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  • 导言如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个...

    导言

    如果你是一名数学工作者,在研究二阶线性微分方程的通解,你首先写出了二阶线性微分方程的一般形式:

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    如果你熟悉物理里的阻尼振动与受迫振动,或许你会很快想到特征方程或者复数法,但是,物理里的方程仅仅是这个一般的方程中其中 p(x), q(x) 及 f(x)都是取到某些特殊的值情况下的方程,把这些方法应用到解一般的情况下会遇到困难,下文我将以求解这个方程的通解为主线,探讨整体的理论架构。

    整体的概览

    对于原二阶线性非齐次微分方程,其对应的二阶线性齐次微分方程是:

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    我们有以下结论:

    二阶线性非齐次的微分方程的通解等于其一个特解与相应的二阶线性齐次的微分方程的通解之和。

    即有如下定理:

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    在该定理的基础上,现在我们的问题归结于以下几个问题:

    1.非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    2.齐次方程的通解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    我们先来讨论第二个问题。

    齐次方程的通解的求解

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    对于齐次方程很容易验证下面的结论定理若是齐次方程的解其中是任意常数,则与的线性组合也是齐次方程的解

    假设齐次方程的通解是存在的(注意现在是假设,其证明我们会在后面会有定理给出)

    那么其通解一定可以表示为

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    那么这里引入了线性无关解的的概念,关于这个概念,你可以这样理解:我们把具有具有一种特殊的关系的两个解称为线性相关的,反之则称为线性无关的。(其真正的定义你可以去看附录),为了不打断我们的思路,正文中我们先不提这些概念。

    那么是否一定会存在这样的一组线性无关解呢?

    17d2ce8f598110a14c4fb66d08ab990f.png

    既然这样,假如我们获得了两个解,我们如何判断这两个解是否是线性无关解呢?

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    那么为了讨论两个解是否是线性无关解我们又引入了Wronski行列式的概念,为了方便讨论,我们简要介绍一下该概念。

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    Wronski行列式有一个很独特的性质:

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    Wronski行列式对于判断两个函数是否是线性相关有很大的价值。

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    这里的两条定理给出了判断两个函数是否线性相关的方法。

    事实上,

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    现在我们已经证明了齐次方程的通解的存在性,但是我们不知道如何确切的找到这个解,对此我们有以下的结论:

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    至于找一个解的方法,用得最多的是观察法。

    非齐次方程的通解的求解

    在齐次方程通解已经解出的情况下,我们的问题落到第一个问题:非齐次方程的特解存在吗?如果存在的话我们该怎样找到它?

    当然是存在的,因为我们可以找到它。

    那么如何找到它呢?

    首先还是观察法

    第二在已知齐次方程的通解的情况下,我们可以得到这个特解

    0ffc28569967f454cf7455313a2c63c8.png

    最后的一个问题

    我们来检查一下我们目前已有的结论,非齐次方程的一个特解与齐次方程的一个通解之和就是非齐次方程的通解,而非齐次方程的一个特解可以由齐次方程的通解得到,齐次方程的通解需要两个线性无关解,而一个解可以用另一个解导出,所以我们的问题在于找到齐次方程的一个特解。

    有如下的结论:

    3007f83afcbdd39c979f7455406be5b7.png

    至此,所有的问题被全部解决。

    附录

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    读者如果希求本文中定理的证明,可以参考有关的论著(如《数学分析教程》(中国科学技术大学出版社))

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  • 二阶线性微分方程的基本概念二阶线性微分方程:齐次与非齐次方程:当时,称为齐次方程,否则称为非齐次方程.2. 齐次方程的叠加原理若函数是二阶线性齐次方程的两个,则也是该方程的.3. 线性相关与线性无关的定义...

    12.8二阶线性微分方程及其解的结构

    1. 二阶线性微分方程的基本概念

    二阶线性微分方程:

    齐次与非齐次方程:

    时,称为齐次方程,否则称为非齐次方程.

    2. 齐次方程的解叠加原理

    若函数是二阶线性齐次方程的两个解,则也是该方程的解.

    3. 线性相关与线性无关的定义

    是定义在区间上的个函数, 若存在不全为的常数使得则称这个函数在上线性相关,否则称为线性无关.

    4. 二阶齐次方程解的结构

    是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则 (为任意常数)是该方程的通解.

    5. 例题

    1.证明:

    (1) 函数组内是线性相关的;

    (2) 函数组在任何区间都线性无关.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.2例题1

    2.验证都是方程的解,并写出该方程的通解.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.3例题2

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    6. 二阶非齐次线性方程解的结构

    是二阶非齐次方程的一个特解,是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.

    7. 例题

    已知微分方程有三个解求此方程满足初始条件的特解.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.5例题1

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    8. 非齐次方程的解叠加原理

    定理 设分别是方程 的特解, 则是方程的特解.

    例题答案

    例5答案

    1.略.

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.2例题1

    2.方程的通解为

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.3例题2

    例7答案

    所求特解为

    课堂索引:12.8二阶线性微分方程及其解的结构
    12.8.5例题1

    点击进入第十二章讲解

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  • 所以齐次方程通解是62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431376633:y=ae^(3x)+be^(-x)。只需求其特解y*。根据右边4e^x,可设y*=ke^x,代入左边得:ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。解得k=-1。特征根方程r^2+...

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    解:齐次方程y''-2y'-3y=0的特征方程是λ-2λ-3=0,解得:

    λ1=3,λ2=-1。

    所以齐次方程得通解是62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431376633:y=ae^(3x)+be^(-x)。

    只需求其特解y*。

    根据右边4e^x,可设y*=ke^x,代入左边得:ke^x-2ke^x-3ke^x=4e^x。

    解得k=-1。

    特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)。

    然后找特解待定系数,因为右端项为x^2猜测:

    x^2-2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2-2a=12a-2b=02a+b-2c=0a=-1/2。

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    扩展资料:

    微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。

    常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

    若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。

    偏微分方程常见的问题以边界值问题为主,不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

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  • 微分方程与特征方程当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:若为两个相同重根:若为共轭虚根:但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料...

    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。微分方程与特征方程

    当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:

    若为两个相同重根:

    若为共轭虚根:

    但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料才得知。

    对于齐次线性微分方程,形如下面:

    线性微分方程的解有无数个,但是它解的结构有点类似线性方程组,在无数个解当中有一组线性无关的解,找出他们就可以表示其他所有解。可是,怎么判断方程有几个线性无关的特解呢?这时候就需要特征方程来辅助了。特征方程中P(x)可看作一个常数

    这种微分方程的解具有什么样的结构,取决于它的系数函数P(x)和阶数。我们设计一个一元 n次方程,未知数最高次数对应微分方程的最高阶数,把微分方程的系数函数作为一元n次方程未知数的系数,这样,一元n次方程有几个解就能说明微分方程有几个线性无关特解。

    根据代数基本定理,复系数一元n(n>=1)次多项式在复数域至少有一个根,重根按重复次数计算(只有一个根说明有n个相同重根)。这就注定了特征方程一定有n个解,对应的n阶微分方程就有必n个线性无关特解。

    什么叫线性无关呢?按照我个人的理解,对于两个量来说,它们两个相除后,得数不是常数(成比例)就无关,对于多个量来说就是不能相互表示。

    打一个不太恰当的比方,七个葫芦娃个个本事都不一样,谁也无法替代谁,就算前六个葫芦娃联手也无法替代老七宝葫芦的重要作用。但是他们合体成葫芦小金刚就不一样了,如果把小金刚算作第八个葫芦娃,那么他们八个就线性相关了,因为小金刚会的技能无非就是前七个技能的组合,并没有多出来新技能,前七个葫芦娃就算不合体,相互配合打团战,也是可以打出小金刚一个人的作战效果的。总之,用数学化语言讲,葫芦小金刚是七个葫芦娃的线性表示(单从技能组合上来看)。

    在一组函数中,如果每一个函数都无法被其他函数表示,那么这一组就线性无关。线性无关

    那么对于二阶常系数齐次线性微分方程就更简单了。

    我们只需要找到两个无关的特解就可以线性表示所有的解。我观察后突然发现,二阶导、一阶导和原函数之间就差了个常数p和q,那得有一个函数求导后之和原来相差一个常数。学过的初等函数中只有自然函数e做底数的指数函数和常数函数。

    我们把候选函数代进方程里:结果就是特征方程

    所以λ取什么值完全要看特征方程的眼色,如果是两个不同实根,那两个无关特解就可以这样设:

    如果是两个相同重根,这样设:

    将y2代入微分方程后:

    若是两个共轭虚根:

    根据欧拉公式:

    可以将它变换:

    线性微分方程的解的结构和线性方程组类似,可进行类比。

    以前我学习微分方程都是直接背公式的,也不知道它是怎么来的,心里一直因为这个阴云不散,不管是做相关的题目还是解决力学上的微分方程,总是提笔忘式,我下定决心要弄清楚。我觉得,对一个知识一定要立体的,多方位的学习才能牢牢掌握。如果不是去探究微分方程通解的数学原理我可能都不知道欧拉公式能这么用,并且我也在探究的过程中享受到了“朝闻道夕死可矣”的快乐。

    下笔要想有神,必须要对自己的知识清清楚楚。

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二阶线性微分方程的通解公式