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  • 举个例子,散度公式: ∯SA⋅dS=∭V∇⋅AdV \oiint \limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint \limits_{V} \nabla\cdot \mathbf{A} \mathrm{d}V S∬​​A⋅dS=V∭​∇⋅AdV 代码: \begin{...

    举个例子,散度公式:
    ∯ S A ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ A d V \oiint \limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint \limits_{V} \nabla\cdot \mathbf{A} \mathrm{d}V S AdS=VAdV

    代码:

    \begin{equation}
    \oiint \limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 
    \iiint \limits_{V} \nabla\cdot \mathbf{A} \mathrm{d}V
    \end{equation}
    
    
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  • 二重积分 1.概念 2.存在性 3.性质 4.直角坐标系下的计算 5.变量变换 (1)变量变换公式: (2)极坐标下二重积分的计算: 二.格林公式与路线无关性 三.三重积分 1.概念 2.直角坐标系下的计算 3.三重积分换元法 四.重积分的...

    一.二重积分
    1.平面图形的面积
    (1)定义:
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    (2)可求面积的充要条件:

    定理21.1:平面有界图形 P P P可求面积的充要条件是:对 ∀ ε > 0 ∀ε>0 ε>0,总存在直线网 T T T,使得 S P ( T ) − s P ( T ) < ε ( 2 ) S_P(T)-s_P(T)<ε\qquad(2) SP(T)sP(T)<ε(2)
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    注:①证明方法类似于定积分中下和与上和相关性质的证明
    推论:平面有界图形 P P P的面积为0的充要条件是:其外面积 I ˉ P = 0 \bar I_P=0 IˉP=0,即对 ∀ ε > 0 ∀ε>0 ε>0.存在直线网 T T T,使得 S P ( T ) < ε S_P(T)<ε SP(T)<ε或对 ∀ ε > 0 , P ∀ε>0,P ε>0,P总能被有限个面积总和小于 ε ε ε的小矩形所覆盖

    (3)边界的面积:

    定理21.2:平面有界图形 P P P可求面积的充要条件是: P P P的边界 K K K的面积为0
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    定理21.3:若曲线 K K K为定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的连续函数 f ( x ) f(x) f(x)的图像,则曲线 K K K的面积为0
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    推论1:参数方程 x = φ ( t ) , y = ψ ( t )   ( t ∈ [ α , β ] ) x=φ(t),y=ψ(t)\,(t∈[α,β]) x=φ(t),y=ψ(t)(t[α,β])所表示的光滑曲线 K K K的面积为0
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    推论2:由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的
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    2.二重积分的定义及存在性
    (1)分割,细度,积分和:
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    (2)二重积分的定义:
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    (3)二重积分的存在性:
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    定理21.4: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界,可求面积的区域 D D D上可积的充要条件是: lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 s ( T ) \displaystyle\lim_{||T||→0}S(T)=\displaystyle\lim_{||T||→0}s(T) T0limS(T)=T0lims(T)

    定理21.5: f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界,可求面积的区域 D D D上可积的充要条件是:对 ∀ ε > 0 ∀ε>0 ε>0,存在 D D D的某个分割 T T T,使得 S ( T ) − s ( T ) < ε S(T)-s(T)<ε S(T)s(T)<ε

    定理21.6:有界闭区域 D D D上的连续函数必可积

    定理21.7:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界闭区域 D D D上有界,且其不连续点集 E E E是零面积集,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) D D D上可积
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    3.二重积分的性质:

    ①若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D上可积, k k k为常数,则 k f ( x , y ) kf(x,y) kf(x,y) D D D上也可积,且 ∬ D k f ( x , y ) d σ = k ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Dkf(x,y)dσ=k\iint_Df(x,y)dσ Dkf(x,y)dσ=kDf(x,y)dσ

    ②若 f ( x , y ) , g ( x , y ) f(x,y),g(x,y) f(x,y),g(x,y)在区域 D D D上可积,则 f ( x , y ) ± g ( x , y ) f(x,y)±g(x,y) f(x,y)±g(x,y) D D D上也可积,且 ∬ D [ f ( x , y ) ± g ( x , y ) ] d σ = ∬ D f ( x , y ) d σ ± ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=\iint_Df(x,y)dσ±\iint_Dg(x,y)dσ D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ±Dg(x,y)dσ

    ③若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D 1 , D 2 D_1,D_2 D1,D2上可积,且 D 1 , D 2 D_1,D_2 D1,D2无公共内点,则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) D 1 ∪ D 2 D_1∪D_2 D1D2上也可积,且 ∬ D 1 ∪ D 2 f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ \iint_{D_1∪D_2}f(x,y)dσ=\iint_{D_1}f(x,y)dσ+\iint_{D_2}f(x,y)dσ D1D2f(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ

    ④若 f ( x , y ) , g ( x , y ) f(x,y),g(x,y) f(x,y),g(x,y)在区域 D D D上可积,且 f ( x , y ) ≤ g ( x , y )   ( ( x , y ) ∈ D ) f(x,y)≤g(x,y)\,((x,y)∈D) f(x,y)g(x,y)((x,y)D) ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)dσ≤\iint_Dg(x,y)dσ Df(x,y)dσDg(x,y)dσ

    ⑤若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D上可积,则 ∣ f ( x , y ) ∣ |f(x,y)| f(x,y) D D D上也可积,且 ∣ ∬ D f ( x , y ) d σ ∣ ≤ ∬ D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ |\iint_Df(x,y)dσ|≤\iint_D|f(x,y)|dσ Df(x,y)dσDf(x,y)dσ

    ⑥若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在区域 D D D上可积,且 m ≤ f ( x , y ) ≤ M   ( ( x , y ) ∈ D ) m≤f(x,y)≤M\,((x,y)∈D) mf(x,y)M((x,y)D) m S D ≤ ∬ D f ( x , y ) d σ ≤ M S d mS_D≤\iint_Df(x,y)dσ≤MS_d mSDDf(x,y)dσMSd这里 S D S_D SD是积分区域 D D D的面积

    ⑦(中值定理)若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界闭区域 D D D上连续,则 ∃ ( ξ , η ) S D ∃(\xi,η)S_D (ξ,η)SD这里 S D S_D SD是积分区域 D D D的面积
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    4.直角坐标系下二重积分的计算
    (1)矩形区域上二重积分的计算:

    定理21.8:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形区域 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d]上可积,且对 ∀ x ∈ [ a , b ] ∀x∈[a,b] x[a,b],积分 ∫ c d f ( x , y ) d y \int_c^df(x,y)dy cdf(x,y)dy存在,则累次积分 ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy abdxcdf(x,y)dy也存在,且 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y ( 1 ) \iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy\qquad(1) Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy(1)
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    定理21.9:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形区域 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d]上可积,且对 ∀ y ∈ [ c , d ] ∀y∈[c,d] y[c,d],积分 ∫ a b f ( x , y ) d x \int_a^bf(x,y)dx abf(x,y)dx存在,则累次积分 ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x \int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx cddyabf(x,y)dx也存在,且 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx Df(x,y)dσ=cddyabf(x,y)dx

    特别地,当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在矩形区域 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d]上连续时,有 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy=cddyabf(x,y)dx

    (2)一般区域上二重积分的计算:
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    定理21.10:若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在如(4)式所示的 x x x型区域 D D D上连续,其中 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y \iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy Df(x,y)dσ=abdxy1(x)y2(x)f(x,y)dy即二重积分可化为先对 y y y后对 x x x的累次积分
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    同理,若 D D D为如(4)式所示的 y y y型区域,其中 x 1 ( y ) , x 2 ( y ) x_1(y),x_2(y) x1(y),x2(y) [ c , d ] [c,d] [c,d]上连续,则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ x 1 ( y ) x 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx Df(x,y)dσ=cddyx1(y)x2(y)f(x,y)dx即二重积分可化为先对 x x x后对 y y y的累次积分

    5.变量变换
    (1)变量变换公式:
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    引理:设变换 T : x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) T:x=x(u,v),y=y(u,v) T:x=x(u,v),y=y(u,v) u v uv uv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域 Δ Δ Δ一对一地映成 x y xy xy平面上的闭区域 D D D,函数 x ( u , v ) , y ( u , v ) x(u,v),y(u,v) x(u,v),y(u,v) Δ Δ Δ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式 J ( u , v ) = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ≠ 0   ( ( u , v ) ∈ Δ ) J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ) J(u,v)=(u,v)(x,y)=0((u,v)Δ)则区域 D D D的面积 μ ( D ) = ∬ Δ ∣ J ( u , v ) ∣ d u d v ( 5 ) μ(D)=\iint_Δ|J(u,v)|dudv\qquad(5) μ(D)=ΔJ(u,v)dudv(5)
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    定理21.13:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在有界闭区域 D D D上可积,设变换 T : x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) T:x=x(u,v),y=y(u,v) T:x=x(u,v),y=y(u,v) u v uv uv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域 Δ Δ Δ一对一地映成 x y xy xy平面上的闭区域 D D D,函数 x ( u , v ) , y ( u , v ) x(u,v),y(u,v) x(u,v),y(u,v) Δ Δ Δ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式 J ( u , v ) = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ≠ 0   ( ( u , v ) ∈ Δ ) J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ) J(u,v)=(u,v)(x,y)=0((u,v)Δ) ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ Δ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ( u , v ) ∣ d u d v \iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv Df(x,y)dxdy=Δf(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv
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    (2)极坐标下二重积分的计算:
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    定理21.14:设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下, x y xy xy平面上的有界闭区域 D D D r θ rθ rθ平面上的区域 Δ Δ Δ对应,则成立 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ Δ f ( r c o s   θ , r s i n   θ ) r d r d θ ( 9 ) \iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(rcos\,θ,rsin\,θ)rdrdθ\qquad(9) Df(x,y)dxdy=Δf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ(9)
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    将二重积分在极坐标系下化为累次积分:
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    二.格林公式·曲线积分与路线无关性
    1.二重积分与第二型曲线积分间的联系
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    (1)边界曲线的正方向:
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    (2)格林公式(Green Formula):

    定理21.11:若函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) P(x,y),Q(x,y) P(x,y),Q(x,y)在闭区域 D D D上连续,且有连续的1阶偏导数,则有 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d σ = ∮ L P d x + Q d y ( 1 ) \iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dσ=\oint_LPdx+Qdy\qquad(1) D(xQyP)dσ=LPdx+Qdy(1)这里 L L L为区域 D D D的边界曲线,分段光滑,并取正方向;公式(1)称为格林公式
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    格林公式揭示了沿闭曲线的积分和二重积分之间的联系,为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式 ∬ D ∣ ∂ ∂ x ∂ ∂ y P Q ∣ d σ = ∮ L P d x + Q d y \iint_D\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{matrix}\right|dσ=\oint_LPdx+Qdy DxPyQdσ=LPdx+Qdy应用格林公式可简化某些曲线积分的计算

    2.曲线积分与路线的无关性
    (1)单连通与复连通:
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    (2)曲线积分在什么条件下和路径无关:

    定理21.12:设 D D D是单连通闭区域,若函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) P(x,y),Q(x,y) P(x,y),Q(x,y) D D D内连续,且具有1阶连续偏导数,则以下4个条件等价:
    ①沿 D D D内任一按段光滑封闭曲线 L L L,有 ∮ L P d x + Q d y \oint_LPdx+Qdy LPdx+Qdy
    ②对 D D D内任一按段光滑曲线 L L L,曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_LPdx+Qdy LPdx+Qdy与路线无关,只与 L L L的起点与终点有关
    P d x + Q d y Pdx+Qdy Pdx+Qdy D D D内某函数 u ( x , y ) u(x,y) u(x,y)的全微分,即在 D D D内有 d u = P d x + Q d y du=Pdx+Qdy du=Pdx+Qdy
    ④在 D D D内处处有下式成立 ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} yP=xQ
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    关于条件[ D D D是单连通区域]:
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    (3) P d x + Q d y Pdx+Qdy Pdx+Qdy的原函数:
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    三.三重积分
    1.概念与性质:
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    注:①可仿照定义平面图形可求面积的方法建立空间立体可求体积的概念,今后总是假定 V V V的边界由光滑曲面组成,以保证积分区域是可求体积的
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    2.将三重积分化为累次积分
    (1)先一后二法:

    定理21.15:若函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在长方体 V = [ a , b ] × [ c , d ] × [ e , h ] V=[a,b]×[c,d]×[e,h] V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对 ∀ ( x , y ) ∈ D = [ a , b ] × [ c , d ] , g ( x , y ) = ∫ e h f ( x , y , z ) d z ∀(x,y)∈D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=\int_e^hf(x,y,z)dz (x,y)D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=ehf(x,y,z)dz都存在,则积分 ∬ D g ( x , y ) d x d y \iint_Dg(x,y)dxdy Dg(x,y)dxdy也存在,且 ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D d x d y ∫ e h f ( x , y , z ) d z \iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_Ddxdy\int_e^hf(x,y,z)dz Vf(x,y,z)dxdydz=Ddxdyehf(x,y,z)dz
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    推论1:若 V = { ( x , y , z )   ∣   ( x , y ) ∈ D , z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ) } ⊂ [ a , b ] × [ c , d ] × [ e , h ] V=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)∈D,z_1(x,y)≤z≤z_2(x,y)\}\sub[a,b]×[c,d]×[e,h] V={(x,y,z)(x,y)D,z1(x,y)zz2(x,y)}[a,b]×[c,d]×[e,h],其中 D D D V V V O x y Oxy Oxy平面上的投影, z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) z_1(x,y),z_2(x,y) z1(x,y),z2(x,y) D D D上的连续函数,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) V V V上的三重积分存在,且对 ∀ ( x , y ) ∈ D ∀(x,y)∈D (x,y)D, G ( x , y ) = ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z G(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz G(x,y)=z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz也存在,则积分 ∬ D G ( x , y ) d x d y \iint_DG(x,y)dxdy DG(x,y)dxdy存在,且 ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D G ( x , y ) d x d y      = ∬ D d x d y ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ( 3 ) \iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_DG(x,y)dxdy\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\,\,\,=\iint_Ddxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\qquad(3) Vf(x,y,z)dxdydz=DG(x,y)dxdy=Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz(3)(见图21-21)
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    (2)先二后一法:

    定理21.16:若函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在长方体 V = [ a , b ] × [ c , d ] × [ e , h ] V=[a,b]×[c,d]×[e,h] V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对 ∀ z ∈ [ e , h ] ∀z∈[e,h] z[e,h],二重积分 I ( z ) = ∬ D f ( x , y , z ) d x d y I(z)=\iint_Df(x,y,z)dxdy I(z)=Df(x,y,z)dxdy存在,其中 D = [ a , b ] × [ c , d ] D=[a,b]×[c,d] D=[a,b]×[c,d],则积分 ∫ e h d z ∬ D f ( x , y , z ) d x d y \int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy ehdzDf(x,y,z)dxdy也存在,且 ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ e h d z ∬ D f ( x , y , z ) d x d y \iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy Vf(x,y,z)dxdydz=ehdzDf(x,y,z)dxdy
    推论1:若 V ⊂ [ a , b ] × [ c , d ] × [ e , h ] V\sub[a,b]×[c,d]×[e,h] V[a,b]×[c,d]×[e,h],函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) V V V上的三重积分存在,且对 ∀ z ∈ [ e , h ] ∀z∈[e,h] z[e,h],二重积分 φ ( z ) = ∬ D z f ( x , y , z ) d x d y φ(z)=\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy φ(z)=Dzf(x,y,z)dxdy存在,其中 D z D_z Dz是截面 { ( x , y )   ∣   ( x , y , z ) ∈ V } \{(x,y)\,|\,(x,y,z)∈V\} {(x,y)(x,y,z)V},则积分 ∫ e h φ ( z ) d z \int_e^hφ(z)dz ehφ(z)dz也存在,且 ∭ V f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ e h φ ( z ) d z = ∫ e h d z ∬ D z f ( x , y , z ) d x d y \iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hφ(z)dz=\int_e^hdz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy Vf(x,y,z)dxdydz=ehφ(z)dz=ehdzDzf(x,y,z)dxdy(见图21-33)
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    3.三重积分换元法
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    (1)柱面坐标变换:
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    (2)球坐标变换:
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  • 二重积分坐标系转化多了个r,rd原理; 二重积分几何意义: 二重积分物理意义: 二重积分求导: sinθ+cosθ推导: cosθ+sinθ==√2(sin45*cosθ+cos45*sinθ)==√2sin(θ+π/4) 和差化积公式 积化和差 ...
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  • 理解二重积分的几何意义及公式

    千次阅读 2020-06-22 23:06:12
    二重积分的集合意义 在空间直角坐标系内,曲顶柱体体积的代数和,其中区域D表示曲顶柱体的底面。 累次积分(以X型为例)的过程

    二重积分的几何意义

    在空间直角坐标系内,曲顶柱体体积的代数和,其中区域D表示曲顶柱体的底面。

    累次积分(以X型为例)的过程

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  • 二重积分、三重积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-10 00:02:44
    二重积分二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值; 举例说明:二重积分的现实(物理)含义: 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高...
  • 本程序用于计算二重积分,采用的是复化梯形公式,是一种常见的数值求积法
  • 复化梯形公式二重积分matlab源码

    千次阅读 2020-06-08 13:11:05
    复化梯形公式二重积分matlab源码 %%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%% %%%%%%%%%%复化梯形公式二重积分%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Liu Deping %%%%%%%%%clear all;%%%被积函数及积分上下限导入;s=input('请输入函数表达式...
  • 复化辛普森公式二重积分matlab源码及例题

    千次阅读 多人点赞 2020-06-08 17:04:18
    复化辛普森公式二重积分matlab源码 直接拷贝到matlab编辑器,傻瓜式操作。具体算法自行探究,网上都有,小编只提供代码。用的好的请加个关注,篱落~~成殇~~再次先行谢过。 %%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%% %%%%...
  • 三重积分 1.概念与性质: 注:①可仿照定义平面图形可求面积的方法建立空间立体可求体积的概念,今后总是假定VVV的边界由光滑曲面组成,以保证积分区域是可求体积的 2.将三重积分化为累次积分 定理21.15:若函数f(x,...
  • 第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋...
  • 一、复化梯形公式积分 题目: 利用复化梯形公式计算 I(f)=∫15sinxxdxI(f) = \int_1^5{\frac{sinx}{x}dx}I(f)=∫15​xsinx​dx 的近似值,精确至7位有效数字。 Matlab程序: clc; clear all syms x %% 已知条件 ...
  • 但对于二重积分的牛顿-莱布尼兹的公式却鲜为人知,屈指可数,这是本篇的重点 提前告知我们的小伙伴们,二重积分的牛顿-莱布尼兹公式就是如下形式,你知道它是怎么来的吗? 我们来看如何证明这个结论: 首先F...
  • 文章目录前言二重积分1. 二重积分的计算基础计算 —— 章技巧计算 —— 章特殊形式被积函数和积分域的计算 ——章2. 二重积分的求导——节二重积分可以直接求导二重积分无法直接求导3. 二重积分的证明相关定理——节...
  • View Code //抛物线 yp=a*(x-b)^2+c;//直线 yz=k*x+s;//二重积分公式: f(x0,x1)(yp-yz)*dx;#include"iostream"usingnamespace std;double a,b,c,k,s;double fun(doub...
  • 多变量微积分笔记(3)——二重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-06-20 17:26:47
    多重积分——二重积分(Double Integrals)3.1 直角坐标系下二重积分二重积分的定义如何选择积分上下限3.2 极坐标下的二重积分微元及二重积分表达式如何选择积分上下限3.3 二重积分中的换元方法直角坐标系与极坐标...
  • 理解二重积分极坐标算法

    千次阅读 2020-06-23 23:29:16
    理解 自变量为r和θ,通过原点作射线,以x正半轴为始边,绕θ角度遍历区域D,当自变量微元后, ...类比用直角坐标计算二重积分 直角坐标计算和极坐标计算的理解: 前者:以x型区域为例,则z先对y方向积分求
  • 二重积分坐标变化

    千次阅读 2016-03-04 20:04:49
    在概率论的一道题目中遇到了二重积分需要坐标变换的问题, 需要求出上图中阴影部分的面积,虽然可以通过其他方式求出,但是解答中的二重积分形式显然更具备通用型。 化简式中 dxdy 转化成极坐标表达形式的时候...
  • 二重积分计算(几何法)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-06 15:59:42
    第二节 二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是...
  • Part 6 二重积分

    2020-03-23 16:23:00
    二重积分的概念 Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。 与定积分概念密切相连:分割,求和,取极限。 分划成为网状分割,每个交点处横截 横截性:函数在P点横截,如果两个切线方程的线性子空间的维数...
  • 二重积分若干例题分析

    千次阅读 2020-04-03 16:41:40
    二重积分辅导的若干总结
  • 高等数学复习之二重积分

    千次阅读 多人点赞 2020-12-25 13:34:50
    备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题,对于其中的原理怎么也不是很理解,看到书上讲到了二重积分,就从二重积分开始再复习下吧!也作为高等数学的备考内容来准备着。 1、为什么说定积分积分范围是直线的? ...
  • 最近有人要我帮求函数的二重积分,于是我勉强为其难的答应了,过程有点艰苦但是还是得坚持。 对于函数求矩形积分我们可以采用插值型求积公式既是牛顿科特斯公式,既是将积分区间 [a,b] 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,...
  • 二重积分求导

    千次阅读 2019-05-10 09:47:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/dugudongfangshuo/p/10842669.html
  • 1 二重积分的概念及性质.ppt
  • 二重积分证明不等式

    千次阅读 2020-04-25 22:31:57
    设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续,利用二重积分证明: (∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx.(\int_a^b f(x)g(x)dx)^2 \le \int_a^bf^2(x)dx \int_a^bg^2(x)dx.(∫ab​f(x)g(x)dx)2≤∫...

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