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  • java 实现二重积分计算 录摘要 1 前言 21 数值积分的基本思想和存 在的问题 31.1 数值积分存在的某些问题 31.2 数值积分的基 本思想 32 积分方法 52.1 复化求积法 52.2 变步长求 积 52.3 1 重积分和 2 重积分的...
  • 二重积分计算基础计算 —— 章技巧计算 —— 章特殊形式被积函数和积分域的计算 ——章2. 二重积分的求导——节二重积分可以直接求导二重积分无法直接求导3. 二重积分的证明相关定理——节4. 二重积分的综合问题...

    前言

    本笔记不涉及基础知识,重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多,不定时更新。且为了提高效率,用表线性梳理的形式代替思维导图,望谅解。

    如有缺漏错误,欢迎补充指正!

    最近更新时间:2020.07.13 添加形心计算公式

    二重积分

    • 二重积分的计算
    • 二重积分的求导
    • 二重积分的证明相关定理
    • 二重积分不等式问题
    • 二重积分综合问题

    我认为在充分理解的情况下,考研数学解题就是解题方法和技巧的堆砌,再加一点点想象力。大部分题只会用到章程相关的解题方法,综合题会有跨章节技巧,比如泰勒公式,夹逼定理,放缩,微分方程,三角函数等,也可以说这些是基础。

    所以在解题方法之后我会标注该方法为节、章、综合三类方法之中的一种。表示该方法会在什么范围内用到。

    1. 二重积分的计算

    • 基础计算
    • 技巧计算
    • 特殊形式被积函数和积分区域的计算
    基础计算 —— 章

    直角坐标系:根据题目情况,x轴和y轴的积分次序可颠倒。
    极坐标系:绝大部分先对极径积分,再对转角积分。极径的积分区间可以是常数,也可以随角度变化,这个要根据题目情况确定(利用圆的性质,在圆内做辅助线)。

    技巧计算 —— 章

    对称性和奇偶性:

    • 关于x,y轴对称,相应y,x函数根据奇偶性定积分为0或一半积分域的2倍。
    • 关于y=x对称,f(y,x)的积分 = f(x,y)的积分,非常常用,在x,y轴对称计算复杂时可考虑。
    • 关于y = b或x = b对称,使用变量代换,如X = x-b,进行简化计算。

    积分区域划分
    当完整区域不容易积分时,分割区域。

    华里士公式(点火公式)
    用于提升解题速度,常用于极坐标系下的积分求解,一定要掌握。

    交换积分次序
    在给定积分的题目中出现,一般直接给出的积分次序都不容易求解。画出积分域之后再确定坐标系和积分次序。

    形心计算公式
    用于提升解题速度,适用于两重积分和三重积分。运用公式需要满足两个条件,一是形心显而易见,而是被积函数可分解为单个变量的一次形式。
    在这里插入图片描述
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    特殊形式被积函数和积分域的计算 ——章

    分段、绝对值作被积函数,参数方程和全平面作积分域的积分
    这些特殊形式和普通形式的积分求解步骤相同,需要适当练习。

    • 首先判断积分域有无对称性、奇偶性,如有必要分割积分域。
    • 选择合适的坐标系
    • 选择合适的积分次序
    • 计算

    2. 二重积分的求导——节

    • 二重积分可以直接求导
    • 二重积分无法直接求导
    二重积分可以直接求导

    二重积分求导的方式和定积分相似,把首先积分的变量看作后积分的变量的被积函数,按照定积分的方式求导。

    二重积分无法直接求导
    • 交换积分次序使之可以求导
    • 化为一元定积分进行求导,其实就是先积一个变量。

    3. 二重积分的证明相关定理——节

    • 中值定理
    • 估值定理
    • 比较定理

    4. 二重积分的综合问题——节

    两个定积分乘积转化为重积分

    与基本不等式一起,证明二重积分的不等式问题。

    转化条件:两个定积分的上下限都为常数,且积分变量互不干扰
    形式:两个定积分相乘,将其中一个定积分中的积分变量改写为y,积分域必定关于x=y对称。

    微分方程

    等式题目的证明,一般方程左右两边有函数和函数的积分形式,求导后化为一阶线性微分方程。

    求极限相关

    包括洛必达,泰勒等求极限相关方法,证明二重积分不等式。
    综合问题要考虑到微分方程和求极限相关的方法对一元定积分最为适用,所以在使用前要把二重积分化为一元定积分。

    三重积分

    三重积分相比于二重积分题型更固定一点,主要考查三重积分的计算和交换积分次序。毕竟三重积分画出积分域也是难点了。
    熟练掌握直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的三重积分计算,会利用对称性和奇偶性。交换积分次序时两两互换,画出积分域进行辅助。

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  • 多变量微积分笔记(3)——二重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-06-20 17:26:47
    多重积分——二重积分(Double Integrals)3.1 直角坐标系下二重积分二重积分的定义如何选择积分上下限3.2 极坐标下的二重积分微元及二重积分表达式如何选择积分上下限3.3 二重积分中的换元方法直角坐标系与极坐标...


    本博客对应我博客中的 多变量微积分目录下的第三章,二重积分。

    3. 多重积分——二重积分(Double Integrals)

    上一章讲到多元函数的微分及其应用,这一章是关于多重积分里的二重积分,虽然只是限定在了平面范围内,但是非常非常重要。

    3.1 直角坐标系下二重积分

    二重积分的定义

    现有一积分区域 R R R和某函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),将该区域切割成 n n n块小面积,其中第 i i i块的面积为 Δ A i \Delta A_i ΔAi,并且在该区域内选择一个点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi),那么有限项和
    ∑ i n f ( x i , y i ) Δ A i \sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i inf(xi,yi)ΔAi在面积元接近无穷小时的极限被定义为二重积分(参考下图),即:
    ∬ R f ( x , y ) d A = lim ⁡ Δ A i → 0 ∑ i n f ( x i , y i ) Δ A i \iint_Rf(x,y)dA=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(x_i,y_i)\Delta A_i Rf(x,y)dA=ΔAi0liminf(xi,yi)ΔAi
    可以发现,如果函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是某一物体的高度函数,二重积分可以用来求该物体的体积;当 f ( x , y ) = 1 f(x,y)=1 f(x,y)=1时,二重积分 ∬ R d A \iint_R dA RdA 求的是积分区域的面积。(常见的二重积分应用会在3.4节中提到)
    在这里插入图片描述

    如何选择积分上下限

    在多重积分当中,最重要的就是明确积分的上下限,通常情况下需要先画出所求区域的草图。
    一般步骤

    1. 写出完整的二重积分表达式
      ∬ R f ( x , y ) d y d x o r ∬ R f ( x , y ) d x d y \iint_Rf(x,y)dydx\quad or\quad\iint_Rf(x,y)dxdy Rf(x,y)dydxorRf(x,y)dxdy
    2. 根据内部积分的顺序,选择固定的轴, x x x y y y,作垂直于所选轴的垂线,如果固定的是 x x x轴,那么积分上下限一般表达式为 y 1 = g 1 ( x ) ,   y 2 = g 2 ( x ) y_1=g_1(x),\ y_2=g_2(x) y1=g1(x), y2=g2(x),选择 y y y轴的情况同理。
    3. 如果第二步中固定的是 x x x轴,将 x x x当成常数对变量 y y y积分(步骤与单变量几分钟的步骤完全一样)
    4. 对外层变量 x x x 积分

    举例如下图:求曲线 x + y = 1 x+y=1 x+y=1 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1在第一象限所围成的面积,可以看出,例子中选择的是先固定变量 x x x
    在这里插入图片描述

    3.2 极坐标下的二重积分

    在单变量微积分中我们已经学过了极坐标和直角坐标系的转换,即 x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta x=rcosθ, y=rsinθ当所求积分区域为圆或圆的衍生图形的时候常用极坐标。

    微元及二重积分表达式

    微元表达式
    如下图,将二维区域 R R R按极坐标的模式切割成不同小块,每一个小块的面积表达式为 Δ A = r Δ θ ⋅ Δ r \Delta A=r_\Delta\theta\cdot \Delta r ΔA=rΔθΔr,转化成微元形式就是 d A = r d r d θ dA=rdrd\theta dA=rdrdθ,可以看出,极坐标下的面积元与矩形面积公式相似,因为在面积无穷小的时候弧长会近似成直线。
    在这里插入图片描述
    二重积分表达式
    极坐标下的二重积分形式为:
    ∬ R f ( r , θ ) r d r d θ = lim ⁡ Δ A i → 0 ∑ i n f ( r i , θ i ) Δ A i \iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta=\lim_{\Delta A_i\to 0}\sum_i^n f(r_i,\theta_i)\Delta A_i Rf(r,θ)rdrdθ=ΔAi0liminf(ri,θi)ΔAi

    如何选择积分上下限

    与直角坐标系中选择积分上下限类似,一般在极坐标中先固定角度 θ \theta θ
    一般步骤:

    1. 写出完整的二重积分表达式:
      ∬ R f ( r , θ ) r d r d θ \iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta Rf(r,θ)rdrdθ
    2. 固定角度 θ \theta θ,作过原点的一条直线,找到内部积分上下限的一般表达式, r 1 = g 1 ( θ ) ,   r 2 = g 2 ( θ ) r_1=g_1(\theta),\ r_2=g_2(\theta) r1=g1(θ), r2=g2(θ),之后求出内部积分表达式。
    3. 找到变量 θ \theta θ的上下限并对外层变量 θ \theta θ 积分

    3.3 二重积分中的换元方法

    直角坐标系与极坐标之间的转化

    根据所选积分区域的形状选择不同的坐标系会有不同的效果,起到简化计算的作用。首先是最常见的直角坐标与极坐标的转化。
    ∬ R f ( x , y ) d y d x = ∬ R f ( r , θ ) r d r d θ \iint_R f(x,y)dydx=\iint_Rf(r,\theta)rdrd\theta Rf(x,y)dydx=Rf(r,θ)rdrdθ
    其中各个变量的对应关系是 x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ ,   r = x 2 + y 2 ,   θ = t a n − 1 y x x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r=\sqrt{x^2+y^2},\ \theta=tan^{-1}\frac{y}{x} x=rcosθ, y=rsinθ, r=x2+y2 , θ=tan1xy

    Jacobian行列式

    Jacobian行列式是变量变换的一般形式,这一节只有表达形式,我觉得这个行列式非常美妙,所以具体的证明过程等我之后再补上!本节只考虑Jacobian的二维形式,其定义式为:
    ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ x u x v y u y v ∣ \frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{vmatrix} (u,v)(x,y)=xuyuxvyv
    一般化的变量转化为:
    d A = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ d u d v dA=\big|\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\big|dudv dA=(u,v)(x,y)dudv
    直角坐标到极坐标的转化也可以通过Jacobian计算出来。

    3.4 标量函数中二重积分的应用

    在标量函数中,二重积分有许多应用:在不考虑厚度的情况下,已知密度求物体的质量;;求物体质心的位置;求物体的转动惯量。

    质量

    已知物体的密度 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)在某一区域 R R R 内是连续的,则质量为:
    Mass = ∬ R δ ( x , y ) d y d x \text{Mass}=\iint_R\delta(x,y)dydx Mass=Rδ(x,y)dydx

    均值和质心

    在单变量微积分中,积分的一个应用是求均值和加权平均值。同样地,二重积分也可以用来求均值,一般表达式为:
    Average = 1 area  R ∬ R f ( x , y ) d A \text{Average}=\frac{1}{\text{area} \ R}\iint_Rf(x,y)dA Average=area R1Rf(x,y)dA
    f ( x , y ) = x f(x,y)=x f(x,y)=x f ( x , y ) = y f(x,y)=y f(x,y)=y时就是求一个物体的质心位置。假设密度依然为 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y),则质心(Center of Mass)表达式为:
    x c m = ∬ R x δ ( x , y ) d A x_{cm}=\iint_Rx\delta(x,y)dA xcm=Rxδ(x,y)dA y c m = ∬ R y δ ( x , y ) d A y_{cm}=\iint_Ry\delta(x,y)dA ycm=Ryδ(x,y)dA

    二维平面内的转动惯量

    转动惯量相当于旋转刚体的质量(写到这突然觉得今晚上得复习一下经典力学中的旋转刚体了,力矩等概念已经记不得了),对于对称的物体而言, I = m d 2 I=md^2 I=md2 m m m是物体的质量(不规则的物体需要用积分的方法求解), d d d是物体到转轴的距离。如果密度为 δ ( x , y ) \delta(x,y) δ(x,y)的物体绕 y y y轴旋转,其转动惯量就可以写成:
    I = ∬ x 2 δ ( x , y ) d A I=\iint x^2\delta(x,y)dA I=x2δ(x,y)dA

    3.5 矢量场及矢量场中的积分

    矢量场回顾

    在笔记第二章最后中已经介绍了什么是矢量场和标量场,由于这一章关注的是二维平面,所以矢量场就特指平面向量场,其表达式为 F ( x , y ) = M ( x , y ) i + N ( x , y ) j \bold F(x,y)=M(x,y)\bold i+N(x,y) \bold j F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j如果函数 M ,   N M,\ N M, N是可微的,则向量场可微。

    梯度场和势场——矢量场和标量场的转化

    如果某一个二维标量函数 w = f ( x , y ) w=f(x,y) w=f(x,y)是连续可导的, 则它的梯度场可以表示为 ∇ w = ∂ w ∂ x i + ∂ w ∂ y j \nabla w=\frac{\partial w}{\partial x}\bold i+\frac{\partial w}{\partial y}\bold j w=xwi+ywj

    (请牢记梯度的性质,梯度垂直于等值面的切线)

    如果一个向量场是某个势函数的梯度,则这个向量场就被称为梯度场。梯度场是保守场,即做功与路径无关。(常见的梯度场有电场,重力场等)做工只与起始和终止点有关。下文也会详细阐述关于保守场的几个等价命题

    常见的矢量场

    矢量场广泛应用于物理学中,描述力场,比如静电力场,重力场;或者是描述流体,比如不可压缩的水流和可压缩的气体的流速(单位时间内经过的量等)。

    矢量场中的积分1——线积分(Line Integrals)

    当平面内有一力场时,线积分表达的物理意义就是力做功的多少。

    A. 功(Work)

    在物理学中,功是计算力在位移上的分量和位移的乘积而得到的,也就是力和位移的点乘。

    线积分一般表达形式

    平面内有一矢量场(一般是与力有关) F = M i + N j = &lt; M , N &gt; \bold F=M\bold i+N\bold j=&lt;M,N&gt; F=Mi+Nj=<M,N>(省略掉自变量以保证公式的简洁),平面内还有一曲线 C : r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j = &lt; x ( t ) , y ( t ) &gt; C:\bold r(t)=x(t)\bold i+y(t)\bold j=&lt;x(t),y(t)&gt; Cr(t)=x(t)i+y(t)j=<x(t),y(t)>,其微分形式 d r = &lt; d x , d y &gt; d\bold r=&lt;dx,dy&gt; dr=<dx,dy>,由此可以推出线积分的表达形式及其分量表达形式:
    ∫ C F ⋅ d r = ∫ C &lt; M , N &gt; ⋅ &lt; d x , d y &gt; = ∫ C M d x + N d y \int_C\bold F\cdot d\bold r=\int_C&lt;M,N&gt;\cdot &lt;dx,dy&gt;=\int_CMdx+Ndy CFdr=C<M,N><dx,dy>=CMdx+Ndy

    梯度场与线积分基本定理

    前文中提到了梯度场和势函数的关系,这一节将进一步阐明梯度场的性质及如何通过梯度场反推势函数。

    什么是梯度场

    如果一个向量场满足 F = ∇ f = &lt; f x , f y &gt; \bold F=\nabla f=&lt;f_x,f_y&gt; F=f=<fx,fy>或者是 F = − ∇ f \bold F=-\nabla f F=f,那么它就被称为梯度场。注意,物理中一般加负号(比如电场与电势的关系 E = − ∇ V \bold E=-\nabla V E=V),数学中一般不加。

    线积分基本定理

    ∫ C ∇ f ⋅ d r = f ( P 1 ) − f ( P 0 ) \int_C\nabla f\cdot d\bold r=f(P_1)-f(P_0) Cfdr=f(P1)f(P0)
    其中 P 1 ,   P 0 P_1,\ P_0 P1, P0代表一段曲线的终止点和起始点。对该基本定理的简单解释如下:
    ∫ C ∇ f ⋅ d r = ∫ C f x d x + f y d y = ∫ C d f = f ( P 1 ) − f ( P 0 ) \int_C\nabla f\cdot d\bold r=\int_Cf_xdx+f_ydy=\int_Cdf=f(P_1)-f(P_0) Cfdr=Cfxdx+fydy=Cdf=f(P1)f(P0)
    上式中的 d f = f x d x + f y d y df= f_xdx+f_ydy df=fxdx+fydy就是势函数 f f f的恰微分形式(Exact Differentials)

    梯度场的等价性质

    现有一梯度场 F = ∇ f = &lt; M , N &gt; \bold F=\nabla f=&lt;M,N&gt; F=f=<M,N>

    1. 梯度场的线积分与路径无关(Path Independence)
      ∫ C 1 F ⋅ d r = ∫ C 2 F ⋅ d r \int_{C_1}\bold F\cdot d\bold r=\int_{C_2}\bold F\cdot d\bold r C1Fdr=C2Fdr
      下图给出了本条性质的图形解释:
      在这里插入图片描述

    2. 梯度场是保守场(Conservative Field):
      如果平面内的曲线 C C C闭合曲线,那么 F F F的线积分为0。
      ∮ C F ⋅ d r = 0 \oint_C\bold F\cdot d\bold r=0 CFdr=0

    3. M d x + N d y Mdx+Ndy Mdx+Ndy是势函数 f f f的恰微分形式
      d f = M d x + N d y ,  where  M = f x ,   N = f y df=Mdx+Ndy,\ \text{where}\ M=f_x,\ N=f_y df=Mdx+Ndy, where M=fx, N=fy

    如何检验一平面向量场是梯度场

    如果向量场 F = M i + N j = &lt; M , N &gt; \bold F=M\bold i+N\bold j=&lt;M,N&gt; F=Mi+Nj=<M,N>满足 M y = N x M_y=N_x My=Nx,则该向量场为梯度场。

    简单证明
    假设 F = ∇ f = &lt; f x , f y &gt; = &lt; M , N &gt; \bold F =\nabla f=&lt;f_x,f_y&gt;=&lt;M,N&gt; F=f=<fx,fy>=<M,N>,则 f x y = f y x = M y = N x f_{xy}=f_{yx}=M_y=N_x fxy=fyx=My=Nx,反之也成立。

    由梯度场推导势场

    上文详细介绍了梯度场的性质和检验方法,那么已知梯度场如何反向求解势函数呢?
    方法1
    该方法通过拆解线积分的路径来计算线积分的值。因为梯度场是路径无关的,即线积分等于终止点的值减去起始点的值,所以将线积分的路径拆解成几段好算的路径是可行的,比如将其分解成只沿 x x x轴和 y y y轴的路径。(该方法并不常用)
    方法二
    常用的方法是利用反导数求解势函数。用一道例题来解释该方法的细节。
    已知一梯度场为 F = &lt; f x , f y &gt; = &lt; 4 x 2 + 8 x y , 3 y 2 + 4 x 2 &gt; \bold F=&lt;f_x,f_y&gt;=&lt;4x^2+8xy,3y^2+4x^2&gt; F=<fx,fy>=<4x2+8xy,3y2+4x2>
    步骤:

    1. 对该梯度场任意分量积分,例如 f = ∫ f x d x f=\int f_xdx f=fxdx
      f = ∫ f x d x = 4 3 x 3 + 4 x 2 y + g ( y ) f=\int f_xdx=\frac{4}{3}x^3+4x^2y+g(y) f=fxdx=34x3+4x2y+g(y)
      这里的 g ( y ) g(y) g(y)是之关于变量 y y y的函数。
    2. 对第一步中得到的含有 g ( y ) g(y) g(y)的函数继续求导,并于原梯度场中的 f y f_y fy联立算出 g ( y ) g(y) g(y),可以得到
      f y = 0 + 4 x 2 + g ′ ( y ) = 4 x 2 + 3 y 2 f_y=0+4x^2+g&#x27;(y)=4x^2+3y^2 fy=0+4x2+g(y)=4x2+3y2 g ′ ( y ) = 3 y 2 → g ( y ) = y 3 + C g&#x27;(y)=3y^2\quad\to\quad g(y)=y^3+C g(y)=3y2g(y)=y3+C
    3. 利用第二步中的结果计算原函数:
      f = 4 3 x 3 + 4 x 2 y + y 3 + C f=\frac{4}{3}x^3+4x^2y+y^3+C f=34x3+4x2y+y3+C

    B. 格林定理(Green’s Theorem)

    尽管矢量场中的功是通过一维积分定义的,但这并不影响其从一维到二维积分的转化。该转化过程需要定义新的量,即旋度(Curl)。功是对向量场与曲线的切线方向积分得到的,如果要让向量场与曲线的法向做积分,就得到了二维通量,转化成二维积分的时候就需要定义新的量——散度(Divergence)

    B.1 二维平面中的旋度

    因为向量场 F \bold F F只是在平面上的,所以其对应的旋度也是二维的。二维平面中旋度的定义为:
    Curl F = N x − M y \text{Curl}\bold F=N_x-M_y CurlF=NxMy
    要注意在二维平面中,旋度是一个标量,但在三维空间中,旋度是一个矢量,二维旋度只是三维旋度下沿 z z z轴的分量。

    B.2 二维平面中的通量与散度
    I. 2D 通量

    其实功的一维积分表达式还可以写成(平面向量场是 F = M i + N j \bold F=M\bold i+N\bold j F=Mi+Nj ∫ C F ⋅ d r = ∫ C F ⋅ T d s \int_C \bold F\cdot d\bold r=\int_C \bold F\cdot \bold Tds CFdr=CFTds
    其中 T = v ∣ v ∣ \bold T=\frac{\bold v}{|\bold v|} T=vv是描述曲线切线方向的单位向量, d r = T d s = v d t d\bold r=\bold Tds=\bold v dt dr=Tds=vdt

    如果我们关注的是向量场在曲线法向的分量,我们就可以在功的表达式的基础上定义改进,即 ∫ C F ⋅ n d s \int_C \bold F\cdot \bold nds CFnds接下来只要知道如何表达法向量 n \bold n n就可以了。我们以参数 s s s来参数化路径向量 r \bold r r,也就是 r ( s ) = x ( t ) i + y ( t ) j \bold r(s)=x(t)\bold i+y(t)\bold j r(s)=x(t)i+y(t)j,切向向量微元 T d s = v d t = &lt; d x , d y &gt; \bold Tds=\bold vdt=&lt;dx,dy&gt; Tds=vdt=<dx,dy>,又已知 n d s \bold nds nds垂直于 T d s \bold Tds Tds,在二维平面中我们通常将切向向量向右旋转 90 ° 90\degree 90°得到曲线的法向量(也就是默认曲线是逆时针方向的),所以 n d s = &lt; d y , − d x &gt; \bold nds=&lt;dy,-dx&gt; nds=<dy,dx>以保证 ( n d s ) ⋅ ( T d s ) = 0 (\bold nds)\cdot(\bold Tds)=0 (nds)(Tds)=0。新的表达式即二维通量的表达式为:
    ∫ C F ⋅ n d s = ∫ C &lt; M , N &gt; ⋅ &lt; d y , − d x &gt; = ∫ C M d y − N d x \int_C \bold F\cdot \bold nds=\int_C &lt;M,N&gt;\cdot&lt;dy,-dx&gt;=\int_C Mdy-Ndx CFnds=C<M,N><dy,dx>=CMdyNdx

    II. 2D 散度

    假设有一向量场 F = &lt; M , N &gt; \bold F=&lt;M,N&gt; F=<M,N>,它的散度就表示为:
    div F = M x + N y = ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y \text{div}\bold F=M_x+N_y=\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial N}{\partial y} divF=Mx+Ny=xM+yN

    B.3 格林定理(Green Theorem)——功(线积分)与旋度
    I. 定理内容

    给定以向量场 F = &lt; M , N &gt; \bold F=&lt;M,N&gt; F=<M,N>,它在某一闭合曲线 C C C上(包围的面积为 R R R)的线积分为:
    ∮ C F ⋅ d r = ∮ C M d x + N d y = ∬ R Curl F d A = ∬ R ( N x − M y ) d A \oint_C \bold F \cdot d\bold r=\oint_CMdx+Ndy=\iint_R\text{Curl}\bold FdA=\iint_R(N_x-M_y)dA CFdr=CMdx+Ndy=RCurlFdA=R(NxMy)dA
    其中 N x − M y N_x-M_y NxMy为向量场的二维旋度。下一章的笔记中会给出三维旋度的统一表达式。一些闭合曲线的示意图如下图:
    在这里插入图片描述
    注意闭合曲线的方向一定要满足右手定则(简单来说曲线应该是逆时针转动的)

    II. 证明思路

    证明格林定理的思路是:

    1. 首先将闭合曲线所构成的平面切割成一个个小矩形(Vertically Simple Region),这种切割方法方便在直角坐标系中的证明;
      在这里插入图片描述
    2. 由于定理中存在叠加的式子 N x − M y N_x-M_y NxMy,对于左右两边的式子,可以先证明其中任意一个,比如右边的 ∬ − M y d y d x \iint-M_ydydx Mydydx和左边的 ∮ M d x \oint Mdx Mdx,之后类推到 N , N x N,N_x N,Nx
    3. 最后叠加,在加法中需要注意,两条相邻的闭合曲线相加,其交线会相互抵消,如下图:
      在这里插入图片描述
    III. 旋度的简单物理解释

    在流体速度场中,旋度度量的是旋转体的角速度(气体或液体);而在力场中,旋度与旋转物体所受到的力矩(力乘以力臂)有关。

    B.4 格林定理法向形式(Green Theorem in normal form)——通量(Flux)与散度
    I. 定理内容

    与格林定理一样,格林定理法相形式也需要闭合曲线 C C C和它所包围的面积 R R R及向量场 F = &lt; M , N &gt; \bold F=&lt;M,N&gt; F=<M,N>,则通过闭合曲线的通量为:
    ∮ C F ⋅ n d s = ∮ C M d y − N d x = ∬ R div F   d A = ∬ R ( M x + N y ) d A \oint_C\bold F\cdot\bold nds=\oint_CMdy-Ndx=\iint_R\text{div}\bold F\ dA=\iint_R(M_x+N_y)dA CFnds=CMdyNdx=RdivF dA=R(Mx+Ny)dA
    值得注意的是,格林定理的法向形式与格林定理本身是一致的,如果令 M = N ,   N = M M=N,\ N=M M=N, N=M,这两个定理是一致的。

    II.简单证明

    跟证明格林定理的时候思路一样,先把闭合曲线围成的面积切割成一块块小矩形,如下图,
    在这里插入图片描述
    经过顶部曲线的通量是(法向量 n = j \bold n = \bold j n=j):
    F ⋅ j Δ s = N ( x , y + Δ y ) Δ x \bold F\cdot\bold j\Delta s=N(x,y+\Delta y)\Delta x FjΔs=N(x,y+Δy)Δx
    经过底部曲线的通量是(法向量 n = − j \bold n = -\bold j n=j):
    F ⋅ ( − j ) Δ s = − N ( x , y ) Δ x \bold F\cdot(-\bold j)\Delta s=-N(x,y)\Delta x F(j)Δs=N(x,y)Δx
    两者相加, ( N ( x , y + Δ y ) − N ( x , y ) ) Δ x = ∂ N ∂ y Δ y Δ x (N(x,y+\Delta y)-N(x,y))\Delta x=\frac{\partial N}{\partial y}\Delta y \Delta x (N(x,y+Δy)N(x,y))Δx=yNΔyΔx
    左右两边也同理。

    III.散度的简单物理解释

    如果散度为正,说明该区域内有源(source),也就是发散的;如果散度为负,则说明该区域是汇聚点(sink),是收敛的。物理上,散度描述的是源速率(Source Rate),比如,有一流体,散度表示的就是每单位面积每单位时间加入系统的流体的量。

    3.6 二维平面下格林定理总结

    二维平面中的格林定理有两种形式,一种是切向,一种是法向。不同的形式有着不同的物理应用。切向形式的格林定理常用于做功;而法向的格林定理常用于计算通量。

    单连通区域的描述(Simple Connected)
    在上文的关于旋度,散度中,我们的暗含假设是闭合曲线 C C C包围的面积 R R R是单连通的。单连通区域需要满足以下条件:平面某一区域 D D D内,任意闭合曲线所包含的区域都要在该区域 D D D内。比如说完整的圆形就是单连通的,而圆环就不属于单连通区域。

    格林定理扩展形式(Extended Form)
    格林定理可以在非单连通区域内成立,某区域 R R R如下如图所示。
    在这里插入图片描述
    则格林定理则为:
    ∫ C 1 F ⋅ d r + ∫ C 2 F ⋅ d r + ⋯ + ∫ C m F ⋅ d r = ∬ R curl F d A \int_{C1}\bold F\cdot d\bold r+\int_{C2}\bold F\cdot d\bold r+\cdots+\int_{Cm}\bold F\cdot d\bold r=\iint_R\text{curl}\bold FdA C1Fdr+C2Fdr++CmFdr=RcurlFdA

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  • 二重积分求导

    千次阅读 2019-05-10 09:47:00
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  • 高等数学复习之二重积分

    千次阅读 多人点赞 2020-12-25 13:34:50
    备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题,对于其中的原理怎么也不是很理解,看到书上讲到了二重积分,就从二重积分开始再复习下吧!也作为高等数学的备考内容来准备着。 1、为什么说定积分积分范围是直线的? ...

    备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题,对于其中的原理怎么也不是很理解,看到书上讲到了二重积分,就从二重积分开始再复习下吧!也作为高等数学的备考内容来准备着。

    1、为什么说定积分积分范围是直线的?

    这个可以从定积分印象得到,脑补的情形就是一条曲线在X轴投影的某个区间的面积。正是因为“区间”,可以应用到概率的随机变量上,因为随机变量的定义就是 <= 某点的所有情况的概率。

    2、为什么定积分的值就是落在这个区间的概率值呢?

    没必要心怀疑惑,前提还是前提,大学里为啥没学好高数呢?就是因为心中的疑惑,没有得到及时的解决。高数真的难吗?女生都一样学好的东西,为啥学不会呢?还不是往往对结论怀疑吗,只看到结果没看条件。其实也变相说明了世间的一个真理 “任何事都不要太较真,不必纠结于一方面,静下心来思考,仿佛冥冥之中如有神助”。连续型随机变量也是一样的。它的分布函数符合 (-∞) 到 x 上所有点,并且,所有点符合关于x一个函数f(x)的趋势。也就是其定义:

    3、知道了上面这些,引入二重积分概念就比较简单了,什么是二重积分呢?

    定义的脑补几何是一个曲顶柱体,简单来说就是以有界区域D(其实是曲面f(x,y)在xoy这个面上的投影)为底,以曲面f(x,y)为顶,这个曲面柱体的体积。求法如下:

    其思想和定积分的思想是一样的。f(ξ,η)其实是作为分割小区域上Δσ(西格马)上一点,因为这些小区域被分割的很小,曲顶的高度变化很小,所以就可以近似当成是一个平顶柱体来看所以就可以把f(ξ,η)作为高的。其实也很好理解,当小区域无限小,趋于0时,就是演变成了一个个的点柱的体积,这些点柱的体积和就是这个曲顶柱体的体积精确值。

    由于最后取分割小区域面积的极限,所以与分割方式与取点方式无关。那么Δσ也可以表示为矩形的面积Δσ=ΔxΔy形式。也就是由原来的点柱,变成矩形柱,脑补图如下:

    4、关于可不可积的问题?

    若由现实中的问题应用二重积分,只要保证f(x,y)在有界区域D上连续,就可以得到f(x,y)是可积的。连续是可积的充分条件。也就是可积不一定推出连续,只能得到在这个区域上连续。

    不可积的情形,就是不连续的情形。这里f(x,y)要当作纯函数来理解。

    5、计算二重积分方法有哪些?

    理解了二重积分的定义,对于概率论中有关多维随机变量的解法就知道了大半,与定积分一样,为什么多维随机变量会对应到二重积分,前提就随机变量符合二元函数的变化。再掌握下二重积分的计算。基本概率论的题应该就差不多了,但作为高数备考,还得了解二重积分的性质,详见扩展吧!

    学高数,还在于会计算。思想是可以通用的如极限,可以用到程序,用到其他。但计算方法正是数学特有的。正如解二重积分,当遇到函数已知,如何分割区域D就成为求解的路径了。这其实也是将求曲顶柱体这种求立体体积的问题,转成了二维面积问题,实现了简化和降维。

    直角坐标系下计算二重积分:(计算方法是二次积分,化成依次进行的两个定积分,根据什么化呢?有特定的形式)

    解法的步骤:

    1、先找到区域D在x轴或y轴的投影区间

    2、找到上边界曲线写成y=f(x)左边界曲线写成或x=f(y)的形式。记忆为:对哪个轴投影,就将此轴上的变量写成函数形式,如对x轴投影就写成f(x)作为另一个轴的双边(何为双边?就是曲线的左右或上下边界)不等式一边。同时,先求以f(x)为界的定积分,以把f(x)当作常数来代入,以f(x)为界的定积分是以y作为变量的积分,即所谓的先对y求积分,将y=f(x)代入后,会得到一个关于x的的函数,剩下就是关于x的一个定积分,再求x的定积分,就得到整个二重积分的结果。简单来说,就是“对哪个轴投影,决定了f(x)还是f(y),进而决定先对x还是先对y积分”。

    3、同理,找到下边界或右边界曲线。得出双边不等式,这一步是解题的关键。

    4、然后,按照先内后外的形式依次求解定积分。

    掌握这些,应付考试基本够用了。有空还得复习下定积分的内容。

    6、如何确定先x后y,还是先y后x呢?也就是积分次序?两个原则:

    1、积分区域的分块尽可能少

    2、被积函数尽可能容易积分

     

    扩展:二重积分的性质

    二重对称奇偶性:

    何为奇函数,何为偶函数呢?

    利用奇偶性可以简化二重积分的计算。

    利用几何意义分析二重积分奇偶性:

    当f(x,y)>=0时,在区域D上的二重积分代表曲顶柱体的体积,当f(x,y)<=0等于曲顶柱体体积的相反数。

    假设f(x,y)是关于x的奇函数,故曲面z=f(x,y)关于y轴所在直线对称。再假设积分区域D关于Y轴对称,则y轴把D分成“相等”的两部分,分别对这两个小区域上对f(xy)积分,由于左右全等,故结果互为相反数,再根据对积分区域可加性,所以结果为0。如下图所示:

    注意:只有积分区域对称性和被积函数奇偶性同时满足时,结论才成立。

     

    极坐标系下二重积分计算:

    极坐标的概念:

    平面点的极坐标表示,实质就是已经夹角θ和距离r的情况下确定平面点的坐标,如下图:

     为什么夹角θ的取值范围是【0,2π】????

    这其实还是”前提“,r半径,要是绕着哪一点转,θ就是从这一点出发的仰角。这里的前提就是半径r是绕着原点转的。所以在标准情况下x^2+y^2=R^2,0≤r≤R,所以角度就是0到2π,转一圈,可以这么理解,因为圆的周长是2πr,如下图:

    极坐标下计算二重积分?

    思想是一样的,也是将区域分割成小区域,然后求和,取极限。两个扇形面积的差,可以表示出划分后的小区域,但取无限细分的区域是没必要这么麻烦的,所以直接近似的算小矩形的面积就可以,如下图:

    小矩形的面积如何求呢?

    近似的可以看出是蓝色区域的下弧长 X 半径差Δr,如下图所示:注:这里需要了解的是弧长的计算公式     l = n(圆心角)× π(圆周率)× r(半径)/180=     α  (圆心角弧度数)× r(半径)这里的 π/180=0.0174,是个很小的数,用 α表示。根据实际情况,这里省略了。

     到这里可以得出面积微元Δσ=r  . dr . dθ,与上面小矩形面积公式是一一对应的。根据平面坐标系下二重积分的公式:x用极坐下r cosθ代替,y用极坐标下r sinθ代替,得到极坐标下二重积分的表示。

    可以看到f(rcosθ,rsinθ)r,都是关于r θ,一个函数,记为g(r,θ),这里就可以看作是直角坐标系下的二重积分,从而完成了抽象建模的过程,剩下就是按照二重积分的解法,求解就可以了

    根据图形,找出关于r θ,的双边不等式,就可以求解,如下图:

    1、先找出关于 θ的双边不等式,就是看要分解的区域是夹在哪两个射线之间的。如上图:=<θ<=𝛽

    2、找出两个射线间的内边界曲线,再找到外边界曲线,就可以确定两个射线间任意角度 θ,那么就可以确定边界函数。如上图𝜑1(θ)=<r<=𝜑2(θ).关键问题还是写积分区域的不等式。

    3、转成二次积分的形式:注意,转成f(r cosθ,r sinθ)后面还有一个r

    什么情况下用极坐标形式解二重积分呢?

    1、双边曲线是一个圆弧或圆盘等形式。

    2、被积函数x^2+y^x或y/x的形式(也就是直角坐标系转成极坐标关系)。

     

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空空如也

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