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  • 二重积分公式表
    2021-04-20 09:53:50

    复化梯形公式求二重积分matlab源码

    这段代码具有很好的交互性和通用性,将代码复制到matlab编辑器之后,按照提示操作即可。傻瓜式操作,结果一目了然~

    %%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%%

    %%%%%%%%%%复化梯形公式求二重积分%%%%%%%%%

    %%%%%%%%%% Liu Deping %%%%%%%%%

    clear all;

    %%%被积函数及积分上下限导入;

    s=input('请输入函数表达式:f = ','s');

    f=inline(s);

    a = input('请输入积分变量x左边界a的值:');

    b = input('请输入积分变量x右边界b的值:');

    c = input('请输入积分变量y左边界c的值:');

    d = input('请输入积分变量y右边界d的值:');

    h1 = input('请输入积分变量x步长h1的值:');

    h2 = input('请输入积分变量y步长h2的值:');

    m=round((b-a)/h1);

    n=round((d-c)/h2);

    %%%系数矩阵T,t[i,j]为复化梯形公式的系数;

    TT=zeros(m+1,n+1);

    TT(1,1)=1;

    TT(m+1,1)=1;

    TT(1,n+1)=1;

    TT(m+1,n+1)=1;

    for i=2:m

    TT(i,1)=2;

    TT(i,n+1)=2;

    end

    for j=2:n

    TT(1,j)=2;

    TT(m+1,j)=2;

    end

    TT(TT==0)=4 %%系数表

    %%%计算各二维节点函数值,并存放于矩阵F中;

    F=zeros(m+1,n+1);

    for i=0:m

    for j=0:n

    F(i+1,j+1)=f(a+i*h1,c+j*h2);

    end

    end

    %%%结果输出;

    format long;

    fprintf('各节点函数值;')

    F

    fprintf('复化梯形公式计算结果;')

    Tnm=(b-a)*(d-c)/(4*m*n)*sum(sum(TT.*F))

    之后还有辛普森公式求二重积分,希望喜欢的小伙伴持续关注篱落~~成殇~~

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    标签:公式,TT,复化,积分,input,源码,二重积分

    来源: https://blog.csdn.net/m0_46498899/article/details/106616597

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    二重积分二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值; 举例说明:二重积分的现实(物理)含义: 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高...

    二重积分:

    二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;
    举例说明:二重积分的现实(物理)含义:

    1. 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积
    2. 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积
    3. 二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

    二重积分的定义式:
    ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_Df(x,y)d\sigma Df(x,y)dσ其中
    x x x y y y叫做积分变量, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)叫做被积函数, d σ d\sigma dσ叫做面积元素, D D D叫做积分区域

    二重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式: ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint_Df(x,y)dxdy Df(x,y)dxdy其中 d x d y 叫 做 直 角 坐 标 系 中 的 面 积 元 素 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 dxdy
    2、极坐标系形式: ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ \iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ其中 ρ d ρ d θ \rho d\rho d\theta ρdρdθ叫做极坐标系中的面积元素

    二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算
    1、在直角坐标系下, f ( x , y ) 中 x 的 取 值 区 间 为 [ x 0 , x 1 ] , 则 可 推 到 出 y 的 取 值 区 间 为 [ g ( x 0 ) , g ( x 1 ) ] f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1],则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)] f(x,y)x[x0,x1]y[g(x0),g(x1)],则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ x 0 x 1 d x ∫ g ( x 0 ) g ( x 1 ) f ( x , y ) d y \iint_Df(x,y)dxdy = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{g(x_0)}^{g(x_1)}f(x,y)dy Df(x,y)dxdy=x0x1dxg(x0)g(x1)f(x,y)dy
    反之,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)中y的取值区间为[y_0,y_1],则可推到出x的取值区间为 [ g ( y 0 ) , g ( y 1 ) ] [g(y_0),g(y_1)] [g(y0),g(y1)],则有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ y 0 y 1 d y ∫ g ( y 0 ) g ( y 1 ) f ( x , y ) d x \iint_Df(x,y)dxdy = \int_{y_0}^{y_1}dy\int_{g(y_0)}^{g(y_1)}f(x,y)dx Df(x,y)dxdy=y0y1dyg(y0)g(y1)f(x,y)dx

    2、在极坐标系下, f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta) f(ρcosθ,ρsinθ) θ \theta θ的取值范围为 [ θ 0 , θ 1 ] [\theta_0,\theta_1] [θ0,θ1], ρ \rho ρ的取值范围为 [ ρ 0 , ρ 1 ] [\rho_0, \rho_1] [ρ0,ρ1],则有 ∬ D f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ d θ = ∫ θ 0 θ 1 d θ ∫ ρ 0 ρ 1 f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ ) ρ d ρ \iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{\rho_0}^{\rho_1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=θ0θ1dθρ0ρ1f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

    三重积分:

    三重积分的现实(物理)含义:体积 × 物理量 = 三重积分值;
    举例说明:

    1. 三重积分计算立体体积,即:体积 × 1 = 立体体积
    2. 三重积分计算立体质量,即:体积 × 体密度 = 立体质量

    三重积分的定义式:
    ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint_\Omega f(x,y,z)dv Ωf(x,y,z)dv其中 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)叫做被积函数, d v dv dv叫做体积元素, Ω \Omega Ω 叫做积分区域

    三重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式:
    ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz Ωf(x,y,z)dxdydz其中 d x d y d z dxdydz dxdydz叫做直角坐标系的体积元素
    2、柱面坐标系形式:
    ∭ Ω f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ , z ) ρ d ρ d θ d z \iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho d\rho d\theta dz Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz与定义式的关系为 { x = ρ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ θ z = z d v = ρ d ρ d θ d z \left\{ \begin{array}{c}x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \\dv = \rho d\rho d\theta dz\end{array}\right. x=ρcosθy=ρsinθz=zdv=ρdρdθdz
    3、球面坐标系形式:
    ∭ Ω f ( r sin ⁡ ψ cos ⁡ θ , r sin ⁡ ψ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ψ ) r 2 sin ⁡ ψ d r d ψ d θ \iiint_\Omega f(r\sin\psi\cos\theta,r\sin\psi\sin\theta,r\cos\psi)r^2\sin\psi dr d\psi d\theta Ωf(rsinψcosθ,rsinψsinθ,rcosψ)r2sinψdrdψdθ与定义式的关系为 { x = r sin ⁡ ψ cos ⁡ θ y = r sin ⁡ ψ sin ⁡ θ z = r cos ⁡ ψ d v = r 2 sin ⁡ ψ d r d ψ d θ \left\{ \begin{array}{c}x = r\sin\psi\cos\theta \\ y = r\sin\psi\sin\theta \\ z = r\cos\psi \\dv = r^2\sin\psi dr d\psi d\theta\end{array}\right. x=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψdv=r2sinψdrdψdθ其中

    • r是图形到原点的距离
    • ψ \psi ψ是图形与z轴的角度,原点为顶点
    • θ \theta θ是图形与 x o y xoy xoy面投影的夹角,原点为顶点

    三重积分的计算法:
    1、将三重积分转化为三次积分计算:
    在直角坐标系下: f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)中的z的取值范围可以被 x x x y y y表示为 [ z 0 ( x , y ) , z 1 ( x , y ) ] [z_0(x,y),z_1(x,y)] [z0(x,y),z1(x,y)],在 x x x y y y平面上, y y y的取值范围可以被 x x x表示为 [ y 0 ( x ) , y 1 ( x ) ] [y_0(x), y_1(x)] [y0(x),y1(x)] x x x的取值范围可以表示为 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1] [x0,x1],则有 ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ x 0 x 1 d x ∫ y 0 ( x ) y 1 ( x ) d y ∫ z 0 ( x , y ) z 1 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{y_0(x)}^{y_1(x)}dy\int_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz Ωf(x,y,z)dv=x0x1dxy0(x)y1(x)dyz0(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

    2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
    在直角坐标系下: f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)中的 z z z的取值范围为 [ z 0 , z 1 ] [z_0,z_1] [z0,z1] x x x y y y所组成的区域可以表示为区域 D D D,则有: ∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ z 0 z 1 d z ∬ f ( x , y , z ) d x d y \iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{z_0}^{z_1}dz\iint f(x,y,z)dxdy Ωf(x,y,z)dv=z0z1dzf(x,y,z)dxdy

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  • 二重积分计算(几何法)

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    第二节 二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是...

    第二节  二重积分的计算法

    教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法

    教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分

    教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题

    教学内容:

    利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.

    一、利用直角坐标计算二重积分

    我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

    讨论中,我们假定 

    假定积分区域可用不等式 表示,

    其中上连续.

    据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.

    在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

    一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

    利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

    从而有

                         (1)

    上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对计算定积分.

    这个先对, 后对的二次积分也常记作

    在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.

    例如:计算 

    解: 

    类似地,如果积分区域可以用下述不等式

    表示,且函数,上连续,上连续,则

           (2)

    显然,(2)式是先对,后对的二次积分.

    二重积分化二次积分时应注意的问题

    1、积分区域的形状

    前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

    对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.

    如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.

    2、积分限的确定

    二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

    次积分限的方法

    -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )

    上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点,这里的就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.

    例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

    类似地, 

     

    例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.

    例3求由曲面所围成的立体的体积.

    解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域

       

    消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

    2、列出体积计算的表达式

     

    3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

    而  

    ,的对称性有  

     

     

     

     

    所求立体的体积为

    二、利用极坐标计算二重积分

    1、变换公式

    按照二重积分的定义有

    现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

    用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线

    ,将剖分成个小闭区域.

    除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算

    其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.

    (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

    在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

    于是

    由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

                    (1)

    (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.

    (1)式的记忆方法:

    2、极坐标下的二重积分计算法

       极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.

    情形一】积分区域可表示成下述形式

    其中函数上连续.

    则 

    情形二】积分区域为下述形式

    显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).

    故 

    【情形三】积分区域为下述形式

    显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成,而

    故 

    则 

    由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式

    下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.

    例4将下列区域用极坐标变量表示

    1、

    2、

    Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围

    Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.

    注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

    利用此题结果可求出著名概率积分 .

    而被积函数满足 ,从而以下不等式

     

    成立,再利用例二的结果有

    ,

     ,

    于是不等式可改写成下述形式

    故当时有  ,

    即   .

    3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

    (1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );

    (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含为实数 ).

    例6计算

    解此积分区域为

    区域的简图为

    该区域在极坐标下的表示形式为

    小结   二重积分计算公式

    直角坐标系下     X—型

                     Y—型

    极坐标系下   

    作业 教材161 习题2(I)(2)(3)3(1)(3)4(2)(4)

     

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    举个例子,散度公式:
    ∯ S A ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ A d V \oiint \limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint \limits_{V} \nabla\cdot \mathbf{A} \mathrm{d}V S AdS=VAdV

    代码:

    \begin{equation}
    \oiint \limits_{S} \mathbf{A} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 
    \iiint \limits_{V} \nabla\cdot \mathbf{A} \mathrm{d}V
    \end{equation}
    
    
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    千次阅读 2020-07-23 13:53:43
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    千次阅读 2022-05-15 22:41:31
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空空如也

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