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2021-03-16 15:51:43
双极点低通滤波器
1 描述
最近看到apollo的滤波器代码,猛一看没整明白,因此就想推导一下公式。代码如下
void LpfCoefficients(const double ts, const double cutoff_freq, std::vector<double> *denominators, std::vector<double> *numerators) { denominators->clear(); numerators->clear(); denominators->reserve(3); numerators->reserve(3); double wa = 2.0 * M_PI * cutoff_freq; // Analog frequency in rad/s double alpha = wa * ts / 2.0; // tan(Wd/2), Wd is discrete frequency double alpha_sqr = alpha * alpha; double tmp_term = std::sqrt(2.0) * alpha + alpha_sqr; double gain = alpha_sqr / (1.0 + tmp_term); denominators->push_back(1.0); denominators->push_back(2.0 * (alpha_sqr - 1.0) / (1.0 + tmp_term)); denominators->push_back((1.0 - std::sqrt(2.0) * alpha + alpha_sqr) / (1.0 + tmp_term)); numerators->push_back(gain); numerators->push_back(2.0 * gain); numerators->push_back(gain); }
从代码上可以看出来,应该是采用的是二阶的巴特沃斯滤波器,下面进行一下推导。
巴特沃斯二阶模拟滤波器传递函数
H ( s ) = w N 2 s 2 + 2 ∗ 0.707 ∗ w N ∗ s + w N 2 (1) H(s) = \frac{w^2_N}{s^2+2*0.707*w_N*s+w^2_N} \tag{1} H(s)=s2+2∗0.707∗wN∗s+wN2wN2(1)
公式中0.707为二阶巴特沃斯滤波器的阻尼比系数
采用双线性变换,T为采样周期
s = 2 T 1 − z − 1 1 + z − 1 (2) s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \tag{2} s=T21+z−11−z−1(2)
将公式(2)带入(1)中,令
α = T w N 2 \alpha = \frac{Tw_N}{2} α=2TwN
可得
H ( z ) = α 2 ( 1 + 2 z − 1 + z − 2 ) 1 + 2 α + α 2 1 + 2 ( α 2 − 1 ) 1 + 2 α + α 2 z − 1 + 1 − 2 α + α 2 1 + 2 α + α 2 z − 2 H(z)=\frac{\frac{\alpha^2(1+2z^{-1}+z^{-2})}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}}{1+\frac{2(\alpha^2-1)}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}z^{-1}+\frac{1-\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}z^{-2}} H(z)=1+1+2α+α22(α2−1)z−1+1+2α+α21−2α+α2z−21+2α+α2α2(1+2z−1+z−2)参考:控制系统设计指南(Control System Design Guide --Fourth Edition)【M】,page113
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一、实验目的
1. 了解RC 无源滤波器的种类、基本结构及其特性。 2. 学会列写无源滤波器网络函数的方法。 3. 学会测量无源滤波器幅频特性的方法。
二、实验内容
1. 列写无源低通、高通、带通和带阻滤波器的网络函数。 2. 用示波器观察二阶无源滤波器的幅频特性曲线。
三、实验仪器
1. 信号与系统实验箱 一台 2. 信号系统实验平台
3. 二阶无源滤波器模块(DYT3000-61) 一块 4. 20MHz 双踪示波器 一台 5. 连接线
若干
四、实验原理
滤波器是一种能使有用频率信号通过而同时抑制(或大为衰减)无用频率信号的电子装置。工程上常用它作信号处理、数据传送和抑制干扰等。这里主要讨论模拟滤波器。
1. 基本概念及初步定义
滤波器的一般结构如图17-1所示。图中的V i (t )表示输入信号,V o (t )为输出信号。假设滤波器是一个线性时不变网络,则在复频域内其传递函数(系统函数)为
()
()()
o i V s A s V s
图17-1 滤波电路的一般结构
式中A (s )是滤波电路的电压传递函数,一般为复数。对于频率来说(s =j ω)则有
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滤波器的作用是允许某些频率的正弦信号基本无衰减的通过(增益为 1,频域 0dB),同时对另外某些频率的正弦信号起到衰减作用(增益在 0.707 以下,频域-3dB 以下)。 当然,滤波器对通过的正弦信号会产生一定的相移作用。
1.二阶通用滤波器
二阶滤波器表示的是滤波器时域表达式中最高含有二阶微分,或者说传递函数分母的s最高次数为2。滤波器对直流分量的增益为1。据此可设零状态二阶通用滤波器的传递函数为
时域表达式为
待定参数为a,b,c,d,e。
y(t)——输出信号,x(t)——输入信号。
现要将时域微分方程转换成对应离散域差分方程,假设采样周期为Ts。根据微分的定义,有
由以上分析可知,Ts越小时,上述约等式越精确。
将连续量t分段,令t=kTs,k=0,1,2⋯,则微分方程可化为近似离散形式将上述表达式代入到时域微分方程中,当Ts足够小时,近似认为
整理后得
进一步简化得
k1 ⋯ k5对应式⑧相应的系数,且满足
略去 Ts, 将时域离散信号转变成序列信号, 成为计算机能够运算的式子:
根据式⑩, 可以很容易写出二阶通用滤波器的运算程序。
2.二阶派生出的特殊滤波器
通过配置二阶通用滤波器的系数 a, b, c, d, e,可以生成多种特殊用途的滤波器:
根据所需滤波器的指标(截止频率、通带频率、阻带频率等), 可以求出其传递函数的系数, 进一步推出通用型中的参数 abcde,再结合采样周期 Ts, 则可以算出数字滤波器的系数 k1/k2/k3/k4。
对于更高阶的滤波器, 可以根据要求, 对二阶滤波器进行串联组合(有些电机驱动器程序就是如此处理)。 例如, 要求一个高阶滤波器中含有低通环节、 带阻环节和超前滞后环节, 则可以先构造三个对应的二阶滤波器, 然后在运算中进行串行运算。以上内容说明了对于二阶滤波器, 如何从模拟滤波器模型推出数字滤波器的计算程序。 对于整体的高阶滤波器(即非二阶组合型),上述方法过于繁琐,计算量大,则需要采用数字滤波中 IIR 和 FIR 滤波器设计方法,计算各差分量的系数, 请参考《信号与系统》教材。 建议采用 Matlab 中的 FDATOOL 进行滤波器设计, 直接生成 z 域系统方程的参数,非常方便。
参考程序:
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typedef struct SecOrdFilter{
-
float k1;
-
float k2;
-
float k3;
-
float k4;
-
float k5;
-
float xin;
-
float x1;
-
float x2;
-
float yout;
-
float y1;
-
float y2;
-
} vector;
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#define SecondOrderFilter(v) \ // 后面将vector赋值给v
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yout = v.k1*v.xin + v.k2*v.x1+v.k3*v.x2+ v.k4*v.y1 + v.k5*v.y2; \
-
v.x2 = v.x1; \
-
v.x1 = v.xin; \
-
v.y2 = v.y1; \
-
v.y1 = v.yout;
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滤波器是常见的信号调理电路,其中低通滤波器最为普遍,我们常听说一阶滤波器、二阶滤波器,二者有什么差别呢?
低通滤波器有3个重要参数:通带、阻带和过度带,理想的滤波器是没有过度带的,超过Fc截止频率的成分会被戛然而止滤除,而实际滤波器会有过渡带的限制,信号在过渡带内被逐渐衰减,我们一般希望过渡带窄一些,这样滤除的会更干净一点。
一阶和二阶滤波器最显著的差异是过渡带的不同,二阶低通滤波器的过渡带更窄,不需要的干扰信号会衰减的更快,噪声滤除的更干净,如下图所示。
一阶和二阶无源RC低通滤波器结构如下图所示,相比于一阶,二阶有滤完一次再滤一次的感觉。
我们使用multisim仿真一阶、二阶、三阶进行下对比,截止频率是9.7Khz,仿真文件获取:公众号后台回复:二阶低通滤波器
从左到右依次是一阶、二阶、三阶滤波器的幅频曲线,可以看到一阶滤波器最缓,三阶滤波器最陡峭。
在从时域上看些滤波的效果,红色是输入信号10Khz,蓝色是滤波器的输出信号,在截止频率是9.7Khz的低通滤波器作用下,理想情况下10Khz的输入超过9.7Khz会被完全抑制掉,是没有输出的,但是实际上由于过度带的存在10Khz信号无法完全滤除,下图从上到下分别是一阶、二阶和三阶的时域对比图,可以看到,一阶抑制的效果最差,二阶其次,三阶抑制的最多。
以上就是一阶滤波器和二阶滤波器的原理和差异。
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