目录

一.一元函数连续、可导、可微之间的关系

二.洛必达的使用条件

三.洛必达使用要注意的地方

1.等式右边极限存在

2.每导一步注意检查是否满足0/0，或∞/∞

3.求导时注意函数怎么求导更简化

四. 一阶可导、一阶连续可导、二阶可导、二阶连续可导

已知一阶可导   f'(x)，可得：

已知一阶连续可导，可得：

已知二阶可导   f''(x)，可得：

已知二阶连续可导，可得：

经典例题：

一.一元函数连续、可导、可微之间的关系

注意：以上的关系只针对于一元函数

二.洛必达的使用条件

三.洛必达使用要注意的地方

1.等式右边极限存在

2.每导一步注意检查是否满足0/0，或∞/∞

3.求导时注意函数怎么求导更简化

四. 一阶可导、一阶连续可导、二阶可导、二阶连续可导

已知一阶可导   f'(x)，可得：

1.可以求一阶导数

2.原函数一定连续

3.一阶导数(求出的导数)可能连续也可能不连续

4.一阶导数不可以求极限（原因是不知道一阶导数是否连续）

是否连续可以从以下两点看

        ①题目给出一节连续可导

        ②看其左右极限是否存在且相等

5.已知f(x)n阶可导，只能用到f^(n-1)(x)

同理：已知f(x)一阶可导，只能用到0阶可导，相当于一次洛必达法则都不能用

已知一阶连续可导，可得：

1.可以求一阶导数

2.原函数，一阶导函数都连续

3.一阶导数可以求极限(因为已知连续)

4.f(x)n阶连续可导，只能用到f^(n)(x)

同理：已知f(x)一阶连续可导，可以用到1阶可导，可以用1次洛必达法则 

已知二阶可导   f''(x)，可得：

1.具有二阶导数

2.原函数、一阶导数 f'(x) 都连续

3.二阶导数的连续性无法确定

4.二阶导数不可以求极限(无法确定二阶导数是否连续)

5.f(x)二阶可导，只能用到1阶可导，只能用1次洛必达法则 

已知二阶连续可导，可得：

1.具有二阶导数

2.原函数、一阶导函数、二阶导函数都是连续的

3.二阶导数可以求极限(因为已知连续)

4.f(x)二阶连续可导，可以用到2阶可导，可以用2次洛必达法则

比如“f(x)二阶连续可导”，意思就是f(x)有二阶导数，且二阶导函数连续 

经典例题：

整理参考摘自于：

使用洛必达法则易错点参考文献 ---豆丁网

洛必达法则的使用条件是什么？---知乎

一阶可导和一阶连续可导关系区别和二阶可导和二阶连续可导关系区别---哔哩哔哩

注：多元函数的偏导数在一点连续是指， 偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点，才能理解后面的充分条件。

下面的这一步推导用到了这个条件：

为什么函数

在原点可导不可微?

先看一下函数图形，能看出什么特征:

确实比较怪诞,首先由于两个主曲率面和曲面截线弯曲方向不同，此曲面的高斯曲率一定是负的，类似于马鞍面，所以在原点处一定不可展。

而证明中极限

不存在的，我们也看一下它的图形：

极限不存在是显然的，因为沿着不同的y=kx接近原点，和z轴的交点是不同的。

基于以上两点，推导出了，此函数可导但是不可微，因为再原点不存在高阶无穷小。

为什么可导加上导函数连续，函数就变成可微的呢？首先我们看上面的函数确实是可导的，但是不可微一定是不满足导函数连续的条件.

计算一下:

 看一下它们的图形：

可以看到此函数的特征，确实在原点不连续的，有跳跃。

对于一元函数来说，一元函数可导，在其可导区间内对应的导函数也连续，前提和结论互为充要条件，所以对于一个一元函数直观上可以看出来可不可导，以及导函数是不是连续。比如，出现尖峰就是一元函数不可导的直接证据，因为尖峰左右两边的导数不一样。导函数出现了间断点，不连续。

但是对于二元函数来说，不可导的特征似乎不那么明显，上面就是一个例子，因为在原点处并没有出现尖峰。结果导函数仍然不连续。看连尖峰这个条件变得不那么必要，但是尖峰条件是否仍然是充分的呢？我们再来看一个函数，它的图形是一个椭圆，我们查看一下椭圆的尖峰处的可导性。

 可以看到，不像一元函数的情况，尖峰不是必要的，但是却是充分的，圆锥的顶部存在尖峰，求导后不连续，尖峰仍然可以说明，此函数在剑锋点不存在偏导数。

另一方面，在一点处可以求偏导，是二元函数可微的必要条件，这里在尖峰处不存在骗导，直接证明圆锥函数在尖峰处不可微.

结束！