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  • 二阶线性微分方程边值问题的MATLAB求解
    2021-04-25 14:29:54

    2012 年 3 月第 26 卷 第 1 期 阴 山 学 刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar. 2012 Vo1. 26 No. 1 二阶线性微分方程边值问题的 MATLAB 求解* 云 文 在 ( 包头师范学院 数学科学学院,内蒙古 包头 014030) 摘 要: 本文给出二阶线性微分方程边值问题数值算法的 MATLAB 实现,并举例进行了求解仿真及与解 析解的精度比较。 关键词: 边值问题; 初值问题; MATLAB 中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:1004 -1869( 2012) 01 -0023 -02 微分方程数值解中,侧重研究初值问题,即已知 x0 对其他时刻状态变量值进行求解的方法。在实际问题中,经常会遇到这样的问题: 已知部分状态在t = 0时刻的值,还知道部分状态在时刻t0 = tf 的值,这类问题即所谓边值问题。而在 MATLAB 语言中边值问题也是 ode45( ) 类函数无法直接求解的一类问题。本文采用将边值问题转化为初值问题的方法,给出二阶线性微分方程的边值问题的计算机求解。 1 边值问题的数学描述 二阶线性微分方程的边值问题的数学描述: ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) ( 1) 其中 p( x) 、q( x) 和 f( x) 均为给定函数。假设在区间[a,b]上研究该方程的解,且已知在这两个边界点 上满足边界条件 y( a) = γa,y( b) = γb ( 2) 2 数值求解方法 由于不能直接获得在初始时刻的各个变量的值,因此求解初值问题的通常算法在解边值问题时是不能直接使用的。边值问题数值解法的基本思想是找出能够满足式( 2) 边值的相应初值 y( 0) 和  y( 0) ,然后再利用初值问题算法来求解这一初值问题。该算法也称为打靶算法( shooting method) 。 算法步骤: 求出下面方程初值问题的数值解 y1( b) ¨ y1( x) + p( x)  y1( x) + q( x) y1( x) = 0, y1( a) = 1, y1( a) = 0 求出下面方程初值问题的数值解 y2( b) ¨ y2( x) + p( x)  y2( x) + q( x) y2( x) = 0, y2( a) = 0, y2( a) = 1 求出下面方程初值问题的数值解 yp( b) ¨ yp( x) + p( x)  yp( x) + q( x) yp( x) = 0, yp( a) = 0, yp( a) = 1 若 y2( b) ≠ 0,则计算 m = γb - γay1( b) - yp( b) y2( b) 求出下面方程初值问题的数值解,则 y( x) 即为原边值问题的数值解 ¨ y( x) + p( x)  y( x) + q( x) y( x) = f( x) , y( a) = γa, y( a) = m 3 上面算法的 MATLAB 实现 求解时应该首先得出对应的一阶微分方程组模型,即设x1 = y,x2 =  y,则得出式( 1) 对应的方程组为:  x1 = x2  x2 = - q( x) x1 - p( x) x2 + f( x{ ) 则上面算法的 MATLAB 实现为 Function [t,y] = shooting( f1,f2,tspan,x0f,varargin) 32 * 收稿日期:2011 -11 -04 基金项目: 内蒙古自治区自然科学基金项

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    第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

    二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x),是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时,称为齐次的,否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度,利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下:
    在这里插入图片描述

    学习要点

    1、和一阶微分方程对应,掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
    2、牢记二级结论,对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
    3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的,能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

    一、解结构

    1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

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    当y1(x)和y2(x)是线性无关的,y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意,两个函数只要不是倍数关系,就是线性无关的。
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    2、二阶非齐次方程的通解 Y + y*

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    证明比较简单,可见同济高数P333。
    可以看出,二阶线性微分方程的求解问题转化为两个问题:一是齐次方程的通解求法;二是非齐次方程的特解求法。其中,对常系数微分方程有通解公式,对一般的非齐次方程有常数变易求解方法,具体方法见同济高数P336,具体看是否有教学考核要求。

    二、常系数齐次线性微分方程通解的特征根解法

    一般的变系数齐次微分方程的通解是难以求出的,但对于常系数齐次微分方程 y’’ + py’ +qy =0 ,可以采用特征根方法,给出通解形式。实际计算中可以绕过推导过程,直接套用公式。
    根据第一部分齐次方程的通解结构,只要找到两个线性无关的解y1(x)和y2(x),就可以根据 C1y1(x)+C2y2(x)写出通解。因此关键是构造出两个这样的解。采用了erx进行构造。这种构造方法称为特征根方法 。

    1、特征根求解公式

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    在实际求解时可以套用公式,下面简要给出推导过程。

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    2、几个求解例子

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    3、变形问题:从特解反求微分方程

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    注意特解的构造性,利用了齐次方程特解线性组合也是特解的性质,目的是为了构造出erx的特解。

    三、常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法

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    非齐次方程的解结构为 齐次方程通解加上非齐次的一个特解,而利用特征根法已经解决了通解求解问题,下面将针对几种特殊的f(x)给出特解求解方法,其本质是构造法给出特解,其特点是不用积分就能求出,称为待定系数法。

    1、f(x) = eaxPm(x)型

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    2、f(x) = eax[Pl(x) coswx + Qn(x) sinwx]型

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    待定系数法的本质就是构造出了特解,只要确定系数就可以,所以牢记二级结论的公式定理很重要。举几个例子加强理解。
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    如果对复数形式比较熟悉,可以更加简洁一点的过程。在这里插入图片描述
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  • 二阶线性微分方程理论解法.ppt
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  • 一阶二阶常系数微分方程的形式以及通解的解法

    最近各学科上都要用到微分方程的知识,发现自己微分方程差不多忘光了,而且由于书没有带回家,所以就想写个博客留着自己复习用。

    先说一阶常微分方程:

    有以下几种:

    1.可分离变量型微分方程

    2.一阶齐次线性微分方程

    3.一阶非齐次线性微分方程

    4.伯努利方程

    他们彼此之间的联系是比较明显的,且看我对他们解法的总结。

    可分离变量型微分方程:

    一阶齐次线性微分方程(本质上是可分离变量的微分方程)

    一阶非齐次线性微分方程 

    这里需要用到所谓的常数变易法:即是把一阶非齐次线性微分方程右边不为0的项变为0,这样就可以按一阶齐次线性微分方程解得此时的y,再把y的表达式中的任意常数变为关于x的方程(c(x)),再将此时y的表达式代回微分方程,反求出关于x的方程(c(x));

    伯努利方程

     接下来是高阶微分方程:

    其实也就是可降阶微分方程和二阶微分方程;

    可降阶微分方程:

     二阶微分方程分为:

    二阶常系数齐次线性微分方程;

    二阶常系数非齐次线性微分方程;

     关于证明可以看看b站上的这篇:二阶常系数齐次线性微分方程通解 - 哔哩哔哩 (bilibili.com)icon-default.png?t=M276https://www.bilibili.com/read/cv2769623讲的挺清楚的,而且有很惊喜的比喻。

     

     那么,关于微分方程的通解就到此告一段落了。

    第一次写博客,希望自己能坚持下去,我觉得写博客是一种很好的学习方式,写一篇博客没有想象中那么容易的。

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  • 数学二阶线性微分方程理论及解法PPT学习教案.pptx
  • 利用两类Riccati方程z′=z2 - a(x)z+ b( x)的求解公式,给出了两类二阶线性微分方程的通解,应用这些只与方程系数a(x)与b( x)相关的求解公式,求通解过程十分简捷.
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    一、线性微分方程的解的结构

    1.1 二阶齐次线性方程

    y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1) y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y+P(x)y+Q(x)y=0(1)

    定理1:如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程(1)的两个解,那么
    y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)
    也是方程(1)的解,其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。

    解(2)从形式上看含有 C 1 C_1 C1 C 2 C_2 C2两个任意常数,但它不一定是方程(1)的通解。那么在什么情况下(2)式才是方程(1)的通解呢?要解决这个问题,还得引入新概念,即函数组的线性相关与线性无关。

    y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,,kn,使得当 x ∈ I x\in I xI时有恒等式
    k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n = 0 k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2++knyn=0
    成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则线性无关。

    应用上述概念可知,对于两个函数的情形,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数;如果比为常数,那么它们就线性相关;否则就线性无关。

    定理2:如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,那么
    y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)
    就是方程(1)的通解, C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。

    推论:如果 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅ ⋅ ⋅ , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),yn(x)是n阶齐次线性方程
    y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n ( x ) y = 0 y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+···+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 y(n)+a1(x)y(n1)++an1(x)y+an(x)y=0
    的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为
    y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C n y n ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+···+C_ny_n(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)++Cnyn(x)
    其中 C 1 , C 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , C n C_1,C_2,···,C_n C1,C2,,Cn为任意常数。

    1.2 二阶非齐次线性方程

    一阶非齐次线性微分方程 的通解由两部分构成:一部分是对应的齐次方程的通解,另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上,不仅一阶非齐次线性方程的通解具有这样的结构,而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。

    定理3:设 y ∗ ( x ) y^*(x) y(x)是二阶非齐次线性方程
    y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) (3) y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x) \tag{3} y+P(x)y+Q(x)y=f(x)(3)
    的一个特解。 Y ( x ) Y(x) Y(x)是与(3)对应的齐次方程(1)的通解,则
    y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y(x)
    是二阶非齐次线性方程(3)的通解。

    由于对应的齐次方程(1)的通解 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C_1y_1+C_2y_2 Y=C1y1+C2y2中含有两个任意常数,所以 y = Y + y ∗ y=Y+y^* y=Y+y中也含有两个任意常数,从而它就是二阶非齐次线性方程(3)的通解。

    定理4:设非齐次线性方程(3)的右端 f ( x ) f(x) f(x)是两个函数之和,即
    y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x) y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
    y 1 ∗ ( x ) y_1^*(x) y1(x) y 2 ∗ ( x ) y_2^*(x) y2(x)分别是方程
    y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 1 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x) y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)

    y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f 2 ( x ) y''+P(x)y'+Q(x)y=f_2(x) y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)
    的特解,则 y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1(x)+y2(x)就是原方程的特解。

    这已订立通常称为线性微分方程的解的叠加原理

    定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程。

    二、 常数变易法

    为解一阶非齐次线性方程,我们用了常数变易法。这方法的特点是:如果 C y 1 ( x ) Cy_1(x) Cy1(x)是齐次线性方程的通解,那么,可以利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x)(这变换是把齐次方程的通解中的任意常数C换成未知函数 u ( x ) u(x) u(x)而得到的)去解非齐次线性方程。这一方法也适用于解高阶线性方程。下面就二阶线性方程来作讨论。

    2.1 已知齐次方程的两个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)

    如果已知齐次方程(1)的通解为
    Y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) Y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
    那么,可以用如下的常数变易法去求非齐次方程(3)的通解。令
    y = y 1 ( x ) v 1 + y 2 ( x ) v 2 (4) y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2 \tag{4} y=y1(x)v1+y2(x)v2(4)
    要确定未知函数 v 1 ( x ) v_1(x) v1(x) v 2 ( x ) v_2(x) v2(x)使(4)式所表示的函数满足非齐次方程(3)。为此对(4)式求导,得
    y ′ = y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ + y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1v_1'+y_2v_2'+y_1'v_1+y_2'v_2 y=y1v1+y2v2+y1v1+y2v2
    由于两个未知函数 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2只需使(4)式所表示的函数满足一个关系式(3),所以可规定它们再满足一个关系式。从 y ′ y' y的上述表示可看出,为了使 y ′ ′ y'' y的表示式中不含 v 1 ′ ′ v_1'' v1 v 2 ′ ′ v_2'' v2,可设
    y 1 v 1 ′ + y 2 v 2 ′ = 0 (5) y_1v_1'+y_2v_2'=0 \tag{5} y1v1+y2v2=0(5)
    从而
    y ′ = y 1 ′ v 1 + y 2 ′ v 2 y'=y_1'v_1+y_2'v_2 y=y1v1+y2v2
    再求导,得
    y ′ ′ = y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + y 1 ′ ′ v 1 + y 2 ′ ′ v 2 y''=y_1'v_1'+y_2'v_2'+y_1''v_1+y_2''v_2 y=y1v1+y2v2+y1v1+y2v2
    y , y ′ , y ′ ′ y,y',y'' y,y,y代入方程(3),化简得
    y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) v 1 + ( y 2 ′ ′ + P y 2 ′ + Q y 2 ) v 2 = f y'_1v'_1+y_2'v'_2+(y_1''+Py_1'+Qy_1)v_1+(y_2''+Py_2'+Qy_2)v_2=f y1v1+y2v2+(y1+Py1+Qy1)v1+(y2+Py2+Qy2)v2=f
    注意到 y 1 y_1 y1 y 2 y_2 y2是齐次方程(1)的解,故上式即为
    y 1 ′ v 1 ′ + y 2 ′ v 2 ′ = f (6) y_1'v_1'+y_2'v_2'=f \tag{6} y1v1+y2v2=f(6)
    联立方程(5)与(6),在系数行列式
    W = ∣ y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ ∣ = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ≠ 0 W =\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =y_1y_2'-y_1'y_2 \neq 0 W=y1y1y2y2=y1y2y1y2=0
    时,可解得
    v 1 ′ = − y 2 f W ,   v 2 ′ = y 1 f W v_1'=-\frac{y_2 f}{W},\, v_2'=\frac{y_1f}{W} v1=Wy2f,v2=Wy1f
    对上两式积分(假定 f ( x ) f(x) f(x)连续),得
    v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x ,   v 2 = C 2 + ∫ y 1 f W d x v_1=C_1+\int(-\frac{y_2f}{W})dx,\, v_2=C_2+\int\frac{y_1f}{W}dx v1=C1+(Wy2f)dx,v2=C2+Wy1fdx
    于是得非齐次方程(3)的通解为
    y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x y=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}dx+y_2\int\frac{y_1f}{W}dx y=C1y1+C2y2y1Wy2fdx+y2Wy1fdx

    2.2 已知齐次方程的一个解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)

    如果只知齐次方程(1)的一个不恒为零的解 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x),那么,利用变换 y = u y 1 ( x ) y=uy_1(x) y=uy1(x),可把非齐次方程(3)化为一阶线性方程。

    事实上,把
    y = y 1 u ,   y ′ = y 1 u ′ + u 1 ′ u ,   y ′ ′ = y 1 u ′ ′ + 2 y 1 ′ u ′ + y 1 ′ ′ u y=y_1u,\,y'=y_1u'+u_1'u,\, y''=y_1u''+2y_1'u'+y_1''u y=y1u,y=y1u+u1u,y=y1u+2y1u+y1u
    代入方程(3),化简得
    y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) u ′ + ( y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 ) u = f y_1u''+(2y_1'+Py_1)u'+(y_1''+Py_1'+Qy_1)u=f y1u+(2y1+Py1)u+(y1+Py1+Qy1)u=f
    由于 y 1 ′ ′ + P y 1 ′ + Q y 1 = 0 y_1''+Py_1'+Qy_1=0 y1+Py1+Qy1=0,故上式为
    y 1 u ′ ′ + ( 2 y 1 ′ ′ + P y 1 ) u ′ = f y_1u''+(2y_1''+Py_1)u'=f y1u+(2y1+Py1)u=f
    u ′ = z u'=z u=z,上式即化为一阶线性方程
    y 1 z ′ + ( 2 y 1 ′ + P y 1 ) z = f (7) y_1z'+(2y_1'+Py_1)z=f \tag{7} y1z+(2y1+Py1)z=f(7)
    把方程(3)化为方程(7)以后,按一阶线性方程的解法,设求得方程(7)的通解为
    z = C 2 Z ( x ) + z ∗ ( x ) z=C_2Z(x)+z^*(x) z=C2Z(x)+z(x)
    积分得 u = C 1 + C 2 U ( x ) + u ∗ ( x ) u=C_1+C_2U(x)+u^*(x) u=C1+C2U(x)+u(x)(其中 U ′ ( x ) = Z ( x ) , u ∗ ’ ( x ) = z ∗ ( x ) U'(x)=Z(x),u^{*}{’}(x)=z^*(x) U(x)=Z(x),u(x)=z(x)),

    上式两端乘 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x),便得方程(3)的通解
    y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 U ( x ) y 1 ( x ) + u ∗ ( x ) y 1 ( x ) y=C_1y_1(x)+C_2U(x)y_1(x)+u^*(x)y_1(x) y=C1y1(x)+C2U(x)y1(x)+u(x)y1(x)
    上式方法显然也适用于求齐次方程(1)的通解。

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