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  • 二进制负一怎么表示
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    2020-11-20 16:42:18

    1.原码、反码、补码

    原码

    机器数最高为符号位,0正1负。

    X=-0.1011,[X]=11011 ,小数点默认在符号位之后,书写时将其省略。

    补码

    [X]=[X](X>0)

    [X]=[X]除符号位取反加1(X<0)

    [+0]=[-0]=0.0000

    补码加法运算

    • 补码加补码还是补码
    • [X+Y]=[X]+[Y],减法可看作加相反数。
    • 符号位和数值位一样参与运算

    溢出处理:当结果超出范围时称为溢出。

    • 两正负号相同的数相加,结果符号不同,则溢出。
    • 任意符号数相加,符号位进位和数值最高位进位不相等,则溢出。
    • 若采用双符号数,00表示整数符号位,11是负数,01为上溢,10为下溢。

    多符号位的补码叫“变形补码”。

    一般运算用双符号位,存储保留一个fS1

    反码

    [X]=[X](X>0)

    [X]=[X]除符号位取反(X<0)

    移码

    [X]=-[X],即对[X]符号取反。

    在计算机中,移码(阶码)只执行加减法运算,且结果要修正,即[X]+[Y]+2n=[X+Y],也就是对符号位取反。

    0的移码唯一且为100…0。

    数据小于最小数(移码<=-2n)时称为机器零,置阶码(移码)为0000…0,不管尾数如何,都是浮点数下溢。

    2.定点数和浮点数

    2.1 定点数

    小数点固定在某位,包括小数(小数点在数值左符号右)和整数(小数点在数值右)。

    2.2 浮点数

    小数点位置可以浮动。

    N=M*RE

    N:浮点数,Mantissa:尾数,Exponent:阶码,Radix:阶的基数/底,常数,常为2、8、16。

    计算机中R都相同,不需在每个数据都表示,因此浮点数如下表示:

    MSEM
    尾数符号位,1位阶码,最高位符号位,n+1位m位

    M由MS和M组成一个定点小数。

    尾数规格化:R=2且尾数不为0,绝对值大于等于(0.5)10,即大于等于(0.1)2,即小数位最高位是1。对于不规格的数,左右移动尾数,同时修改阶码值,以保持值不变。

    尾数为0时,无论阶码如何,浮点数值为0,称为机器0。

    IEEE754标准,常用浮点数有以下两种格式:

    (1)单精度浮点数(32位)

    E:8 bit,M:24 bit(包括一位符号位)

    (2)双精度符号位(64位)

    E:11 bit,M:53 bit(包括一位符号位)

    多数通用机中浮点数尾数常用补码表示,阶码用补码或移码表示。[X]=-[X],即对[X]符号取

    IEEE754标准中,一个规格化的32位浮点数N的真值表示为N=(-1)s * (1.M) * 2E-127

    浮点数由于阶码的存在而扩大了数据的范围,32位单精度数范围:-2127~(1-2-23)*2127,精度是24位。

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    通常都是基于数字10来书写数字。例如2157的千位是2,百位是1,十位是5,个位是7,可以写成:

    2 x 1000 + 1 x 100 + 5 x 10 + 7 x 1

    注意,1000是10的立方(即3次幂),100是10的平方(即2次幂),10是10的1次幂,而且10(以及任意正数)的0次幂是1。因此,2157也可以写成:

    2 x 10^3 + 1 x 10^2 + 5 x 10^1 + 7 x 10^0

    因为这种书写数字的方法是基于10的幂,所以称以10为基底书写2157。姑且认为十进制系统得以发展是得益于我们都有10根手指。从某种意义上看,计算机的位只有2根手指,因为它只能被设置为0或1,关闭或打开。因此,计算机适用基底为2的数制系统。它用2的幂而不是10的幂。以2为基底表示的数字被称为二进制数(binarynumber)。二进制中的2和十进制中的10作用相同。例如,二进制数1101可表示为:

    1 x 2^3 + 1 x 2^2 + 0 x 2^1 + 1 x 2^0

    以十进制数表示为:

    1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 13

    用二进制系统可以把任意整数(如果有足够的位)表示为0和1的组合。由于数字计算机通过关闭和打开状态的组合来表示信息,这两种状态分别用0和1来表示,所以使用这套数制系统非常方便。接下来,我们来学习二进制系统如何表示1字节的整数。

    1 二进制整数

    通常,1字节包含8位。C语言用字节(byte)表示存储系统字符集所需的大小,所以C字节可能是8位、9位、16位或其他值。不过,描述存储器芯片和数据传输率中所用的字节指的是8位字节。为了简化起见,本章假设1字节 是8位(计算机界通常用八位组(octet)这个术语特指8位字节)。可以从左往右给这8位分别编号为7~0。在1字节中,编号是7的位被称为高阶位(high-order-bit),编号是0的位被称为低阶位(low-orderbit)。每1位的编号对应2的相应指数。因此,可以根据图15.1所示的例子理解字节。

    a15cd188adf90bb60c41ac79024ddc48.png

    这里,128是2的7次幂,以此类推。该字节能表示的最大数字是把所有位都设置为1:11111111。这个二进制数的值是:

    128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

    而该字节最小的二进制数是00000000,其值为0。因此,1字节可存储0~255范围内的数字,总共256个值。或者,通过不同的方式解释位组合(bit pattern),程序可以用1字节存储-128~+127范围内的整数,总共还是256个值。例如,通常unsigned char用1字节表示的范围是0~255,而signed char用1字节表示的范围是-128~+27。

    2 有符号整数

    如何表示有符号整数取决于硬件,而不是C语言。也许表示有符号数最简单的方式是用1位(如,高阶位)存储符号,只剩下7位表示数字本身(假设存储在1字节中)。用这种符号量(sign-magnitude)表示法,10000001表示−1,00000001表示1。因此,其表示范围是−127~+127。 这种方法的缺点是有两个0:+0和-0。这很容易混淆,而且用两个位组合来表示一个值也有些浪费。 二进制补码(two’s-complement)方法避免了这个问题,是当今最常用的系统。我们将以1字节为例,讨论这种方法。二进制补码用1字节中的后7位表示0~127,高阶位设置为0。目前,这种方法和符号量的方法相同。另外,如果高阶位是1,表示的值为负。这两种方法的区别在于如何确定负值。从一个9位组合100000000(256的二进制形式)减去一个负数的位组合,结果是该负值的量。例如,假设一个负值的位组合是10000000,作为一个无符号字节,该组合为表示128;作为一个有符号值,该组合表示负值(编码是7的位为1),而且值为100000000-10000000,即10000000(128)。因此,该数是-128(在符号量表示法中,该位组合表示−0)。类似地,10000001是−127,11111111是−1。该方法可以表示−128~+127范围内的数。 要得到一个二进制补码数的相反数,最简单的方法是反转每一位(即0变为1,1变为0),然后加1。因为1是00000001,那么−1则是11111110+1,或11111111。这与上面的介绍一致。 二进制反码(one’s-complement)方法通过反转位组合中的每一位形成一个负数。例如,00000001是1,那么11111110是−1。这种方法也有一个−0:11111111。该方法能表示-127~+127之间的数。

    3 二进制浮点数

    浮点数分两部分存储:二进制小数和二进制指数。下面我们将详细介绍。

    1.二进制小数

    一个普通的浮点数0.527,表示如下:

    5/10 + 2/100 + 7/1000

    从左往右,各分母都是10的递增次幂。在二进制小数中,使用2的幂作为分母,所以二进制小数.101表示为:

    1/2 + 0/4 + 1/8

    用十进制表示法为:

    0.50 + 0.00 + 0.125

    即是 0.625.

    许多分数(如,1/3)不能用十进制表示法精确地表示。与此类似,许多分数也不能用二进制表示法准确地表示。实际上,二进制表示法只能精确地表示多个1/2的幂的和。因此,3/4和7/8可以精确地表示为二进制小数,但是1/3和2/5却不能。

    浮点数表示法

    为了在计算机中表示一个浮点数,要留出若干位(因系统而异)存储二进制分数,其他位存储指数。一般而言,数字的实际值是由二进制小数乘以2的指定次幂组成。例如,一个浮点数乘以4,那么二进制小数不变,其指数乘以2,二进制分数不变。如果一份浮点数乘以一个不是2的幂的数,会改变二进制小数部分,如有必要,也会改变指数部分。

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  • 计算机最基本的工作是处理数据,而数据的最底层表现形式是二进制,并非是我们人类熟悉的十进制。可以这么认为,计算机其实是很“笨的”,它只理解二进制数据。今天,主要介绍计算机是怎样做加减运算的。你可能会想,...

    计算机最基本的工作是处理数据,而数据的最底层表现形式是二进制,并非是我们人类熟悉的十进制。可以这么认为,计算机其实是很“笨的”,它只理解二进制数据。

    今天,主要介绍计算机是怎样做加减运算的。你可能会想,加减运算?这么简单的事情,还用介绍?也许还真不是你想的那样。

    计算机的运算是由CPU 完成的,而CPU 只会做加法运算,不会做减法运算,那计算机怎样完成减法工作呢?

    1,二进制数

    我们先来看看二进制数。

    二进制数是由0,1 组成的,比如:

    十进制的5,用二进制表示是 101。

    十进制的7,用二进制表示是 111。

    数字由正数和负数组成。为了表示正负数,计算机中就有了有符号数和无符号数之分:

    无符号数:英文为 unsigned,只能表示正数。

    有符号数:英文为signed,即能表示正数,又能表示负数。

    C/C++ 语言中的数字有有符号数和无符号数之分。

    Java 语言所有的数字都是有符号数。

    假如,我们用 4 位二进制,来表示无符号数,也就是只表示正数,能表示的范围是 0 到 15,转换关系如下表:

    十进制数

    二进制数

    十进制数

    二进制数

    0

    0000

    8

    1000

    1

    0001

    9

    1001

    2

    0010

    10

    1010

    3

    0011

    11

    1011

    4

    0100

    12

    1100

    5

    0101

    13

    1101

    6

    0110

    14

    1110

    7

    0111

    15

    1111

    有符号数,即要表示正数,也要表示负数。

    要用二进制表示有符号数,需要用二进制的最高位来表示符号,0 表示正,1 表示负。所谓的最高位,也就是最左边那一位。

    用 4 位二进制,来表示有符号数,能表示的范围是 -8 到 7,转换关系如下表:

    十进制数

    二进制数

    十进制数

    二进制数

    0

    0000

    -8

    1000

    1

    0001

    -1

    1001

    2

    0010

    -2

    1010

    3

    0011

    -3

    1011

    4

    0100

    -4

    1100

    5

    0101

    -5

    1101

    6

    0110

    -6

    1110

    7

    0111

    -7

    1111

    上表中的最高位的符号位,已标红。

    要注意,对于有符号的4 位二进制 ----1000 不是 -0,而是 -8。

    可以总结出,对于N 位的二进制数:

    无论是表示有符号数还是无符号数,都能表示2^N 个数字。

    若用于表示无符号数,则能表示的范围是 [0, 2^N - 1]。

    若用于表示有符号数,则能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。

    需要注意,在有符号数中,对于符号位是 1,后面 N-1 位全是 0,这种情况表示的是 -2^(N-1)(也就是所能表示的最小值),而不是 -0。

    实际上是将-0 这种情况解释成了最小值,否则就会出现 +0 和 -0 两个0。

    2,二进制原码

    上面介绍到的二进制就是原码形式。

    原码就是除符号位外的其他位,保存该二进制数的绝对值。

    用原码进行加法计算

    计算机中的数字运算都会先转成二进制数再进行计算。

    我们用原码来计算加法,用4 位二进制数来计算 3 + 2,过程如下:

    9090faa233d1b44c7225c393e6f4c5af.png

    可以看到,用原码计算加法是没有问题的。

    用原码进行减法计算

    我们再用原码来计算减法,因为CPU 只会计算加法,所以计算减法时,会将减法转换成加法。

    比如,用4 位二进制数来计算计算 3 - 2,会将其转换成 3 + (-2), 过程如下:

    bdd9efab6dd06c692bb75c1749f9cb1d.png

    可以看到 3-2 计算出来的结果是 -5,显然是错误的。

    所以,用二进制原码来计算减法是行不通的。实际上,计算机计算减法用的是补码。

    在介绍补码之前,我们先来看下什么是溢出。

    3,数字溢出

    计算机中数字的表示是需要内存空间的,不同类型的数字所能占用的空间是不一样的。

    比如,在Java 语言中short 类型占用 2 个字节,int 类型占用 4 个字节。

    一个字节等于 8 位。

    既然空间大小是有限制的,所以计算机中的数字也是有范围的,即上限和下限,如果数字超出限制,就会产生溢出。超出上限叫上溢出,超出下限叫下溢出。而溢出的部分会直接被舍去。

    就像我们在上文中介绍的,对于N 位二进制有符号整数,所能表示的范围是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。

    由于溢出的部分会被舍去,那么最大值加1,将发生上溢出,变为最小值;最小值减1,将发生下溢出,变为最大值。

    0e3f4fd605f3dbde9800cada011d5227.png

    我们用Java 中的int 类型来验证,Java 中int 类型的最大、最小值分别是:

    最大值:Integer.MAX_VALUE,是 2147483647。

    最小值:Integer.MIN_VALUE,是 -2147483648。

    用下面代码验证:

    System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true

    System.out.println(Integer.MIN_VALUE - 1 == Integer.MAX_VALUE); // true

    这两行代码的输出均为true,说明最大值加1 变为最小值,最小值减1 变为最大值。

    所以,在计算机中,只要一个整数的类型确定了,那么它所能占用的内存空间大小也就确定了,从而它所能表示的数字范围也就确定了。那么不管给这个整数加多大的数字,或者减多大的数字,最终的结果都只能在这个范围内旋转。

    就像表盘一样,当表针走过最大值的时候,就变成了最小值。

    302a54ec7d696551cab4c6a114e8702f.png

    同样,这也等同于数学中的取余运算。只要分母确定了,不管分子是多大,或者多小的数字,最终的结果也都是在一个确定的范围之内。

    比如我们对十进制5 进行取余计算,那么最终的结果都是在[0, 4] 范围之内,如下:

    0 % 5 = 0

    2 % 5 = 2

    397 % 5 = 2

    99999 % 5 = 4

    可以总结出,对数字N 进行取余,N >= 2 且为整数,那么结果都在 [0, N-1] 范围之内。

    4,二进制反码与补码

    知道了溢出,就可以介绍CPU 如何计算减法了。CPU 的减法运算使用了二进制补码,补码实际上就是采用了溢出的原理。

    我们直接给出反码与补码的定义:

    反码定义:正数的反码等于其原码,负数的反码是其原码除符号位外,按位取反。

    补码定义:正数的补码等于其原码,负数的补码是其反码加1。

    比如下面的几个数字:

    十进制数

    2

    3

    -2

    -5

    二进制原码

    0010

    0011

    1010

    1101

    二进制反码

    0010

    0011

    1101

    1010

    二进制补码

    0010

    0011

    1110

    1011

    我们用4 位二进制补码来计算 3+(-2),如下:

    130f2677cd6113bcac2ebe49436a0562.png

    最高位的1 发生上溢出,直接被舍去,所以结果是正确的。

    所以,要记住,真实的计算机中的二进制是用补码表示的,而不是原码。

    5,总结

    本篇文章主要介绍了:

    CPU 只能做加法,不能做减法,减法要转成加法做计算。

    二进制数字有三种表示方式:

    原码:除符号位外的其他位,保存该二进制数的绝对值。

    反码:正数的反码等于其原码,负数的反码是其原码除符号位外,按位取反。

    补码:正数的补码等于其原码,负数的补码是其反码加1。

    计算机中的数字采用二进制补码表示,而不是原码表示。

    补码采用了溢出的原理。

    计算机中的数字是有范围限制的,超出限制会发生溢出。

    超出上限叫做上溢出。最大值加1会发生上溢出,变为最小值。

    超出下限叫做下溢出。最小值减1会发生下溢出,变为最大值。

    (本节完。)

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    计算机二进制的浮点表示法

    0.1 * 3 != 0.3
    

    组成
    组成:

    • 符号位: 0表示正、1表示负;
    • 指数位: 2的n次方,n+127(对于4字节浮点数,此处为127)再换算成二进制;
    • 尾数位: 直接用.

    过程:

    1. 将整数部分换算成二进制;
    2. 小数部分换算成二进制:
      a) 原数*2, 得到“.”前的数放到待取数,若有待取数,则放置到后一位;
      b) 得到“.”后的数若为0, 则停止, 否则重复;
    3. 将两部分二进制组合成“%.%”的小数形式;
    4. 按照: 二进制的科学计数法表示, 十进制的运算规律运算, 得到“1.a*2^b”的形式;

    a) 按照正负, 在符号位放置0或1;
    b) b+127 (4字节浮点数是127), 换算成二进制放到指数位;
    c) 将“.”后的数放到尾数位.

    例子:

    1. 十进制→二进制→科学计数法十进制→二进制→科学计数法

    2. 0.60.6

    3. -0.1-0.1

    4. 1.251.25

    参考:

    1. https://blog.csdn.net/marco__/article/details/102515668
    2. https://tool.lu/hexconvert/
    3. https://cloud.tencent.com/developer/article/1473541
    4. https://zhidao.baidu.com/question/1452313463315466300.html
    5. https://baike.baidu.com/item/BCD%E7%A0%81/826461?fr=aladdin
    6. https://baike.baidu.com/item/%E9%98%B6%E7%A0%81/7798285?fr=aladdin
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    浮点数怎么用二进制表示 对于浮点数在计算机中是怎么用二进制表示的,这个知识点让我学了很久,很多资料讲的特别抽象难懂,所以今天我想用自己的方式讲讲。 学过 《计算机组成原理》 或者类似 《计算机系统》 这些...
  • 数据的二进制表示

    千次阅读 2020-02-05 17:07:43
    数据的二进制表示 文章目录数据的二进制表示基础定义二进制 基础定义 位: IC 电子元件有不同种形状,但是其内部的组成单元称为个个的引脚。只有直流电压0V 或 5V 两个状态。与 “0” 与“1”的表达不谋而合 字节...
  • 负数的二进制表示方法

    千次阅读 2017-07-14 10:17:25
    负数的二进制表示方法 假设有个 int 类型的数,值为3,那么,我们知道它在计算机中表示为: 00000000 00000000 00000000 00000011 因为int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了堆0。 在计算机中,负数以其...
  • (易懂)负数的二进制表示方法

    千次阅读 2020-09-02 09:51:13
    表示法: 1、正数5的表示法 假设有个 int 类型的数,值为5,那么,我们知道它在计算机中表示为: 00000000 00000000 00000000 ...个负数按照绝对值大小转换成的二进制数,然后最高位补1,称为原码。 比如 00000
  • 进制转换、运算法则
  • 理解浮点数的二进制表示

    千次阅读 2020-05-30 23:14:14
    浮点数在电脑中用二进制储存,约定以二进制的科学计数法来进行表示一个浮点数,类比十进制的科学计数法,很容易知道,二进制的科学计数法的首位数字一定为1,然后通过乘以相应的底数为2的指数来得到二进制数,如下...
  • 二进制就是只有0、1两个值表示的数,规则是逢二进。数据存储在内存中都是存储的二进制二进制又可分为原码、反码、补码。最终存储在内存中的是“补码”。在了解原码、反码、补码之前先得了解一下机器数和真值。...
  • 二进制数的表示模式

    千次阅读 2019-08-25 17:56:08
    无符号数:二进制的每位都代表对应位的数值。 有符号数:在有符号数中规定最高位来表示数据符号,其中1代表,0代表正。 真值:把带符号位的机器数所对应的真正数值成为机器数的真值,例如:00100001的真值为33...
  • 计算机的内存通常都是由8位的字节构成的,所以二进制数要存储在很多个的8位的内存中,而通常都是最左边的位为符号位,0表示正,1表示负数。所以不管数字是8位,16位,还是32位,通常都会认为最左边的比特为符号...
  • 二进制负数表示方法

    千次阅读 2018-05-02 12:08:17
    ...原码:个整数按照绝对值大小转换成的二进制数。 反码:原码取反(0,1互换) 补码:反码加一 示例:表示-5的二进制 5的二进制数:101,补零为 00000101 原码:00000101 反码:11111010...
  • C++ 负数的二进制表示

    千次阅读 2020-01-17 20:48:58
    5转换成制是101,不过int类型的数占用4字节(32位),所以前面填了堆0。 -5在计算机中如何表示? 在计算机中, 正数是直接用原码表示的,如单字节5,在计算机中就表示为:0000 0101。 负数以其正值的补码形式...
  • 二进制学习01进制二进制简介1)什么是二进制?2)二进制的简写形式二、进制运算1)八进制运算表(1) 加法运算表(2)乘法运算表(3)八进制简单运算题三、数据宽度1)什么是数据宽度2)计算机中常用的基本数据宽度四、无...
  • 二进制如何表示浮点型数值

    千次阅读 2020-05-01 08:50:50
    前言: 大学期间计组没有学习好,导致怎么用浮点数表示二进制一直有点蒙,今天看到篇不错的博文介绍这方面的,故转载记录一下。
  • 两位整数的加减都可看做 个数加上零一个数,首先我们要把数据的二进制表示转化成补码,因为在计算机内部,数据的加减是按补码进行运算的。 A补+B补=(A+B)补(mod 2^n+1) 连同符号位相加,符号位产生的进位要丢掉 ...
  • 二进制:基础、正负数表示、存储与运算

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 11:35:53
    、概述 众所周知,计算机是由各种...所谓二进制表示从0开始,“逢二进”(N进制则逢N进)。比如十进制的0、1、2的二进制表示为0、1 、10。 二、进制转换 网上有很多进制转换的方法,我这里就不多做阐述,只...
  • 有关十进制的转换 有关二进制负小数补码表示

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