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  • 数字双极点低通滤波器-二阶巴特沃斯滤波器
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    2021-03-16 15:51:43

    双极点低通滤波器

    1 描述

    最近看到apollo的滤波器代码,猛一看没整明白,因此就想推导一下公式。代码如下

    void LpfCoefficients(const double ts, const double cutoff_freq,
                         std::vector<double> *denominators,
                         std::vector<double> *numerators) {
      denominators->clear();
      numerators->clear();
      denominators->reserve(3);
      numerators->reserve(3);
    
      double wa = 2.0 * M_PI * cutoff_freq;  // Analog frequency in rad/s
      double alpha = wa * ts / 2.0;          // tan(Wd/2), Wd is discrete frequency
      double alpha_sqr = alpha * alpha;
      double tmp_term = std::sqrt(2.0) * alpha + alpha_sqr;
      double gain = alpha_sqr / (1.0 + tmp_term);
    
      denominators->push_back(1.0);
      denominators->push_back(2.0 * (alpha_sqr - 1.0) / (1.0 + tmp_term));
      denominators->push_back((1.0 - std::sqrt(2.0) * alpha + alpha_sqr) /
                              (1.0 + tmp_term));
    
      numerators->push_back(gain);
      numerators->push_back(2.0 * gain);
      numerators->push_back(gain);
    }
    
    

    从代码上可以看出来,应该是采用的是二阶的巴特沃斯滤波器,下面进行一下推导。
    巴特沃斯二阶模拟滤波器传递函数
    H ( s ) = w N 2 s 2 + 2 ∗ 0.707 ∗ w N ∗ s + w N 2 (1) H(s) = \frac{w^2_N}{s^2+2*0.707*w_N*s+w^2_N} \tag{1} H(s)=s2+20.707wNs+wN2wN2(1)
    公式中0.707为二阶巴特沃斯滤波器的阻尼比系数
    采用双线性变换,T为采样周期
    s = 2 T 1 − z − 1 1 + z − 1 (2) s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \tag{2} s=T21+z11z1(2)
    将公式(2)带入(1)中,令
    α = T w N 2 \alpha = \frac{Tw_N}{2} α=2TwN
    可得
    H ( z ) = α 2 ( 1 + 2 z − 1 + z − 2 ) 1 + 2 α + α 2 1 + 2 ( α 2 − 1 ) 1 + 2 α + α 2 z − 1 + 1 − 2 α + α 2 1 + 2 α + α 2 z − 2 H(z)=\frac{\frac{\alpha^2(1+2z^{-1}+z^{-2})}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}}{1+\frac{2(\alpha^2-1)}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}z^{-1}+\frac{1-\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}{1+\sqrt{2}\alpha+\alpha^2}z^{-2}} H(z)=1+1+2 α+α22(α21)z1+1+2 α+α212 α+α2z21+2 α+α2α2(1+2z1+z2)

    参考:控制系统设计指南(Control System Design Guide --Fourth Edition)【M】,page113

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    二阶无源滤波器

    一、实验目的

    1. 了解RC 无源滤波器的种类、基本结构及其特性。 2. 学会列写无源滤波器网络函数的方法。 3. 学会测量无源滤波器幅频特性的方法。

    二、实验内容

    1. 列写无源低通、高通、带通和带阻滤波器的网络函数。 2. 用示波器观察二阶无源滤波器的幅频特性曲线。

    三、实验仪器

    1. 信号与系统实验箱 一台 2. 信号系统实验平台

    3. 二阶无源滤波器模块(DYT3000-61) 一块 4. 20MHz 双踪示波器 一台 5. 连接线

    若干

    四、实验原理

    滤波器是一种能使有用频率信号通过而同时抑制(或大为衰减)无用频率信号的电子装置。工程上常用它作信号处理、数据传送和抑制干扰等。这里主要讨论模拟滤波器。

    1. 基本概念及初步定义

    滤波器的一般结构如图17-1所示。图中的V i (t )表示输入信号,V o (t )为输出信号。假设滤波器是一个线性时不变网络,则在复频域内其传递函数(系统函数)为

    ()

    ()()

    o i V s A s V s

    图17-1 滤波电路的一般结构

    式中A (s )是滤波电路的电压传递函数,一般为复数。对于频率来说(s =j ω)则有

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    博客原地址:https://blog.csdn.net/tuxinbang1989/article/details/80283857

    滤波器的作用是允许某些频率的正弦信号基本无衰减的通过(增益为 1,频域 0dB),同时对另外某些频率的正弦信号起到衰减作用(增益在 0.707 以下,频域-3dB 以下)。 当然,滤波器对通过的正弦信号会产生一定的相移作用。

    1.二阶通用滤波器

    二阶滤波器表示的是滤波器时域表达式中最高含有二阶微分,或者说传递函数分母的s最高次数为2。滤波器对直流分量的增益为1。据此可设零状态二阶通用滤波器的传递函数为


    时域表达式为


    待定参数为a,b,c,d,e。

    y(t)——输出信号,x(t)——输入信号。
    现要将时域微分方程转换成对应离散域差分方程,假设采样周期为Ts。

    根据微分的定义,有


    由以上分析可知,Ts越小时,上述约等式越精确。
    将连续量t分段,令t=kTs,k=0,1,2⋯,则微分方程可化为近似离散形式


    将上述表达式代入到时域微分方程中,当Ts足够小时,近似认为


    整理后得


    进一步简化得


    k1 ⋯ k5对应式⑧相应的系数,且满足


    略去 Ts, 将时域离散信号转变成序列信号, 成为计算机能够运算的式子:


    根据式⑩, 可以很容易写出二阶通用滤波器的运算程序。

    2.二阶派生出的特殊滤波器

    通过配置二阶通用滤波器的系数 a, b, c, d, e,可以生成多种特殊用途的滤波器:


    根据所需滤波器的指标(截止频率、通带频率、阻带频率等), 可以求出其传递函数的系数, 进一步推出通用型中的参数 abcde,再结合采样周期 Ts, 则可以算出数字滤波器的系数 k1/k2/k3/k4。
    对于更高阶的滤波器, 可以根据要求, 对二阶滤波器进行串联组合(有些电机驱动器程序就是如此处理)。 例如, 要求一个高阶滤波器中含有低通环节、 带阻环节和超前滞后环节, 则可以先构造三个对应的二阶滤波器, 然后在运算中进行串行运算。

    以上内容说明了对于二阶滤波器, 如何从模拟滤波器模型推出数字滤波器的计算程序。 对于整体的高阶滤波器(即非二阶组合型),上述方法过于繁琐,计算量大,则需要采用数字滤波中 IIR 和 FIR 滤波器设计方法,计算各差分量的系数, 请参考《信号与系统》教材。 建议采用 Matlab 中的 FDATOOL 进行滤波器设计, 直接生成 z 域系统方程的参数,非常方便。

    参考程序:

    
       
    1. typedef struct SecOrdFilter{
    2. float k1;
    3. float k2;
    4. float k3;
    5. float k4;
    6. float k5;
    7. float xin;
    8. float x1;
    9. float x2;
    10. float yout;
    11. float y1;
    12. float y2;
    13. } vector;
    14. #define SecondOrderFilter(v) \ // 后面将vector赋值给v
    15. yout = v.k1*v.xin + v.k2*v.x1+v.k3*v.x2+ v.k4*v.y1 + v.k5*v.y2; \
    16. v.x2 = v.x1; \
    17. v.x1 = v.xin; \
    18. v.y2 = v.y1; \
    19. v.y1 = v.yout;

    展开全文
  • 二阶滤波器 C++ 中的双二阶滤波器实现(低、高通、带通等)
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    滤波器是常见的信号调理电路,其中低通滤波器最为普遍,我们常听说一阶滤波器、二阶滤波器,二者有什么差别呢? 低通滤波器有3个重要参数:通带、阻带和过度带,理想的滤波器是没有过度带的,超过Fc截止频率的成分...

    原文来自公众号:工程师看海

    滤波器是常见的信号调理电路,其中低通滤波器最为普遍,我们常听说一阶滤波器、二阶滤波器,二者有什么差别呢?

    低通滤波器有3个重要参数:通带、阻带和过度带,理想的滤波器是没有过度带的,超过Fc截止频率的成分会被戛然而止滤除,而实际滤波器会有过渡带的限制,信号在过渡带内被逐渐衰减,我们一般希望过渡带窄一些,这样滤除的会更干净一点。

    一阶和二阶滤波器最显著的差异是过渡带的不同,二阶低通滤波器的过渡带更窄,不需要的干扰信号会衰减的更快,噪声滤除的更干净,如下图所示。

    一阶和二阶无源RC低通滤波器结构如下图所示,相比于一阶,二阶有滤完一次再滤一次的感觉。

    我们使用multisim仿真一阶、二阶、三阶进行下对比,截止频率是9.7Khz,仿真文件获取:公众号后台回复:二阶低通滤波器

    从左到右依次是一阶、二阶、三阶滤波器的幅频曲线,可以看到一阶滤波器最缓,三阶滤波器最陡峭。

    在从时域上看些滤波的效果,红色是输入信号10Khz,蓝色是滤波器的输出信号,在截止频率是9.7Khz的低通滤波器作用下,理想情况下10Khz的输入超过9.7Khz会被完全抑制掉,是没有输出的,但是实际上由于过度带的存在10Khz信号无法完全滤除,下图从上到下分别是一阶、二阶和三阶的时域对比图,可以看到,一阶抑制的效果最差,二阶其次,三阶抑制的最多。

    以上就是一阶滤波器和二阶滤波器的原理和差异。

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二阶通滤波器原理