第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下：

学习要点

1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

一、解结构

1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。

2、二阶非齐次方程的通解 Y + y^*

证明比较简单，可见同济高数P333。
可以看出，二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题：一是齐次方程的通解求法；二是非齐次方程的特解求法。其中，对常系数微分方程有通解公式，对一般的非齐次方程有常数变易求解方法，具体方法见同济高数P336，具体看是否有教学考核要求。

二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的，但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法，给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程，直接套用公式。
根据第一部分齐次方程的通解结构，只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了e^rx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

1、特征根求解公式

在实际求解时可以套用公式，下面简要给出推导过程。

2、几个求解例子

3、变形问题：从特解反求微分方程

注意特解的构造性，利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质，目的是为了构造出e^rx的特解。

三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解，而利用特征根法已经解决了通解求解问题，下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法，其本质是构造法给出特解，其特点是不用积分就能求出，称为待定系数法。

1、f(x) = e^axPm(x)型

2、f(x) = e^ax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

待定系数法的本质就是构造出了特解，只要确定系数就可以，所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。

如果对复数形式比较熟悉，可以更加简洁一点的过程。

二阶线性微分方程

一. 认识二阶线性微分方程

1. $二阶线性微分方程定义：$
   形如： $y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$的方程称为二阶线性微分方程
   当 $f(x)=0$恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
   当 $f(x)̸=0$时，称该方程为二阶线性非齐次方程。

2. $定理：$
   $若y_1，y_2是二阶线性齐次方程y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的解，则y=c_1{y}_1+c_2{y}_2（c_1,c_2\in R)仍是它的解。$

二. 二阶线性微分方程求解思路

$【观察发现】y=c_1{y}_1+c_2{y}_2（c_1,c_2\in R)$ $在形式上存在两个常数，符合高阶微分方程通解的规律。$ $（即n阶微分方程的通解中存在n个常数）$
$【提出问题(一）】$$是否能够认为对任意y_1,y_2，存在y=c_1{y}_1+c_2{y}_2（c_1,c_2\in R)为$y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0$的通解?$

$【找到反例】当y_1=x,y_2=kx满足y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0时，$
$发现y=c_1{y}_1+c_2{y}_2=c(x+kx)=cx中，只存在一个常数，$
$不再符合高阶微分方程通解的规律。$
$⟹$ $对任意y_1,y_2，存在y=c_1{y}_1+c_2{y}_2（c_1,c_2\in R)为y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的通解假设错误$

$【提出问题(二）】$ $当y_1,y_2满足什么关系是，能够使y=c_1{y}_1+c_2{y}_2（c_1,c_2\in R)为y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的通解成立？$

3. $函数组的线性相关性:$
   $设有函数组y_1,y_2....y_n,（其中y是关于x的函数）\forall x\in I,$$如果存在一组不全为零的常数k_1,k_2...k_n,$$使得k_1{y}_1+k_2{y}_2+...+k_n{y}_n=0,$ $则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性相关的;$
   $如果只有当k_1=k_2=...k_n=0时成立，$$则称函数组y_1,y_2....y_n在区间I上时线性无关的。$

$【观察发现】当y_1,y_2线性无关时y=c_1{y}_1+c_2{y}_2始终存在两个常数，$$满足高阶微分方程通解的规律。$

$【提出问题(三）】如何找到二阶线性齐次方程y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的两个线性无关的解？$

4. $线性无关的判定方法：$
   $(1)y_1,y_2是一个函数组，若存在k\in R，满足y_1=k{y}_2,$
   $则y_1,y_2线性相关，否则线性无关。$
   $(2)y_1,y_2....y_n是一个函数组，若存在I=1，2...n,y_i=0,$ $则函数组y_1,y_2....y_n线性相关。$
   $(3)函数组：部分相关\to 整体相关$ ; $整体不相关\to 部分不相关$.

$【提出问题(四）】若已知二阶线性齐次方程y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的一个解，能否找到与其线性无关的另一个解？$

（使用与推导一阶线性非齐次方程相似的常数变易法进行求解）

$假设:y_1是y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的一个解，$
            $y_2=C_{(x)}{y}_1为y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的另一个解$(在求证过程中，始终认为C是关于x的函数
$\Rightarrow$       $y_2^{\prime }=C^{\prime }{y}_1+C{y}_1^{\prime }$
            $y_2^{\prime \prime }=C^{\prime \prime }{y}_1+2C^{\prime }{y}^{\prime }+C{y}^{\prime \prime }$     $代入y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$
$\Rightarrow$       $C^{\prime \prime }{y}_1+[2y^{\prime }+P(x)y]C^{\prime }=0$
           $令u=C^{\prime },$         $u^{\prime }=C^{\prime \prime }$

$\Rightarrow$       $u^{\prime }{y}_1+[2y^{\prime }+P(x)y]u=0$             $(分离变量)$

$\Rightarrow$       $\int \frac{1}{u}du=-\int \frac{2y_1+P(x)y_1}{y_1}dx$

           $lnu=ln\frac{1}{y_1^2}-\int P(x)dx+ln{C}_1$

$又\because 只需求得y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的一个与y_1线性无关的特解，$                  $可以令C_1=1$

$\Rightarrow$       $u=\frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}$

$\Rightarrow$       $C=\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}dx+C2$

             $令C_2=0$

$\Rightarrow$      $\frac{y_1}{y_2}=\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}dx$

   $\therefore$     $y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}dx$

5. 【刘维尔公式】
   $若y_1是y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0的一个解，$ $则方程另一个与y_1线性无关的特解:$
   $$y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int P(x)dx}dx$$