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  • 二进制八进制、十进制、十六进制之间转换(含小数部分)
    2020-12-20 04:34:18

    二进制、八进制、十进制、十六进制之间转换

    一、

    十进制与二进制之间的转换

    (

    1

    )

    十进制转换为二进制,分为整数部分和小数部分

    整数部分

    方法:除

    2

    取余法,即每次将整数部分除以

    2

    ,余数为该位权上的数,而商继续除以

    2

    ,余数又为上

    一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为

    0

    为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,

    一直到最前面的一个余数。下面举例:

    例:将十进制的

    168

    转换为二进制

    得出结果

    将十进制的

    168

    转换为二进制,

    (

    10101000

    )

    2

    分析

    :

    第一步,将

    168

    除以

    2,

    84,

    余数为

    0

    第二步,将商

    84

    除以

    2

    ,商

    42

    余数为

    0

    第三步,将商

    42

    除以

    2

    ,商

    21

    余数为

    0

    第四步,将商

    21

    除以

    2

    ,商

    10

    余数为

    1

    第五步,将商

    10

    除以

    2

    ,商

    5

    余数为

    0

    第六步,将商

    5

    除以

    2

    ,商

    2

    余数为

    1

    第七步,将商

    2

    除以

    2

    ,商

    1

    余数为

    0

    第八步,将商

    1

    除以

    2

    ,商

    0

    余数为

    1

    第九步,读数,因为最后一位是经过多次除以

    2

    才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向

    前读,即

    10101000

    (

    2

    )

    小数部分

    方法:乘

    2

    取整法,即将小数部分乘以

    2

    ,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以

    2

    ,然后取整

    数部分,剩下的小数部分又乘以

    2

    ,一直取到小数部分

    为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,按照要求保留多少位小数时,就根据

    后面一位是

    0

    还是

    1

    ,取舍,如果是零,舍掉,如果是

    1

    ,向入一位。换句话说就是

    0

    1

    入。读数

    要从前面的整数读到后面的整数,下面举例:

    1

    :将

    0.125

    换算为二进制

    得出结果:将

    0.125

    换算为二进制(

    0.001

    )

    2

    分析:第一步,将

    0.125

    乘以

    2

    ,得

    0.25,

    则整数部分为

    0,

    小数部分为

    0.25;

    第二步

    ,

    将小数部分

    0.25

    乘以

    2,

    0.5,

    则整数部分为

    0,

    小数部分为

    0.5;

    第三步

    ,

    将小数部分

    0.5

    乘以

    2,

    1.0,

    则整数部分为

    1,

    小数部分为

    0.0;

    第四步

    ,

    读数

    ,

    从第一位读起

    ,

    读到最后一位

    ,

    即为

    0.001

    2,

    0.45

    转换为二进制(保留到小数点第四位)

    大家从上面步骤可以看出,当第五次做乘法时候,得到的结果是

    0.4

    ,那么小数部分继续乘以

    2

    ,得

    0.8

    0.8

    又乘以

    2

    的,到

    1.6

    这样一直乘下去,最后不可能得到小数部分为零,因此,这个时候只好

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    提示:各类进制在实际中表示
    十进制:D(Decimal)

    二进制:B(Binary)

    八进制:O(Octal)  

    十六进制:H(Hexadecimal)

    如:(4B1)16又可写为4B1H

          (12345)8又可以写为12345O

          (10011)2又可以写为10011B

    1、非十进制与十进制的转换
    1.1、基本原则:
    按权展开法,即把各数位乘权的i次方后相加

    1.2、实例:
    例1:二进制与十进制的转换,带小数部分

    01011010.01B=0×2^7+1×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+0×2^2  +1×2^1+0×2^0+0×2^-1+1×2^-2 = 90.25

    例2:八进制与十进制的转换,如有小数部分,对应乘相应8的-i次方【字母O,表示八进制】

    245O = 3x8^2+4x8^1+5x8^0 = 229

    例3:十六进制与十进制的转换,如有小数部分,对应乘相应16的-i次方【字母H,表示十六进制】

    F2DH = 15x16^2+2x16^1+13x16^0 = 3885

    2、十进制与非十进制的转换
    2.1、基本原则:
    原则1:整数部分与小数部分分别转换;

    原则2:整数部分采用除基数(转换为2进制则每次除2,转换为8进制每次除8,以此类推)取余法,直到商为0,而余数作为转换的结果,第一次除后的余数为最低为,最后一次的余数为最高位;

    原则3:小数部分采用乘基数(转换为2进制则每次乘2,转换为8进制每次乘8,以此类推)取整法,直至乘积为整数或达到控制精度。

    2.2、实例:
    例1:将十进制数725.625分别转换为十六进制、八进制、二进制

    转换为二进制,整数部分每次除2,小数部分每次乘以2:


                            整数部分:                                 小数部分:
                    2|725…………..余数=1        最低位           0.625                              
                    2|362…………..余数=0                           ×       2
                    2|181…………..余数=1                              1.250…..整数=1         小数部分最高位,靠近点的那位  
                      2|90……..……余数=0                              0.250
                      2|45…………..余数=1                            ×       2
                      2|22…………..余数=0                            0.500…..整数=0                  
                      2|11…………..余数=1                            ×       2
                        2|5…………..余数=1                            1.000…..整数=1         小数部分最低位,最远点的那位 
                        2|2…………..余数=0                            0.000
                        2|1…………..余数=1        最高位                        >                                    
                           0¨商为0,转换结束                           积为0,转换结束
    转换结果为:725.625D=1011010101.101B

    3、二进制、八进制、十六进制之间的转换
    3.1、基本原则:
    原则1:将二进制转换成八进制按3位一组进行;
    原则2:将二进制转换成十六进制按4位一组进行;
    原则3:分组时如位数不够,整数部分在最左边补0,小数部分在最右边补0;
    原则4:八进制转二进制,将1位八进制转换为3位二进制;
    原则5:十六进制转二进制,将1位十六进制转换为4位二进制。

    3.2、实例:
    例1:将1011001.1101011分别转换为八进制,十六进制
    1011001.1101011 =  001  011  001.110  101  100  = 131.654O           
    1011001.1101011 = 0101  1001.1101  0110  = 59.d6H    

    例2:将八进制数3571.402O转换为二进制
    3571.402O = 110 011 101 111 001.100 000 010B    

    例3:将十六进制数91a28.b71H转换为二进制
     

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  • 今天来总结一下各种进制转换问题,详细齐全易于理解,希望对你有帮助哦! 先从我们最熟悉的十进制入手吧,其他进制与十进制的转换方法都是一样的,保证能全部记住!...一、十进制转换二进制八进制、十六进制

    今天来总结一下各种进制转换问题,详细齐全易于理解,希望对你有帮助哦!


    先从我们最熟悉的十进制入手吧,其他进制与十进制的转换方法都是一样的,保证能全部记住!

    整型有4种进制形式:
    1.十进制: 都是以0-9这九个数字组成,不能以0开头。
    2.二进制: 由0和1两个数字组成。
    3.八进制: 由0-7数字组成,为了区分与其他进制的数字区别,开头都是以0开始。
    4.十六进制:由0-9和A-F组成。为了区分于其他数字的区别,开头都是以0x开始。

    先来贴一张进制转换表:
    在这里插入图片描述

    一、十进制转换为二进制、八进制、十六进制

    整数转换

    1、十进制转二进制

    (1)十进制转二进制的转换原理:除以2,反向取余数,直到商为0终止。
    (2)具体做法:

    将某个十进制数除2得到的整数部分保留,作为第二次除2时的被除数,得到的余数依次记下,重复上述步骤,直到整数部分为0就结束,将所有得到的余数最终逆序输出,则为该十进制对应的二进制数。
    例如:9(十进制)→1001(二进制)
    在这里插入图片描述

    2、十进制转八进制

    (1)转换原理:除以8,反向取余数,直到商为0终止。

    (2)具体步骤与二进制一样

    例如:十进制数796转换成八进制数:
    将796除8取得第一个余数为4,将除8得到的整数部分99作为第二次的被除数,重复上述步骤,直至最终整数部分为0就结束。将取得的所有余数逆序输出
    则为:796–>1434
    在这里插入图片描述

    3、十进制转十六进制

    (1)转换原理:除以16,反向取余数,直到商为0终止。
    (2)具体步骤也和二进制、八进制一样,重复上述做法即可得到十六进制数。
    例如:十进制数796转换为十六进制数
    即为:796–>31c
    在这里插入图片描述

    需要注意的是,十六进制数是由0-9和A-F(或者a-f)组成的,A相当于十进制中的10,B相当于11,依次类推,F相当与15,上述事例中取得的余数12即为十六进制中的c

    总结:以上几种进制的整数部分转换原理都是除进制数取余数,倒序输出

    再来贴一张小数部分进制表
    在这里插入图片描述

    小数部分转换

    1、十进制转二进制

    (1)原理:十进制小数转换成二进制小数采用 “乘2取整,顺序输出” 法。

    例题: 0.68D = ______ B(精确到小数点后5位)
    如下所示,0.68乘以2,取整,然后再将小数乘以2,取整,直到达到题目要求精度。得到结果:0.10101B.
    例如:十进制小数0.68转换为二进制数
    具体步骤:
    0.68* 2=1.36 -->1
    0.36* 2=0.72 -->0
    0.72* 2=1.44 -->1
    0.44* 2=0.88–>0
    0.88* 2=1.76 -->1
    已经达到了题目要求的精度,最后将取出的整数部分顺序输出即可
    则为:0.68D–>0.10101B

    2、十进制转八进制

    (1)原理:十进制小数转换成八进制小数采用 “乘8取整,顺序输出” 法。

    (2)思路和十进制转二进制一样,参考如下例题:

    例题: 10.68D = ______ Q(精确到小数点后3位)
    解析:如下图所示,整数部分除以8取余数,直到无法整除。小数部分0.68乘以8,取整,然后再将小数乘以8,取整,直到达到题目要求精度。得到结果:12.534Q.

    例如:十进制数10.68转换成八进制数,分为整数部分和小数部分求解
    步骤:
    (1)整数部分
    10/8=1 -->2
    1/8=0 -->1
    倒序输出为12
    (2)小数部分
    0.68* 8=5.44 -->5
    0.44* 8=3.52 -->3
    0.52* 8=4.16 -->4
    已经达到了题目要求的精度,即可结束
    则小数部分为:0.68–>0.534
    因此10.68D -->12.534Q

    3、十进制转十六进制

    (1)原理:十进制小数转换成十六进制小数采用 “乘16取整,顺序输出” 法。
    (2)思路也是一样的,就不重复了
    例题: 25.68D = ______ H(精确到小数点后3位)

    解析:如下图所示,整数部分除以16取余数,直到无法整除。小数部分0.68乘以16,取整,然后再将小数乘以16,取整,直到达到题目要求精度。得到结果:19.ae1H.
    (1)整数部分
    25/16=1 -->9
    1/16=0 -->1
    倒序输出为:19
    (2)小数部分
    0.68* 16=10.88 -->a(即十进制中的10)
    0.88* 16=14.08 -->e
    0.08* 16=1.28 -->1
    已经达到了要求的精度,顺序输出为:ae1
    则:25.68D -->19.ae1H

    总结:小数部分转换原理都是乘进制数取整数部分,再将整数部分顺序输出。

    二、 二进制、八进制、十六进制转换为十进制

    整数转换

    1、全部总结如下:
    在这里插入图片描述
    2、三者转换原理都是一样的

    例子说明:
    在这里插入图片描述

    小数部分转换

    1、二进制转十进制

    (1)原理:整数部分按上述进行操作即可,小数部分从小数点后一位指数为-1开始算起,以后依次为-2、-3……
    (2)具体运用以及步骤举例说明:

    在这里插入图片描述

    2、八进制转十进制

    (1)原理:整数部分操作以及运算不变,小数部分同二进制类似,将2改为8即可
    (2)具体步骤方法如下:

    例如:八进制数72.45转换成十进制数
    步骤:
    (1)整数部分:
    7* 8^1+ 2* 8 ^0=58
    (2)小数部分
    4* 8^(-1) + 5* 8^(-2)=0.5+0.078125=0.578125
    则为:72.45 -->58.578125

    3、十六进制转十进制

    (1)原理:整数运算一样,小数部分换成16即可
    (2)具体方法步骤如下:

    例:1A6.3B8=1* 16^2+A* 16 ^1+6* 16 ^0 +3* 16 ^(-1)+B* 16 ^(-2)+8* 16 ^(-3) =422.232422

    总结:以上二进制、八进制、十六进制转换为十进制当中的整数部分从右往左指数从0开始递增,小数部分从左往右从-1开始递减,原理都是一样的。

    三、 二进制转换成八进制数、十六进制数

    1、二进制转换成八进制
    原理:“三合一” 取二进制数中的三位合为八进制数的一位

    2、二进制转换成十六进制
    原理:“四合一” 取二进制数中的四位合为十六进制数的一位

    例子说明:

    二进制数1010 0100B转换成八进制数为244Q在这里插入图片描述
    二进制数1010 0100B转换成十六进制数为:a4H
    在这里插入图片描述

    再来贴个例子:

    在这里插入图片描述

    四、八进制、十六进制转换成二进制

    1、八进制数转换成二进制
    原理:八进制数的一位是二进制数的三位

    2、十六进制数转换成二进制
    原理:十六进制数的一位是二进制数的四位

    在这里插入图片描述

    五、八进制与十六进制之间的转换

    这两者之间的转换可以借助十进制或者二进制完成,可以先将八进制转换成十进制或二进制,再转换成十六进制。通过间接转换来实现。

    以上就是所有常用进制转换,包括整数部分和小数部分,已经是很详细了,个人觉得通过例子来理解是最好的方法,记住进制转换的一些原理和规律,换成其他进制也是一样的用。关于进制转换问题是比较基础的,所以一定要掌握哦!

    希望我的文章对你有所帮助,嘻嘻!若有错误的地方还望大家批评指正,谢谢大家阅读!
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 二进制八进制、十六进制转换为十进制二进制八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。假设当前数字是N进制,那么:对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于...

    上节我们对二进制、八进制和十六进制进行了说明,本节重点讲解不同进制之间的转换,这在编程中经常会用到,尤其是C语言。

    将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

    二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易,就是“按权相加”。所谓“权”,也即“位权”。假设当前数字是 N 进制,那么:

    • 对于整数部分,从右往左看,第 i 位的位权等于Ni-1

    • 对于小数部分,恰好相反,要从左往右看,第 j 位的位权为N-j

    更加通俗的理解是,假设一个多位数(由多个数字组成的数)某位上的数字是 1,那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

    1) 整数部分

    例如,将八进制数字 53627 转换成十进制:

    53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 80=1,第2位的位权为 81=8,第3位的位权为 82=64,第4位的位权为 83=512,第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    注意,这里我们需要以十进制形式来表示位权。

    再如,将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制:

    9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 160=1,第2位的位权为 161=16,第3位的位权为 162=256,第4位的位权为 163=4096,第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。将二进制数字转换成十进制也是类似的道理:

    11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十进制)

    从右往左看,第1位的位权为 20=1,第2位的位权为 21=2,第3位的位权为 22=4,第4位的位权为 23=8,第5位的位权为 24=16 …… 第n位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权,然后再相加,就得到了十进制形式。

    2) 小数部分

    例如,将八进制数字 423.5176 转换成十进制:

    423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 8-1=1/8,第2位的位权为 8-2=1/64,第3位的位权为 8-3=1/512,第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。再如,将二进制数字 1010.1101 转换成十进制:

    1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十进制)

    小数部分和整数部分相反,要从左往右看,第1位的位权为 2-1=1/2,第2位的位权为 2-2=1/4,第3位的位权为 2-3=1/8,第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m。更多转换成十进制的例子:

    • 二进制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十进制)

    • 二进制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×2+ 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十进制)

    • 八进制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十进制)

    • 八进制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十进制)

    • 十六进制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十进制)

    将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

    将十进制转换为其它进制时比较复杂,整数部分和小数部分的算法不一样,下面我们分别讲解。

    1) 整数部分

    十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余,逆序排列”法。具体做法是:

    • 将 N 作为除数,用十进制整数除以 N,可以得到一个商和余数;

    • 保留余数,用商继续除以 N,又得到一个新的商和余数;

    • 仍然保留余数,用商继续除以 N,还会得到一个新的商和余数;

    • ……

    • 如此反复进行,每次都保留余数,用商接着除以 N,直到商为 0 时为止。

    把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字,后得到的余数作为 N 进制数的高位数字,依次排列起来,就得到了 N 进制数字。下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程:

    4e988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中得知,十进制数字 36926 转换成八进制的结果为 110076。下图演示了将十进制数字 42 转换成二进制的过程:

    50988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中得知,十进制数字 42 转换成二进制的结果为 101010。

    2) 小数部分

    十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整,顺序排列”法。具体做法是:

    • 用 N 乘以十进制小数,可以得到一个积,这个积包含了整数部分和小数部分;

    • 将积的整数部分取出,再用 N 乘以余下的小数部分,又得到一个新的积;

    • 再将积的整数部分取出,继续用 N 乘以余下的小数部分;

    • ……

    • 如此反复进行,每次都取出整数部分,用 N 接着乘以小数部分,直到积中的小数部分为 0,或者达到所要求的精度为止。

    把取出的整数部分按顺序排列起来,先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字,后取出的整数作为低位数字,这样就得到了 N 进制小数。下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程:

    51988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中得知,十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的结果为 0.7345。下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程:

    52988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中得知,十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分,那么将整数部分和小数部分开,分别按照上面的方法完成转换,然后再合并在一起即可。例如:

    • 十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345;

    • 十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。

    下表列出了前 17 个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系:

    十进制012345678910111213141516
    二进制0110111001011101111000100110101011110011011110111110000
    八进制01234567101112131415161720
    十六进制0123456789ABCDEF10

    注意,十进制小数转换成其他进制小数时,结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子:

    • 十进制 0.51 对应的二进制为 0.100000101000111101011100001010001111010111...,是一个循环小数;

    • 十进制 0.72 对应的二进制为 0.1011100001010001111010111000010100011110...,是一个循环小数;

    • 十进制 0.625 对应的二进制为 0.101,是一个有限小数。

    二进制和八进制、十六进制的转换

    其实,任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法,只不过有时比较麻烦,所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法,反之亦然。

    1) 二进制整数和八进制整数之间的转换

    二进制整数转换为八进制整数时,每三位二进制数字转换为一位八进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制:

    54988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中可以看出,二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。八进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位八进制数字转换为三位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制:

    56988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中可以看出,八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。

    2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换

    二进制整数转换为十六进制整数时,每四位二进制数字转换为一位十六进制数字,运算的顺序是从低位向高位依次进行,高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制:

    57988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中可以看出,二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。十六进制整数转换为二进制整数时,思路是相反的,每一位十六进制数字转换为四位二进制数字,运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制:

    58988610-4213-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    从图中可以看出,十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。在C语言编程中,二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换,所以这里我们只讲整数的转换,大家学以致用足以。另外,八进制和十六进制之间也极少直接转换,这里我们也不再讲解了。

    总结

    本节前面两部分讲到的转换方法是通用的,任何进制之间的转换都可以采用,只是有时比较麻烦而已。二进制和八进制、十六进制之间的转换有非常简洁的方法,所以没有采用前面的方法。

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