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  • 二重积分

    2020-11-04 11:57:31
    二重积分1. 定义附录附录1....S(x)=∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dy⇒vol=∫xminxmax∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx z=f(x,y) \quad \text{vol}=\iint_{R}{f(x,y)}\mathrm{d}{A} \\ \text{vol}=\int_{x_{min}}^{x_{ma

    1. 定义

    z=f(x,y)vol=Rf(x,y)dAvol=xminxmaxS(x)dxFor given x, S(x)=ymin(x)ymax(x)f(x,y)dyvol=xminxmaxymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx z=f(x,y) \quad \text{vol}=\iint_{R}{f(x,y)}\mathrm{d}{A} \\ \text{vol}=\int_{x_{min}}^{x_{max}}{S(x)}{\mathrm{d}x} \\ \text{For given x, } S(x)=\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y \\ \Rightarrow \text{vol} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} {\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y} \mathrm{d}x
    计算二重积分时,利用切面,将二重积分转化为两个单变量积分

    附录

    附录1. 二重积分

    z=x2y2+10101x2(x2y2+1)dydx=π8 z=-x^2-y^2+1 \\ \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}}(-x^2-y^2+1)\mathrm{d}y \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8}

    在这里插入图片描述

    clear
    clc
    clf
    
    inte = 0.05;
    X = 0:inte:1-inte;
    j = 1;
    for i=X
        disp(i);
        
        subplot(1,2,1);
    
        f = @(x,y,z) x.^2 + y.^2 + z - 1;
        interval = [-5 5 -5 5 0 5];
        fimplicit3(f,interval,'FaceAlpha',.8);
    
        hold on
        
        % 画切面
        f = @(x,y,z) x - i;
        interval = [0 1 0 1 0 2];
        fimplicit3(f,interval);
        
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        j = j + 1;
    %     if (j ~= length(X))
            hold off
    %     end
        
        subplot(1,2,2);
        % -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 0 的积分
        XA = i:0.01:i+inte;
        YA = 0:0.01:1;
        [XAA, YAA] = meshgrid(XA, YA);
        ZAA = - XAA.^2 - YAA.^2 + 1;
        ZAA(1,1) = 0;
        meshz(XAA,YAA,ZAA);
        
        hold on
    
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        M(j) = getframe;
    
    end
    
    % movie2gif(M, 'iint.gif', 'LoopCount', 0, 'DelayTime', 0);
    
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  • 二重积分的计算方法

    万次阅读 2020-03-12 23:35:07
    一、利用直角坐标计算二重积分 1.1、平行截面面积为已知的立体的体积 ...二、利用极坐标计算二重积分 极坐标面积元素dxdy=ρdρdθdxdy = \rho d\rho d\thetadxdy=ρdρdθ 三、二重积分的换元法 ...

    一、利用直角坐标计算二重积分

    1.1、平行截面面积为已知的立体的体积

    在这里插入图片描述

    1.2、X型: 最后对x积分

    在这里插入图片描述

    1.3、Y型:最后对y积分

    在这里插入图片描述

    二、利用极坐标计算二重积分 极坐标面积元素dxdy=ρdρdθdxdy = \rho d\rho d\theta

    在这里插入图片描述

    三、二重积分的换元法

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  • 二重积分和雅可比行列式

    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 01:50:40
    dxdy = |J2| dudv, (J2的绝对值),且 其中积分区域和积分区域是一一对应的。 二、理解 二重积分的定义中指出,将积分区域任意分割成n个小的闭区域: Δσ1, Δσ2, …, Δσn, 其中Δσi表示第i个小闭合区...

    我们以二重积分为例进行说明,首先说结论:

    一、结论

    若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数,则二阶雅可比行列式为 =  =

    dxdy = |J2| dudv,  (J2的绝对值),且

    其中积分区域和积分区域是一一对应的。

    二、理解

    二重积分的定义中指出,将积分区域任意分割成n个小的闭区域:

    Δσ1, Δσ2, …, Δσn,

    其中Δσi表示第i个小闭合区域的面积,在闭合区域上取一点(ξi, ηi), 这一点的函数值与区域Δσi的乘积的总和为,若当各小闭合区域的直径中的最大值λ→0时,这个和的极限总存在,且与区域Dxy的分法及点(ξi, ηi)的取法无关,那么函数f(x, y)在区域Dxy上的二重积分记做:

    dσ为小闭合区域的面积,假设我们将Dxy分隔为一个一个小矩形区域,每一小块积分区域Δσi 在uv坐标系中都对应一块积分区域Δσi',它们是一一对应的,并且Δσi=|J2|Δσi',|J2| 是雅可比行列式的绝对值,可能是常量,但一般情况下是一个变量,所以我们可以保证以下等式成立:

    在xy坐标系中第i块积分区域上任取一点(ξi, ηi),都能在uv坐标系中的第i块积分区域中找到一点(ξi',ηi'),并满足,另外我们知道,所以上述等式成立,那么对上述等式做累加,也固然成立,即:

    '

    故,两边取极限,二重积分也就相等,即一中结论成立。

    下面我们主要说明为什么dxdy = |J2| dudv:

    解释1

    首先我们应该怎么理解dxdy,在xy坐标系中,dx和dy可以看成是小矩形的长和宽,它们相互垂直,dxdy可以简单的理解为两个标量相乘求面积,用来代替Δσi,但是在uv坐标系中,du和dv相互垂直,但是dx和dy代表的是一个平行四边形的两条边,并不垂直,,显然它们并不一定垂直,那么在uv坐标系中我们不能讲dxdy简单的两个标量相乘,而是应该理解为两个向量叉乘所得向量的模(面积):

                         图一:

                                                     
    两边取模,dxdy = |J2|dudv

    https://www.zhihu.com/question/274450639

    另外也可以参考MIT的微积分课程:

    https://open.163.com/movie/2010/8/G/2/M6TUC9K75_M6TUID0G2.html

    18课24分钟,更简单的描述过程。

    其实在xy坐标系中我们也可以将dxdy理解为向量叉乘的模,只不过他们夹角是90度,所以等于标量乘积。

    注:以上描述非常可能是错误的,并没有参考正规资料,只是一个知乎网友提供的描述(见上述链接),我并不确定是否能把dxdy、dudv写成向量的形式,所以请批判性的参考,而且,我无法解释为什么最终du dv两个向量取模没有乘以其夹角的正弦值,如果上述是完全是错误的那么我们只能用面积比值强行解释了:

    解释2

    参考:https://wenku.baidu.com/view/f56aa732b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8b

    我们将积分区域Dxy按照上图右进行划分成N多个小块,根据微积分的定义,计算结果和微分方式无关,所以我们把它为分成这种扭曲的方式,每一个扭曲的小块一一对应uv坐标系中每一个规则的矩形,切他们的面积比值为|J|,也就是dA = |J|dudv

    由于积分的计算结果与积分区域的划分方式无关,所以,其中,即

     

     

     

    以下是上上次编辑此篇博客时留下的,但是没有图,可以忽略。

    下面通过 直观的解释来理解为什么dxdy = |J2| dudv, 我们取积分区域里面的一点(x, y)那么在uv坐标系下与之对应的一点为(u, v),,很显然 (x, y)到(u, v)的坐标变换不是线性的,但是在积分区域的某一个具体点  的很小的一个范围内,可以近似线性的,  因为其偏导数几乎不变,我们可以把看成是常数,那么在(x, y)这一点附近的很小区域内,进行的坐标变换就可以看做是线性变换,  (x, y) 附近的积分区域, 经过坐标变换后,面积将改变,变换前后面积的比值即是,雅可比行列式的值,(动图待制作)

    展开全文
  • 二重积分坐标变化

    千次阅读 2016-03-04 20:04:49
    化简式中 dxdy 转化成极坐标表达形式的时候变成了 rdrdΘ 这个过程我无法理解 在查询了相关资料之后确认我的疑问在于二重积分坐标变化的过程 拿出微积分的相关教材 我找了这个公式 (下面的公式源自...

    在概率论的一道题目中遇到了二重积分需要坐标变换的问题,

    需要求出上图中阴影部分的面积,虽然可以通过其他方式求出,但是解答中的二重积分形式显然更具备通用型。

     

    化简式中 dxdy 转化成极坐标表达形式的时候变成了 rdr dΘ    这个过程我无法理解

     

    在查询了相关资料之后确认我的疑问在于二重积分坐标变化的过程

     

    拿出微积分的相关教材 我找了这个公式

    (下面的公式源自二阶雅可比行列式, 等式右侧为行列式)

    其中| ∂(x,y)/∂(u,v) | =  | x 对 u的偏导       x 对v 的偏导|

                                        | y  对 u的偏导     y 对v 的偏导|

     

    直角坐标系转换成极坐标系的时候满足

    x  = r cosΘ

    y  = r sinΘ

     

    | ∂(x,y)/∂(r,Θ) | = | cosΘ    -rsinΘ|

                               | sinΘ   rcosΘ |

                              = r

    ps:

    在看到这个公式的时候我对Θ r 的顺序存在了疑问,他们的顺序会影响最后的符号,目前 推测最后的积分顺序相关,我们选择先对r积分,然后对Θ积分,所以是这样的顺序,这一点目前还待验证 。(目前已确认,Θ r 存在关联关系,如果交换积分顺序,那么对应积分中的范围数值也应该相应调整)

    展开全文
  • latex tips 二重积分,三重积分

    千次阅读 2020-10-01 12:37:43
    \iint_{D}f(x,y)dxdy ∬Df(x,y)dxdy\iint_{D}f(x,y)dxdy ∬D​f(x,y)dxdy \iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz ∭Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz ∭Ω​f(x,y,z)dxdydz
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二重积分dxdy