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  • 二阶线性微分方程的通解公式
    2022-07-04 20:08:19

    对于形如 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y+py+qy=0 的常微分二阶线性齐次微分方程,需要先求出两个线性无关的实数域特解 y 1 y_1 y1 y 2 y_2 y2 (即 y 1 y 2 ≠ C \frac{y_1}{y_2}\ne C y2y1=C ),再将两个特解叠加得到通解 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y=C_1y_1+C_2y_2 y=C1y1+C2y2。可以通过求解特征方程来求出微分方程的特解。

    设解的形式为 y = e r x y=e^{rx} y=erx ,将其带入微分方程可得 ( r 2 + p r + q ) e r x = 0 (r^2+pr+q)e^{rx}=0 (r2+pr+q)erx=0 。由于 e r x e^{rx} erx不为0, 可得 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0 ,该等式被称为微分方程的特征方程。特征方程是一个一元二次代数方程,其解可由求根公式得到,有三种情况:

    (1) Δ = p 2 − 4 q > 0 \Delta = p^2-4q>0 Δ=p24q>0,存在两个不相等的实根 r 1 ≠ r 2 r_1\ne r_2 r1=r2

    则两个特解为 y 1 = e r 1 x , y 2 = e r 2 x y_1=e^{r_1x}, y_2=e^{r_2x} y1=er1x,y2=er2x,通解为 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x

    (2) Δ = p 2 − 4 q = 0 \Delta = p^2-4q=0 Δ=p24q=0,存在两个相等的实根 r = r 1 = r 2 r=r_1=r_2 r=r1=r2

    由根的判别公式可知,此时 r = − p 2 r=-\frac{p}{2} r=2p

    此时只有一个特解 y 1 = e r x y_1=e^{rx} y1=erx,因此需要构建出另一个线性无关的特解,设 y 2 = u ( x ) e r x y_2=u(x)e^{rx} y2=u(x)erx,可知 y 2 y 1 = u ( x ) ≠ C \frac{y_2}{y_1}=u(x)\ne C y1y2=u(x)=C,满足线性无关条件

    y 2 = u ( x ) e r x y_2=u(x)e^{rx} y2=u(x)erx 带入原微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y+py+qy=0 可得
    ( u ′ ′ + 2 u ′ r + u r 2 + u ′ p + u r p + u q ) e r x = 0 ( u ′ ′ + 2 u ′ r + u ′ p ) e r x = 0 ( 因为  u ( r 2 + r p + q ) = 0 ) \begin{aligned} (u''+2u'r+ur^2+u'p+urp+uq)e^{rx}&=0\\ (u''+2u'r+u'p)e^{rx}&=0\quad(\text{因为 }u(r^2+rp+q)=0) \end{aligned} (u+2ur+ur2+up+urp+uq)erx(u+2ur+up)erx=0=0(因为 u(r2+rp+q)=0)
    r = − p 2 r=-\frac{p}{2} r=2p 带入上式,可得 u ′ ′ e r x = 0 ⇒ u ′ ′ = 0 u''e^{rx}=0\Rightarrow u''=0 uerx=0u=0

    在知道二阶导数 u ′ ′ ( x ) u''(x) u(x) 等于0后,不妨设 u ( x ) = x u(x)=x u(x)=x (也可以设 u ( x ) = k x + b u(x)=kx+b u(x)=kx+b,在叠加特解后可以通过合并常数项得到相同通解),则得到特解 y 2 = x e r x y_2=xe^{rx} y2=xerx,有通解 y = ( C 1 + C 2 x ) e r x y=(C_1+C_2x)e^{rx} y=(C1+C2x)erx

    (3) Δ = p 2 − 4 q < 0 \Delta = p^2-4q<0 Δ=p24q<0,存在共轭复根 r 1 = a + b i , r 2 = a − b i r_1=a+bi, r_2=a-bi r1=a+bi,r2=abi

    即有特解 y 1 = e ( a + b i ) x , y 2 = e ( a − b i ) x y_1=e^{(a+bi)x}, y_2=e^{(a-bi)x} y1=e(a+bi)x,y2=e(abi)x, 根据欧拉公式 e b i = c o s ( b ) + i s i n ( b ) e^{bi}=cos(b)+isin(b) ebi=cos(b)+isin(b) ,可将特解化为 y 1 = e a x ( c o s b x + i s i n b x ) , y 2 = e a x ( c o s b x − i s i n b x ) y_1=e^{ax}(cosbx+isinbx), y_2=e^{ax}(cosbx-isinbx) y1=eax(cosbx+isinbx),y2=eax(cosbxisinbx), 则有通解 y = e a x [ D 1 ( c o s b x + i s i n b x ) + D 2 ( c o s b x − i s i n b x ) ] y=e^{ax}[D_1(cosbx+isinbx)+D_2(cosbx-isinbx)] y=eax[D1(cosbx+isinbx)+D2(cosbxisinbx)]

    以上通解含复数,需要将复数项消去。固定通解中的常数项,可以得到两个不含复数的特解:

    D 1 = D 2 = 1 2 D_1=D_2=\frac{1}{2} D1=D2=21, 可得 u 1 = e a x c o s b x u_1=e^{ax}cosbx u1=eaxcosbx

    D 1 = 1 2 i , D 2 = − 1 2 i D_1=\frac{1}{2i}, D_2=-\frac{1}{2i} D1=2i1,D2=2i1, 可得 u 2 = e a x s i n b x u_2=e^{ax}sinbx u2=eaxsinbx

    则通解为 y = C 1 u 1 + C 2 u 2 = e a x ( C 1 c o s b x + C 2 s i n b x ) y=C_1u_1+C_2u_2=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx) y=C1u1+C2u2=eax(C1cosbx+C2sinbx)

    参考资料

    常系数二阶线性齐次微分方程的求解 - 知乎 (zhihu.com)
    Differential Equations - Complex Roots (lamar.edu)
    Differential Equations - Repeated Roots (lamar.edu)

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    第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

    二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x),是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时,称为齐次的,否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度,利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下:
    在这里插入图片描述

    学习要点

    1、和一阶微分方程对应,掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
    2、牢记二级结论,对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
    3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的,能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

    一、解结构

    1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

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    当y1(x)和y2(x)是线性无关的,y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意,两个函数只要不是倍数关系,就是线性无关的。
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    2、二阶非齐次方程的通解 Y + y*

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    证明比较简单,可见同济高数P333。
    可以看出,二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题:一是齐次方程的通解求法;二是非齐次方程的特解求法。其中,对常系数微分方程有通解公式,对一般的非齐次方程有常数变易求解方法,具体方法见同济高数P336,具体看是否有教学考核要求。

    二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

    一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的,但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法,给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程,直接套用公式。
    根据第一部分齐次方程的通解结构,只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了erx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

    1、特征根求解公式

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    在实际求解时可以套用公式,下面简要给出推导过程。

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    2、几个求解例子

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    3、变形问题:从特解反求微分方程

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    注意特解的构造性,利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质,目的是为了构造出erx的特解。

    三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

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    非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解,而利用特征根法已经解决了通解求解问题,下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法,其本质是构造法给出特解,其特点是不用积分就能求出,称为待定系数法。

    1、f(x) = eaxPm(x)型

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    2、f(x) = eax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

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    待定系数法的本质就是构造出了特解,只要确定系数就可以,所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。
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    如果对复数形式比较熟悉,可以更加简洁一点的过程。在这里插入图片描述
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  • 二阶常系数齐次线性微分方程 通解

    千次阅读 2020-12-23 06:38:50
    微分方程的实函数的通解为, y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)] = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)] 其中,c1,c2 是任意常数。 记 C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b, 有 y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)] ...

    满意答案

    yanweishizu

    2013.07.12

    采纳率:46%    等级:12

    已帮助:13567人

    y'' - 2y' + 5y = 0,

    设y = e^[f(x)],则

    y' = e^[f(x)]*f'(x),

    y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).

    0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],

    0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,

    当f(x) = ax + b, a,b是常数时。

    f''(x) = 0,

    f'(x) = a.

    0 = a^2 - 2a + 5.

    2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.

    a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)

    y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)

    因2个解都满足微分方程。所以,微分方程的实函数解为,

    y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]

    y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]

    微分方程的实函数的通解为,

    y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]

    = e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]

    其中,c1,c2 是任意常数。

    C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b,

    y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]

    C1,C2为任意常数。

    这个,可能就是特征方程无实数根时,通解的由来吧~~

    【俺记忆力很差,公式都记不住,全靠傻推。。

    这样的坏处是费时,好处是,自己推1遍,来龙去脉就清楚1些了。

    不知道,俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~~】

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    展开全文
  • 二阶线性微分方程

    万次阅读 2019-02-27 23:02:30
    二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义:二阶线性微分方程定义: 形如: y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y&amp;#x27;&amp;#x27; + P(x)y&amp;#x27; + Q(x)y = f(x)y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的方程称为...

    二阶线性微分方程

    一. 认识二阶线性微分方程
    1. 二 阶 线 性 微 分 方 程 定 义 : 二阶线性微分方程定义: 线
      形如: y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = f(x) y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的方程称为二阶线性微分方程
      f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0恒成立时,称该方程为二阶线性齐次方程;
      f ( x ) ≠ 0 f(x)\neq0 f(x)̸=0时,称该方程为二阶线性非齐次方程。

    2. 定 理 : 定理:
      若 y 1 , y 2 是 二 阶 线 性 齐 次 方 程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 解 , 则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ( c 1 , c 2 ∈ R ) 仍 是 它 的 解 。 若y_1,y_2是二阶线性齐次方程y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0 的解,则y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)仍是它的解。 y1y2线y+P(x)y+Q(x)y=0y=c1y1+c2y2c1,c2R)

    二. 二阶线性微分方程求解思路

    【 观 察 发 现 】 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ( c 1 , c 2 ∈ R ) 【观察发现】y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R) y=c1y1+c2y2c1,c2R) 在 形 式 上 存 在 两 个 常 数 , 符 合 高 阶 微 分 方 程 通 解 的 规 律 。 在形式上存在两个常数,符合高阶微分方程通解的规律。 ( 即 n 阶 微 分 方 程 的 通 解 中 存 在 n 个 常 数 ) (即n阶微分方程的通解中存在n个常数) nn
    【 提 出 问 题 ( 一 ) 】 【提出问题(一)】 ( 是 否 能 够 认 为 对 任 意 y 1 , y 2 , 存 在 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ( c 1 , c 2 ∈ R ) 为 是否能够认为对任意y_1,y_2,存在y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为 y1,y2y=c1y1+c2y2c1,c2R)y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0 的 通 解 ? 的通解? ?

    【 找 到 反 例 】 当 y 1 = x , y 2 = k x 满 足 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 时 , 【找到反例】 当y_1=x, y_2=kx 满足y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0 时, y1=x,y2=kxy+P(x)y+Q(x)y=0
    发 现 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c ( x + k x ) = c x 中 , 只 存 在 一 个 常 数 , 发现y=c_1y_1+c_2y_2=c(x+kx) = cx 中,只存在一个常数, y=c1y1+c2y2=c(x+kx)=cx
    不 再 符 合 高 阶 微 分 方 程 通 解 的 规 律 。 不再符合高阶微分方程通解的规律。
    ⟹ \Longrightarrow 对 任 意 y 1 , y 2 , 存 在 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ( c 1 , c 2 ∈ R ) 为 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 通 解 假 设 错 误 对任意y_1,y_2,存在y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的通解假设错误 y1,y2y=c1y1+c2y2c1,c2R)y+P(x)y+Q(x)y=0

    【 提 出 问 题 ( 二 ) 】 【提出问题(二)】 ( 当 y 1 , y 2 满 足 什 么 关 系 是 , 能 够 使 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ( c 1 , c 2 ∈ R ) 为 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 通 解 成 立 ? 当y_1,y_2满足什么关系是,能够使y=c_1y_1+c_2y_2(c_1,c_2 \in R)为y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的通解成立? y1,y2使y=c1y1+c2y2c1,c2R)y+P(x)y+Q(x)y=0

    1. 函 数 组 的 线 性 相 关 性 : 函数组的线性相关性: 线:
      设 有 函 数 组 y 1 , y 2 . . . . y n , ( 其 中 y 是 关 于 x 的 函 数 ) ∀ x ∈ I , 设有函数组y_1,y_2....y_n,(其中y是关于x的函数) \forall x\in I, y1,y2....yn,yxxI, 如 果 存 在 一 组 不 全 为 零 的 常 数 k 1 , k 2 . . . k n , 如果存在一组不全为零的常数k_1,k_2...k_n, k1,k2...kn, 使 得 k 1 y 1 + k 2 y 2 + . . . + k n y n = 0 , 使得k_1y_1+k_2y_2+...+k_ny_n=0 , 使k1y1+k2y2+...+knyn=0, 则 称 函 数 组 y 1 , y 2 . . . . y n 在 区 间 I 上 时 线 性 相 关 的 ; 则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性相关的; y1,y2....ynI线;
      如 果 只 有 当 k 1 = k 2 = . . . k n = 0 时 成 立 , 如果只有当k_1=k_2=...k_n=0时成立, k1=k2=...kn=0 则 称 函 数 组 y 1 , y 2 . . . . y n 在 区 间 I 上 时 线 性 无 关 的 。 则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性无关的。 y1,y2....ynI线

    【 观 察 发 现 】 当 y 1 , y 2 线 性 无 关 时 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 始 终 存 在 两 个 常 数 , 【观察发现】当y_1,y_2线性无关时y=c_1y_1+c_2y_2始终存在两个常数, y1,y2线y=c1y1+c2y2 满 足 高 阶 微 分 方 程 通 解 的 规 律 。 满足高阶微分方程通解的规律。

    【 提 出 问 题 ( 三 ) 】 如 何 找 到 二 阶 线 性 齐 次 方 程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 两 个 线 性 无 关 的 解 ? 【提出问题(三)】如何找到二阶线性齐次方程y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0 的两个线性无关的解? (线y+P(x)y+Q(x)y=0线

    1. 线 性 无 关 的 判 定 方 法 : 线性无关的判定方法: 线
      ( 1 ) y 1 , y 2 是 一 个 函 数 组 , 若 存 在 k ∈ R , 满 足 y 1 = k y 2 , (1) y_1,y_2是一个函数组,若存在k \in R,满足y_1=ky_2, (1)y1,y2kRy1=ky2,
      则 y 1 , y 2 线 性 相 关 , 否 则 线 性 无 关 。 则y_1,y_2线性相关,否则线性无关。 y1,y2线线
      ( 2 ) y 1 , y 2 . . . . y n 是 一 个 函 数 组 , 若 存 在 I = 1 , 2... n , y i = 0 , (2) y_1,y_2....y_n是一个函数组,若存在I=1,2...n,y_i=0, (2)y1,y2....ynI=12...n,yi=0, 则 函 数 组 y 1 , y 2 . . . . y n 线 性 相 关 。 则函数组y_1,y_2....y_n线性相关。 y1,y2....yn线
      ( 3 ) 函 数 组 : 部 分 相 关 → 整 体 相 关 (3)函数组:部分相关\rightarrow 整体相关 (3) ; 整 体 不 相 关 → 部 分 不 相 关 整体不相关\rightarrow 部分不相关 .

    【 提 出 问 题 ( 四 ) 】 若 已 知 二 阶 线 性 齐 次 方 程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 一 个 解 , 能 否 找 到 与 其 线 性 无 关 的 另 一 个 解 ? 【提出问题(四)】若已知二阶线性齐次方程y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的一个解,能否找到与其线性无关的另一个解? (线y+P(x)y+Q(x)y=0线

    (使用与推导一阶线性非齐次方程相似的常数变易法进行求解)

    假 设 : y 1 是 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 一 个 解 , 假设 :y_1 是y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的一个解, :y1y+P(x)y+Q(x)y=0
                y 2 = C ( x ) y 1 为 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 另 一 个 解 y_2=C_{(x)}y_1为y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的另一个解 y2=C(x)y1y+P(x)y+Q(x)y=0(在求证过程中,始终认为C是关于x的函数
    ⇒ \Rightarrow       y 2 ′ = C ′ y 1 + C y 1 ′ y_2&#x27;=C&#x27;y_1+Cy_1&#x27; y2=Cy1+Cy1
                y 2 ′ ′ = C ′ ′ y 1 + 2 C ′ y ′ + C y ′ ′ y_2&#x27;&#x27;=C&#x27;&#x27;y_1+2C&#x27;y&#x27;+Cy&#x27;&#x27; y2=Cy1+2Cy+Cy     代 入 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 代入y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0 y+P(x)y+Q(x)y=0
    ⇒ \Rightarrow       C ′ ′ y 1 + [ 2 y ′ + P ( x ) y ] C ′ = 0 C&#x27;&#x27;y_1+[ 2y&#x27; + P(x)y ]C&#x27;=0 Cy1+[2y+P(x)y]C=0
                令 u = C ′ , 令u= C&#x27; , u=C,         u ′ = C ′ ′ u&#x27;=C&#x27;&#x27; u=C

    ⇒ \Rightarrow       u ′ y 1 + [ 2 y ′ + P ( x ) y ] u = 0 u&#x27;y_1+[ 2y&#x27; + P(x)y ]u=0 uy1+[2y+P(x)y]u=0             ( 分 离 变 量 ) (分离变量) ()

    ⇒ \Rightarrow       ∫ 1 u d u = − ∫ 2 y 1 + P ( x ) y 1 y 1 d x \int \frac{1}{u}du = -\int \frac{2y_1+P(x)y_1}{y_1}dx u1du=y12y1+P(x)y1dx

                l n u = l n 1 y 1 2 − ∫ P ( x ) d x + l n C 1 lnu=ln\frac{1}{y_1^2}-\int P(x)dx +lnC_1 lnu=lny121P(x)dx+lnC1

    又 ∵ 只 需 求 得 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 一 个 与 y 1 线 性 无 关 的 特 解 , 又\because 只需求得y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的一个与y_1线性无关的特解, y+P(x)y+Q(x)y=0y1线                   可 以 令 C 1 = 1 可以令C_1=1 C1=1

    ⇒ \Rightarrow       u = 1 y 1 2 e − ∫ P ( x ) d x u=\frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx } u=y121eP(x)dx

    ⇒ \Rightarrow       C = ∫ 1 y 1 2 e − ∫ P ( x ) d x d x + C 2 C=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx+C2 C=y121eP(x)dxdx+C2

                 令 C 2 = 0 令C_2=0 C2=0

    ⇒ \Rightarrow       y 1 y 2 = ∫ 1 y 1 2 e − ∫ P ( x ) d x d x \frac{y_1}{y_2}=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx y2y1=y121eP(x)dxdx

        ∴ \therefore     y 2 = y 1 ∫ 1 y 1 2 e − ∫ P ( x ) d x d x y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx y2=y1y121eP(x)dxdx

    1. 【刘维尔公式】
      若 y 1 是 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 的 一 个 解 , 若y_1 是y&#x27;&#x27; + P(x)y&#x27; + Q(x)y = 0的一个解, y1y+P(x)y+Q(x)y=0 则 方 程 另 一 个 与 y 1 线 性 无 关 的 特 解 : 则方程另一个与y_1线性无关的特解: y1线:
      y 2 = y 1 ∫ 1 y 1 2 e − ∫ P ( x ) d x d x y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int P(x)dx} dx y2=y1y121eP(x)dxdx
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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    千次阅读 2020-12-23 06:36:46
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    千次阅读 2021-01-16 16:10:17
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    7—8常系数非齐次线性微分方程求法(真的很简单!)
  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 20:38:43
    二阶常系数齐次线性微分方程的通解 ...由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y1、y2,若y1y2≠Cy1y2≠C(即两个解之比不为常数),则y1、y2y1、y2线性无关,那么微分方程的通解为: y=C1y1...
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    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 22:37:35
    *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常系数非线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:ay′′+by′+cy=f(x)ay″+by′+cy=f(x)...二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二...
  • (光看一遍书很快就又忘了,在此记录一下) y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 ...第三步:根据特征方程的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程通解: 特征方程r2+pr+q=0r^2+pr+q=...
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    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
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    千次阅读 2021-09-19 14:11:00
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二阶线性微分方程的通解公式