精华内容
下载资源
问答
  • 常微分方程这部分内容,每年都会考察,也会和其它知识点结合在一起出一个大题,分数一般在4分左右,难度不是很大。...(1)二阶线性微分方程(2)二阶常系数线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线性微分方程(4)高于二阶的...

    常微分方程这部分内容,每年都会考察,也会和其它知识点结合在一起出一个大题,分数一般在4分左右,难度不是很大。除了各种微分方程的求解,对常系数线性微分方程解的结构和性质的考查也是考试的一个重要方面。下面总结一下一些二阶及高阶微分方程的种类及其解法,希望对正在备考2020年考研和即将备考同学们有些帮助。

    (1)二阶线性微分方程

    576116d3771178da138cae5715b194a1.png

    (2)二阶常系数线性微分方程

    535b62feb1c67b0fc8dc7645a5368753.png

    (3)二阶常系数非齐次线性微分方程

    c1d44583c618102a4459f1b8731a55cc.png

    (4)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程

    7272a31b8374d9f3a4b71e32187a18d4.png
    db46d48115c611ea1667f6634dcb15b6.png
    e2c82c536d2835fe3e6ad0c6b078ae55.png
    e783d75242945dfd27a893a352d20bf5.png

    题型一:已知通解确定微分方程的形式

    例1:(2018年考研真题)

    af7062795b78e1e5bee64721e2bcb486.png

    分析:通过通解的形式可以得到微分方程的特征根。

    解:

    0b20c75ddb478214175acd3aaa4f54ce.png

    题型二:高阶齐次线性微分方程的求解

    例2:(2010考研真题)

    676bc2d022be5637aa822c952b82d698.png

    分析:写出微分方程的特征方程,求出特征方程的特征根。

    解:

    6f30a210e6b5b98bc43c8f1de5452a13.png

    题型三:二阶非齐次线性微分方程的求解

    例3:(2007年真题)

    0de9b504a1ecbdeeeb3c397aac2b2c97.png

    解题思路:

    第一步:写出对应的齐次微分方程的通解Y(x)

    第二步:求该非齐次微分方程的特解

    解:

    742ee15fceffa498d35027b2d855c5c9.png
    展开全文
  • 二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码).docx 《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名:学号:班级:2013年11月19日1二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码).docx

    《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名:学号:班级:2013年11月19日1二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题,课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式,以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后,我在利用matlab解线性方程组时,又出现“outofmemory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大,超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次,当n=10,h=1/10或n=70,h=1/70时,我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时,无论是LU分解法或高斯消去法,还是gauseidel迭代法,都能达到很高的精度。关键字:二阶椭圆偏微分方程差分方程outofmemoryLU分解高斯消去法gauseidel迭代法一、题目重述解微分方程:22(,)(,)()(,)(,(,)1yxxyyxyyeueuuuxye已知边界:(0,),(),(0),(1)xe==求数值解,把区域分成,n=100[]G´2/,/0h注:老师你给的题F好像写错了,应该把改成。xye2yxe二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明𝐴(𝑥,𝑦)=𝑒𝑦𝐵(𝑥,𝑦)=𝑒𝑥𝐶(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦𝐷(𝑥,𝑦)=𝑥‒𝑦𝐸(𝑥,𝑦)=1𝐹(𝑥,𝑦)=221yxyxyee2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为:𝑎𝑖𝑗𝑢𝑖𝑗‒(𝑎𝑖‒1,𝑗𝑢𝑖‒1,𝑗+𝑎𝑖,𝑗‒1𝑢𝑖,𝑗‒1+𝑎𝑖+1,𝑗𝑢𝑖+1,𝑗+𝑎𝑖,𝑗+1𝑢𝑖,𝑗+1)=𝐹𝑖𝑗2{𝑎𝑖‒1,𝑗=ℎ‒2(𝐴𝑖‒1/2,𝑗+ℎ𝐶𝑖𝑗2)𝑎𝑖,𝑗‒1=ℎ‒2(𝐵𝑖,𝑗‒1/2+ℎ𝐷𝑖𝑗2)𝑎𝑖+1,𝑗=ℎ‒2(𝐴𝑖+1/2,𝑗‒ℎ𝐶𝑖𝑗2)𝑎𝑖,𝑗+1=ℎ‒2(𝐵𝑖,𝑗+1/2‒ℎ𝐷𝑖𝑗2)𝑎𝑖𝑗=ℎ‒2(𝐴𝑖+1/2,𝑗+𝐴𝑖‒1/2,𝑗+𝐵𝑖,𝑗‒1/2+𝐵𝑖,𝑗+1/2)+𝐸𝑖𝑗 举一个例子:当i=2,j=3时,;当i=3,j=3时,。但𝑎𝑖𝑗=𝑎23𝑎𝑖‒1,𝑗=𝑎23是,显然这两个不是同一个数,其大小也不相等。𝑎232.3差分方程的重新定义因此,为了避免2.2中赋值重复而产生的错误,我在利用matlab编程时,对这些系数变量进行了重新定义:𝑏𝑖𝑗=𝑎𝑖𝑗,𝑐𝑖𝑗=𝑎𝑖,𝑗+1,𝑑𝑖𝑗=𝑎𝑖,𝑗‒1,𝑔𝑖𝑗=𝑎𝑖+1,𝑗,𝑘𝑖𝑗=𝑎𝑖‒1,𝑗.2.4模型建立这里的模型建立就是把差分方程组改写成系数矩阵的形式。经过研究,我觉得写成如下的系数矩阵不仅看起来简单明了,而且在matlab编程时比较方便。系数矩阵为:Pu=f其中P是阶方阵,具体如下:(𝑛‒1)2(𝑏11𝑐110𝑑12𝑏12⋱0⋱⋱00⋱𝑐1,𝑛‒2𝑑1,𝑛‒1𝑏1,𝑛‒1𝑔11𝑔12𝑔13⋱𝑔1,𝑛‒1𝑘21𝑘22𝑘2,3⋱𝑘2,𝑛‒1𝑏21𝑐210𝑑22𝑏22⋱0⋱⋱00⋱𝑐2,𝑛‒2𝑑1,𝑛‒1𝑏2,𝑛‒100⋱𝑔𝑛‒2,1𝑔𝑛‒2,2𝑔𝑛‒23⋱𝑔𝑛‒2,,𝑛‒1𝑘𝑛‒1,1𝑘𝑛‒1,2𝑘𝑛‒1,3⋱𝑘𝑛‒1,𝑛‒1𝑏𝑛‒1,1𝑐𝑛‒1,10𝑑𝑛‒1,2𝑏𝑛‒1,2⋱0⋱⋱00⋱𝑐𝑛‒1,𝑛‒2𝑑𝑛‒1,𝑛‒1𝑏𝑛‒1,𝑛‒1)3而u是维的列向量,具体如下:(𝑛‒1)2u=(𝑢11𝑢12⋮𝑢1,𝑛‒1𝑢21⋮⋮𝑢𝑛‒1,𝑛‒1)而f是维的列向量,具体如下:(𝑛‒1)2𝑓=(𝑓11𝑓12⋮𝑓1,𝑛‒1𝑓21⋮⋮𝑓𝑛‒1,𝑛‒1)三、求解过程3.1对系数矩阵的分析对上述模型的求解就是对线性方程组的求解。通过观察,我发现P是一个对角占优的矩阵,这不仅确定了解的唯一性,还保证了迭代法的收敛性。此外,还可以确定进行LU分解,若使用高斯消去法还可以省去选主元的工作。3.2matlab编程因为矩阵阶数过大,所以此题的编程难点为构造系数矩阵,即对线性方程组的赋值。我采用的方法是分块赋值。对于P的赋值,过程如下:第一步:𝑏𝑐𝑑𝑖=(𝑏𝑖1‒𝑐𝑖10‒𝑑𝑖2𝑏𝑖2⋱0⋱⋱00⋱‒𝑐𝑖,𝑛‒2‒𝑑𝑖,𝑛‒1𝑏𝑖,𝑛‒1),𝑔𝑖=[𝑔𝑖1𝑔𝑖2⋮𝑔𝑖,𝑛‒1],𝑘𝑖=[𝑘𝑖1𝑘𝑖2⋮𝑘𝑖,𝑛‒1]4第二步:𝐵𝐶𝐷=(𝑏𝑐𝑑1𝑏𝑐𝑑200⋱𝑏𝑐𝑑𝑖),𝐺=[𝑔1𝑔2⋮𝑔𝑛‒2],𝐾=[𝑘2𝑘3⋮𝑘𝑛‒1]第三步:P=BCD-diag(G,99)-diag(K,99).P和f的具体构造见附录6.1主代码3.3编程求解过程中的问题3.3.1问题产生当按照老师要求,n=100,h=1/100时,运行编好的matlab程序时,会出现如图3.1的错误提示。图3.13.3.2问题分析在matlab的命令窗口输入“memory”,出现如图3.2的内存使用情况,可以得出:MemoryusedbyMATLAB:454MB(4.760e+008bytes)。,若不用稀疏矩阵定义P,经过粗略计算,我发现矩阵P就要占800MB左右的内存,加上其他数据,内存消耗至少在1G以上。但是我电脑上分配给matlab的内存只有:454MB,即使在关闭杀毒软件等大部分应用程序后,分配给matlab的内存也刚够1G。图3.23.3.3问题解决经过上网查找资料后,我找到了如下几个解决方法。1)尽量早的分配大的矩阵变量2)尽量避免产生大的瞬时变量,当它们不用的时候应该及时clear。3)尽量的重复使用变量(跟不用的clear掉一个意思)4)将矩阵转化成稀疏形式5)使用pack命令56)如果可行的话,将一个大的矩阵划分为几个小的矩阵,这样每一次使用的内存减少。7)增大内存针对本题,我觉得比较理想的解决方法是采用稀疏矩阵的方式定义P。这样可以有效的减小P的内存消耗。但是考虑到老师的这次期中作业主要是考察我们对二阶椭圆偏微分方程的理解与实例操作,而不是旨在考察我们的matlab编程能力。因此我在此,略作偷懒,把n改成10或70(75以上内存就不够用了),适当的降低精度来得到结果。四、计算结果4.1当n=10,h=1/10时的结果取n=10,h=1/10时,matlab运行的部分结果如图4.1。表4.2为LU分解法和高斯消去法的部分结果(这两个直接法结果完全一样),表4.3为迭代法的部分结果。图4.1i,j数值解真实值误差1,11.0100501453351.0100501670840.0000000217491,21.0202012644381.0202013400270.0000000

    展开全文
  • 二阶微分方程初值问题的Laguerre-Gauss配置法,严建平,郭本瑜,本文研究二阶微分方程初值问题的数值解法。文中基于Laguerre-Gauss插值设计了一类新的配置法, 它易于计算,且特别适用于非线性问题�
  • 如何解二阶线性微分方程

    万次阅读 2019-05-04 14:04:30
    二阶线性微分方程就是指形如y′′+py′+q=0y''+py'+q=0y′′+py′+q=0的微分方程,一种解法就是使用二阶微分方程的公式,这里介绍另一种方法。 对于二阶微分方程,如果找到两个线性...

    二阶齐线性微分方程就是指形如y+py+q=0y''+py'+q=0的微分方程,一种解法就是使用二阶微分方程的公式,这里介绍另一种方法。

    对于二阶微分方程,如果找到两个线性无关的特解y1,y2y_1,y_2,那么通解为
    y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2

    根据这个定理,我们只需要找到两个线性无关的特解,就能解出通解。

    y=erxy=e^{rx},其中rr是一个实数。代入微分方程得
    r2erx+prerx+qerx=0r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0
    消去erxe^{rx}r2+pr+q=0r^2+pr+q=0
    我们只需要解这个一元二次方程得两根r1,r2r_1,r_2即可。下面分类讨论

    1.若r1,r2r_1,r_2为不等的两个实根

    得到两个线性无关的特解y1=er1x,y2=er2xy_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x},所以通解为
    y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}

    2.若r=r1=r2r=r_1=r_2为相等实根

    我们只能得到一个特解y1=erxy_1=e^{rx},那么再令y=uerxy=ue^rx,其中uu是关于xx的函数。
    erx(u+2ru+r2u+pu+pru+qu)=0e^{rx}(u''+2ru'+r^2u+pu'+pru+qu)=0u+(2r+p)u+(r2+pr+q)=0u''+(2r+p)u'+(r^2+pr+q)=0注意到2r+p=r2+pr+1=02r+p=r^2+pr+1=0,故
    u=0u''=0u=xu=x,则y2=xerxy_2=xe^{rx},所以通解为
    y=(C1+C2x)erxy=(C_1+C_2x)e^{rx}

    3.若r1,r2r_1,r_2为一对共轭复根

    r1=α+βi,r2=αβir_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i,那么
    y1=eα(isinβx+cosβx),y2=eα(isinβx+cosβx)y_1=e^\alpha(isin\beta x+cos\beta x),y_2=e^\alpha(-isin\beta x+cos\beta x)可以得到两个特解y3=y1+y22,y4=y1y22iy_3=\frac{y_1+y_2}{2},y_4=\frac{y_1-y_2}{2i}
    y3=eαsinβx,y4=eαcosβxy_3=e^\alpha sin\beta x,y_4=e^\alpha cos\beta x所以通解为
    y=eα(C1sinβx+C2cosβx)y=e^\alpha(C_1sin\beta x+C_2cos\beta x)

    展开全文
  • 1、二阶常系数齐次线性微分方程解法  y''+py'+qy = 0(其中p,q为常数)的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,求解步骤:  (1)特征方程:λ2+pλ+q = 0;  (2)根据特征方程的根分为以下三种情形: ...

    1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

      y''+py'+qy = 0(其中p,q为常数)的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,求解步骤:

      (1)特征方程:λ2+pλ+q = 0;

      (2)根据特征方程的根分为以下三种情形:

     

     

     

     

     

    2、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

      y''+py'+qy = f(x)(其中p,q为常数)的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程,根据f(x)的不同形式可将求特解方程分为如下两种情况:

      (1)f(x)=Pn(x)ekx

     

     

     

     

     

     

     

     

      (2)f(x)=eαx[Pl(x)cosβx + Pssinβx]

    3、二阶常系数非齐次线性微分方程的解

      通解=齐次方程的解+非齐次方程的特解

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/lovexz/p/6708857.html

    展开全文
  • 视频内容紧贴教材,内容包括以下六个方面:线性微分方程相关的基本概念线性微分方程解的结构二阶变系数齐次线性微分方程的求解方法与刘维尔公式常系数齐次线性微分方程及其求解方法常系数非齐次线性微分方程及其求解...
  • 二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的...
  • 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的...二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解 下面只需要解出微分方程的特解即可 对应微分方程: ay...
  • w摘 要本文主要研究二阶微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题,我们总结了两类常用的数值方法,即打靶法和有限差分方法,对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码,通过具体的算例对这两类方法的...
  • 例如:二阶线性微分方程 X"+2Xˊ+5X=0 , X︱t=0 =0 ,Xˊ︱t=0 =0   这是个齐次二阶常系数微分方程,对应的初始条件为均0,意味着系统初始状态为0,由于系统无激励,系统的初始状态又为0,所以系统不运动,即X...
  • §1.1微分方程概述Overview of Differential EquationsMIT公开课《微分方程线性代数》1.1微分方程概述​v.youku.com本讲是对微分方程的概述,希望对于各类微分方程给出一个清晰的图像。我们在应用中最常接触的就是...
  • 先讨论二阶常系数齐次线性微分方程解法,再把二阶方程的解法推广到n阶方程。 在二阶齐次线性微分方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1) y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1) 中,如果y′,yy',yy′,y的...
  • 不要嘲笑我,我百度经验搬过来的二阶常系数线性非齐次方程的形式如下2基本求解思路如下,我们先要有一个总的思路用于解题3难点:对于特解的求法END一.特解求法一:待定系数法1优点:简单易懂,不易错缺点:计算量...
  • 摘要:本课题主要研究运用有限差分法来数值求解线性及非线性二阶微分方程的边值问题,以差商公式替换微分方程中的各阶导数,得到差分方程。经过分析差分方程的本质,联系解三对角线性方程组的Crout分解法和解非...
  • 本节叙述常微分方程的基本理论,一阶、二阶线性微分方程解法,以及常见的其他典型问题。
  • 二阶常系数线性微分方程 定义 齐次方程解法 拉氏变换基础知识 定义 典型函数的拉氏变换 积分下限 性质 反变换 note: 通解+特解 拉氏变换 状态空间 /矩阵方法 二阶常系数线性微分方程 资源:二阶常...
  • 常见的常微分方程的一般解法

    千次阅读 多人点赞 2020-04-30 13:41:50
    一阶其次(非齐次)线性微分方程(一阶) 伯努利方程(一阶) 二阶常系数微分方程(二阶) 高阶常系数微分方程(n阶) 欧拉方程(n阶) 1.可分离变量的微分方程(一阶) 这类微分方程可以变形成如下形式: f(x)dx=g...
  • §2.6 待定系数法Methods of Undetermined Coefficients微分方程 MIT公开课《微分方程线性代数》2.6 待定系数法​v.youku.com本讲是关于求解微分方程的快速解法,所能求解的还是常系数二阶微分方程。并且要求...
  • 二次微分方程的通解 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程解法 教学过程: ...
  • 【Mark下】三个微分公式三元函数,二阶或者更高阶的微分线性方程利用Finite Difference Method展开,在利用牛顿迭代的方法,解方程,其下是考虑到电脑无法存储大量举阵情况下的分布解法。如果是N mesh grids,可以...
  • 微分方程

    2021-03-30 10:12:31
    微分方程 边值问题 -防热服 把偏微分方程变为标准形式 研究:物理学、统计学、生物学 假设从多到少,合理(针对探究对象),...4.二阶常系数线性非齐次微分方程 5.可降阶的(3) 偏微分方程求解 1.变量分离法(变量独立
  • 微分方程的求解方法

    千次阅读 2020-12-13 09:21:34
    高阶常系数线性微分方程的求解 前言 本文主要介绍了考研范围的微分方程的求解类型及对应的求解方法,主要内容参考自张宇《闭关修炼》,希望本文对您有所帮助。 Ⅰ.首先介绍一些关于微分方程的概念 一阶是什么: ...
  • 【给一个特解,然后利用这个特解来求,这个特解可以用两个解相加的方式带进去,也可以利用特解方程式本身做转化,转化成关于y,x的微分方程式来求解。还有一种方式是用变数转换,把式子转化成二阶线性方程式来求解。...
  • 关于二阶常系数微分方程解法 线性齐次方程 ay′′+by′+cy=0a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0ay′′+by′+cy=0 的通解 解法: 先解特征方程 ar2+br+c=0a r^{2}+b r+c=0ar2+br+c=0 的根. 设特征根为 r1,...
  • 对含二阶微分方程组的含间隙折页机构动力学模型,采用非线性系统直接积分法进行求解. 非线性系统分析的核心归结为系统状态方程的求解问题,对于一般非线性控制系统,通过引入由状态量、控制量与自变量时间 t 为...
  • 3、二阶常系数非齐次线性微分方程解法; 4、可降阶的二阶微分方程的解法。 本章内容 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 (一)可分离变量微分方程 (二)齐次方程 (三)贝努利方程 三、可降阶的高阶...
  • 考研数学

    2019-09-09 21:08:17
    拐点一元函数积分学不定积分反常积分定积分应用微分方程一阶微分方程的解法可降阶的微分方程二阶线性微分方程解法多元函数的极限 多元函数的偏导数 全微分多元复合函数求导法则 隐函数求导公式多元函...
  • 第15

    2019-12-26 09:44:43
    第八十四节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型二解法一) 第八十五节:二阶常系数非齐次线性微分方程(类型二解法二) 第八十六节:二阶变系数线性微分方程的一些解法(一) 第八十七节:二阶变系数线性微分方程的一些解法...
  • 将描述抽运光和斯托克斯(Stokes)光沿光纤分布的微分方程组简化成代数方程组,在此基础上对抽运光采用二阶线性近似得到了不同输入抽运功率情况下的近似解,并求出了在二阶线性近似下的一级Stokes光和二级Stokes光的...

空空如也

空空如也

1 2 3 4
收藏数 67
精华内容 26
关键字:

二阶线性微分方程解法