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  • 二重积分计算公式
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    2020-12-28 22:19:34

    二重积分转换公式注意将直角坐标系的二重积分化为极坐标

    一 问题的提出 (1)、X-型域 注意: 四 小结 思考判断题 解 解 解 在极系下: (如图) o 2a D 解 计算二重积分应该注意以下几点: 先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。 首先,选择坐标系。 其次,化二重积分为二次积分。 根据区域形状和类型确定积分次序,从而穿线确定内限,夹线确定外限。 最后,计算二次积分。 由内向外逐层计算,内层积分计算时,外层积分变量看做常量。 如果一个二重积分的 积分区域既是 型又是 型,那么一定能按 * * 第二节 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 利用直角坐标计算二重积分 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结与思考判断题 (Calculation of double integral) 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而,用定义来计算二重积分,一般情况 下是非常麻烦的. 那么,有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍: 1、积分域 D: 如果积分区域为: [X-型] 放大图象 X型区域的特点:a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个; b、 (2)、Y-型域: [Y-型] 放大 Y型区域的特点:a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、 2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义,若?(x,y)≥0,则 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形 面积为: y Z 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1)上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2)积分次序: X-型域 先Y后X; 3)积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下, 域边两线夹,外限依靠它。 为方便,上式也常记为: 3、Y-型域下二重积分的计算: 同理: [Y-型域下] 1)积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2)积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。 注意:二重积分转化为二次定积分时,关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 4、利用直系计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标; (3)确定积分限,化为二次定积分; (2)根据积分域类型, 确定积分次序; (4)计算两次定积分,即可得出结果. 解: [X-型] [Y-型] 例2 解: X-型 例3 解: (如图)将D作Y型 -1 2 5、若区域为组合域,如图则: 0 6、如果积分区域既是X-型, 又是[Y-型], 则有 解: 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解: 原式 例6 解: 先去掉绝对值符号,如图 缩小图象 [X-型] 7 小结 返回 [Y-型] 三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 1 直系与极系下的二重积分关系(如图) (1)面积元素变换为极系下: (2)二重积分转换公式: (3)注意:将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”: 2 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域, 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交, 由穿进点,穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化为极系后,极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 (1)区域如图1 具体地(如图) 图1 (2)区域如图2 图2 (3)区域如图3 图3 (4)区域如图4 图4 解 * * * *

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    第二节  二重积分的计算法

    教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法

    教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分

    教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题

    教学内容:

    利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.

    一、利用直角坐标计算二重积分

    我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

    讨论中,我们假定 

    假定积分区域可用不等式 表示,

    其中上连续.

    据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.

    在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

    一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

    利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

    从而有

                         (1)

    上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对计算定积分.

    这个先对, 后对的二次积分也常记作

    在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.

    例如:计算 

    解: 

    类似地,如果积分区域可以用下述不等式

    表示,且函数,上连续,上连续,则

           (2)

    显然,(2)式是先对,后对的二次积分.

    二重积分化二次积分时应注意的问题

    1、积分区域的形状

    前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

    对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.

    如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.

    2、积分限的确定

    二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二

    次积分限的方法

    -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )

    上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点,这里的就是将,看作常数而对积分时的下限和上限;又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.

    例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

    类似地, 

     

    例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.

    例3求由曲面所围成的立体的体积.

    解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域

       

    消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

    2、列出体积计算的表达式

     

    3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

    而  

    ,的对称性有  

     

     

     

     

    所求立体的体积为

    二、利用极坐标计算二重积分

    1、变换公式

    按照二重积分的定义有

    现研究这一和式极限在极坐标中的形式.

    用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线

    ,将剖分成个小闭区域.

    除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算

    其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.

    (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)

    在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

    于是

    由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式

                    (1)

    (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.

    (1)式的记忆方法:

    2、极坐标下的二重积分计算法

       极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.

    情形一】积分区域可表示成下述形式

    其中函数上连续.

    则 

    情形二】积分区域为下述形式

    显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).

    故 

    【情形三】积分区域为下述形式

    显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成,而

    故 

    则 

    由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式

    下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.

    例4将下列区域用极坐标变量表示

    1、

    2、

    Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围

    Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.

    注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.

    利用此题结果可求出著名概率积分 .

    而被积函数满足 ,从而以下不等式

     

    成立,再利用例二的结果有

    ,

     ,

    于是不等式可改写成下述形式

    故当时有  ,

    即   .

    3、使用极坐标变换计算二重积分的原则

    (1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );

    (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含为实数 ).

    例6计算

    解此积分区域为

    区域的简图为

    该区域在极坐标下的表示形式为

    小结   二重积分计算公式

    直角坐标系下     X—型

                     Y—型

    极坐标系下   

    作业 教材161 习题2(I)(2)(3)3(1)(3)4(2)(4)

     

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    第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋,谢鹏燕,张 鹏 (北京石油化工学院数理系,北京102617) 收稿日期:2011-05-06;修改日期:2012-02-23 基金项目:北京市 URT计划项目子项目(2010J00067) 作者简介:王若鹏(1975-),男,副教授,主要从事优化理论与方法的教学与研究.Email:wangruopeng@bipt.edu.cn 夏赞勋(1989-),男,信息与计算科学专业2008级本科在读.Email:xiazanxun@bipt.edu.cn 摘 要   运用 MATLAB 软件,通过对 MATLAB 内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 MATLAB 命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分. 关键词   二重积分;MATLAB;数值积分 中图分类号  O172.2 文献标识码  A 文章编号  1008-1399(2012)02-0061-03 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题[ 1-2] I = D f ( x , y ) d x d y = ∫ b a d x ∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . ( 1) 这里考虑f ( x , y )= xy ,  a =1,  b =2, c ( x )=sin  x ,  d ( x )=cos  x . 为叙述方便,不妨记 g ( x )=∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . MATLAB7.0提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法[ 3]. 符 号 解 法 是 使 用MATLAB内部命令int计算两次一重积分,其结果往往是符号,要计算积分值,必须使用vpa计算其数值,在2009a版本中,也可以利用quad2d计算二重积分值,但是对稍微复杂的二重积分,这两个命令无法计算其积分值.而数值解法是利用dblquad函数,但要求内外积分限都是常函数,即只能计算矩形区域上的二重积分.对于一般区域上的二重积分计算,文 [ 2, 4-5]建 议 使 用 美 国 学 者 Howard Wilson 和 Bryce Gardner开发的数值积分工具箱中的函数 gquadzdggen. 事实上,通过对 MATLAB中相关计算重积分的函数加以改造,就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作.文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、dblquad函数的改造以及quadl命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题. 1  二重积分的计算方法 1.1  一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时,MATLAB 没有相应的内部函数,可借用一元函数数值积分的方法进行求解.数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等,这里只讨论梯形公式. 对于二重积分( 1),利用梯形法将区间[ a , b ]等 分为 m 份,记 hx = b - a m , xi = a + ihx ( i =1, 2,…, m ), 则有 I ≈ h ( x g ( a )- g ( b ) 2 +∑ m -1 i =1 g ( xi )) , 其中 g ( xi )=∫ d ( xi ) c ( xi ) f ( xi , y ) d y

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    怎么用matlab计算这个二重积分 如何用matlab求二重积分

    www.zhiqu.org     时间: 2020-12-07

    题主给出的二重积分,用matlab的int()函数无法得到其解析值。如l=0.5,R=0.39,则可以通过下列代码,求得其数值解

    l=0.5,R=0.39

    syms x y

    x0=sqrt(R^2-l^2/2);

    x1=l/2;

    y0=sqrt(R^2-l^2*x^2/4);

    y1=l/2;

    fun=R./sqrt(R^2-x.^2-y.^2);

    I=int(int(fun,y,y0,y1),x,x0,x1);

    I=vpa(I)

    double(int(int('y*(x+y)/4',1,y),1,10))

    里边第一重是积y:

    ans =

    (y*(3*y + 1)*(y - 1))/8

    第二重是积x:

    ans =

    27135/32

    最后一个double是将符号变成数值:

    ans =

    847.9688

    double(int(int('y*(x+y)/4',1,y),1,10))

    里边第一重是积y:

    ans =

    (y*(3*y + 1)*(y - 1))/8

    第二重是积x:

    ans =

    27135/32

    最后一个double是将符号变成数值:

    ans =

    847.9688

    代码如下:

    function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,n)

    if(m==1 && n==1) %辛普森公式

    q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...

    16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2}));

    else %复合辛普森公式

    q=0;

    for i=0:n-1

    for j=0:m-1

    x=a+2*i*(A-a)/2/n;

    y=b+2*j*(B-b)/2/m;

    x1=a+(2*i+1)*(A-a)/2/n;

    y1=b+(2*j+1)*(B-b)/2/m;

    x2=a+2*(i+1)*(A-a)/2/n;

    y2=b+2*(j+1)*(B-b)/2/m;

    q=q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y2})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y})+...

    subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y2})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y1})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y1})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y})+...

    4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y2})+...

    16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y1});

    end

    end

    end

    q=((B-b)*(A-a)/36/m/n)*q;

    叫我雷锋!

    integral2 函数没有 'ArrayValued' 选项,应该是不能向量化积分的。不知道你解决了吗,最近也遇到这种计算,用循环的话,感觉计算效率有点不能接受。

    matlab计算二重积分_

    : syms x y; %定义两个符号变量 a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %积分 b=simple(a) %化简 c=vpa(b,4) %得到4位近似解,也可以任意N位解

    怎么用Matlab计算这个二重积分_

    : 使用matlab的int函数可以方便的计算积分,以及多重积分.设二重积分还是表达式为 z=z(x,y),积分域为下限 y1(x) 上限 y2(x),从 x1 到 x2,则二重积分代码为:int(int(z,y,y1,y2),x,x1,x2) 需要先定义符号变量 x,y,以及表达式 z,y1,y2 和数值 x1,x2 的值.下面举例在半径为1,以原点为圆心的圆上,对 z=x^2+y^2+xy 做二重积分:向左转|向右转 int ,函数功能强大,可以计算积分、定积分、广义积分以及一些特殊积分(如 sin(x)/x 的无穷积分、高斯积分、伽马积分等),对于学习高等数学的同学很有应有价值.

    Matlab中如何计算二重积分_

    : 两个方法:1. 使用两次符号积分函数int()2. 直接使用二重数值积分函数dblquad()

    如何用matlab做二重积分的数值计算_

    : double(int(int('y*(x+y)/4',1,y),1,10)) 里边第一重是积y:ans = (y*(3*y + 1)*(y - 1))/8 第二重是积x:ans = 27135/32 最后一个double是将符号变成数值:ans = 847.9688

    matlab中如何计算二重积分

    %假设x,y的积分限均为(-0.1,0.1)

    clc

    clear

    s=linspace(0,sqrt(3));

    k=zeros(size(s));

    for i=1:length(s)

    rhom=2*pi/3/sqrt(3)/s(i);

    rho1=@(x,y)abs(1-sqrt(x.^2+y.^2)-rhom);

    rho2=@(x,...

    Matlab计算二重积分求助..

    : 这个要用符号积分,不过matlab积不出结果,符号运算能力弱 int(int(((Wa-x).^2+(6-y).^2+36).^-1.5,x,-30,30),y,-40,40)Warning: Explicit integral could not be found. Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(int(1/((y - 6)^2 + (Wa - x)^2 + 36)^(3/2), x = -30..30), y = -40..40) mathematics可以算出结果

    matlab求二重积分

    : 符号计算syms x y; %定义两个符号变量a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %积分x,0,1 ,y,1,2b=simple(a) %化简c=vpa(b,4) %得到4位近似解,也可以任意N位解数值计算%%二重积分f= @(x,y)exp(sin(x))*ln(y),y从5*x积分到x^2,x从10积分到201 (7.X后版本才...

    求用matlab编写一个程序 计算一个二重积分 积分函数是如下,恳求各位matlab高手,毕业答辩在即..谢谢了

    : format longR=27.9749e-3;fun=@(r,alpha)r.*(R-r.*cos(alpha)./(R^2+R^2-2*R*r.*cos(alpha)).^(3/2));a=quad2d(fun,16.129e-3,16.51e-3,0,2*pi)format short

    matlab求二重积分

    : >> syms x y epsilonr1=int(int((1/150)*(1/150)*exp((-i)*(0.0419*x+0.0419*y)),x,0,75),y,0, 75) double(epsilonr1) epsilonr1 = (4*i*((10000*sin(1257/400))/419 - (20000*i*sin(1257/800)^2)/419))/(3771*exp((1257*i)/400)) - (80000*sin(1257/800)^2)/1580049 - (40000*i*sin(1257/400))/1580049 ans = -0.1013 + 0.0001i >>

    matlab中如何求二重积分_

    : 你的图片挂了,我觉得用符号数学可以解决你的问题,先syms定义符号变量,再通过int函数进行计算.

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  • 用MATLAB在上连续,二重积分存在且为一确定的常数,这个数值与的结构、的几何形状有关,二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分,本文研究的某些区域的二重积分,要求二重积分在该区域上能化为二次...
  • 昨天 帮一个老师 做一个积分的程序,因为不考虑时间复杂度,所以刚开始 感觉萌萌达 但是不是是非常好计算。先说一下常用的积分函数,int这个函数非常好用,但是对于 无法积分的函数填写图片摘要(选填)他和quad2d联合...
  • 复化梯形公式二重积分matlab源码这段代码具有很好的交互性和通用性,将代码复制到matlab编辑器之后,按照提示操作即可。傻瓜式操作,结果一目了然~%%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%复化梯形公式二重...
  • 第八章 二重积分

    2022-03-28 20:10:03
    二重积分的性质二重积分计算方法1.直角坐标法2.极坐标法 二重积分的性质 椭圆的面积公式:S=π×a×b 其中a、b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长 二重积分计算方法 1.直角坐标法 在这种情况下第一种...
  • 理解二重积分的几何意义及公式

    千次阅读 2020-06-22 23:06:12
    二重积分的集合意义 在空间直角坐标系内,曲顶柱体体积的代数和,其中区域D表示曲顶柱体的底面。 累次积分(以X型为例)的过程
  • 高等数学复习之二重积分

    万次阅读 多人点赞 2020-12-25 13:34:50
    备考概率论遇到了二维连续型随机变量概率问题,对于其中的原理怎么也不是很理解,看到书上讲到了二重积分,就从二重积分开始再复习下吧!也作为高等数学的备考内容来准备着。 1、为什么说定积分积分范围是直线的? ...
  • 二重积分、三重积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-10 00:02:44
    二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积 二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量 二重积分的定义式: ∬Df(x,y)dσ∬...
  • 一、二重积分 1、二重积分的定义 设是定义在平面有界闭区域D上的有界函数,则 2、二重积分的几何意义 设 ,则曲顶柱体的体积 3、二重积分的物理意义 4、二重积分的对称性 ① 奇偶性 ② ...
  • 一、二重积分的理解二重积分的一般表示如下:它最佳的理解方式是——平面薄片的质量,即平面薄片占据平面区域 , 在点 处的面密度为 ,整个平面薄片的总质量就是将 累积遍整个平面区域 .当然,二重积分也是一个“分割...
  • 理解二重积分极坐标算法

    千次阅读 多人点赞 2020-06-23 23:29:16
    理解 自变量为r和θ,通过原点作射线,以x正半轴为始边,绕θ角度遍历区域D,当自变量微元后, ...类比用直角坐标计算二重积分 直角坐标计算和极坐标计算的理解: 前者:以x型区域为例,则z先对y方向积分求
  • 今天和大家分享一下Scipy库的积分计算。 ''' 安装: pip install scipy 主要模块 # ---------------------------------------------------------- # scipy.cluster 层次聚类模块,包含适量优化、k-means等 scipy....
  • 多变量微积分笔记(3)——二重积分

    千次阅读 多人点赞 2019-06-20 17:26:47
    多重积分——二重积分(Double Integrals)3.1 直角坐标系下二重积分二重积分的定义如何选择积分上下限3.2 极坐标下的二重积分微元及二重积分表达式如何选择积分上下限3.3 二重积分中的换元方法直角坐标系与极坐标...

空空如也

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二重积分计算公式