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  • 二阶线性差分方程
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    2017-05-19 17:17:00

    二阶线性差分方程的齐次解/通解

    以下面的二阶线性差分方程为例

    $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$

    我们在求该差分方程的齐次解(通解)时,会令等式右边等于0,得到二阶齐次线性差分方程:

    $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = 0$

    并假设

    $y_t = A\omega^t$

    把该假设代入上面齐次方程,整理后得到:

    $a\omega^2+b\omega+c = 0$

    这个一元二次方程的根为

    $\omega = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

     

     

    二阶线性差分方程中的根

    $\omega$是该方程的根(characteristic root),又称为该方程的特征值(eigen value)。此时$\omega$可以分成三种情况讨论。

     

    $b^2-4ac >0 $

    此时$\omega$分别为两个不相同的实数

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = A_1\omega_1^t+A_2\omega_2^t$

     

    $b^2-4ac = 0$

    此时$\omega$为重根

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = (A_1n+A_2)\omega^t$

     

    $b^2-4ac <0$

    此时$\omega$分别为两个共轭复数

    $\omega = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = h\pm iv$

    即有:

    $\left\{\begin{matrix}
    h &= &-\frac{b}{2a} \\
    v &= &\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}
    \end{matrix}\right.$

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = A_1(h+iv)^t + A_2(h-iv)^t$

     

    该共轭的根还可以从极坐标方面进行讨论

    $h\pm iv = R(cos \theta \pm isin\theta)$

    其中

    $R = \sqrt{h^2+v^2} = \sqrt{\left| \frac{c}{a} \right|}$

    即R是一个固定的实数。

    image

     

    差分方程的齐次解为

    $\begin{align*}
    y_h(t)
    &= A_1R^t(cos\theta + isin\theta)^t + A_2R^t(cos\theta-isin\theta)^t \\
    &= A_1R^t(cos\theta t+isin\theta t)+A_2R^t(cos\theta t-isin\theta t)  \qquad de\ Moivre's\ theorem\\
    &=\left|\frac{c}{a}\right|^{\frac{t}{2}}(A_1(cos\theta t+isin\theta t)+A_2(cos\theta t-isin\theta t)) \\
    &=\left|\frac{c}{a}\right|^{\frac{t}{2}}(B_1cos\theta t+B_2sin\theta t) \qquad \left\{\begin{matrix}
    B_1 &= A_1+A_2\\
    B_2 &= (A_1-A_2)i
    \end{matrix}\right.
    \end{align*}$

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    关于斐波那契数列(Fibonacci sequence)之差分方程求解算法一点点记录!

    斐波那契数列,又称之为黄金分割数列。具体指的是这样的一个数列:
    在这里插入图片描述
    利用小学数学就能演算出后面的项数,可以很清楚的得到数列的后一项的数值可以由其前面两项的到的。不过得注意的是最初的两项是第0个和第1个数值是分别是0和1,这样不难想到,肯定必须确定前面2项才能确定第三项的值,才能依次确定后面几项,具体规律可以用下面的这个通项式子表示

    在这里插入图片描述

    如果直接用递归的思想,估计很快就能写出来这个计数方法。这里我选用python做,工具嘛,哪个方便用哪个。

    def Fibonacci(N):
        if(N<2):
            return N
        else:
            return Fibonacci(N-1)+ Fibonacci(N-2)
    
    if __name__ == '__main__':
        with open("Fibonacci.txt","w") as f:
            for i in range(20):
                print(Fibonacci(i),end=" ")
                f.write(str(Fibonacci(i))+"  ")
            f.close()
    

    python Fibonacci.py 之后就会产生一个文件Fibonacci.txt里面内容如下:

    在这里插入图片描述

    这样迭代对于这样20数据来讲本来就没有压力。我简单测试一哈关于20,25,30,35,40次迭代完成,我电脑需要多少时间。

    在这里插入图片描述

    要是迭代100次的话,电脑不疯,我都要疯了,经过测试迭代40次左右的时间,我的台式电脑大致需要1分钟15秒左右。实在不敢测试100次的结果。
    在这里插入图片描述

    def Fibonacci(N):
        if(N<2):
            return N
        else:
            return Fibonacci(N-1)+ Fibonacci(N-2)
    value = [20,25,30,35,40]
    import time
    if __name__ == '__main__':
        for count in value:
            s = time.time()
            for i in range(count):
                print(Fibonacci(i),end=" ")
            print("\r\n花费时间为: ",(time.time() - s), "s")
    

    如何提高这个运算效率呢???

    解决的办法还是得落在这个表达式里面

    在这里插入图片描述

    这个形式就是差分方程的形式,我记得这是考研的数三的考点,奈何我考的是数一,不过学过微分方程,大致看了一哈,带公式计算即可,没有太复杂的东西。首先这个表达式是二阶常系数齐次线性差分方程。所谓二阶指的是该差分方程的最高阶数有表达式可以得出,所谓常系数指的是F(N+t) (t为任意自然数)前面的系数为常数,齐次指的是该方程右边为0。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    斐波那契数列之差分方程求解过程

    在这里插入图片描述

    利用这个最后的表达式很快敲出代码:

    def Fibonacci(N):
        if(N<2):
            return N
        else:
            return Fibonacci(N-1)+ Fibonacci(N-2)
    
    def Fibonacci2(N):
        sqrt5 = 5**0.5
        fibnN = ((1+sqrt5)/2)**N-((1-sqrt5)/2)**N
        return round(fibnN/sqrt5)
    
    value = [20,25,30,35,40]
    import time
    
    if __name__ == '__main__':
        for count in value:
            s = time.time()
            for i in range(count):
                print(Fibonacci2(i),end=" ")
            print("\r\n花费时间为: ",(time.time() - s), "s")
      
    
    """
    使用Fibonacci函数
    输出:
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 
    花费时间为:  0.004997968673706055 s
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 
    花费时间为:  0.056983232498168945 s
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 
    花费时间为:  0.6223404407501221 s
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 
    花费时间为:  6.873619079589844 s
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 
    花费时间为:  75.94436860084534 s
    """
    
    
    """
    使用Fibonacci2函数
    输出:
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
    花费时间为:  0.0 s
    0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 
    花费时间为:  0.0 s
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    花费时间为:  0.00099945068359375 s
    
    """
    

    尝试计算迭代100次,发现Fibonacci2算法仍旧快速输出结果。学好高数,真是能快速解决问题。不知道迭代次数足够多,是否有错误,没有验证过,但是计算是真的快啊

    每天学习亿点点,每天进步亿点点!(仅仅是记录自己的学习)要是有错误、或者其他简洁记得请指出来哈!

    展开全文
  • 一阶线性差分方程组的常用解法是通过消元法,转化为只含有一个未知数列的二阶线性数列并利用特征方程求解.现在给出公式解法,使得中学生都能够理解掌握.
  • 本文建立了非线性二阶差分方程的若干振动准则,所得结果改进了文[5]中相应的定理。
  • 一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例、 1、B 向量元素 : x(n) 参数、 2、A 向量元素 : y(n) 参数、 3、输入序列、 4、matlab 代码、





    一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例



    描述 某个 " 线性时不变系统 "" 线性常系数差分方程 " 如下 :

    y ( n ) = 1.5 x ( n ) + 0.7 y ( n − 1 ) y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1) y(n)=1.5x(n)+0.7y(n1)

    输入序列 :

    x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta (n) x(n)=δ(n)

    边界条件 / 初始条件 :

    y ( − 1 ) = 1 y(-1) = 1 y(1)=1

    求该 LTI 系统的 输出序列 ;



    线性常系数差分方程 公式 :

    y ( n ) = ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) − ∑ i = 1 N a i y ( n − i )         n ≥ M y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M y(n)=i=0Mbix(ni)i=1Naiy(ni)       nM


    1、B 向量元素 : x(n) 参数


    讨论 B B B 向量 , B B B 向量是 x ( n ) x(n) x(n) 的参数 , 有几个 x ( n ) x(n) x(n) 项 , B B B 向量 就有几个元素 ;

    上式中 M = 0 M = 0 M=0 , x ( n ) x(n) x(n) 的项只有 1 1 1 项 , ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) i=0Mbix(ni) 只有一项 , 加和式只有一项 , 因此对应的 B B B 向量 , 只有 1 1 1 个元素 ;

    B = [1.5];
    

    2、A 向量元素 : y(n) 参数


    下面讨论 A A A 向量 , A A A 向量是 y ( n ) y(n) y(n) 的参数 , 有几个 y ( n ) y(n) y(n) 项 , A A A 向量 就有几个元素 ;

    线性常系数差分方程 :

    y ( n ) = 1.5 x ( n ) + 0.7 y ( n − 1 ) y(n) = 1.5x(n) + 0.7y(n-1) y(n)=1.5x(n)+0.7y(n1)

    0.7 y ( n − 1 ) 0.7y(n-1) 0.7y(n1) 移到左边 , 得到 :

    y ( n ) − 0.7 y ( n − 1 ) = 1.5 x ( n ) y(n) - 0.7y(n-1) = 1.5x(n) y(n)0.7y(n1)=1.5x(n)

    这里有 2 2 2 y ( n ) y(n) y(n) 项 , A A A 向量的元素有两个 , 1 , − 0.7 1 , -0.7 1,0.7 ;

    A = [1, -0.7];
    

    3、输入序列


    输入序列 :

    x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta (n) x(n)=δ(n)

    输入序列 的元素个数 , 等于 输出序列 的元素个数 ;

    n = 0 n = 0 n=0 时 , x ( n ) = 1 x(n) = 1 x(n)=1 , 然后再次生成 30 30 30 0 0 0 元素 , 放到 输入序列 中 ;

    输入序列为 { 1 , 0 , 0 , ⋯   , 0 ⏟ 30 个 0 } \{ 1, \underbrace {0 , 0 , \cdots , 0}_{30 个 0} \} {1,300 0,0,,0} , 共 31 31 31 个元素 ;

    对应的 matlab 代码为

    xn=[1,zeros(1,30)]; 
    

    4、matlab 代码


    matlab 代码 :

    % 边界条件 y(-1) = 1 , 这里设置 ys = 1
    ys = 1;
    
    % 输入序列 为 单位脉冲序列
    xn=[1,zeros(1,30)]; 
    
    % 线性常系数差分方程 中的 x(n) 项系数
    B=1.5;
    
    % 线性常系数差分方程 中的 y(n) 项系数
    A=[1, -0.7];
    
    % 等效 初始条件 的 输入序列 xi
    xi=filtic(B,A,ys);
    
    % 输出序列
    yn=filter(B,A,xn,xi); 
    
    %建立幕布
    figure;
    %绘制 "输出序列" 图像 , 点用上三角表示
    plot(yn, '^');
    
    % 打开网格
    grid on;
    

    绘图效果 :

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 将 Gronwall不等式离散化 ,利用该不等式讨论了二阶线性扰动差分程的振动性 ,把 Winter和Lighton所建立的关于微分方程的振动性结果推广到差分方程上 .
  • 5-25 19:37 编辑新手入门:L就是一个二阶的非线性常微分方程两点边值问题,用有限差分法离散成非线性方程组之后,现在要用牛顿法求解这个方程组,然后我有一个编好的牛顿法的程序,但是不知道怎么输入那个差分方程组...

    本帖最后由 呵呵。。。 于 2016-5-25 19:37 编辑

    新手入门:L

    就是一个二阶的非线性常微分方程两点边值问题,用有限差分法离散成非线性方程组之后,现在要用牛顿法求解这个方程组,然后我有一个编好的牛顿法的程序,但是不知道怎么输入那个差分方程组调用牛顿法,还有边值怎么处理?

    这是编好的牛顿法程序:

    function [x,iter,X]=newtong(fun,x0,eps,maxiter)

    % Newton法求解非线性方程组的根

    % 输入参数:

    %      ---fun:迭代函数

    %      ---x0:初始迭代点向量

    %      ---eps:精度要求,默认值为1e-6

    %      ---maxiter:最大迭代次数,默认值为1e4

    % 输出参数:

    %      ---x:非线性方程的近似解向量

    %      ---iter:迭代次数

    %      ---X:每一步迭代的结果

    if nargin<2,error('输入参数至少需要2个!'),end

    if nargin<3|isempty(eps),eps=1e-6;end

    if nargin<4|isempty(maxiter),maxiter=1e4;end

    k=0;err=1;

    while err>eps

    k=k+1;

    [fx0,J]=feval(fun,x0);  % 求函数fun的值和jacobi矩阵

    x1=x0-J\fx0;  % 牛顿法迭代公式

    err=norm(x1-x0);

    x0=x1;

    X(k,:)=x1;

    end

    if k==maxiter

    error('迭代次数超限,迭代失败!')

    end

    x=x1;iter=k

    原微分方程用有限差分法离散出的非线性代数方程组见下面的图片:

    边值条件我已经会用了,就是把它代入方程组就好了,现在的问题是如何用这个方程组调用牛顿迭代法。

    我把上面的方程组输入MATLAB是下面这样的,不知道有没有错误,求大神帮忙看一眼

    function f=F(y0,b,N)

    a=0;%左区间端点

    h=(b-a)/N;%剖分的步长

    %常数

    q=1.6*10^(-19);

    ep=1.064*10^(-12);

    theta=38.5;

    ni=1.4*10^10;

    m=10^21;

    Y=zeros(N-1,1);%对Y赋初值

    Y(1)=y0;%迭代初值

    Y(2)=2*y0+h^2*(q/ep*(ni*exp(-theta*x(k))-ni*...

    exp(theta*x(k)))+q/ep*m*x(k));

    %定义差分方程组

    for k=2:N-1

    x(k)=a+k*h;%定义差分点的坐标

    Y(k)=(x(k+1)-2*x(k)+x(k-1))/h^2+q/ep*(ni*exp(-theta*x(k))-ni*...

    exp(theta*x(k)))+q/ep*m*x(k);%差分格式

    end

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  • 研究了二阶线性时滞差分方程的非振动解的性质,建立了非振动解的比较定理和充分条件。
  • 二阶常系数线性微分方程

    千次阅读 2020-02-02 18:07:02
    二阶常系数线性微分方程一般形式 y'' +p y' + qy = f(x) ① (下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2) 一、二阶常系数齐次线性方程 其一般形式 y'' + py' + qy = 0...
  • 本文通过对二阶线性常系数差分系统奇点的研究,得到了奇点分类、奇点附近解的定性结构以及解析...差分系统有它自己的特性,正如在常微分方程中一样这里的奇点分类、奇点附近解的定性结构是研究非线性差分系统的重要基础.
  • 常系数线性差分方程解法

    千次阅读 2020-01-01 16:07:23
    零输入响应y_{zi}:当x(n)=0(即方程右端为零)时,系统的输出函数,对应方程(1)的齐次解。 零状态响应y_{zs}:当接入激励前(n),系统的输出状态均为0时,系统的输出函数,对应y(-1),y(-2),……,y(-N)均为0...
  • 本文讨论其边界条件满足Lopatinsky条件的二阶拟线双曲型方程的混合问题,得到了大范围解的存在定理,较Kato的局部性结果为好.线性情形结果的证明是用作者的方法,它与Kato的方法是不相同的,并且适用于高阶方程的...
  • 考虑二阶线性中立型差分方程△[|an|△(Xn+pnxn-T)] a-1 (xn +pnxn-T)]∑qi(n)|xnai| a-1 xn-ai-o. (1)给出了方程(1)的解的振动性的充分条件。所有结果推广和改进了关于中立和时滞差分方程己有结果。

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二阶线性差分方程