顿 — 莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难 。

    2、数值积分的实现(1)基于自适应辛普森方法:[ I,n ]=quad( filename,a,b,tol,trace)

    (2)基于自适应 Gauss- - Lobatto方法:[ I,n ]= quadl ( filename,a,b,tol,trace)其中, filename 是被积函数名;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限 [a ,b]必须是有限的,不能为无穷大( Inf );tol 用来控制积分精度,默认时取tol =10^(- 6 );

    trace 控制是否展现积分过程,若取非0则展现积分过程,取0则不展现,默认时取 trace=0 ;返回参数I即定积分的值,n为被积函数的调用次数。

    例、分别用 quad 函数和 quadl 函数求定积分的近似值,并在相同的积分精度下,比较被积函数的调用次数。求解在[1,10]上,sin(x)的定积分值。

    >>  format long

    f=@(x)cos(x);

    [ I,n ]=quad(f,1,10,1e-8)

    I =

      -1.385492095697597

    n =

       229

    >> [ I,n ]=quadl(f,1,10,1e-8)

    I =

      -1.385492095687089

    n =

       138

    >> sin(10)-sin(1)

    ans =

      -1.385492095697266

    可以看出,两种方式求出的定积分值与理论值sin(10)-sin(1)几乎一致,但两种函数求解时的被积函数的调用次数却有差别。

    (3)基于全局自适应积分方法:I=integral( filename,a,b )其中,I是计算得到的积分;filename 是被积函数;a和b分别是定积分的下限和上限,积分限可以为无穷大 。

    (4)基于自适应高斯- - 克朗罗德方法[ I,err ]= quadgk( filename,a,b)其中 ,err返回近似误差范围,其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是无穷大(−Inf 或 Inf),也可以是复数。如果积分上下限是复数,则 quadgk函数在复平面上求积分。

    上述四种积分的求解方法各有不同,同时也各有优劣,一、二两种方法要求积分上下限是有限的,不可取无穷值,三、四两种方法中积分上下限可以取无穷值,且第四种方法还可以在复平面上求积分。

    下面介绍一种特殊的积分方法:梯形积分法I= trapz( x,y)其中,向量x、y 定义函数关系y=f(x),值得注意的是,此处的x,y表示为向量形式。例、 5 设 x=1:10,y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2], 用 trapz函数计算定积分并且画图。

    >> x=1:10;y=[5,4,1,9,3,3,5,8,7,2];

    >> plot(x,y);

    >> I1=trapz(x,y)

    I1 =

      43.500000000000000

    14a0384ded0514546a611570eafe0ab2.png6a7a00b5f7847077bdc369e065214e1c.png三、 多重定积分的数值求解

    现将多重积分的求解函数总结如下,它们的用法和上述的一重积分用法基本一致求二重积分的数值解:

    3e6a6858da16ccf9ee03148b641bca5c.png

    I=integral2( filename,a,b,c,d)I=quad2d( filename,a,b,c,d)I= dblquad( filename,a,b,c,d,tol)求三重积分的数值解:

    a26621db54862dc65ef77a3bd0a855bf.png

    I=integral3( filename,a,b,c,d,e,f) )I= triplequad( filename,a,b,c,d,e,f,tol)

    本节内容就讲述到这里,下节将讲述线性方程组求解,敬请期待!

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  • 二重积分的数值方法《数值分析课程设计》报 告专业:学号:学生姓名:指导教师:一、题目数值积分中二重积分探究。二、理论数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单,就是将积分核用插值多项式替代,用...

    二重积分的数值方法

    《数值分析课程设计》

    报 告

    专业:

    学号:

    学生姓名:

    指导教师:

    一、题目

    数值积分中二重积分探究。

    二、理论

    数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单,就是将积分核用插值多项式替代,用多项式的结果近似定积分的值。

    一般常用的方法是,将积分区间等分为个子区间,即取步长

    子区间端点为(k=0,1,…,n),在每个子区间上套用插值积分公式,再将个区间的结果累加起来。

    比较常用的有梯形公式,是在每个子区间上用1阶多项式(即直线段)近似并积分的结果:

    另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是,在每个子区间上用2阶多项式(即抛物线)近似并积分,得到著名的辛普森(Simpson)公式:

    其中。

    三、方法、算法与程序设计

    Ⅰ.辛普森公式求二重积分

    考虑二重积分,它是曲面与平面区域R围成的体积,对于矩形区域,可将它写成累次积分

    若用复合辛普森公式,可分别将,分成N,M等份,步长

    ,,

    先对积分,应用复合辛普森公式,令,,则

    从而得

    。对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求得积分值。MATLAB程序见附录1,MATLAB中自带自适应辛普森公式dblquad(),对于变量区域同样适用。

    对于变量区域,写成累次积分的形式:

    进行数值计算的表达式为:

    上面的表达式中、表示权重,取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森公式,先对内积分进行计算,在计算外积分,与矩形区域情况基本一致。

    Ⅱ高斯求积公式求二重积分

    在高斯求积公式中,若取权函数,区间为,则得公式

    勒让德多项式是区间上的正交多项式,因此,勒让德多多项式的零点就是求积公式的高斯点。

    若取的零点做节点构造求积公式

    若取的零点构造求积公式

    当时,求积公式为

    同样先用高斯求积公式求内积分,再求外积分,可得二重积分值。

    四、算例、应用实例

    算例:

    计算二重积分。

    (1)若区域,试分别用复合辛普森公式(取n=4)及高斯求积公式(取n=4)求积分。

    (2)若区域用复合辛普森公式(取n=4)求积分。

    解:

    (1)

    =

    对各个积分应用复合辛普森公式。

    也可应用MATLAB中的函数进行计算,程序见附录2。

    先将区域变换为区域,其中

    ,等价于,有

    对于取时的高斯求积公式节点及系数,即

    ,,,,

    ,,,

    用的高斯积分公式计算积分I,

    (2)

    等分为4等份,对应值为的值,用

    节点应用辛普森公式对内积分求积,再用复合辛普森公式对外积分求积,

    也可用MATLAB中的函数实现,结果和程序如下(附录3)。

    五、参考文献

    【1】 数值分析 李庆扬,王朝能,易大义 清华大学出版社

    【2】 数值分析课程设计 陈越,童若锋 浙江大学出版社

    【3】 MATLAB教程 张志涌 北京航空航天大学出版社

    六、附录

    附录1:

    function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,n)if(m==1 && n==1)??%辛普森公式q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2}));else?? %复合辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)/2/n;y=b+2*j*(B-b)/2/m;?????????

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  • c语言实现二重积分 数值解法
  • 我有点困在一个函数上,我试图通过scipy,python进行数值积分。在为了简单起见,我将函数定义为:integral f(x,y)= SUM[double integral(ax+by)dxdy]a和b是常数,但对于每个积分的方程,它们是不同的。我已经将每个...

    我有点困在一个函数上,我试图通过scipy,python进行数值积分。在

    为了简单起见,我将函数定义为:integral f(x,y)= SUM[double integral(ax+by)dxdy]

    a和b是常数,但对于每个积分的方程,它们是不同的。我已经将每个函数分别积分,然后将所有积分的结果求和,但是这需要花费大量的时间来计算,这对于我正在尝试实现的目标并不理想。在

    是否有一种方法可以通过扩展和来同时集成整个函数:

    ^{pr2}$

    然后将带有(a,b)元组列表的函数传递给scipy的dblquad函数?在

    目前,我正在努力在文献中找到任何与此相关的东西。在

    *编辑

    我提供了一个示例代码,以更清楚地显示我想要实现的目标:import sys

    import re

    import math

    from scipy.integrate import dblquad

    def f((x,y),variables):

    V=0

    for v in variables:

    a,b=v

    V=V+ax+by

    return (V)

    def integral(x_max,y_max,variables):

    return dblquad(f, 0, y_max, lambda x: 0, lambda x: x_max,args=variables)

    def main():

    variables=[(1,2),(3,4),(5,6)] #example variables. The length of this list can change with the code I am running.

    x_max=y_max=1

    integral(x_max,y_max,variables)

    if __name__ == '__main__':

    main()

    因此,返回的错误是:Traceback (most recent call last):

    File "integration_example.py", line 23, in

    main()

    File "integration_example.py", line 19, in main

    integral(x_max,y_max,variables)

    File "integration_example.py", line 14, in integral

    return dblquad(f, 0, y_max, lambda x: 0, lambda x: x_max,args=variables)

    File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 435, in dblquad

    return quad(_infunc,a,b,(func,gfun,hfun,args),epsabs=epsabs,epsrel=epsrel)

    File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 254, in quad

    retval = _quad(func,a,b,args,full_output,epsabs,epsrel,limit,points)

    File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 319, in _quad

    return _quadpack._qagse(func,a,b,args,full_output,epsabs,epsrel,limit)

    File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/integrate/quadpack.py", line 382, in _infunc

    myargs = (x,) + more_args

    TypeError: can only concatenate tuple (not "list") to tuple

    很明显,函数不喜欢我用我写这篇文章的方式传递一系列要放入积分中的值。有办法吗?

    (抱歉,这可能是更好的措辞方式)。在

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