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  • 第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋...

    第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋,谢鹏燕,张 鹏 (北京石油化工学院数理系,北京102617) 收稿日期:2011-05-06;修改日期:2012-02-23 基金项目:北京市 URT计划项目子项目(2010J00067) 作者简介:王若鹏(1975-),男,副教授,主要从事优化理论与方法的教学与研究.Email:wangruopeng@bipt.edu.cn 夏赞勋(1989-),男,信息与计算科学专业2008级本科在读.Email:xiazanxun@bipt.edu.cn 摘 要   运用 MATLAB 软件,通过对 MATLAB 内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 MATLAB 命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分. 关键词   二重积分;MATLAB;数值积分 中图分类号  O172.2 文献标识码  A 文章编号  1008-1399(2012)02-0061-03 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题[ 1-2] I = D f ( x , y ) d x d y = ∫ b a d x ∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . ( 1) 这里考虑f ( x , y )= xy ,  a =1,  b =2, c ( x )=sin  x ,  d ( x )=cos  x . 为叙述方便,不妨记 g ( x )=∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . MATLAB7.0提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法[ 3]. 符 号 解 法 是 使 用MATLAB内部命令int计算两次一重积分,其结果往往是符号,要计算积分值,必须使用vpa计算其数值,在2009a版本中,也可以利用quad2d计算二重积分值,但是对稍微复杂的二重积分,这两个命令无法计算其积分值.而数值解法是利用dblquad函数,但要求内外积分限都是常函数,即只能计算矩形区域上的二重积分.对于一般区域上的二重积分计算,文 [ 2, 4-5]建 议 使 用 美 国 学 者 Howard Wilson 和 Bryce Gardner开发的数值积分工具箱中的函数 gquadzdggen. 事实上,通过对 MATLAB中相关计算重积分的函数加以改造,就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作.文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、dblquad函数的改造以及quadl命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题. 1  二重积分的计算方法 1.1  一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时,MATLAB 没有相应的内部函数,可借用一元函数数值积分的方法进行求解.数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等,这里只讨论梯形公式. 对于二重积分( 1),利用梯形法将区间[ a , b ]等 分为 m 份,记 hx = b - a m , xi = a + ihx ( i =1, 2,…, m ), 则有 I ≈ h ( x g ( a )- g ( b ) 2 +∑ m -1 i =1 g ( xi )) , 其中 g ( xi )=∫ d ( xi ) c ( xi ) f ( xi , y ) d y

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  • 二重积分计算(几何法)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-06 15:59:42
    第二节 二重积分计算法 教学目的:熟练掌握二重积分计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是...

    第二节  二重积分的计算法

    教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法

    教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分

    教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题

    教学内容:

    利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.

    一、利用直角坐标计算二重积分

    我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

    讨论中,我们假定 

    假定积分区域可用不等式 表示,

    其中上连续.

    据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.

    在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

    一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

    利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

    从而有

                         (1)

    上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对计算定积分.

    这个先对, 后对的二次积分也常记作

    在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.

    例如:计算 

    解: 

    类似地,如果积分区域可以用下述不等式

    表示,且函数,上连续,上连续,则

           (2)

    显然,(2)式是先对,后对的二次积分.

    二重积分化二次积分时应注意的问题

    1、积分区域的形状

    前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

    对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.

    如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.

    2、积分限的确定

    二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

    次积分限的方法

    -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )

    上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点,这里的就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.

    例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

    类似地, 

     

    例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.

    例3求由曲面所围成的立体的体积.

    解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域

       

    消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

    2、列出体积计算的表达式

     

    3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

    而  

    ,的对称性有  

     

     

     

     

    所求立体的体积为

    二、利用极坐标计算二重积分

    1、变换公式

    按照二重积分的定义有

    现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

    用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线

    ,将剖分成个小闭区域.

    除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算

    其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.

    (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

    在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

    于是

    由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

                    (1)

    (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.

    (1)式的记忆方法:

    2、极坐标下的二重积分计算法

       极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.

    情形一】积分区域可表示成下述形式

    其中函数上连续.

    则 

    情形二】积分区域为下述形式

    显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).

    故 

    【情形三】积分区域为下述形式

    显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成,而

    故 

    则 

    由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式

    下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.

    例4将下列区域用极坐标变量表示

    1、

    2、

    Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围

    Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.

    注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

    利用此题结果可求出著名概率积分 .

    而被积函数满足 ,从而以下不等式

     

    成立,再利用例二的结果有

    ,

     ,

    于是不等式可改写成下述形式

    故当时有  ,

    即   .

    3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

    (1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );

    (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含为实数 ).

    例6计算

    解此积分区域为

    区域的简图为

    该区域在极坐标下的表示形式为

    小结   二重积分计算公式

    直角坐标系下     X—型

                     Y—型

    极坐标系下   

    作业 教材161 习题2(I)(2)(3)3(1)(3)4(2)(4)

     

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  • 二重积分计算

    2020-11-28 23:52:59
    1.轮换对称性 2.二重积分的计算方法 例1.12.3 3.极坐标二重积分计算 例1.12.5

    1.轮换对称性
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    2.二重积分的计算方法
    例1.12.3
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    3.极坐标二重积分计算
    例1.12.5
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  • (2)极坐标下二重积分计算: 二.格林公式与路线无关性 三.三重积分 1.概念 2.直角坐标系下的计算 3.三重积分换元法 四.重积分的应用 1.曲面的面积 2.质心 3.转动惯量 4.引力 五.nnn重积分 六.反常二重积分 1.无界...

    一.二重积分
    1.平面图形的面积
    (1)定义:
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    (2)可求面积的充要条件:

    定理21.1:平面有界图形PP可求面积的充要条件是:对ε>0∀ε>0,总存在直线网TT,使得SP(T)sP(T)<ε(2)S_P(T)-s_P(T)<ε\qquad(2)
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    注:①证明方法类似于定积分中下和与上和相关性质的证明
    推论:平面有界图形PP的面积为0的充要条件是:其外面积IˉP=0\bar I_P=0,即对ε>0∀ε>0.存在直线网TT,使得SP(T)<εS_P(T)<ε或对ε>0,P∀ε>0,P总能被有限个面积总和小于εε的小矩形所覆盖

    (3)边界的面积:

    定理21.2:平面有界图形PP可求面积的充要条件是:PP的边界KK的面积为0
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    定理21.3:若曲线KK为定义在[a,b][a,b]上的连续函数f(x)f(x)的图像,则曲线KK的面积为0
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    推论1:参数方程x=φ(t),y=ψ(t)(t[α,β])x=φ(t),y=ψ(t)\,(t∈[α,β])所表示的光滑曲线KK的面积为0
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    推论2:由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的
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    2.二重积分的定义及存在性
    (1)分割,细度,积分和:
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    (2)二重积分的定义:
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    (3)二重积分的存在性:
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    定理21.4:f(x,y)f(x,y)在有界,可求面积的区域DD上可积的充要条件是:limT0S(T)=limT0s(T)\displaystyle\lim_{||T||→0}S(T)=\displaystyle\lim_{||T||→0}s(T)

    定理21.5:f(x,y)f(x,y)在有界,可求面积的区域DD上可积的充要条件是:对ε>0∀ε>0,存在DD的某个分割TT,使得S(T)s(T)<εS(T)-s(T)<ε

    定理21.6:有界闭区域DD上的连续函数必可积

    定理21.7:设f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上有界,且其不连续点集EE是零面积集,则f(x,y)f(x,y)DD上可积
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    3.二重积分的性质:

    ①若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,kk为常数,则kf(x,y)kf(x,y)DD上也可积,且Dkf(x,y)dσ=kDf(x,y)dσ\iint_Dkf(x,y)dσ=k\iint_Df(x,y)dσ

    ②若f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在区域DD上可积,则f(x,y)±g(x,y)f(x,y)±g(x,y)DD上也可积,且D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=Df(x,y)dσ±Dg(x,y)dσ\iint_D[f(x,y)±g(x,y)]dσ=\iint_Df(x,y)dσ±\iint_Dg(x,y)dσ

    ③若f(x,y)f(x,y)在区域D1,D2D_1,D_2上可积,且D1,D2D_1,D_2无公共内点,则f(x,y)f(x,y)D1D2D_1∪D_2上也可积,且D1D2f(x,y)dσ=D1f(x,y)dσ+D2f(x,y)dσ\iint_{D_1∪D_2}f(x,y)dσ=\iint_{D_1}f(x,y)dσ+\iint_{D_2}f(x,y)dσ

    ④若f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在区域DD上可积,且f(x,y)g(x,y)((x,y)D)f(x,y)≤g(x,y)\,((x,y)∈D)Df(x,y)dσDg(x,y)dσ\iint_Df(x,y)dσ≤\iint_Dg(x,y)dσ

    ⑤若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,则f(x,y)|f(x,y)|DD上也可积,且Df(x,y)dσDf(x,y)dσ|\iint_Df(x,y)dσ|≤\iint_D|f(x,y)|dσ

    ⑥若f(x,y)f(x,y)在区域DD上可积,且mf(x,y)M((x,y)D)m≤f(x,y)≤M\,((x,y)∈D)mSDDf(x,y)dσMSdmS_D≤\iint_Df(x,y)dσ≤MS_d这里SDS_D是积分区域DD的面积

    ⑦(中值定理)若f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上连续,则(ξ,η)SD∃(\xi,η)S_D这里SDS_D是积分区域DD的面积
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    4.直角坐标系下二重积分的计算
    (1)矩形区域上二重积分的计算:

    定理21.8:设f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上可积,且对x[a,b]∀x∈[a,b],积分cdf(x,y)dy\int_c^df(x,y)dy存在,则累次积分abdxcdf(x,y)dy\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy也存在,且Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy(1)\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy\qquad(1)
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    定理21.9:设f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上可积,且对y[c,d]∀y∈[c,d],积分abf(x,y)dx\int_a^bf(x,y)dx存在,则累次积分cddyabf(x,y)dx\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx也存在,且Df(x,y)dσ=cddyabf(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx

    特别地,当f(x,y)f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d]上连续时,有Df(x,y)dσ=abdxcdf(x,y)dy=cddyabf(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy=\int_c^ddy\int_a^bf(x,y)dx

    (2)一般区域上二重积分的计算:
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    定理21.10:若f(x,y)f(x,y)在如(4)式所示的xx型区域DD上连续,其中y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x)[a,b][a,b]上连续,则Df(x,y)dσ=abdxy1(x)y2(x)f(x,y)dy\iint_Df(x,y)dσ=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy即二重积分可化为先对yy后对xx的累次积分
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    同理,若DD为如(4)式所示的yy型区域,其中x1(y),x2(y)x_1(y),x_2(y)[c,d][c,d]上连续,则Df(x,y)dσ=cddyx1(y)x2(y)f(x,y)dx\iint_Df(x,y)dσ=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx即二重积分可化为先对xx后对yy的累次积分

    5.变量变换
    (1)变量变换公式:
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    引理:设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)T:x=x(u,v),y=y(u,v)uvuv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域ΔΔ一对一地映成xyxy平面上的闭区域DD,函数x(u,v),y(u,v)x(u,v),y(u,v)ΔΔ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=(x,y)(u,v)0((u,v)Δ)J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ)则区域DD的面积μ(D)=ΔJ(u,v)dudv(5)μ(D)=\iint_Δ|J(u,v)|dudv\qquad(5)
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    定理21.13:设f(x,y)f(x,y)在有界闭区域DD上可积,设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)T:x=x(u,v),y=y(u,v)uvuv平面上由按段光滑的封闭曲线所围成的闭区域ΔΔ一对一地映成xyxy平面上的闭区域DD,函数x(u,v),y(u,v)x(u,v),y(u,v)ΔΔ内分别具有1阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=(x,y)(u,v)0((u,v)Δ)J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0\,((u,v)∈Δ)Df(x,y)dxdy=Δf(x(u,v),y(u,v))J(u,v)dudv\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv
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    (2)极坐标下二重积分的计算:
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    定理21.14:设f(x,y)f(x,y)满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下,xyxy平面上的有界闭区域DDrθ平面上的区域ΔΔ对应,则成立Df(x,y)dxdy=Δf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ(9)\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Δf(rcos\,θ,rsin\,θ)rdrdθ\qquad(9)
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    将二重积分在极坐标系下化为累次积分:
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    二.格林公式·曲线积分与路线无关性
    1.二重积分与第二型曲线积分间的联系
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    (1)边界曲线的正方向:
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    (2)格林公式(Green Formula):

    定理21.11:若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在闭区域DD上连续,且有连续的1阶偏导数,则有D(QxPy)dσ=LPdx+Qdy(1)\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dσ=\oint_LPdx+Qdy\qquad(1)这里LL为区域DD的边界曲线,分段光滑,并取正方向;公式(1)称为格林公式
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    格林公式揭示了沿闭曲线的积分和二重积分之间的联系,为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式DxyPQdσ=LPdx+Qdy\iint_D\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{matrix}\right|dσ=\oint_LPdx+Qdy应用格林公式可简化某些曲线积分的计算

    2.曲线积分与路线的无关性
    (1)单连通与复连通:
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    (2)曲线积分在什么条件下和路径无关:

    定理21.12:设DD是单连通闭区域,若函数P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)DD内连续,且具有1阶连续偏导数,则以下4个条件等价:
    ①沿DD内任一按段光滑封闭曲线LL,有LPdx+Qdy\oint_LPdx+Qdy
    ②对DD内任一按段光滑曲线LL,曲线积分LPdx+Qdy\int_LPdx+Qdy与路线无关,只与LL的起点与终点有关
    Pdx+QdyPdx+QdyDD内某函数u(x,y)u(x,y)的全微分,即在DD内有du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy
    ④在DD内处处有下式成立Py=Qx\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
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    关于条件[DD是单连通区域]:
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    (3)Pdx+QdyPdx+Qdy的原函数:
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    三.三重积分
    1.概念与性质:
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    注:①可仿照定义平面图形可求面积的方法建立空间立体可求体积的概念,今后总是假定VV的边界由光滑曲面组成,以保证积分区域是可求体积的
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    2.将三重积分化为累次积分
    (1)先一后二法:

    定理21.15:若函数f(x,y,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对(x,y)D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=ehf(x,y,z)dz∀(x,y)∈D=[a,b]×[c,d],g(x,y)=\int_e^hf(x,y,z)dz都存在,则积分Dg(x,y)dxdy\iint_Dg(x,y)dxdy也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=Ddxdyehf(x,y,z)dz\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_Ddxdy\int_e^hf(x,y,z)dz
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    推论1:若V={(x,y,z)(x,y)D,z1(x,y)zz2(x,y)}[a,b]×[c,d]×[e,h]V=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)∈D,z_1(x,y)≤z≤z_2(x,y)\}\sub[a,b]×[c,d]×[e,h],其中DDVVOxyOxy平面上的投影,z1(x,y),z2(x,y)z_1(x,y),z_2(x,y)DD上的连续函数,函数f(x,y,z)f(x,y,z)VV上的三重积分存在,且对(x,y)D∀(x,y)∈D,G(x,y)=z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dzG(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz也存在,则积分DG(x,y)dxdy\iint_DG(x,y)dxdy存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=DG(x,y)dxdy    =Ddxdyz1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz(3)\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\iint_DG(x,y)dxdy\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\,\,\,=\iint_Ddxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\qquad(3)(见图21-21)
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    (2)先二后一法:

    定理21.16:若函数f(x,y,z)f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对z[e,h]∀z∈[e,h],二重积分I(z)=Df(x,y,z)dxdyI(z)=\iint_Df(x,y,z)dxdy存在,其中D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]×[c,d],则积分ehdzDf(x,y,z)dxdy\int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=ehdzDf(x,y,z)dxdy\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hdz\iint_Df(x,y,z)dxdy
    推论1:若V[a,b]×[c,d]×[e,h]V\sub[a,b]×[c,d]×[e,h],函数f(x,y,z)f(x,y,z)VV上的三重积分存在,且对z[e,h]∀z∈[e,h],二重积分φ(z)=Dzf(x,y,z)dxdyφ(z)=\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy存在,其中DzD_z是截面{(x,y)(x,y,z)V}\{(x,y)\,|\,(x,y,z)∈V\},则积分ehφ(z)dz\int_e^hφ(z)dz也存在,且Vf(x,y,z)dxdydz=ehφ(z)dz=ehdzDzf(x,y,z)dxdy\iiint_Vf(x,y,z)dxdydz=\int_e^hφ(z)dz=\int_e^hdz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy(见图21-33)
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    3.三重积分换元法
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    (1)柱面坐标变换:
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    (2)球坐标变换:
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二重积分计算公式