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  • 给出解决二阶规划(SOCP)问题的VU-分解方法.问题首先被转化为非线性规划,并给出相应的精确罚函数的Clarke次微分结构及VU-空间分解.在某种条件下,可以计算出一个二阶连续可微的轨道,进而得到目标函数f在其上的二阶...
  • 规划问题二阶锥规划

    万次阅读 2018-10-12 11:39:38
    如果对于自变量x1、x2以及参数λ,有 ...在凸集范围内,求凸函数在约束条件下的最小值成为凸规划,即: s.t      如果C∈R^n向量空间,对于任意x∈C,有ax∈C,则称C为锥集(类似于空间绝对可...

    如果对于自变量x1、x2以及参数λ,有

    f(\lambda x_{1} + (1- \lambda ) x{_2}) \leqslant \lambda f(x{_1}) + (1-\lambda)f(x{_2})

    则认为f是凸函数,进一步,如果

    f(\lambda x_{1} + (1- \lambda ) x{_2}) < \lambda f(x{_1}) + (1-\lambda)f(x{_2})

    则认为f是严格凸函数。

    R向量空间中,如果集合 S 中任两点的连线上的点都在 S 内,则称集合 S 为凸集。

     

    在凸集范围内,求凸函数在约束条件下的最小值成为凸规划,即:

    min( f(x))

    s.t     g{_i}(x)\le 0

             h{_i}(x) = 0

     

    如果C∈R^n向量空间,对于任意x∈C,有ax∈C,则称C为锥集(类似于空间绝对可积、有界的概念);进一步如果对于任意x∈C、y∈C,有ax + by ∈C ,则称C为凸锥集(类似于绝对可和+绝对可积、有界的概念);进一步的,如果向量 x∈R^n-1 以及数值 t∈R,总满足关系式 ||x|| ≤ t,则称所有(x,t)组成的集合为标准集;如果标准集成立条件中的x范数取为二阶,则称(x,t)为二阶锥集,但是在二阶锥的定义中限定了t≥0。

    在二阶锥范范围内求解约束条件下目标凸函数的最小值,就是二阶锥规划。

    关于凸优化问题的求解可以借助matlab工具包sedumi进行计算:

    sedumi帮助文档中的第一个例子

    首先看文档中对公式形式,以及变量的约定,对于原始标准形式:

    min(c^{T}x)

    s.t

    Ax = b

    x{_i}\geqslant 0

    或者上者的等价形式:

    max(b^{T} y)

    s.t c{_i} - a{_i}^{T}y \geqslant 0

     

    有了以上约定,假设我们现在面临这样一个线性规划问题:

    min( x{_1}-x{_2}  )

    s.t 

    10x{_1}-7x{_2}\ge5

    x{_1}+1/2x{_2}\le3

    x{_1}\ge0,x{_2}\ge0

    按照文档中的变量约定(约束条件1是≥号,需要在括号左边减去一个多个非负松弛变量,使≥转换成标准形式的=;同理约束条件2中,需要添加非负松弛变量,使其变成标准形式中的等号)

     c = [1;-1;0;0];
    A = [10,-7,-1,0;1,1/2,0,1];
    b = [5;3];
    sedumi(A,b,c)
    

    计算结果如下

    SeDuMi 1.3 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
    Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
    eqs m = 2, order n = 5, dim = 5, blocks = 1
    nnz(A) = 6 + 0, nnz(ADA) = 4, nnz(L) = 3
     it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
      0 :            6.02E+00 0.000
      1 :  -1.20E+00 1.84E+00 0.000 0.3055 0.9000 0.9000   1.86  1  1  2.1E+00
      2 :  -6.94E-02 5.15E-01 0.000 0.2803 0.9000 0.9000   2.14  1  1  8.6E-01
      3 :  -1.21E-01 2.72E-02 0.000 0.0528 0.9900 0.9900   1.16  1  1  4.2E-02
      4 :  -1.25E-01 8.69E-06 0.000 0.0003 0.9999 0.9999   1.02  1  1  
    iter seconds digits       c*x               b*y
      4      0.3   Inf -1.2500000000e-01 -1.2500000000e-01
    |Ax-b| =   1.3e-15, [Ay-c]_+ =   0.0E+00, |x|=  2.9e+00, |y|=  2.8e-01
    
    Detailed timing (sec)
       Pre          IPM          Post
    9.600E-01    5.660E-01    5.899E-02    
    Max-norms: ||b||=5, ||c|| = 1,
    Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
    
    ans =
    
       (1,1)      1.958333333333333
       (2,1)      2.083333333333333

    通过以上结果我们可以发现,c*x的最大值 或者b*y的最小值是-1.2500000000e-01,以及对应的x1 = 1.958333333333333 ,x2 =2.083333333333333

    并且结果中给出了误差|Ax-b| =   1.3e-15

    展开全文
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    个人博客Glooow,欢迎各位老师来踩踩

    1. 二阶锥

    1.1 二阶锥定义

    在此之前,先给出二阶锥的定义。

    kk 维空间中二阶锥 (Second-order cone) 的定义为
    Ck={[ut]uRk1,tR,ut} \mathcal{C}_{k}=\left\{\left[\begin{array}{l} {u} \\ {t} \end{array}\right] | u \in \mathbb{R}^{k-1}, t \in \mathbb{R},\|u\| \leq t\right\}
    其也被称为 quadratic,ice-cream,Lorentz cone。

    1.2 二阶锥约束

    在此基础上,二阶锥约束即为
    Ax+bcTx+d[AcT]x+[bd]Ck \|A x+b\| \leq c^{T} x+d \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{c} {A} \\ {c^{T}} \end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l} {b} \\ {d} \end{array}\right] \in \mathcal{C}_{k}
    其中 xRn,AR(k1)×n,bRk1,cRn,Rx\in \mathbb{R}^{n}, A\in\mathbb{R}^{(k-1)\times n}, b\in\mathbb{R}^{k-1},c\in\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}。实际上是对 xx 进行了仿射变换,由于仿射变换不改变凹凸性,因此二阶锥也是凸锥。

    2. 优化问题建模

    优化目标如下,其中 fRn,AiRni×n,biRni,ciRn,diR,FRp×n,f \in \mathbb{R}^{n}, A_{i} \in \mathbb{R}^{n_{i} \times n}, b_{i} \in \mathbb{R}^{n_{i}}, c_{i} \in \mathbb{R}^{n}, d_{i} \in \mathbb{R}, F \in \mathbb{R}^{p \times n}, and gRp,xRng \in \mathbb{R}^{p}, x \in \mathbb{R}^{n}
    minizefTxsubject toAix+bi2ciTx+di,i=1,,mFx=g \begin{aligned} \text{minize}\quad& f^{T} x\\ \text{subject to}\quad& {\left\|A_{i} x+b_{i}\right\|_{2} \leq c_{i}^{T} x+d_{i}, \quad i=1, \ldots, m}\\ &{F x=g} \end{aligned}
    上述问题被称为二次锥规划是因为其约束,要求仿射函数 (Ax+b,cTx+d)(Ax+b,c^T x+d)Rk+1\mathbb{R}^{k+1} 空间中的二阶锥。

    3. 类似问题转化

    一些其他优化问题也可以转化为 SOCP,例如

    3.1 二次规划

    考虑二次约束
    xTATAx+bTx+c0 x^{T} A^{T} A x+b^{T} x+c \leq 0
    可以等价转化为 SOC 约束
    (1+bTx+c)/2Ax2(1bTxc)/2 \left\|\begin{array}{c}\left(1+b^{T} x+c\right) / 2 \\ Ax\end{array}\right\|_{2} \leq\left(1-b^{T} x-c\right) / 2

    3.2 随机线性规划

    问题模型为
    minizecTxsubject toP(aiTxbi)p,i=1,,m \begin{aligned} \text{minize}\quad& c^{T} x\\ \text{subject to}\quad& \mathbb{P}\left(a_{i}^{T} x \leq b_{i}\right) \geq p, \quad i=1, \ldots, m \end{aligned}
    问题转化可参考维基百科

    4. 问题求解

    二阶锥规划可以应用内点法快速求解,且比半正定规划(semidefinite programming)更有效。

    Matlab 有专门的凸优化工具包,下载地址在这里,安装教程在官网上有。使用方法如下,只需要修改优化目标和约束条件即可

    m = 20; n = 10; p = 4;
    A = randn(m,n); b = randn(m,1);
    C = randn(p,n); d = randn(p,1); e = rand;
    cvx_begin
        variable x(n)
        minimize( norm( A * x - b, 2 ) )
        subject to
            C * x == d
            norm( x, Inf ) <= e
    cvx_end
    
    展开全文
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  • YALMIP系列 SOCP问题

    second order cone programming

    对回归问题
    Axy \lVert Ax-y\rVert
    2-norm形式的worst-case情况进行求解,在问题中矩阵AA是不确定的,设置
    A=A+d A=A+d
    其中d21\lVert d \rVert_2\leq 1,该问题等价于求解
    Axy2+x2 \lVert Ax-y \rVert_2+\lVert x\rVert_2
    可以使用YALMIP进行求解

    x = [1 2 3 4 5 6]';
    t = (0:0.02:2*pi)';
    A = [sin(t) sin(2*t) sin(3*t) sin(4*t) sin(5*t) sin(6*t)];
    e = (-4+8*rand(length(A),1));
    y = A*x+e;
    

    使用cone命令进行手动建模SOCP

    xhat = sdpvar(6, 1);
    sdpvar u v
    
    F= [cone(y-A*xhat, u), cone(xhat, v)];
    optimize(F, u+v);
    

    也可以使用上图epi-graph进行建模

    %% epi-graph
    xhat = sdpvar(6, 1);
    sdpvar u v
    F=[norm(y-A*xhat, 2)<=u, norm(xhat, 2)<=v];
    optimize(F, u+v);
    

    也可以使用YALMIP直接表示

    optimize([], norm(y-A*xhat, 2)+norm(xhat, 2));
    

    robust optimization

    求解目标函数
    minωωΣωs.t.{minUrpr0 \min_\omega \omega'\Sigma\omega\\ s.t.\begin{cases} \min\limits_U r_p\geq r_0 \end{cases}
    其中,Σ\Sigma是一个正定矩阵,ω\omega为权重向量,且ωi=1\sum\omega_i=1rp=αωr_p=\alpha'\omega,UU是以α\alpha为球心的半径为Xα|\mathcal{X}|\alpha的球,其中0<X<10<\mathcal{X}<1.
    使用YALMIP建模求解

    n = 10;
    alpha = randn(10,1);
    S = randn(10);S = S'*S;
    kappa = 0.01;
    r0 = .01;
    w = sdpvar(n,1);
    Objective = w'*S*w;
    Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
    Robust = [w'*alpha - kappa*norm(alpha)*norm(w) >= r0]; % 加入robust性约束条件
    solvesdp([Budget,Robust], Objective)
    double(w)
    

    YALMIP的内部框架支持自动化建模

    w = sdpvar(n,1);
    U = sdpvar(n,1);
    rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
    Objective = w'*S*w;
    Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
    Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), U'*U <= 1];
    solvesdp([Budget,Uncertainty], Objective)
    

    假设UU在盒状约束不确定性中,可以建模如下

    w = sdpvar(n,1);
    U = sdpvar(n,1);
    rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
    Objective = w'*S*w;
    Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
    Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), -1 <= U <= 1];
    solvesdp([Budget,Uncertainty], Objective)
    

    如果安装了一些高效率求解器如(gurobi, cplex或者mosek)等,可以加入势约束(cardinality constraint)进行MIP问题求解

    w = sdpvar(n,1);
    U = sdpvar(n,1);
    rp = alpha + kappa*norm(alpha)*U;
    Objective = w'*S*w;
    Budget = [w >= 0, sum(w)==1];
    Uncertainty = [rp'*w >= r0, uncertain(U), -1 <= U <= 1];
    solvesdp([Budget,Uncertainty,nnz(w)<=3], Objective) % 加入cardinality constraint
    

    References

    robust optimization using fmincon in Matlab
    SOCP YALMIP
    A Sharper Angle on Optimization

    展开全文
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    学习目的:应对博士申请考核中《最优化理论与算法》的考试。

    学习材料:《运筹学》第4版 清华大学出版社&《最优化理论与算法》第2版 清华大学出版社&《线性代数》国立交通大学出版社


    主要内容:

    一、无约束非线性规划问题

    二、等式约束非线性规划问题

    三、不等式约束非线性规划问题

    四、12个例子


    一、无约束非线性规划问题

    1.1 函数存在极值的一阶/二阶必要条件

    a) 一阶必要条件:函数f(x)\bar{x}可微,若\bar{x}是局部极小点,则梯度\nabla_{}f(\bar{x})=0

    b) 二阶必要条件:函数f(x)\bar{x}点二次可微,若\bar{x}是局部极小点,则梯度\nabla_{}f(\bar{x})=0,并且Hesse矩阵\nabla^{\boldsymbol{2}}_{}f(\bar{x})半正定

    1.2 备注

    a) “可微”、“Hesse矩阵 ”、“半正定”这三个概念在无约束非线性规划问题中的判断较为重要,可直接点击链接进行学习,在此不在赘述。

    b) 对应后续例题1。

     

    二、等式约束非线性规划问题

    2.1 学习目的

    为学习不等式约束非线性规划问题做铺垫。

    2.2 等式约束

    假设,约束优化问题(1)型为

    这里f 与g 都是连续可导的函数,定义Lagrangian函数型为:

    其中\lambda为Lagrange 乘数。上述Lagrangian函数将问题(1)中的约束条件吸收至目标函数中,将有约束的优化问题转化为无约束优化问题,即形如:

    对于上式的最优解的必要条件是:

    联立上述方程(第一个方程是Lagrange函数的定常方程),可得x^{*}以及\lambda的值,求得最优解。

    三、KKT条件——求解不等式约束优化问题

    3.1 不等式约束问题

    假设,约束问题(2)形如:

    g(x)划定了上述目标函数的可行域(feasible region) \kappa,当最优解x^{^{*}}位于可行域\kappa​​​的位置意味着约束条件的有效性,将x^{^{*}}的位置情况分为两类:

    1、内部解:最优解x^{^{*}}位于可行域\kappa​​​内部,称为内部解(interior solution),这时约束条件是无效的(inactive);

    2、边界解:最优解x^{^{*}}位于可行域\kappa​​​边界,称为边界解(boundary solution),此时约束条件是有效的(active)。

    因此,两种情况的必要条件也是不同。对应上述两种情况,可分别转化为两种结果:

    1、最优解x^{^{*}}位于可行域\kappa​​​内部时,约束条件无效,因此约束优化问题退化为无约束优化问题,易于求解;

    2、最优解x^{^{*}}位于可行域\kappa​​​边界时,约束条件由不等式变为等式g(x)=0可转化为上述Lagrange 乘数法的情形。

    3.2 KKT条件的形式

    整合上述两种情况,最优解x^{^{*}}的必要条件是:1)Lagrangian函数的定常方程 2)原始约束条件 3)对偶可行性 4)互补松弛性(之后的学习中会详细介绍对偶可行性和互补松弛性),形如:

    ​​​​四、 12个例子

    备注: 例子来源于 《最优化理论与算法》第2版 清华大学出版社。

     

    1、求函数f(x)=\frac{x_{1}+x_{2}}{3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}的极小点。

    解:

    (1)求驻点  (2)求Hesse矩阵 (3)判断矩阵性质(正定/半正定) 

     

    求解过程:

     

    \frac{\partial f}{\partial x_{1}}=\frac{3-x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}}{{(3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2})}^{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}=\frac{3-x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}}{{(3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2})}^{2}}

     

    令上述两个式子等于0,求得驻点x^{(1)}=(1,1),x^{(2)}=(-1,-1)

     

    f(x)分别对x_{1}x_{2}求二阶偏导有:

    \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}=\frac{-18x_{1}-12x_{2}+2x_{1}^{3}-2x_{2}^{3}+6x_{1}^{2}x_{2}}{{(3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2})}^{3}}

    \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}=\frac{-12x_{1}-18x_{2}-2x_{1}^{3}+2x_{2}^{3}+6x_{1}x_{2}^{2}}{{(3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2})}^{3}}\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}x_{2}}=\frac{-12x_{1}-12x_{2}+6x_{1}x_{2}^{2}+6x_{1}^{2}x_{2}}{{(3+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2})}^{3}}

    得到Hesse矩阵后,将上述两个驻点代入Hesse矩阵有:

     

    \nabla^{2}_{}f(x^{(1)})=\left [ \begin{matrix} -1/9 & -1/18 \\ -1/18 & -1/9 \\ \end{matrix} \right ]

    \nabla^{2}_{}f(x^{(2)})=\left [ \begin{matrix} 1/9 & 1/18 \\ 1/18 & 1/9 \\ \end{matrix} \right ]

    由上,\nabla^{2}_{}f(x^{(1)})是负定矩阵,\nabla^{2}_{}f(x^{(2)})是正定矩阵。

    因此,f(x)的极小点是x^{(2)}

     

    2、考虑非线性规划问题

    min(x_{1}-3)^2+(x_{2}-2)^2

    s.t.      \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqslant 5\\ x_{1}+2x_{2}= 4\\ x_{1}, x_{2}\geqslant 0

    检验\bar{x}=(2,1)^{^{T}},是否为KT点。

    解:

    (1)改写非线性规划形式 (2)求目标函数和约束条件的梯度(3)判断是否满足Fritz-John条件

     

    求解过程:

    上述约束问题可改写为:

    min(x_{1}-3)^2+(x_{2}-2)^2

    s.t.      \\ -x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant 5\\ x_{1}+2x_{2}= 4\\ x_{1}, x_{2}\geqslant 0

    \bar{x}=(2,1)^{^{T}}代入上述约束条件,发现\bar{x}正好在前两个约束条件的边界上,因此前两个约束是起作用约束。

     

    分别对目标函数和前两个约束条件求一阶偏导,再代入\bar{x}得:

     

    在点\bar{x}目标函数的梯度为\left [ \begin{matrix} -2 \\ -2\\ \end{matrix} \right ],两个约束条件的梯度分别是\left [ \begin{matrix} -4 \\ -2\\ \end{matrix} \right ] 和 \left [ \begin{matrix} 1 \\ 2\\ \end{matrix} \right ]

     

    (未完,csdn的编辑器太难用了)

     

     

     

     

     

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