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    §2.1 二阶常微分方程

    2.1 Second Order Equations

    微分方程

    MIT公开课《微分方程和线性代数》 2.1 二阶微分方程​v.youku.com
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    二阶常微分方程的应用特别广泛,因为它包含了加速度项,即速度的导数——二阶导数

    。在图像上,二阶导数体现函数曲线的弯曲程度,因为它是斜率的变化率。二阶微分方程的典型方程式为

    我们最初的讨论限制在A,B,C三个参数均为常数的情况下,并且在这一讲只求解二阶常微分方程的“零解”,即等式右侧为0的齐次方程的解。当参数均为常数时,解函数的形式均为指数函数。零解有两个,通常写成

    的形式,其中的两个参数
    c1和 c2需要两个初值条件才能确定。在一阶常微分方程中我们通常有初值条件
    ,而二阶微分方程中有加速度项,因此通常需要速度项
    作为初值条件。

    :在物理和工程中最常见的运动方程——简谐振动的方程,其形式为

    ,其中因为没有阻尼项,所以没有一阶导数项。这个方程描述的就是弹簧的简谐振动或者钟摆的运动。

    如果假定mk都是1,则方程变为二阶导数y''等于负的原函数

    ,立刻就会想到是正弦或者余弦函数。如果
    mk为实值,则二阶导数和原函数之间还差着参数 k/m,因此该二阶微分方程的零解之一为
    ,根号是因为求导两次才会出现
    k/m。而其零解完全表达式为两零解之和:

    通常将

    改写为
    ,其中
    n代表自然频率,则方程变为
    ,而方程的解变为

    可以看出零解中的参数需要带入初值条件加以确认,例如代入t=0,则零解的第二项消失,第一项只剩下参数,因此有

    ,同理可得
    。因此有

    绘制一下余弦函数的函数曲线来增加一下对它的认识:

    dbc5230f9eecbbcd9892dc1bfafb16f9.png

    的周期是
    是角速度,单位是弧度每秒。
    f是频率,单位是赫兹,满足
    。因此有

    零解还有另一种虚指数的表达方式

    。方程对应的是纯简谐振动,因此表达式中的指数也是纯虚数。

    §2.1b 受迫简谐振动

    Forced Harmonic Motion

    微分方程

    优酷视频​v.youku.com

    本讲仍然介绍常系数二阶微分方程,但是与上一讲自由状态的简谐振动不同,这次等式右侧不再是0,将引入外力作用构造这一简谐振动的运动状态或者说推进这种运动。

    输入余弦函数

    微分方程

    。此时,解函数中必然包含两种频率信息:

    外力频率 ω

    自然频率

    这两者的匹配状态决定着运动的状态,在实际应用中甚至决定桥梁是否会因为两频率相等

    导致共振状态而发生倒塌。

    方程中只有二次导数和函数本身,因此容易想见特解的形式为

    ,这个解函数也称之为受迫响应。将特解代入方程,可得:

    方程的通解为特解和上一讲所求的零解进行线性组合。

    改写特解的形式可得

    。从中可以看到共振或者外力的频率接近自然频率时,对函数的影响非常巨大。我们将因子
    称为频率响应。

    输入Delta函数

    ,外力作用只发生在最初的一瞬间,即在0时刻给系统——例如单摆或者弹簧一个外力冲击,这一瞬间给了系统一定的速度,但是还没有发生位移,该方程的解函数
    g( t)称为脉冲响应。

    求解脉冲响应的方法是将之视为一个齐次方程

    ,但是方程的初值因为脉冲发生了改变,位移不变
    ,但是速度发生变化
    。按照上一讲求“零解”的方法,将初值条件代入,可得到此方程的解为
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  • 神经网络求解二阶微分方程

    千次阅读 热门讨论 2020-11-20 15:10:41
    神经网络求解二阶微分方程 最近课题组老师给出一篇文献,文件原文如链接一所示。需要让我使用深度神经网络求解偏微分方程。在相关调研过程中,CSDN上作者Trytobenice分享过相关的程序源码。基于相关程序源码,我将...

    神经网络求解二阶常微分方程

    最近课题组老师给出一篇文献,文件原文如链接一所示。需要让我使用深度神经网络求解偏微分方程。在相关调研过程中,CSDN上作者Trytobenice分享过相关的程序源码。基于相关程序源码,我将他的一阶常微分方程求解扩充到二阶常微分方程求解。并且按照此方法可以求解高阶常微分方程。

    理论分析

    对于任意一个微分方程,我们都可以用这个方程表示出
    在这里插入图片描述
    求解目的就是找出这样的一个方程:ψ(x),能够满足以上的G()函数。
    对于计算机求解,第一步要将其离散化处理:
    在这里插入图片描述
    人工神经网络若要求解该方程,那就设方程ψ(x)函数如下形式:
    在这里插入图片描述
    将预设的ψ(x)带入原方程中,只需要让G()函数在定义范围内达到最小,那就求解出这个方程了。二次方项是为了将负数对结果的影响消除。
    在这里插入图片描述
    下面再来分析ψ(x)的内容:
    在讲解这个解函数之前,需要给出一个补充知识。要求解出常微分方程,仅仅给出常微分方程表达式是不够的,还要给出常微分方程的初始条件和边界条件。这样才能保证解函数的唯一性。

    ψ(x)函数中包含两项。第一项是A(x),这一项是为了满足初始条件或者边界条件。第二项F{x,N(x,p)},这一项是神经网络满足偏微分方程的部分,不考虑边界条件。【注:为什么F()项能够不考虑边界条件,文中例子会给出介绍】

    继续看F{x,N(x,p)},这一项中包含N(x,p)。这个N()函数就是神经网络函数表达式形式。x表示输入数据,p表示神经网络中的参数。通过BP网络优化神经网络中的参数p,使神经网络能够达到最适,就能得到神经网络的解函数ψ(x)。

    设出这个解函数之后,我们下一步要根据解函数表达出微分方程。微分方程中至少包含一个微分项,可能是一阶,也可能是二阶;可能是常微分,也可能是偏微分。论文中给出神经网络N(x,p)输出对输入x的微分公式。公式形式如下:在这里插入图片描述
    式中k表示k阶导数,j表示对输入数据 xj(j是下角标) 的偏导。本文仅仅探讨常微分形式。

    举例分析

    这里给出一个一阶常微分方程表达式,用这个方程分析如何使用神经网络求解。方程入下:
    在这里插入图片描述
    并且给出边界条件,在这里插入图片描述
    这个方程有很明确的解析解,解析解如下所示:
    在这里插入图片描述
    对于神经网络求解,我们可以设神经网络解ψ(x)形式为:
    在这里插入图片描述
    在这里,满足边界条件的A(x)直接为1。不需要考虑边界条件的项F{x,N(x,p)}设为x*N(x,p),那么在x=0的情况下,解第二项直接为0,仅仅保留A(x),这样就能解释前部分的【注】。

    方法提升

    以上分析全部针对论文1的内容,论文1出版年份为1998年,论文2于2019年提出了更进一步的方法,下面我们进一步分析论文2的内容:

    论文2设计的神经网络与论文1,解析解设计过程中,直接设神经网络输出的结果为
    在这里插入图片描述
    在这里不考虑边界值,边界值在损失函数上体现。损失函数第一项如论文1相同,第二项体现边界值。损失函数通过以下函数给出:在这里插入图片描述
    论文2设计的神经网络结构非常简单,中间只有一个隐藏层,隐藏层中只有10个神经元。

    在这里插入图片描述

    代码结果

    在这里展示我使用Tensorflow设计的,求解二阶常微分方程的程序结果。二阶常微分方程式由以下方程给出:
    在这里插入图片描述

    二阶微分方程的初始值:
    在这里插入图片描述

    该微分方程的解析解:
    在这里插入图片描述

    使用设计的程序,仿真出的结果如图所示:
    在这里插入图片描述
    其中,解析解和神经网络解之间的差值用下图可以看出:
    在这里插入图片描述
    可以看到,这个拟合结果还是非常不错的,误差数量级控制在10^-4以下。

    有时间会在github上开源代码,到时候下载别忘了给我点一个star。

    论文1: Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations
    论文2: Solving differential equations with neural networks: Applications to the calculation of cosmological phase transitions.

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  • 问题:试用打靶法求二阶线性微分方程亮点边值的数值解:要求用Matlab编程计算,请给出一些例子,验证你的算法与程序的正确性。2.打靶法分析:非线性打靶法:非线性打靶法的基本原理是将两点边值问题(1)转化为下面...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif二阶非线性常微分方程的打靶法matlab实现.doc

    二阶非线性常微分方程的打靶法1.问题:试用打靶法求二阶非线性常微分方程亮点边值的数值解:要求用Matlab编程计算,请给出一些例子,验证你的算法与程序的正确性。2.打靶法分析:非线性打靶法:非线性打靶法的基本原理是将两点边值问题(1)转化为下面形式的初值问题令z=y′,将上述二阶方程降为一阶方程组3.Matlab源代码:创建M文件:functionys=dbf(f,a,b,alfa,beta,h,eps)ff=@(x,y)[y(2),f(y(1),y(2),x)];xvalue=a:h:b;%x取值范围n=length(xvalue)s0=a-0.01;%选取适当的s的初值x0=[alfa,s0];%迭代初值flag=0;%用于判断精度y0=rk4(ff,a,x0,h,a,b);ifabs(y0(1,n)-beta)epss2=s1-(y1(1,n)-beta)*(s1-s0)/(y1(1,n)-y0(1,n));x0=[alfa,s2];y2=rk4(ff,a,x0,h,a,b);s0=s1;s1=s2;y0=y1;y1=y2;endendxvalue=a:h:b;yvalue=y1(1,:);ys=[xvalue ,yvalue ];functionx=rk4(f,t0,x0,h,a,b)%rung-kuta法求每个点的近似值(参考大作业一)t=a:h:b;%迭代区间m=length(t);%区间长度t(1)=t0;x(:,1)=x0;%迭代初值fori=1:m-1L1=f(t(i),x(:,i));L2=f(t(i)+h/2,x(:,i) +(h/2)*L1);L3=f(t(i)+h/2,x(:,i) +(h/2)*L2);L4=f(t(i)+h,x(:,i) +h*L3);x(:,i+1)=x(:,i) +(h/6)*(L1+2*L2+2*L3+L4);end4.举例求二阶非线性方程的边值问题:在matlab控制台中输入:f=@(x,y,z)(x^2+z*x^2);x0l=0;x0u=2*exp(-1);alfa=0;beta=2;h=0.01dbf(f,x0l,x0u,y0l,y0u,h,1e-6);>>y=ans(:,2);x=ans(:,1);>>plot(x,y, -r )>>结果:再输入:>>m=0:0.01:2;>>n=m.*exp(-1/2*m);>>plot(n,m)>>plot(x,y, -r ,n,m, -b )5.结论:根据得到的图像,可以看到在x的初值一起末值也就是α和β两点做到了较好的逼近,但是中间部分的逼近不是很理想。我想可能是在编程的过程当中可能算法上有些问题。以后有机会再改进。

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程 通解

    千次阅读 2020-12-23 06:38:50
    所以,微分方程的实函数解为, y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)] 或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin...

    满意答案

    yanweishizu

    2013.07.12

    采纳率:46%    等级:12

    已帮助:13567人

    y'' - 2y' + 5y = 0,

    设y = e^[f(x)],则

    y' = e^[f(x)]*f'(x),

    y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).

    0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],

    0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,

    当f(x) = ax + b, a,b是常数时。

    f''(x) = 0,

    f'(x) = a.

    0 = a^2 - 2a + 5.

    2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.

    a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)

    因2个解都满足微分方程。所以,微分方程的实函数解为,

    y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]

    y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]

    微分方程的实函数的通解为,

    y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]

    = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]

    其中,c1,c2 是任意常数。

    C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b,

    y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]

    C1,C2为任意常数。

    这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~~

    【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推。。

    这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了。

    不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~~】

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二阶线性微分方程例子