2020/3/14
用matlab求二重积分
题目如下：
求

  ，其中D是由圆周   及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域
法一：
积分区域用不等式表示为


二重积分可化为二次积分



matlab中输入命令
syms x y  
   int(int(sqrt(1-x^2-y^2/1+x^2+y^2),y,-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2))) 

得到
ans =
 
asin(x) + x*(1 - x^2)^(1/2)

再积分第二层
>> int(ans,x,-1,1)
 
ans = 
        0

法二：


对应的matlab命令
 syms theta ; int(ans,theta,0,2*pi)

结果
ans =
 
(pi*(pi - 2))/2

这里出错在于 没有看是第一象限

应该把2pi改为0.5pi

因此前面也错了，定义域出错
>> int(sqrt(1-x^2-y^2/1+x^2+y^2),y,0,sqrt(1-x^2))
 
ans =
 
(1 - x^2)^(1/2)
 
>>   int((1 - x^2)^(1/2),x,0,1)
 
ans =
 
pi/4

至于为什么这里结果是pi/4,还是错就不追究了，说明极坐标的方法更简便
参考来源：(https://jingyan.baidu.com/album/4f7d5712e2de2b1a2019272c.html?picindex=3)

百度文库

二重积分

几何意义：曲顶柱体的体积

一般形式



其中双重积分号； D是积分区间，这里的积分区间是二维的

f（x，y)为被积函数；dx*dy为面积微分

二重积分的类型





 

二重积分的求法

1,在直角坐标系画出D的图像，先观察积分区间D，确定积分是x型还是y型

2，如果是x型（y型相似），就做辅助线，平行于y轴从下往上穿的直线，然后看图像，先穿到的图像上的点就是y的最小值，后穿的点是最大值（这里的两个值都可能是用关于x的函数表示）确定y的范围。

3，将二重积分拆成两个定积分（先积分函数表示的上下限的）

 

 

我们以一个方程为例
化成方程，
在点处的法向量为，
而垂直于水平面的竖直单位向量为，
所以，我们可以求出切平面和水平面的夹角，即为两个平面法向量的夹角

 
曲面元面积，
项目实验：计算半径为的球体表面积
首先先计算第一卦限的曲面表面积，曲面方程是
在点处的法向量为，
，
为了计算，我们把上式转化成极坐标
所以，总表面积是
转载于:https://www.cnblogs.com/yatidashi/p/6055691.html

trapz是用梯形法求积分，要求输入一个数列，或两个一样长的数列，而最后输出积分值。
cumtrapz输入与trapz一样，但是最后输出的是与输入等长的数列，其最后一个值为积分值，如果计算二重积分，而输入一个矩阵，那么cumtrapz是按照列进行计算的，最后输出矩阵的最后一行为内积分的值。此外，cumtrapz默认的积分步长为1，若要修改，只需在使用这个函数时乘以积分步长即可
例
dg=0.01;
x=1:0.01:2;
fun=1./x;
func=dg*cumtrapz(fun);
result=func(end);
而计算积分限为无穷时，可以将积分区间进行划分，然后将每个积分区间的计算结果相加，当某个积分区间的结果小于某个值时，停止计算。
例：
D=1；
T=1;
I=0；
a=0;
dg=0.01;
pre=10^(-5);
while T>pre
          b=a+D;
          x=a:0.01:(b-0.01);
          fun=exp(-x);
          func=dg*cumtrapz(fun);
         T=func(end);
         I=I+T;
        a=b;
        D=2*D;
end
result=I
注意：其中dg与pre决定了运算的速度，与所使用的设备有关。