定义
低通滤波器：允许低于一定值的低频信号无衰减地通过，高于一定值的信号按不同程度地被衰减、阻挡。
有源低通滤波器是由有源元件和一部分无源元件(电阻、电容、电感)共同组成的低通滤波器。有源元件指的是必须要有供电电源才能正常工作的元件，最常见的有源元件是运算放大器。
如何判断滤波器的阶数
一般来说，判断滤波器的阶数主要的方法就是数电路中电容电感的个数，几个就代表几阶滤波器。但是，在数电容电感个数前，要将电路中串并联的电容电感合为一计算。比如说，有3个电容并联，2个电感串联，则为1+1 = 2阶。
一阶低通滤波器
从该电路中，我们可以写出该电路的传递函数。传递函数指的是输出量的拉普拉斯变换和输入量的拉普拉斯变换之比。
s代表的是s域。s=a + jw (a是阻尼常数，对于纯粹的正弦波a为0，此处相当于s = jw)
既然得到了传递函数，那么我们可以对电路进行幅频分析，可以看到一阶低通滤波器的大概幅频特性曲线。幅频特性完美地诠释了为什么该电路称为低通滤波器！如下图，在一定的低频部分，增益没有衰减，而一旦频率到达截止频率，增益就会很明显地出现不同程度的衰减。
Bode图
通过计算可以算出一阶低通滤波器的截止频率Wc = 1/RC(一般截止频率用Wc表示)，也称为-3dB截止频率。当放大倍数降为原来的 √2/2倍时，此时的频率就对应了-3dB截止频率。所以，利用该定义就可以计算出任何电路的截止频率。
二阶低通滤波器
二阶低通滤波器有2种电路结构：Sallen-Key结构和多路反馈结构(MFB)。
1、Sallen-Key结构：用于单位增益、高增益精度和低Q值的应用中。
Sallen-Key结构
该电路图的传递函数：
推导公式
式中的A就是电路增益。
2、多路反馈结构(MFB)：用于高Q值和高增益的应用中。
MFB结构
该电路图的传递函数：
一阶、二阶滤波器是组成高阶滤波器的基本模块。为什么需要二阶、高阶滤波器呢？因为阶数越高，相应的滤波效果更接近理想。
以上的传递函数的推导过程就不在这里贴出来了，推导过程都在纸上，不好在电脑上表达出来。今天找到了一个比较好用的数学推导编辑软件，还在熟悉中，以后会在文章中用编辑软件贴出自己的推导过程的。向大家抱歉！如果有朋友需要推导过程，可以私信我。

我将列出一堆“不会超调的过滤器”。希望您会发现部分答案总比没有答案要好。希望正在寻找“不会超调的过滤器”的人们会发现这种过滤器列表会有所帮助。即使我们还没有找到数学上最佳的滤波器，这些滤波器中的一个也许也可以在您的应用程序中正常工作。
一阶和二阶LTI因果滤波器
一阶滤波器(“ RC滤波器”)的阶跃响应永远不会过冲。
可以设计二阶滤波器(“ biquad”)的阶跃响应，使其永远不会过冲。有几种等效的方法来描述此类二阶滤波器，它们不会在阶跃输入上产生过冲：
它被严重阻尼或被过度阻尼。
它没有衰减。
阻尼比(zeta)为1或更大
品质因数(Q)为1/2或更小
衰减率参数(alpha)至少为无阻尼自然角频率(omega_0)或更高
特别是，具有相等的电容器和相等的电阻器的单位增益Sallen–Key滤波器拓扑被严格阻尼：Q = 1/2，因此在阶跃输入上不会过冲。
二阶贝塞尔滤波器的阻尼稍有不足：Q = 1 / sqrt(3)，因此它有一些过冲。
二阶Butterworth滤波器的欠阻尼更大：Q = 1 / sqrt(2)，因此它有更多的过冲。
在所有可能的因果关系且不会过冲的LTI滤波器中，具有“最佳”(最陡峭)频率响应的是“临界阻尼”二阶滤波器。
高阶LTI因果滤波器
脉冲响应永远不会为负(因此不会在阶跃输入上出现过冲)的最常用的高阶因果滤波器是“运行平均滤波器”，也称为“棚车滤波器”或“ 移动平均滤波器” ”。
有些人喜欢通过一个棚车过滤器运行数据，并将该过滤器的输出传递到另一个棚车过滤器。经过几个这样的滤波器后，结果是高斯滤波器的良好近似。(由于中心极限定理，级联的滤波器越多，无论您以箱形车，三角形，一阶RC或任何其他滤波器开始，无论使用什么滤波器开始，最终输出都越接近高斯。)
实际上，所有窗口功能的脉冲响应都不会为负，因此原则上可以用作FIR滤波器，在阶跃输入中永远不会过冲。特别是，我听到了有关Lanczos窗口的好消息，该窗口是sinc()函数的中央(正)波瓣(该波瓣外部为零)。一些脉冲整形滤波器的脉冲响应永远不会为负，因此可用作永不步进输入过冲的滤波器。
我不知道这些滤波器中的哪一个最适合您的应用程序，我怀疑数学上最佳的滤波器可能会比其中任何一个都要好。
非线性因果滤波器
该中值滤波器是一种流行的非线性滤波器从未上的阶跃函数输入过冲。
编辑：LTI非因果过滤器
函数sech(t)= 2 /(e ^(-t)+ e ^ t)是它自己的傅立叶变换，我想可以用作一种不会因过冲而导致的过高LTI滤波器。步进输入。
具有(sinc(t / k))^ 2脉冲响应的非因果LTI滤波器的频率响应为“ abs(k)*三角形(k * w)”。当给定阶跃输入时，它会有很多时域波动，但绝不会超过最终的稳定点。在该三角形的高频角上方，它可提供完美的阻带抑制(无限衰减)。因此，在阻带区域，它的频率响应比高斯滤波器更好。
因此，我怀疑高斯滤波器会给出“最佳频率响应”。
在所有可能的“不超调”滤波器的集合中，我怀疑没有一个“最佳频率响应” —一些具有更好的阻带抑制性能，而另一些具有更窄的过渡带，等等。

最近想从嵌入式平台上用C语言实现二阶滤波器，于是先从Matlab上验证二阶滤波器公式，再编写C语言来验证。

算法移植（实现过程）

①先用Matlab自带公式的二阶滤波器实现；

②运用公式Matlab实现；

③移植到嵌入式平台上实现（C语言实现）。

以下在Matlab软件上先进行了第①步和第②步的验证。

生成了1个200Hz和2000Hz叠加的正弦波，然后通过1000Hz的低通滤波器，这样就滤掉了2000Hz的信号，保留200Hz的信号。

因滤波器过后会有相位差（延时），所以下图“蓝色信号”，较原信号有延迟。

等C语言的运算验证完成后继续更新。

以下代码在Matlab 2016a上运行可直接实现。

clc;clf;
%% 系统参数
t = 0:1/48000:0.02;         %48kFs下，时长0.02秒
FS=48000;
Stop_FS=1000;               %截止频率1000Hz
%% 源数据
x1 = sin(2*pi*t*100);           %% 100Hz
x2 = 0.2*sin(2*pi*t*2000);      %% 2000Hz
y = x1+x2;
subplot(2,1,1);
plot(x1,'r')
hold on
plot(x2,'b')
hold on
plot(y,'*')
legend('原信号一','原信号二','原信号叠加');
%% 滤波器系数生成
paramter=(Stop_FS/FS)*2;
Wn=paramter;
 [bPara, aPara] = butter(2,Wn,'low');
%% 滤波(Matlab函数)
Res = filter(bPara, aPara, y);
subplot(2,1,2)
plot(y,'k');
hold on
plot(Res,'r');
%% 滤波(运用公式)
%a(1)*y(n)= b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + b3*x(n-2) - a(2)*y(n-1) - a(3)*y(n-2)
%y(n)= [b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + b3*x(n-2) - a(2)*y(n-1) - a(3)*y(n-2)]/a(1)
xMem = zeros(2,1);
yMem = zeros(2,1);
yLenght = length(y);
y2 = zeros(yLenght,1);
for i=1:yLenght
    y2(i) = bPara(1)*y(i) + bPara(2)*xMem(2) + bPara(3)*xMem(1) - aPara(2)*yMem(2) - aPara(3)*yMem(1);
    %备份X和Y Memery
    xMem(1) = xMem(2);
    xMem(2) = y(i);    
    yMem(2) = y2(i);
    yMem(1) = yMem(2);
end
hold on
plot(y2,'b');

legend('原信号','原信号用MATLAB函数滤波','原信号用公式滤波');




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1、第二次作业6 程小龙 习题：4.8答：参考教材4.4-1式，高通滤波器可以看成是1减去相应低通滤波器，从低通滤波器的性质可以看出，在空间域上低通滤波器在原点是存在一个尖峰，且大于0，1是看成直流分量，因此，傅里叶逆变换之后的高通滤波器在空间域上原点就会出现负的尖峰。4.15答：(a)该问题给出了在x方向上的差分，同理给出y方向的差分，于是滤波方程在空间域上有如下表示：从教材4.6-2式可以得到：于是，传递函数如下：(b)为了证明上面的传递函数是一个高通滤波器，我们可以参考如下类似的滤波器的传递函数：方便起见，我们考虑一个变量。当u从0增加到M，H(u,v)从最大值2j(复数)然后减少，当u=M。
2、/2时(转移方程的中心)最小；当u继续增加，H(u,v)继续增加，且当u=M时，又取得最大值。同样，考虑两个变量也得到类似的结果。这种特性就是我们的高通滤波器，于是我们就可以得到我们推导出的滤波器H(u,v)是高通滤波器。4.16答:(a)解决这个问题的关键在于是将经过K次高通滤波后看作是1减去K次低通滤波器之后的结果，即：于是，当K逐渐增大时，这个滤波器将逐渐接近于陷波滤波器，并且去掉F(0,0)点，将会产生只有平均值为0的图像，所以，存在一个K值，使得经过K次高通滤波之后就会产生一副像素不变的图像。(b)决定K的取值可有下式可以得出：因为u，v都是整数，对于上式第二个条件只需要对于所以的u。
3、，v不全为0，我们希望滤波器对于所有的值都是能1，于是要求指数部分对于所以u，v不全为0的地方滤波效果接近于0，也就是说此时的K就是我们所要的最小值Kmin。4.22答：(a)用0延拓图像即用0值填充来增加图像像素大小，但并不是其灰度容量拓展，因此，填充图像的平均灰度值就会低于原来的图像。也就是说，填充之后的F(0,0)将会比原来的图像的F(0,0)(F(0,0)代表相应图像的平均值)小，因此，我们看到的右图中的F(0,0)更低，同理其他地方也会比原来对应的地方灰度值小，并且覆盖一个很窄范围的值，所以右图中的整体对比度比原图低；(b)用0值填充的图像在源图像边界处引入了较大差异的不连续的值，这。
4、个过程突出了水平和垂直边界的地方，即图像在这些地方具有较大的像素落差，这些比较突出的变化导致了横轴和纵轴方向上的信号显著增加。课外编程任务：对一幅灰度图像，(1) 计算并画出此图像的中心化频率谱。(2) 分别用低通滤波和高通滤波对此图像进行频域处理。(2) 用拉普拉斯算子对此图像锐化。1. matlab代码如下：clear;clc;Data=imread(C:UsersAdministratorDesktopex.JPG);DataGray=rgb2gray(Data);figure(1),imshow(Data);title(原始图像);%*计算并画出此图像的中心化频率谱*Data1=dou。
5、ble(DataGray);FFT2=fft2(Data1);FFTcenter=fftshift(FFT2);%频谱中心化FFT2abs=abs(FFT2);FFTresult=256*log2(FFT2abs/max(max(FFT2abs)+1);figure(2),subplot(1,2,1);imshow(FFTresult),title(原图频谱);FFTc_abs=abs(FFTcenter);FFTc_result=256*log2(FFTc_abs/max(max(FFTc_abs)+1);subplot(1,2,2);imshow(FFTc_result),title(中心。
6、化频谱);%*分别用低通滤波和高通滤波对此图像进行频域处理*m,n=size(FFTcenter);x_center=round(m/2);y_center=round(n/2);d=10;%半径取10LF=FFTcenter;HF=FFTcenter;%*低通滤波器*for i=1:m;for j=1:ndistance=sqrt(i-x_center)2+(j-y_center)2);if distancedflag=1;elseflag=0;endHF(i,j)=flag*FFTcenter(i,j);endendHF=uint8(real(ifft2(ifftshift(HF);sub。
7、plot(1,2,2),imshow(HF);title(高通滤波后图像);%*用拉普拉斯算子对此图像锐化*Laplace=0 -1 0;-1 4 -1; 0 -1 0 ;LaplaceImage=conv2(Data1,Laplace,same);figure(4),subplot(1,2,1);imshow(uint8(LaplaceImage);title(Laplace图像);DataLap=imadd(Data1,immultiply(LaplaceImage,1);%原图像与拉普拉斯图像叠加subplot(1,2,2),imshow(uint8(DataLap);title(锐化增强后的图像);2. 处理结果如下：可以从锐化增强后的图像中看出原图像中很多模糊的细节。