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  • 二重积分坐标变化

    千次阅读 2016-03-04 20:04:49
    在概率论的一道题目中遇到了二重积分需要坐标变换的问题, 需要求出上图中阴影部分的面积,虽然可以通过其他方式求出,但是解答中的二重积分形式显然更具备通用型。 化简式中 dxdy 转化成极坐标表达形式的时候...

    在概率论的一道题目中遇到了二重积分需要坐标变换的问题,

    需要求出上图中阴影部分的面积,虽然可以通过其他方式求出,但是解答中的二重积分形式显然更具备通用型。

     

    化简式中 dxdy 转化成极坐标表达形式的时候变成了 rdr dΘ    这个过程我无法理解

     

    在查询了相关资料之后确认我的疑问在于二重积分坐标变化的过程

     

    拿出微积分的相关教材 我找了这个公式

    (下面的公式源自二阶雅可比行列式, 等式右侧为行列式)

    其中| ∂(x,y)/∂(u,v) | =  | x 对 u的偏导       x 对v 的偏导|

                                        | y  对 u的偏导     y 对v 的偏导|

     

    直角坐标系转换成极坐标系的时候满足

    x  = r cosΘ

    y  = r sinΘ

     

    | ∂(x,y)/∂(r,Θ) | = | cosΘ    -rsinΘ|

                               | sinΘ   rcosΘ |

                              = r

    ps:

    在看到这个公式的时候我对Θ r 的顺序存在了疑问,他们的顺序会影响最后的符号,目前 推测最后的积分顺序相关,我们选择先对r积分,然后对Θ积分,所以是这样的顺序,这一点目前还待验证 。(目前已确认,Θ r 存在关联关系,如果交换积分顺序,那么对应积分中的范围数值也应该相应调整)

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  • 格林公式

    2019-09-22 14:11:53
    有了格林公式后,我们在进行环路积分后就不必用老办法了,而是采用二重积分的形式,这样可以大大简化计算步骤 面积分 面有两种表达形式: z=f(x,y)      and    ...

    格林公式内容如下:
    C(Fxdx+Fydy)=R(FyxFxy)\oint_C(F_xdx+F_ydy)=\iint_R(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})

    在之前的文章中,我们讲到过路径积分的方式,然而每次用参数表达x,y后再计算总有些麻烦
    有了格林公式后,我们在进行环路积分后就不必用老办法了,而是采用二重积分的形式,这样可以大大简化计算步骤
    比如一个圆,原先我们需要先找到它的参数表达式,但现在我们可以直接根据原式来计算了

    面积分

    面有两种表达形式:
    z=f(x,y)      and      g(x,y,z)=0z=f(x,y)\ \ \ \ \ \ and\ \ \ \ \ \ g(x,y,z)=0

    参数形式

    在对线进行积分的时候,我们常用一个参数t来表示x,y
    在对面进行积分时,我们则常用两个参数u,v来表示面的三个参数x,y,z

    通过u,v,我们可以找到一个面的法向量
    N=ru×rvN=r_u×r_v

    ru=r/ur_u=\partial r/\partial u

    rv=r/vr_v=\partial r/\partial v

    如果一个面可以被表达为:f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 的形式,则可以得到这个面的法向量为:grad fgrad\ f

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  • 其中,z=z(x,y),Dxy是曲面在xoy平面上的投影,整个积分转化为了二重积分 有一些特殊情况,可以不用做投影死算,而是直接使用一些规则物体求面积的公式直接求出 S为面积,上划线X为形心的x坐标 ...

    把对面积的曲线积分中,曲线改为曲面,线密度改为面密度,小段弧长改为小块曲面面积,所求的结果即为曲面物体的质量。

    计算公式为

    其中,z=z(x,y),Dxy是曲面在xoy平面上的投影,整个积分转化为了二重积分

    对称性

    若曲面Σ关于xOy对称,则

    其中,Σ1是Σ在xOy上侧的部分。

     

    有一些特殊情况,可以不用做投影死算,而是直接使用一些规则物体求表面积的公式直接求出

    S为表面积,上划线X为形心的x坐标

     

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  • 三、常用特殊函数不定积分:四、初等积分方法:五、阿贝尔积分:六、定积分 / 黎曼积分:七、反常积分:八、含参积分:九、二重积分:十、三重积分:十一、曲线积分:十二、曲面积分:十三、场论:十四、关于牛顿-...

    • 一、不定积分:
    概念 释义 性质
    原函数 对于函数f(x)f(x),若存在同定义域的函数F(x)F(x),使得:F(x)=f(x)F'(x) = f(x),则称F(x)F(x)f(x)f(x)的原函数 F0(x)F_0(x)f(x)f(x)的一个原函数,则F0(x)+CF_0(x)+C也是f(x)f(x)的原函数
    不定积分 函数f(x)f(x)的全体原函数称为f(x)f(x)的不定积分,记为f(x)dx\int f(x)dx
    其中f(x)f(x)称为积分函数f(x)dxf(x)dx称为积分表达式,dxdx称为积分变量
    f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx = F(x)+C
    积分曲线 F(x)F(x)f(x)f(x)的一个原函数,则把函数图像y=F(x)y = F(x)称为f(x)f(x)的一条积分曲线 f(x)f(x)的不定积分的所有积分曲线构成积分曲线簇

    => 微分运算和不定积分的关系:

    d[f(x)dx]=f(x)dxd[\int f(x)dx] = f(x)dx

    [df(x)]=f(x)+C[\int df(x)] = f(x)+C

    => 不定积分的性质:

    kf(x)dx=kf(x)dx\int k\cdot f(x)dx = k\cdot \int f(x) dx

    (f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx\int (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

    [(f(x)g(x))dx]2[f(x)dx]2[g(x)dx]2[\int (f(x)\cdot g(x))dx] ^2 \le [\int f(x) dx]^2 \cdot [\int g(x) dx]^2(柯西不等式)


    • 二、基本初等函数不定积分表:
    函数 不定积分
    f(x)=af(x) = a F(x)=ax+CF(x) = ax+C
    f(x)=xα(α1)f(x) = x^{\alpha}(\alpha \neq -1) F(x)=1α+1xα+1+CF(x) = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C
    f(x)=axf(x) = a^x F(x)=1lnaax+CF(x) = \frac{1}{\ln a}a^x+C
    f(x)=logaxf(x) = \log_a x F(x)=xlogaxxlna+CF(x) = x\log_a x - \frac{x}{\ln a}+C
    f(x)=sinxf(x) = sinx F(x)=cosx+CF(x) = -cosx+C
    f(x)=cosxf(x) = cosx F(x)=sinx+CF(x) = sinx+C
    f(x)=tanxf(x) = tanx F(x)=lncosx+CF(x) = -\ln \mid cosx\mid+C
    f(x)=cotxf(x) = cotx F(x)=lnsinx+CF(x) = \ln \mid sinx\mid+C
    f(x)=secxf(x) = secx F(x)=lnsecx+tanx+CF(x) = ln\mid secx + tanx\mid + C
    f(x)=cscxf(x) = cscx F(x)=lncscxcotx+CF(x) = ln\mid cscx - cotx\mid + C
    f(x)=arcsinxf(x) = arcsinx F(x)=xarcsinx+1x2+CF(x) = xarcsinx+\sqrt{1-x^2}+C
    f(x)=arccosxf(x) = arccosx F(x)=xarccosx1x2+CF(x) = xarccosx-\sqrt{1-x^2}+C
    f(x)=arctanxf(x) = arctanx F(x)=xarctanx12ln(1+x2)+CF(x) = xarctanx-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

    • 三、常用特殊函数不定积分表:
    函数 不定积分
    f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} F(x)=lnx+CF(x) = \ln\mid x\mid+C
    f(x)=11x2f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} F(x)=arcsinx+CF(x) = arcsinx + C
    f(x)=11+x2f(x) = \cfrac{1}{1+x^2} F(x)=arctanx+CF(x) = arctanx + C
    f(x)=1x2±a2f(x) = \cfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}} F(x)=lnx+x2±a2+CF(x) = ln \mid x+\sqrt{x^2\pm a^2}\mid + C
    f(x)=exf(x) = e^x F(x)=ex+CF(x) = e^x+C
    f(x)=lnxf(x) = \ln x F(x)=xlnxx+CF(x) = x\ln x - x+C
    f(x)=sec2xf(x) = sec^2 x F(x)=tanx+CF(x) = tanx + C
    f(x)=csc2xf(x) = csc^2 x F(x)=cotx+CF(x) = -cotx + C
    f(x)=shxf(x) = shx F(x)=chx+CF(x) = chx+C
    f(x)=chxf(x) = chx F(x)=shx+CF(x) = shx+C

    • 四、初等积分方法:

    1)第一类换元法:
    在这里插入图片描述
    2)第二类换元法:
    在这里插入图片描述
    3)三角换元法:

    • (a2x2),(x2+a2),(x2a2)(a^2-x^2), (x^2+a^2), (x^2-a^2)等项的积分
      一般可以通过分别令:x=asint,atant,asectx = asint,atant,asect换元转化为有理式积分

    • (xa)(bx)\sqrt{(x-a)(b-x)}项的积分 (a<x<b)
      一般可以通过令x=acos2t+bsin2tx = acos^2t+bsin^2t换元转化为有理式积分

    • 含三角函数的函数f(sinx,cosx)f(sinx,cosx)的积分
      一般可以通过万能公式代换,令:t=tanx2t = tan\frac{x}{2}换元转化为有理式积分

    • 含三角函数sinax×cosbxsin^ax\times cos^bx的积分:
      aa,bb其中之一为奇数,可以令:t=cosxt = cosx (a为奇数)或 t=sinxt= sinx (b为奇数);
      aa,bb都是奇数/偶数,可以令:t=tanxt = tanx
      => 或者可以直接通过分部积分得到递推公式进行求解

    4)双曲换元法:

    • (a2x2),(x2+a2),(x2a2)(a^2-x^2), (x^2+a^2), (x^2-a^2)等项的积分
      一般可以通过分别令:x=atht,asht,achtx = atht,asht,acht换元转化为有理式积分

    5)倒代换法:

    • 当有理分式的分母的次数较高而分子形式又较简单时
      可以尝试通过令:x=1tx = \frac{1}{t}将其转化为形式更为简单的有理分式积分

    6)根式替换法:

    • 含一次分式的根式的函数f(x,(ax+bcx+d)s1,(ax+bcx+d)s2,..,(ax+bcx+d)sn)f(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_1},(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_2},..,(\frac{ax+b}{cx+d})^{s_n})
      一般可以通过令:t=(ax+bcx+d)st = (\frac{ax+b}{cx+d})^s,其中s=[s1,s2,...sn]s = [s_1,s_2,...s_n]将其转化为有理式积分

    7)二项式微分的换元法:

    • 含二项式微分的函数f(z,zq(a+bz)p)f(z,z^q(a+bz)^p)
      如果p,q,p+qp,q,p+q之中有一个是整数,则
      一般可以通过令:t=a+bzn,t=a+bzznt = \sqrt[n]{a+bz},或者t = \sqrt[n]{\cfrac{a+bz}{z}}, 其中nnpp的分母

    8)二次根式的欧拉替换法

    含二次根式的函数f(x,ax2+bx+c)f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})

    • Δ>0Δ> 0,可以令:ax2+bx+c=t(xλ)\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x -λ) , 其中λλ为二次式的一实根
    • Δ=0Δ=0,可以令:ax2+bx+c=(xλ)\sqrt{ax^2+bx+c} = (x -λ), 其中λλ为二次式的唯一实根
    • Δ<0Δ< 0a>0a>0, 可以令: ax2+bx+c=tax\sqrt{ax^2+bx+c} = t -\sqrt{ax}

    9)奇次根式的阿贝尔替换法

    • 含奇次根式分式的函数f(x,1(ax2+bx+c)2n+12)f(x,\cfrac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}})
      可以考虑令:t=ax+b2ax2+bx+ct = \cfrac{ax+\frac{b}{2}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}

    10)二次根式的部分分式法:

    含二次根式的函数f(x,ax2+bx+c)f(x,\sqrt{ax^2+bx+c})
    按照分解定律一定可以被化成三种类型的积分:

    • P(x)ax2+bx+cdx\int\cfrac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx:利用待定系数法,可以令:
      P(x)ax2+bx+cdx=Q(x)ax2+bx+c+λdxax2+bx+c\int\cfrac{P(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx= Q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda \int \cfrac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}
      其中Q(x)Q(x)是比P(x)P(x)低一次的多项式,λλ为常数

    • A(xα)kax2+bx+cdx\int\cfrac{A}{(x-\alpha)^k\sqrt{ax^2+bx+c}}dx:利用倒变换,可以令:
      (xα)=1t(x-\alpha) = \frac{1}{t}将该类型化为上种类型

    • Ax+B(x2+px+q)kax2+bx+cdx\int\cfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k\sqrt{ax^2+bx+c}}dx:利用分式线性替换,可以令:
      x=ct+dt+1x = \cfrac{ct+d}{t+1},选择合适的c,dc,d将原积分化为:P(t)dt(t2+s)kαt2+β\int \cfrac{P(t)dt}{(t^2+s)^k\sqrt{\alpha t^2+\beta}}的形式,然后再继续分解化为若干个Aitdt(t2+s)kiαt2+β\int \cfrac{A_itdt}{(t^2+s)^{k_i}\sqrt{\alpha t^2+\beta}}Bidt(t2+s)kiαt2+β\int \cfrac{B_idt}{(t^2+s)^{k_i}\sqrt{\alpha t^2+\beta}},再分别利用倒变换和阿贝尔变换求解即可

    11)分部积分法:
    在这里插入图片描述

    12) 有理函数积分:

    根据实系数多项式分解定理
    在这里插入图片描述

    因此所有有理函数只需要研究去除整式部分后的真分式再分解为的最简分式,如下所示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    分别讨论Ik1I_k^1Ik2I_k^2的解法:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    => 有理式分解方法:

    • 待定系数法:设出所有可能的部分分式,再通分求解系数;

    • 奥氏方法:直接通过分离积分的:
      有理部分(有理部分的分母一定是各个部分分式分母的次高次项的乘积,分子利用待定系数);
      无理部分(无理部分的导数的分母一定是各个部分分式分母的一次项的乘积,分子利用待定系数);
      然后再通分求解系数


    • 五、阿贝尔积分:

      1)定义:形如f(x,y)f(x,y)的函数的积分(其中yyxx的代数函数,即满足代数方程P(x,y)=0P(x,y) = 0)叫做阿贝尔积分,例如f(x,x2+px+q)f(x,\sqrt{x^2+px+q})

      2)有限形状表示定理:阿贝尔积分是否可以表示成有限形状,主要以P(x,y)=0P(x,y)=0决定的曲线的性质所决定,若该曲线能够用参数方程x=x(t),y=y(t)x = x(t),y = y(t)表示,其中x(t),y(t)x(t),y(t)是有理函数,则对应的阿贝尔积分一定能够在有限形状中求得;

      3)椭圆积分:一般形如f(x,ax4+bx3+cx2+dx+e)f(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e})的函数的积分,不能在有限形状中求出的,称为椭圆积分

      => 任何椭圆积分可分解成三类标准椭圆积分

      Ⅰ:F(k,z)=dz(1z2)(1k2z2)z=sinxF(k,x)=dx1k2sin2xF(k,z) = \int \cfrac{dz}{ \sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}} \xrightarrow{z=sinx} F(k,x) = \int \cfrac{dx}{ \sqrt{1-k^2sin^2x}}
      Ⅱ:E(k,z)=z2dz(1z2)(1k2z2)z=sinxE(k,x)=1k2sin2xdxE(k,z) = \int \cfrac{z^2dz }{ \sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}}\xrightarrow{z=sinx} E(k,x) = ∫ \sqrt{1-k^2sin^2x}dx
      Ⅲ:Π(k,h,z)=dz(1+hz2)(1z2)(1k2z2)z=sinxΠ(k,h,x)=dx(1+hsin2x)(1k2sin2x)\Pi(k,h,z) = \int \cfrac{dz}{ (1+hz^2)\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)}} \xrightarrow{z=sinx}\Pi(k,h,x) =\int \cfrac{dx}{(1+hsin^2x)\sqrt{(1-k^2sin^2x)}}


    • 六、定积分 / 黎曼积分:

    在这里插入图片描述

    => 函数可积的必要条件和常见类型:
    在这里插入图片描述
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    => 可积函数的性质:
    1)函数f(x)f(x)[a,b][a,b]上可积,则函数f(x)|f(x)|[a,b][a,b]上可积;

    2)可积性对于加法、减法和乘法运算封闭;

    3)函数f(x)f(x)[a,b][a,b]上可积,则f(x)f(x)[a,b][a,b]的任一子区间上可积;

    4)改变可积函数在有限个点上的值,既不会破坏其可积性,也不会改变原定积分的值

    => 定积分运算性质:

    1)abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_a^bf(x)dx = \int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx

    2)abf(x)dxabf(x)dx|\int_a^bf(x)dx| \le\int_a^b|f(x)|dx

    3)柯西不等式(abf(x)g(x)dx)2abf2(x)dx×abg2(x)dx(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2 \le \int_a^bf^2(x)dx\times\int_a^bg^2(x)dx

    4)牛顿-莱布尼兹公式

    abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a),其中F(x)F(x)f(x)f(x)的原函数

    5)积分中值定理

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    • 七、反常积分:

      1)两种类型:

      无穷区间上:a+f(x)dx=limb+abf(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx = \lim_{b\rightarrow+∞}\int_a^bf(x)dx

      无界函数:abf(x)dx=limε0abεf(x)dx\int_a^bf(x)dx = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx
      其中上限bbf(x)f(x)的奇点(下限为奇点可类似定义)

      2)牛顿-莱布尼兹公式:

      无穷区间上:a+f(x)dx=F(+)F(a)\int_a^{+\infty}f(x)dx = F(+∞) - F(a)

      无界函数: abf(x)dx=limε0[F(bε)F(a)]\int_a^bf(x)dx = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}[F(b-\varepsilon) - F(a)]

      3)敛散性判定定理

      Ⅰ. 比较定理:

      至少从某处x(x>a)x(x>a)开始时不等式f(x)g(x)f(x)\le g(x)恒成立,则:
      a+g(x)dx\int_a^{+∞}g(x)dx收敛,知a+f(x)dx\int_a^{+∞}f(x)dx收敛;
      a+f(x)dx\int_a^{+∞}f(x)dx发散,知a+g(x)dx\int_a^{+∞}g(x)dx发散 ;

      => 令K=limf(x)g(x)K = \lim\cfrac{f(x)}{g(x)}, 则当0<K<+0<K<+∞时,两函数保持相同的敛散性;

      Ⅱ. 柯西判别法:
      => 设x充分大时,可令f(x)=g(x)xλ(λ>0)f(x) = \cfrac{g(x)}{x^λ}(λ> 0),则:
      λ>1λ> 1g(x)c<+g(x)\le c<+∞,则a+f(x)dx\int_a^{+∞}f(x)dx收敛;
      λ1λ\le 1g(x)c>0g(x)\ge c>0,则a+f(x)dx\int_a^{+∞}f(x)dx发散;

      => 设x充分靠近b,可令f(x)=g(x)(bx)λ(λ>0)f(x) = \cfrac{g(x)}{ (b-x)^λ}(λ> 0),则:
      λ<1λ< 1g(x)c<+g(x)\le c<+∞,则abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx收敛;
      λ1λ\ge 1g(x)c>0g(x)\ge c>0,则abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx发散;

      Ⅲ. 阿贝尔判别法:
      f(x)f(x)[a,+][a,+∞]可积,且g(x)g(x)在区间内单调有界,则:
      积分a+f(x)g(x)dx\int_a^{+∞}f(x)g(x)dx收敛

      Ⅳ. 狄里克雷判别法:
      abf(x)dx\int_a^{b}f(x)dx在任何有限区间[a,b][a,b]可积且有界,且g(x)g(x)在区间内单调趋近于零,则:
      积分a+f(x)g(x)dx\int_a^{+∞}f(x)g(x)dx收敛


    • 八、含参积分:

    1)欧拉积分:
    Ⅰ. 第一型欧拉积分(BB函数):

    B(x,y)=01tx1(1t)y1dtB(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt

    => 性质:

    B(x,y)=B(y,x)B(x,y) = B(y,x)

    B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)B(x,y) = \cfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

    Ⅱ. 第二型欧拉积分(ΓΓ函数):

    Γ(x)=0+ettx1dt\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt

    => 性质:

    Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x),特殊地,当x=nNx = n \in N时,Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!
    Γ(x)Γ(1x)=πsinπx(0<x<1)\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \cfrac{\pi}{sin\pi x}(0<x<1),此性质称为余元公式

    2)变限积分:(仅以变上限积分的定义为例,其他情况类似)
    在这里插入图片描述

    => 变限积分求导法则
    在这里插入图片描述


    • 九、二重积分:

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    => 二重积分中值定理
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    => 二重积分计算方法:

    ① 累次积分法:(仅以先对y积分,再对x积分为例,反之类似)
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    则:
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    ② 换元积分法:
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    常见地有:

    极坐标变换:若x=ρcosθ,y=ρsinθx = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,则:
    dxdy=D(x,y)D(ρ,θ)dρdθ=ρdρdθdxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = ρdρdθ

    广义极坐标变换:若x=aρcosθ,y=bρsinθx = a\rho cos\theta,y = b\rho sin\theta,则:
    dxdy=D(x,y)D(ρ,θ)dρdθ=abρdρdθdxdy = |\cfrac{D(x,y) }{ D(ρ,θ)}|dρdθ = abρdρdθ


    • 十、三重积分:

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    => 二重积分计算方法:

    ① 累次积分法:

    先对积分区域任意一条平行于z轴的直线进行积分,再对xy投影面进行积分:(简称先一后二
    设:
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    则:
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    先对积分区域任意一个z轴的法切面进行积分,再对z轴进行积分:(简称先二后一

    设:
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    则:
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    ② 换元积分法:
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    常见地有:

    柱坐标变换:若x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=zx = \rho cos\theta,y = \rho sin\theta,z=z,则:
    dxdydz=D(x,y,z)D(ρ,θ,z)dρdθdz=ρdρdθdzdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(ρ,θ,z)}|dρdθdz = ρdρdθdz

    球坐标变换:若x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcosφx = r cos\theta sin\varphi,y = r sin\theta sin\varphi,z = r cos\varphi,则:
    dxdydz=D(x,y,z)D(r,θ,φ)drdθdφ=r2sinφdrdθdφdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = r^2sin\varphi drdθd\varphi

    广义球坐标变换:若x=arcosθsinφ,y=brsinθsinφ,z=crcosφx = ar cos\theta sin\varphi,y = br sin\theta sin\varphi,z = cr cos\varphi,则:
    dxdydz=D(x,y,z)D(r,θ,φ)drdθdφ=abcr2sinφdrdθdφdxdydz = |\cfrac{D(x,y,z) }{ D(r,\theta,\varphi)}|drdθd\varphi = abcr^2sin\varphi drdθd\varphi


    • 十一、曲线积分:

      1)第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
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      => 无向性:第一类曲线积分不依赖于积分曲线的走向,即:ABfds=BAfds\int_{AB}fds = \int_{BA}fds

      => 对平面曲线积分的计算公式:

      ① 直角坐标:Cf(x,y)ds=abf(x,y)1+(yx)2dx∫_Cf(x,y)ds = ∫_a^bf(x,y)\sqrt{1+(y'_x)^2} dx

      ② 参数坐标:Cf(x,y)ds=t1t2f(x(t),y(t))x(t)2+y(t)2dt∫_Cf(x,y)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt

      ③ 极坐标:Cf(x,y)ds=θ1θ2f(rcosθ,rsinθ)r(θ)2+r(θ)2dθ∫_Cf(x,y)ds = ∫_{θ1}^{θ_2}f(rcosθ,rsinθ)\sqrt{r(θ)^2+r'(θ)^2}dθ

      => 对空间曲线积分的计算公式:

      ① 参数坐标:Cf(x,y,z)ds=t1t2f(x(t),y(t),z(t))x(t)2+y(t)2+z(t)2dt∫_Cf(x,y,z)ds =∫_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt

      ② 直角坐标 / 极坐标:一般需要化为参数坐标,再代入公式①进行计算

      2)第二类曲线积分:(对坐标的曲线积分)
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      => 有向性:第二类曲线积分依赖于积分曲线的走向,且有:ABfds=BAfds\int_{AB}fds = -\int_{BA}fds

      => 对平面曲线积分的计算公式:

      ① 直角坐标:CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=C[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y(x)]dx∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_C[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx

      ② 参数坐标:CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=t1t2[P(x(t),y(t))x(t)+Q(x(t),y(t))y(t)]dt∫_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy = ∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt

      ③ 极坐标:一般化为参数坐标或直角坐标,再代入公式②或①进行计算

      => 对空间曲线积分的计算公式:

      ① 参数坐标:CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=t1t2[P(x(t),y(t),z(t))x(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y(t)+R(x(t),y(t),z(t))z(t)]dt∫_CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =∫_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t) ]dt

      ② 直角坐标 / 极坐标:一般需要化为参数坐标,再代入公式①进行计算

      3)两类曲线积分的转化:
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      4)曲线积分与积分路径无关的充要条件

      => 对于平面曲线积分:
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      => 对于空间曲线积分:
      在这里插入图片描述

      5)对平面曲线积分的格林公式

    在这里插入图片描述

    => 格林公式是二重积分和平面曲线积分之间的连接桥梁,也可看作“二维版”的牛顿-莱布尼兹公式

    6)对空间曲线积分的斯托克斯公式
    在这里插入图片描述
    另有行列式写法:
    在这里插入图片描述

    => 斯托克斯公式是曲面积分和空间曲线积分之间的连接桥梁,也可看作“弯曲版”的格林公式


    • 十二、曲面积分:

    1)第一类曲面积分:(对曲面面积的积分)
    在这里插入图片描述
    => 第一类曲面积分的计算公式:

    ① 参数方程:Sf(x,y,z)dS=Duvf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EGF2dudv\iint_Sf(x,y,z)dS = \iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}dudv

    其中:E=ruru,G=rvrv,F=rurvE = r_u'\cdot r_u', G = r_v'\cdot r_v', F = r_u'\cdot r_v'r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

    ② 直角方程:Sf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy\iint_Sf(x,y,z)dS =\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}dxdy

    2)第二类曲面积分:(对坐标平面的曲面积分)
    在这里插入图片描述
    => 第二类曲面积分的计算公式:

    ① 参数方程:SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=Duv[PA+QB+RC]dudv\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy = \iint_{D_{uv}}[PA+QB+RC]dudv

    其中:(A,B,C)=ru×rv(A,B,C) = r_u'\times r_v'r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))r = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

    ② 直角方程:SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=±Dxy[P(zx)+Q(zy)+R]dxdy\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy =\pm\iint_{D_{xy}}[P(-z_x')+Q(-z_y')+R]dxdy

    其中的正负号有S的定向决定,法向量指向上侧时为正,反之为负(仅以XY\rm XY平面为坐标投影面为例;同理,若以XZ\rm XZ平面为坐标投影面,则法向量指向右侧为正,反之为负;若以YZ\rm YZ平面为坐标投影面,则法向量指向前侧为正,反之为负)

    3)两类曲面积分的转化:
    ∫∫(S)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫(Pcosa+Qcosb+Rcosc)dS

    4)对曲面积分的高斯公式:(“三维版的格林公式”)

    在这里插入图片描述
    => 高斯公式是三重积分和曲面积分之间的连接桥梁,也可看作“三维版”的格林公式


    • 十三、场论:

    1)数量场的梯度

    考虑数量场u=f(x,y,z)u = f(x,y,z):
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    2)向量场的散度
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    3)向量场的旋度
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    4)场论形式的斯托克斯公式:

    CAdr=SrotAndS\oint_C Adr = \iint_S rot A\cdot n dS,其中:n=(cosα,cosβ,cosγ)n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)

    5)场论形式的高斯公式:

    SAndS=VdivAdV\oiint_S A\cdot ndS = \iiint_V div A dV,其中:n=(cosα,cosβ,cosγ)n = (cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)


    • 十四、关于牛顿-莱布尼兹公式及其衍生公式的一点思考:

      经读者思考,我们其实可以从某个角度将牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、斯托克斯公式、高斯公式统一起来,即:
      它们均表达的是将若干个函数对某一个有界几何区域上的积分转化为该若干个函数的原函数或偏原函数对该区域的边界上的积分,例如:

      ① 牛顿-莱布尼兹公式:将一维线段上的积分abf(x)dx\int_a^b f(x)dx转化为其原函数对该一维线段的两端点上的积分F(x)abF(x)|^b_a

      ② 格林公式:将二维单连通平面上的积分D(QxPy)dxdy\iint_D (\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy转化为其偏原函数对该二维平面的闭合边界曲线上的积分CPdx+Qdy\oint_C Pdx+Qdy
      ③ 斯托克斯公式:将二维单连通曲面上的积分S[(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy]\iint_S [(\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy]转化为其偏原函数对该二维曲面的闭合边界曲线上的积分CPdx+Qdy+Rdz\oint_C Pdx+Qdy+Rdz

      ④ 高斯公式:将三维闭区域上的积分V[Px+Qy+Rz]dxdydz\iiint_V [\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y}+\cfrac{\partial R}{\partial z}]dxdydz转化为其偏原函数对该三维区域的闭合边界曲面上的积分SPdydz+Qdzdx+Rdxdy\oiint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy



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