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  • 逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一个新的矩阵 (A I);将此新矩阵 (A I) 做初等行变换,将它化成 (I B) 的形式若 A 是...

    求逆矩阵最有效的方法是初等变换法(虽然还有别的方法)。如果要求方阵 \(A\) 的逆矩阵,标准的做法是:

    • 将矩阵 A 与单位矩阵 I 排成一个新的矩阵 (A   I);

    • 将此新矩阵  (A  I) 做初等行变换,将它化成 (I  B) 的形式

    • 3db0d5b718b680f5570c7d1482999ceb.png

    若 A 是一个二阶方阵,

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    则它的逆矩阵可以直接使用公式

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    来计算。我们来看几个例子。

    例1:求二阶矩阵

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    的逆矩阵。

    解:因为矩阵是二阶矩阵,我们可以直接利用二阶逆矩阵的公式来求解。

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    例2:求矩阵

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    的逆矩阵。

    解:这是一个三阶的矩阵,最简便有效的方法是初等变换法。(你可以试试用伴随矩阵的方法来求,计算量比初等变换法相差多大)我们将矩阵与单位矩阵排在一起,然后做初等变换

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    所以我们得到

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    我们看到的这个矩阵是三阶的,利用初等变换计算逆矩阵已经比伴随矩阵法少了很多的计算量了。实际上,矩阵的阶数越高,节约下来的计算量越多。利用伴随矩阵计算逆矩阵,三阶矩阵的话,需要计算一个三阶行列式,九个二阶行列式。四阶的话,需要计算一个四阶行列式,十六个三阶行列式,手算的话,已经让人难以接受了。

    我们来看一个四阶矩阵的逆矩阵。

    例3:求矩阵

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    的逆矩阵。

    解:我们将下述矩阵做初等变换

    e55362dd38f51e00ee78d1487f249055.png

    所以,我们得到

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  • 介绍了用于解决复杂线性系统的显式精确和近似逆预处理器。 提出了一类一般的二阶迭代方法,并... 广义近似逆矩阵技术可以有效地与显式迭代方案结合使用,从而产生有效的复合半直接求解方法来求解大型线性代数方程组。
  • 接着讲解了利用行列式来计算二阶方阵逆矩阵方法。接下来,讲解了可逆矩阵对应线性方程解的唯一性,以及可逆矩阵的几个有用的性质。本章的最后,讲解了计算逆矩阵的一种通用方法,即利用初等矩阵来计算逆矩阵。 由...

    内容概述

    本章首先由倒数的概念,引申出逆矩阵的概念。接着讲解了利用行列式来计算二阶方阵逆矩阵的方法。接下来,讲解了可逆矩阵对应线性方程解的唯一性,以及可逆矩阵的几个有用的性质。本章的最后,讲解了计算逆矩阵的一种通用方法,即利用初等矩阵来计算逆矩阵。

    由倒数引申出矩阵的逆

    假设有一个实数5555的乘法逆是1/51/5515^{-1},它满足方程:515=15^{-1} \cdot 5 = 1551=15 \cdot 5^{-1} = 1,矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立,所以当且仅当矩阵是方阵时,矩阵才有可能可逆(因为矩阵乘法要求左边矩阵的列等于右边矩阵的行,如果某个矩阵能同时满足左乘和右乘,那么只能是n×nn \times n方阵)
    定义:

    一个n×nn \times n矩阵AA是可逆的,若存在一个n×nn \times n矩阵CC,使得:
    CA=I CA = \boldsymbol I

    AC=I AC = \boldsymbol I
    其中I=In\boldsymbol I = \boldsymbol I_nn×nn \times n单位矩阵。这时称CCAA的逆。

    实际上,CCAA唯一确定,因为若BB是另一个AA的逆,那么将有B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB=B \boldsymbol I = B(AC)=(BA)C=\boldsymbol I C = C。于是,若AA可逆,它的逆是唯一的,我们将它记为A1A^{-1},于是:
    A1A=IA^{-1}A = \boldsymbol I

    AA1=IAA^{-1} = \boldsymbol I
    不可逆矩阵被称为奇异矩阵,而可逆矩阵也可称作非奇异矩阵
    例:

    A=[2537]A=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix}, C=[7532]C=\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix},则:
    AC=[2537][7532]=[1001] AC = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
    CA=[7532][2537]=[1001] CA=\begin{bmatrix}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 5 \\ -3 & -7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}
    所以,C=A1C=A^{-1}

    行列式

    定理:

    A=[abcd]A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix},若adbc0ad - bc \neq 0,则AA可逆且
    A1=1adbc[dbca] A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}
    adbc=0ad - bc = 0,则AA不可逆

    定理的证明可以通过上述逆矩阵的定义公式来进行。数adbcad-bc称为AA的行列式,记为:
    detA=adbc det\,A = ad -bc
    当且仅当detA0det\,A \neq 0时,上述2×22 \times 2矩阵AA可逆。
    例:

    A=[3456]A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}的逆

    解:

    因为detA=3(6)4(5)=20det\,A = 3(6)-4(5)=-2 \neq 0,所以AA可逆,且:
    A1=12[6453]=[325/23/2]A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}6 & -4 \\ -5 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 5/2 & -3/2\end{bmatrix}

    可逆矩阵对应线性方程解的唯一性

    定理:

    AA是可逆n×nn \times n矩阵,则对每一Rn\mathbb R^n中的b\boldsymbol b,方程Ax=bA\boldsymbol x = \boldsymbol b有唯一解x=A1b\boldsymbol x = A^{-1}\boldsymbol b

    证明:

    先证明A1bA^{-1}\boldsymbol b是方程的一个解:
    因为AA可逆,那么若以A1bA^{-1} \boldsymbol b代替x\boldsymbol x,有:Ax=A(A1b)=(AA1)b=Ib=bA\boldsymbol x = A(A^{-1}\boldsymbol b) = (AA^{-1})\boldsymbol b = \boldsymbol I \boldsymbol b = \boldsymbol b,所以A1bA^{-1}\boldsymbol b是方程的一个解。
    再证明解的唯一性:
    假设u\boldsymbol u是方程的任意一个解,那么有:Au=bA\boldsymbol u = \boldsymbol b,由于AA可逆,那么方程两边同时乘以A1A^{-1}得:A1Au=A1bA^{-1}A\boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b,进一步推导有:Iu=A1b\boldsymbol I \boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b,也就是:u=A1b\boldsymbol u = A^{-1}\boldsymbol b
    得证

    上述定理很少用来解方程Ax=bA\boldsymbol x = \boldsymbol b,因为[Ab]\begin{bmatrix}A & \boldsymbol b\end{bmatrix}的行化简通常更快。一个可能的例外是2×22 \times 2矩阵,因为这时利用行列式计算A1A^{-1}相对比较容易。
    例:

    求解方程组:
    3x1+4x2=35x1+6x2=7 \begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ 5x_1 + 6x_2 = 7 \end{aligned}

    解:

    x=A1b=[325/23/2][37]=[53] \boldsymbol x = A^{-1}\boldsymbol b = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 5/2 & -3/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 \\ 7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ -3\end{bmatrix}

    可逆矩阵的几个性质

    1. AA是可逆矩阵,则A1A^{-1}也可逆而且(A1)1=A(A^{-1})^{-1} = A
    2. AABB都是可逆矩阵,则ABAB也可逆,且其逆是AABB的逆矩阵按相反顺序的乘积,即:(AB)1=B1A1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
    3. AA可逆,则ATA^{T}也可逆,且其逆是A1A^{-1}的转置,即(AT)1=(A1)T(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}

    简单证明上述第2个性质:

    从逆矩阵定义出发,要证明B1A1B^{-1}A^{-1}ABAB的逆矩阵,则要证明ABAB左乘和右乘B1A1B^{-1}A^{-1}的积都是I\boldsymbol I。以右乘为例:(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AIA1=AA1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A\boldsymbol IA^{-1} = AA^{-1} = \boldsymbol I。同理可以证明左乘的情况一样成立。

    初等矩阵

    定义:

    单位矩阵进行一次初等行变换,就得到初等矩阵

    例:

    下面E1E_1是一个对应倍加变换的初等矩阵:
    E1=[100010401]E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}
    下面E2E_2是一个对应对换变换的初等矩阵:
    E2=[010100001]E_2 = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
    下面E3E_3是一个对应倍乘变换的初等矩阵:
    E3=[100010005]E_3=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}
    假设有一个矩阵A=[abcdefghi]A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix},观察E1AE_1AE2AE_2AE3AE_3A所起的作用。

    解:

    经过计算可知:
    E1A=[abcdefg4ah4ai4c]E_1A = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\g-4a & h-4a & i-4c \end{bmatrix}
    E2A=[defabcghi]E_2A=\begin{bmatrix}d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix}
    E3A=[abcdef5g5h5i]E_3A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\5g & 5h & 5i \end{bmatrix}
    从上述可知,这些乘积可由AA进行EiE_i暗含的初等行变换得到。

    还需注意:

    1. 3×n3 \times n矩阵左乘以(即在左边相乘)上述EiE_i,均会产生相应的效果。
    2. 特别地,EiI=EiE_i \boldsymbol I = E_i,也就是说,EiE_i本身是把单位矩阵以同一行变换作用所得。
      因此可以得到如下的一般结论:

    若对m×nm \times n矩阵AA进行某种初等行变换,所得矩阵可写成EAEA,其中EEm×mm \times m矩阵,是由Im\boldsymbol I_m进行统一行变换所得。

    因为行变换是可逆的,故初等矩阵也是可逆的。若EE是由I\boldsymbol I进行行变换所得,则有同一类型的另一行变换把EE变回I\boldsymbol I。因此,由初等矩阵FF,使得FE=IFE = \boldsymbol I。因为EEFF对应于互逆的变换,所以也有EF=IEF=\boldsymbol I

    每个初等矩阵EE是可逆的,EE的逆是一个同类型的初等矩阵,它把EE变回I\boldsymbol I

    例:

    E1=[100010401]E_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1\end{bmatrix}的逆。

    解:

    为把E1E_1变成I\boldsymbol I,需要把第1行的4倍加到第3行,这相应于初等矩阵:
    F=E11=[100010401] F = E_1^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1\end{bmatrix}

    矩阵可逆的判定以及逆矩阵的计算方法

    定理:

    n×nn \times n矩阵AA是可逆的,当且仅当AA行等价于In\boldsymbol I_n,这时,把AA化简为In\boldsymbol I_n的一系列初等行比那换同时把In\boldsymbol I_n变成A1A^{-1}

    证明:

    AA是可逆矩阵,则对任意b\boldsymbol b,方程Ax=bA\boldsymbol x = \boldsymbol b有解(参照本文前半段的定理),这就说明,AA在每一行有一个主元位置。又因为AA是方阵,所以这nn个主元位置必在对角线上,相应的,AA的简化阶梯形是In\boldsymbol I_n,即AInA \sim \boldsymbol I_n
    反之,若AInA \sim \boldsymbol I_n,则因为每一步行化简对应于左乘一个初等矩阵,所以存在初等矩阵E1,,EpE_1, \cdots, E_p,使得:
    AE1AE2(E1A)Ep(Ep1E1A)=In A \sim E_1A \sim E_2(E_1A) \sim \cdots \sim E_p(E_{p-1} \cdots E_1A)=\boldsymbol I_n
    即:
    EpEp1E1A=In E_pE_{p-1} \cdots E_1A=\boldsymbol I_n
    因为EpE1E_p \cdots E_1是可逆矩阵的乘积,因此其也是可逆矩阵(这点可以参考上述的两点知识:1. 初等矩阵是可逆的;2. 如果两个矩阵是可逆的,那么两个矩阵的乘积也是可逆的),那么可以根据上式推出:
    (EpE1)1(EpE1)A=(EpE1)1InA=(EpE1)1 \begin{aligned} (E_p \cdots E_1)^{-1}(E_p \cdots E_1)A &= (E_p \cdots E_1)^{-1}\boldsymbol I_n \\ A &= (E_p \cdots E_1)^{-1} \end{aligned}
    这说明了AA是可逆矩阵EpE1E_p \cdots E_1的逆,又由于上述定理所述(可逆矩阵的逆矩阵也可逆),有:
    A1=[(EpE1)1]1=EpE1 A^{-1} = [(E_p \cdots E_1)^{-1}]^{-1} = E_p \cdots E_1

    由上述定理的证明过程,自然而然可以引出计算矩阵逆矩阵的一种方法:

    AAI\boldsymbol I排在一起构成增广矩阵[AI]\begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix},则对此矩阵进行行变换时,AAI\boldsymbol I收到同一变换。要么有一系列的行变换把AA变成I\boldsymbol I,同时把I\boldsymbol I变成A1A^{-1},要么AA是不可逆的。

    精确描述如下:

    把增广矩阵[AI]\begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix}进行行化简。若AA行等价于I\boldsymbol I,则[AI]\begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix}行等价于[IA1]\begin{bmatrix}\boldsymbol I & A^{-1}\end{bmatrix},否则AA没有逆。

    例:

    求矩阵A=[012103438]A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 8\end{bmatrix}的逆,假如它存在。

    解:

    [AI]=[012100103010438001][1009/273/20102410013/221/2] \begin{aligned} \begin{bmatrix}A & \boldsymbol I\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 \\4 & -3 & 8 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \\ &\sim \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -9/2 & 7 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & -2 & 1/2\end{bmatrix} \end{aligned}
    由上述定理,可知AA可逆,且:
    A1=[9/273/22413/221/2] A^{-1} = \begin{bmatrix}-9/2 & 7 & -3/2 \\ -2 & 4 & -1 \\3/2 & -2 & 1/2\end{bmatrix}

    可逆矩阵的另一个观点

    假设AA可逆,那么有:AA1=IAA^{-1} = \boldsymbol I。由矩阵乘法的定义,AA乘以A1A^{-1},就是用AA去乘以A1A^{-1}的每一列。假设A1A^{-1}的每一行按序号为xi\boldsymbol x_i,那么有:[Ax1Ax2Axn]=[e1e2en]\begin{bmatrix}A\boldsymbol x_1 & A\boldsymbol x_2 & \cdots & A\boldsymbol x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \cdots & \boldsymbol e_n \end{bmatrix}。要求解逆矩阵A1A^{-1}的某一列xi\boldsymbol x_i,只需要求解方程
    Axi=ei A\boldsymbol x_i = \boldsymbol e_i
    即可。这一点是很有用的,因为在某些问题中,只需要A1A^{-1}的一列或两列。

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  • 在介绍逆矩阵的时候,我们曾提及二阶矩阵有一个基于矩阵A对应行列式|A|和伴随矩阵的计算方法,当时由于没有引入行列式就暂且搁置,今天在这里将给出详细的证明过程。 关于行列式、伴随矩阵以及余子式、代数余子式...

      这一章节开始介绍线性代数中另外一个基本概念——行列式。

      其实与矩阵类似,行列式也是作为简化表述多项式的一种工具,关于行列式的历史渊源,有如下的介绍。

     

      在介绍逆矩阵的时候,我们曾提及二阶矩阵有一个基于矩阵A对应行列式|A|和伴随矩阵的计算方法,当时由于没有引入行列式就暂且搁置,今天在这里将给出详细的证明过程。

      关于行列式、伴随矩阵以及余子式、代数余子式等基本概念,这里不做累述。

      另外由于MathType编辑器的符号所限,这里将证明过程手写在黑板上然后拍下图片.

     

     

     

        值得注意的是,这种基于矩阵对应行列式和伴随阵的求逆矩阵的算法,是对所有n阶矩阵都适合的,但是对于3阶以上的矩阵,我们得到伴随矩阵过程中计算量太大因此不宜使用,而对于2阶矩阵是最适合。

    转载于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5631745.html

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  • 然而二阶优化算法在每次迭代时需要求解黑塞矩阵和 对应的, 一旦遇到高维情况, 这是很大的计算开销甚至无法完成计算. 拟牛顿 法有限内存拟牛顿法以及子抽样的牛顿法都是基于黑塞矩阵改造的二阶方 法. 本文首先回顾...
  • 递归就是方法调用它自身,并且...以下就是靠递归来实现一个二阶差分 private void Form1_Load(object sender, EventArgs e) { double[,] array = new double[,] { { 1,1, 1 }, { 5, 5, 5 }, { 25, 25, 25 } };//定

    一、递归实现二阶差分

    递归就是方法调用它自身,并且可读性很好,缺点就是一般不是最快的实现。
    初学者在用递归实现方法是,常见的错误在程序执行期间发生栈溢出,这是由无限递归造成;或者你返回的不是你想要的。
    以下就是靠递归来实现一个二阶差分

    private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
     {           
        double[,] array = new double[,] { { 1,1, 1 }, { 5, 5, 5 }, { 25, 25, 25 } };//定义一个3行3列的二维数组     
        column = array.GetLength(0);//获得列数
        double[,] temp = returndiff(array);
    }
     private static double[,] returndiff(double[,] inputd)
     {
         numt += 1;//numt是全局变量,你自己定义
         int row = inputd.GetUpperBound(0);//因为差分一次行数少一
         double[,] temparray = new double[row, column];
         //开始差分
         for (int i = 0; i < row; i++)
         {
            for (int j = 0; j < column; j++)
            {
                emparray[i, j] = inputd[i + 1, j] - inputd[i, j];
            }
         }
         if (numt==1)
         {
              return returndiff(temparray);//在return里面用递归,这样子写很关键//1//4
         }               
                
          return temparray;//2
    }//3//5
    

    在代码中执行到2的时候,已经把你的数组传回去了,结果是[16 16 16]。

    二、矩阵转置

            private static double[,] transpose(double[,] inpute)
            {
                int x = inpute.GetUpperBound(0) + 1;//获得行数
                int y = inpute.GetUpperBound(1) + 1;//获得列数
                double[,] transarray = new double[y, x];
                for (int i = 0; i < x; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < y; j++)
                    {
                        transarray[j, i] = inpute[i, j];
                    }
                }
                return transarray;
            }
    

    三、矩阵的相乘

            private static double[,] arrMultiply(double[,] input1, double[,] input2)
            {
               int input1x = input1.GetUpperBound(0) + 1;//获得行数900
                int input1y = input1.GetUpperBound(1) + 1;//获得列数898
                int input2x = input2.GetUpperBound(0) + 1;//获得行数898
                int input2y = input2.GetUpperBound(1) + 1;//获得列数900
                double tempvale = 0;
                double[,] retarr = new double[input1x, input2y];
                //Parallel.For(0, input1x, k =>//可以用这个来解决运算慢的问题
                //{
                //    for (int i = 0; i < input2y; i++)
                //    {
                //        for (int j = 0; j < input2x; j++)
                //        {
                //            tempvale += input1[k, j] * input2[j, i];
                //        }
                //        retarr[k, i] = tempvale;
                //        tempvale = 0;
                //    }
                //});
                for (int k = 0; k < input1x; k++)
                {
                    for (int i = 0; i < input2y; i++)
                    {
                        for (int j = 0; j < input2x; j++)
                        {
                            tempvale += input1[k, j] * input2[j, i];
                        }
                        retarr[k, i] = tempvale;
                        tempvale = 0;
                    }
                }
                return retarr;
            }
    

    四、值和矩阵相乘

            /// <summary>
            /// 值和矩阵相乘
            /// </summary>
            /// <param name="input1"></param>
            /// <param name="input2"></param>
            /// <returns></returns>
            private static double[,] valueArrMultiply(double input1, double[,] input2)
            {
                int input2x = input2.GetUpperBound(0) + 1;//获得行数
                int input2y = input2.GetLength(0);//获得列数
                double[,] arraytempdd = new double[input2x, input2y];
                for(int i=0;i< input2x;i++)
                {
                    for(int j=0;j< input2y;j++)
                    {
                        arraytempdd[i, j] = input1* input2[i, j];
                    }
                }
                return arraytempdd;
            }
    

    五、求矩阵的逆

    public static double[,] Inverse(double[,] Array)
            {
                int m = 0;
                int n = 0;
                m = Array.GetLength(0);
                n = Array.GetLength(1);
                double[,] array = new double[2 * m + 1, 2 * n + 1];
                for (int k = 0; k < 2 * m + 1; k++)  //初始化数组
                {
                    for (int t = 0; t < 2 * n + 1; t++)
                    {
                        array[k, t] = 0.00000000;
                    }
                }
                for (int i = 0; i < m; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < n; j++)
                    {
                        array[i, j] = Array[i, j];
                    }
                }
    
                for (int k = 0; k < m; k++)
                {
                    for (int t = n; t <= 2 * n; t++)
                    {
                        if ((t - k) == m)
                        {
                            array[k, t] = 1.0;
                        }
                        else
                        {
                            array[k, t] = 0;
                        }
                    }
                }
                //得到逆矩阵
                for (int k = 0; k < m; k++)
                {
                    if (array[k, k] != 1)
                    {
                        double bs = array[k, k];
                        array[k, k] = 1;
                        for (int p = k + 1; p < 2 * n; p++)
                        {
                            array[k, p] /= bs;
                        }
                    }
                    for (int q = 0; q < m; q++)
                    {
                        if (q != k)
                        {
                            double bs = array[q, k];
                            for (int p = 0; p < 2 * n; p++)
                            {
                                array[q, p] -= bs * array[k, p];
                            }
                        }
                        else
                        {
                            continue;
                        }
                    }
                }
                double[,] NI = new double[m, n];
                for (int x = 0; x < m; x++)
                {
                    for (int y = n; y < 2 * n; y++)
                    {
                        NI[x, y - n] = array[x, y];
                    }
                }
                return NI;
            }
    

    各位需要注意,如果你的数据集非常大,使用传统的for循环会非常耗时,建议你利用矩阵来计算,比利用C#代码快很多倍(实测,利用实现相同的算法矩阵快了4.5倍),你可以查看我的其他博客https://blog.csdn.net/weixin_42974146/article/details/106424862

    展开全文
  • 牛顿法是迭代算法,每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵,简化了这一计算过程。本篇设计的算法有:牛顿法、拟牛顿法、DFP算法、BFGS算法...
  • 实际上,优化算法可以分成一阶优化和二阶优化算法,其中一阶优化就是指的梯度算法及其变种,而二阶优化一般是用二阶导数(Hessian 矩阵)来计算,如牛顿法,由于需要计算Hessian阵和其逆矩阵计算量较大,因此没有...
  • 使用这个模块,可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。 import numpy as np # 1. 计算逆矩阵 # 创建矩阵 A = np.mat(0 1 2;1 0 3;4 -3 8) print (A) #[[ 0 1 2] # [ 1 0 3] # [ 4 -3 8]] # ...
  • 优化方法

    2019-02-26 14:34:31
    牛顿法与梯度下降法 牛顿法 优点:二阶收敛,收敛速度快 缺点:是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵计算比较复杂。 ...
  • 统计学习方法-牛顿法和拟牛顿法

    千次阅读 2017-12-01 16:19:05
    牛顿法是迭代算法,每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵计算比较复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵或海赛矩阵,简化了计算过程。 一、背景 Taylor展式 若f(x)二阶导连续,将f(x)在xk处Taylor...
  • 牛顿法是求解无约束最优化问题的常用方法,收敛速度快,每一步迭代需要求解目标函数的海森矩阵的逆矩阵计算较为复杂。 拟牛顿法则用正定矩阵近似海森矩阵的逆矩阵,简化了牛顿法。 海森矩阵(Hessian Matrix)是...
  • 为了提高三次样条构造的可行性,基于矩阵的伪逆方法,提出一种不依赖额外约束条件的三次样条构造的伪解法。该解法通过求解出三次样条二阶导数的最小范数解,从而较好地构造出三次样条函数。理论分析及数值实验结果...
  • 接着上篇写的拟牛顿法其实也是很简单了。为什么要研究出这种方法呢,就是因为常规的牛顿法每次迭代更新x值时都要计算Hessian矩阵。...DFP方法是用一个G正定矩阵来近似于Hessian的逆矩阵,而BFGS方法是用一个...
  • 缺点:对初始点、目标函数要求高,计算量、存储量大(需要计算、存储Hesse矩阵及其)。拟Newton法是模拟Newton法给出的一个保优去劣的算法。共轭梯度法是介于最速下降法和牛顿法之间的一个方法,相比最速下
  • 简述 在看伊恩·古德费洛的深度学习,4.3节基于梯度的优化方法时提到 ...牛顿法是迭代算法,每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵计算比较复杂; 拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵...
  • 牛顿法和拟牛顿法

    2018-02-23 15:17:28
    牛顿法是迭代算法,每一步需要求解目标函数的海塞矩阵(Hesse matrix)的逆矩阵计算复杂。拟牛顿法通过正定矩阵近似海塞矩阵的逆矩阵或海塞矩阵,计算速度快。 牛顿法 考虑无约束优化问题 min f(x) 其中x* 为...
  • 一.行列式的递归定义(余子式展开) 数值计算说明:行列式的递归计算, 全排列计算的时间复杂度是O(N!) 二.... 计算数值行列式的一般方法是划为上三角下三角形式 ...伴随矩阵,一般除了二阶不使用 ...
  • 牛顿法与拟牛顿法

    2018-12-02 18:03:06
    牛顿法属于迭代算法,每一步需要求解目标函数的海赛矩阵的逆矩阵计算复杂. 拟牛顿法通过正定矩阵近似海赛矩阵的逆矩阵,简化了这个过程. 牛顿法 对于无约束优化 min⁡x∈Rnf(x) \min_{x\in R^n} f(x) x∈Rnmin​f...
  • 牛顿法中的Hesse矩阵H在稠密时求逆计算量大,也有可能没有(Hesse矩阵非正定)。拟牛顿法提出,用不含二阶导数的矩阵Ut替代牛顿法中的,然后沿搜索方向−Utgt做一维搜索。根据不同的Ut构造方法有不同的拟牛顿法。 ...
  •  《普通高等教育“十一五”国家级规划教材:大学代数与几何》包括线性代数、解析几何和向量代数,具体内容有:矩阵理论和计算方法,线性方程组理论和解法,向量空间和向量代数,线性空间和线性变换,矩阵特征值问题...
  • 导致我们的计算量很大,为了提高效率,如果无法使用Hessian矩阵H(x),或者如果计算逆矩阵计算量太大(复杂度为O(N ^ 3),则拟牛顿法可以 仅可用于基于一阶导数,f( x)(具有复杂度 O(N ^ 2))的梯度g来...
  • 范例1-8 查找矩阵的马鞍点 19 ∷相关函数:Get_Saddle函数 1.1.9 对角矩阵建立 21 范例1-9 对角矩阵建立 21 ∷相关函数:Store函数 1.1.10 三对角矩阵的建立 22 范例1-10 三对角矩阵的建立 22 ∷相关函数:...
  • 拟牛顿法(DFP、BFGS、L-BFGS)

    万次阅读 多人点赞 2018-03-24 23:53:43
    牛顿法对目标的可导性更严格,要求二阶可导,有Hesse矩阵计算复杂的缺点。XGBoost本质上就是利用牛顿法进行优化的。 1.2 基本原理 现在推导牛顿法。 假设无约束最优化问题是 minxf(x)minxf(x)\m...
  • 计算海森矩阵的逆矩阵4.$(t - 0) \rightarrow0$ 的近似 摘要   为了进一步改善泛化能力、简化神经网络、减少硬件和存储需求、加快训练速度、或者是规则提取,我们研究了所有使用误差函数的二阶导数去进行剪枝的...
  • 拟牛顿法 一、牛顿法 1.1 基本介绍 牛顿法属于利用一阶和二阶导数的无约束目标最优化...牛顿法对目标的可导性更严格,要求二阶可导,有Hesse矩阵计算复杂的缺点。XGBoost本质上就是利用牛顿法进行优化的。...
  • 优化之牛顿法

    2019-03-19 19:55:42
    文章目录牛顿法基本思想:算法流程 牛顿法和拟牛顿法是求解无约束最优化问题的常用...**牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵计算比较复杂。 φ(x)=f(xk)+f′(xk)(x−xk)+12f′...
  • 缺点:对初始点、目标函数要求高,计算量、存储量大(需要计算、存储Hesse矩阵及其)。拟Newton法是模拟Newton法给出的一个保优去劣的算法。   拟Newton法是效果很好的一大类方法。它当中的DFP算法和BFGS算法是...

空空如也

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二阶逆矩阵计算方法