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  • 二阶非线性微分方程的打靶法.ppt
    2021-04-22 18:11:53

    二阶非线性常微分方程的打靶法

    二阶非线性常微分方程的打靶法 计算思路 主要分为以下五步: 给定容许误差ε,迭代初始值γ1,对k=1,2,...做: (1)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问,得出u1之后取其在γk的值,从而得到F(γk)=u1(b,γk)-β (2)若|F(γk)|<ε,则u1 即为所求,跳出循环。 否则: (3)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问题 由此得到F'(γk)=v1(b,γk) (4)用牛顿迭代计算γk+1,即 (5)置k+1→k,转(1)直到误差在范围内。 综上,实现了打靶法对非线性方程的拟合。 接下来是每一步的代码: 程序开头各变量的设置 function ys=ndbf(f,g,a,b,alfa,beta,n,eps,s0) %f 为二阶导数,y''=f(x,y,y'),g 为f 对y 求偏导后的 %(a,b)为自变量迭代区间 %alfa,beta 为给定的边值条件 %eps 题目规定的精度 %n 为迭代次数 %选取适当的s0 的初值 循环第一步 x0=[alfa,s0]; %选取合适的迭代初值 y0=RK4(f,a,b,h,x0); %龙格库塔算出u1(γk) constant=y0(n,1)-beta; 这里的y0(n,1)即是u1(γk,b),constant即为F(γk) 循环第二步 检验误差以跳出 if abs(constant)

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    赡芄酵频加写砦螅绻凑漳愕汲龅墓郊扑悖峒扑愠鲂橹担缓蟛煌5乃姥贰H缃玴u3/pt的最后k*Ac前面的负号改为正号则有解。从你的边界条件来看,似乎这个分量也应该跟其他两个应该是不一样的。

    function [ output_args ] = PDEs1( input_args )

    m=0;

    x=linspace(0,0.02,3);

    t=linspace(0,1,3);

    sol=pdepe(m,@pdes1pde,@pdes1ic,@pdes1bc,x,t);

    u1=sol(:,:,1);

    u2=sol(:,:,2);

    u3=sol(:,:,3);

    figure

    surf(x,t,u1)

    title('u1(x,t)')

    xlabel('Distance x')

    ylabel('Time t')

    figure

    surf(x,t,u2)

    title('u2(x,t)')

    xlabel('Distance x')

    ylabel('Time t')

    figure

    surf(x,t,u3)

    title('u3(x,t)')

    xlabel('Distance x')

    ylabel('Time t')

    function[c,f,s]=pdes1pde(x,t,u,DuDx)

    c=[1;1;1];

    D1=1.25*10^(-9);

    D2=1.838*10^(-9);

    D3=1.856*10^(-9);

    V=0.59;

    k=1.03*10^(-4)/60;

    Ac=1.9;

    Ksp=5.51*10^(-14);

    f=[D1/(1+V);D2/(1+V);D3/(1+V)].*DuDx;

    s=[-k*Ac/(1+V)*((u(1)*u(2)*u(3)/Ksp)^(1/3)-1);-k*Ac/(1+V)*((u(1)*u(2)*u(3)/Ksp)^(1/3)-1);k*Ac/(1+V)*((u(1)*u(2)*u(3)/Ksp)^(1/3)-1);];

    end

    function u0 = pdes1ic(x)

    u0 = [0;0;0];

    end

    function [pl,ql,pr,qr] = pdes1bc(xl,ul,xr,ur,t)

    pl = [ul(1)-0.0493; ul(2)-0.07142;ul(3)-0.0387];

    ql = [0;0;0];

    pr = [ur(1)-0.0106;ur(2)-0.03272;ur(3)];

    qr = [0;0;0];

    end

    end,

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  • 一般地,n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为 ∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1) \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial...

    一般地,n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为
    ∑ i , j = 1 n a i j ( x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + ∑ j = 1 n b j ( x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) ∂ u ∂ x j + c ( x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) u = f ( x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) (1) \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j(x_1,···,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_j}+c(x_1,···,x_n)u=f(x_1,···,x_n) \tag{1} i,j=1naij(x1,,xn)xixj2u+j=1nbj(x1,,xn)xju+c(x1,,xn)u=f(x1,,xn)(1)
    当系数 a i j , b j , c a_{ij},b_j,c aij,bj,c均为常数时,称为常系数线性偏微分方程,否则为变系数的,且总可假定 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji。方程中不含未知函数的项 f ( x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , x n ) f(x_1,···,x_n) f(x1,,xn)称为非齐次项,当 f ≡ 0 f\equiv 0 f0时方程为二阶齐次线性偏微分方程,否则为非齐次的。

    作为(1)式的特殊情况,一维波动方程能分解为两个一阶线性偏微分方程,从而利用特征线求出其通解。对于一般的二阶线性偏微分方程(1),接下来将通过自变量的变量代换化简方程中的二阶偏导数部分,并用方程在变量代换下的不变性对方程进行分类。这里只讨论两个自变量的情形。

    1. 特征方程和特征线

    两个自变量的二阶齐次线性偏微分方程为
    a 11 ∂ 2 u ∂ x 2 + 2 a 12 ∂ 2 u ∂ x ∂ y + a 22 ∂ 2 u ∂ y 2 + b 1 ∂ u ∂ y + b 2 ∂ u ∂ y + c u = 0 (2) a_{11}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partial u}{\partial y}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0 \tag{2} a11x22u+2a12xy2u+a22y22u+b1yu+b2yu+cu=0(2)
    其中, a 11 , a 12 , a 22 a_{11},a_{12},a_{22} a11,a12,a22不同时为0,这里略写了已知函数 a i j , b j ( i , j = 1 , 2 ) a_{ij},b_j(i,j=1,2) aij,bj(i,j=1,2)和c的自变量。

    设有自变量的变量代换
    { ξ = φ ( x , y ) , η = ψ ( x , y ) , \begin{cases} \xi=\varphi(x,y), \\ \eta=\psi(x,y), \end{cases} {ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y),
    其中,函数 φ , ψ \varphi,\psi φ,ψ有二阶连续偏导,雅可比(Jacobi)行列式
    J = ∂ ( φ , ψ ) ∂ ( x , y ) = ∣ ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ x ∂ ψ ∂ y ∣ ≠ 0 J=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0 J=(x,y)(φ,ψ)=xφxψyφyψ=0
    以保证函数 φ , ψ \varphi,\psi φ,ψ相互独立,有反函数存在。未知函数u作为新的自变量 ξ , η \xi,\eta ξ,η的函数仍记为 u ( ξ , η ) u(\xi,\eta) u(ξ,η),利用复合函数求导的链式法则,可将方程(2)变成一个新的二阶线性偏微分方程
    A 11 ∂ 2 u ∂ ξ 2 + 2 A 12 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + A 22 ∂ 2 u ∂ η 2 + B 1 ∂ u ∂ ξ + B 2 ∂ u ∂ η + C u = 0 (a) A_{11}\frac{\partial^2u}{\partial \xi^2}+2A_{12}\frac{\partial^2u}{\partial \xi\partial \eta}+A_{22}\frac{\partial^2u}{\partial \eta^2}+B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu=0 \tag{a} A11ξ22u+2A12ξη2u+A22η22u+B1ξu+B2ηu+Cu=0(a)
    其中,二阶偏导数项的系数
    A 11 = a 11 ( ∂ φ ∂ x ) 2 + 2 a 12 ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y + a 22 ( ∂ φ ∂ y ) 2 , A 12 = a 11 ∂ φ ∂ x ∂ ψ ∂ x + 2 a 12 ( ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y + ∂ φ ∂ y ∂ φ ∂ x ) + a 22 ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ y ( 3 ) A 11 = a 11 ( ∂ ψ ∂ x ) 2 + 2 a 12 ∂ ψ ∂ x ∂ ψ ∂ y + a 22 ( ∂ ψ ∂ y ) 2 A_{11}=a_{11}(\frac{\partial \varphi}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \varphi}{\partial y})^2 ,\\ A_{12}=a_{11}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}+2a_{12}(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \varphi}{\partial x})+a_{22}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \quad (3)\\ A_{11}=a_{11}(\frac{\partial \psi}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \psi}{\partial y})^2 A11=a11(xφ)2+2a12xφyφ+a22(yφ)2,A12=a11xφxψ+2a12(xφyφ+yφxφ)+a22yφyψ(3)A11=a11(xψ)2+2a12xψyψ+a22(yψ)2
    其他系数可推导而得。

    为化简方程中的二阶偏导数部分,由(3)式可见,若选取 φ ( x , y ) \varphi(x,y) φ(x,y) ψ ( x , y ) \psi(x,y) ψ(x,y)是一阶非线性偏微分方程
    a 11 ( ∂ z ∂ x ) 2 + 2 a 12 ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y + a 22 ( ∂ z ∂ y ) 2 = 0 (4) a_{11}(\frac{\partial z}{\partial x})^2+2a_{12}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial z}{\partial y})^2=0 \tag{4} a11(xz)2+2a12xzyz+a22(yz)2=0(4)
    的解,则新方程中 A 11 A_{11} A11 A 22 A_{22} A22至少有一个为0,方程化简。

    类似于之前对一阶线性偏微分方程的讨论,一阶偏微分方程(4)的求解归结为一阶常微分方程
    a 11 ( d y ) 2 − 2 a 12 d x d y + a 22 ( d x ) 2 = 0 (5) a_{11}(dy)^2-2a_{12}dxdy+a_{22}(dx)^2=0 \tag{5} a11(dy)22a12dxdy+a22(dx)2=0(5)
    的求解。相应地,有

    定理1:若 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h(h为常数)是常微分方程(5)的隐式通解(积分曲线族),则 z = φ ( x , y ) z=\varphi(x,y) z=φ(x,y)是偏微分方程(4)的解。定理的逆命题也成立。

    上述定理揭示了常微分方程(5)与二阶线性偏微分方程(2)之间的关系,提供了化简二阶线性偏微分方程的具体方法。称一阶常微分方程(5)为二阶线性偏微分方程(2)的特征方程,称特征方程的积分曲线为方程(2)的特征曲线

    2. 方程的分类、化简和标准形

    特征方程(4)的解取决于它的判别式
    Δ = a 12 2 − a 11 a 22 \Delta= a_{12}^2-a_{11}a_{22} Δ=a122a11a22
    由(3)式可推出,二阶线性偏微分方程(2)经过变量代换后得到的新方程式的判别式为
    A 12 2 − A 11 A 22 = J 2 Δ A_{12}^2-A_{11}A_{22}=J^2\Delta A122A11A22=J2Δ
    当Jacobi行列式 J ≠ 0 J\neq 0 J=0时,在自变量的变量代换下,判别式 Δ \Delta Δ的符号保持不变,反映了方程的本性,据此可将方程分类。

    ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点,若 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0,则称二阶线性偏微分方程(2)式在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点为双曲型的;若 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0则称(2)式在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)为抛物型的;若 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0,则称(2)式在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)为椭圆型的。若在平面区域D内有 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0,或 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0,则相应地称方程(2)在区域D内为双曲型、抛物型或椭圆型方程。若方程在区域D的一部分是双曲型的,另一部分是椭圆型的,而在交界线上是抛物型的,则称该方程在D内是混合型方程。

    易见,弦振动方程
    ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} t22u=a2x22u
    Δ ≡ a 2 > 0 \Delta\equiv a^2>0 Δa2>0

    一维热传导方程
    ∂ u ∂ t = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} tu=a2x22u
    Δ ≡ 0 \Delta \equiv 0 Δ0

    二维拉普拉斯方程
    ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 x22u+y22u=0
    Δ = − 1 < 0 \Delta=-1<0 Δ=1<0,它们在全平面上依次为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程。

    对于三种类型的二阶线性偏微分方程,可按以下步骤化简。

    Δ > 0 \Delta>0 Δ>0,特征方程(5)可分解为两个一阶常微分方程。不妨设 a 11 ≠ 0 a_{11}\neq 0 a11=0,此时,有
    d y d x = a 12 + Δ a 11 , d y d x = a 12 − Δ a 11 \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta}}{a_{11}},\quad \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta}}{a_{11}} dxdy=a11a12+Δ ,dxdy=a11a12Δ
    解得两族特征线
    φ ( x , y ) = h 1 , ψ ( x , y ) = h 2 \varphi(x,y)=h_1,\quad \psi(x,y)=h_2 φ(x,y)=h1,ψ(x,y)=h2
    ξ = φ ( x , y ) , η = ψ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y),\eta =\psi(x,y) ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y),由定理1和公式(3)知 A 11 = A 22 = 0 A_{11}=A_{22}=0 A11=A22=0,新方程(a)有简单形式
    ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η + 1 2 A 12 ( B 1 u ξ + B 2 u η + C u ) = 0 (7) \frac{\partial^2u}{\partial \xi\partial \eta}+\frac{1}{2A_{12}}(B_1u_{\xi}+B_2u_{\eta}+Cu)=0 \tag{7} ξη2u+2A121(B1uξ+B2uη+Cu)=0(7)
    因为沿两族特征线分别有
    ∂ φ ∂ x d x + ∂ φ ∂ y d y = 0 , ∂ ψ ∂ x d x + ∂ ψ ∂ y d y = 0 \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0, \quad \frac{\partial \psi}{\partial x}dx+\frac{\partial \psi}{\partial y}dy=0 xφdx+yφdy=0,xψdx+yψdy=0
    从而
    ∂ φ ∂ x / ∂ φ ∂ y = − a 12 + Δ a 11 , ∂ φ ∂ x / ∂ ψ ∂ y = − a 12 − Δ a 11 \frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta}}{a_{11}},\quad \frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \psi}{\partial y}=-\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta}}{a_{11}} xφ/yφ=a11a12+Δ ,xφ/yψ=a11a12Δ
    a 11 ≠ 0 a_{11}\neq 0 a11=0可知 ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ y ≠ 0 \frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0 yφyψ=0。从雅克比行列式算得
    J = − 2 Δ a 11 ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ y ≠ 0 J=-\frac{2\sqrt{\Delta}}{a_{11}}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0 J=a112Δ yφyψ=0
    ξ , η \xi,\eta ξ,η是两个独立的变量,同理由式(3)可算得
    A 12 = − 2 Δ a 11 ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ y ≠ 0 A_{12}=-\frac{2\Delta}{a_{11}}\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial y}\neq 0 A12=a112Δyφyψ=0
    B 1 , B 2 , C B_1,B_2,C B1,B2,C也可由推导出的公式算出

    若对式(7)再作变量代换
    s = 1 2 ( ξ + η ) , t = 1 2 ( ξ − η ) s=\frac{1}{2}(\xi+\eta),\quad t=\frac{1}{2}(\xi-\eta) s=21(ξ+η),t=21(ξη)
    可得方程
    ∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ s 2 + 1 A ^ 11 ( B ^ 1 u t + B ^ 2 u s + C ^ u ) = 0 (8) \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial s^2}+\frac{1}{\hat A_{11}}(\hat B_1u_t+\hat B_2u_s+ \hat Cu)=0 \tag{8} t22us22u+A^111(B^1ut+B^2us+C^u)=0(8)
    方程(7)和(8)都称为双曲型方程的标准型

    Δ = 0 \Delta=0 Δ=0时,由特征方程(5)只能得到一个一阶线性常微分方程。不妨设 a 11 ≠ 0 a_{11}\neq 0 a11=0,该方程为
    d y d x = a 12 a 11 \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}}{a_{11}} dxdy=a11a12
    解得一族特征曲线 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h。任取二元函数 ψ ( x , y ) \psi(x,y) ψ(x,y),使得 J = ∂ ( φ , ψ ) ∂ ( x , y ) ≠ 0 J=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}\neq 0 J=(x,y)(φ,ψ)=0。作变量代换
    ξ = φ ( x , y ) , η = ψ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y),\quad \eta=\psi(x,y) ξ=φ(x,y),η=ψ(x,y)
    可得 A 11 = 0 , A 22 ≠ 0 A_{11}=0,A_{22}\neq 0 A11=0,A22=0。因 a 12 2 = a 11 a 22 a_{12}^2=a_{11}a_{22} a122=a11a22 ∂ φ ∂ x / ∂ φ ∂ y = − a 22 a 11 \frac{\partial \varphi}{\partial x}/\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{a_{22}}{a_{11}} xφ/yφ=a11a22,从式(3)可得
    A 12 = 1 a 11 ( a 11 ∂ φ ∂ x + a 12 ∂ φ ∂ y ) ( a 11 ∂ ψ ∂ x + a 12 ∂ ψ ∂ y ) = 0 A_{12}=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \varphi}{\partial y})(a_{11}\frac{\partial \psi}{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \psi}{\partial y})=0 A12=a111(a11xφ+a12yφ)(a11xψ+a12yψ)=0
    新方程为
    ∂ 2 u ∂ η 2 + 1 A 22 ( B 1 ∂ u ∂ ξ + B 2 ∂ u ∂ η + C u ) = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+\frac{1}{A_{22}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu)=0 η22u+A221(B1ξu+B2ηu+Cu)=0
    称为抛物线方程的标准形

    Δ < 0 \Delta<0 Δ<0时,特征方程(5)只能在复数域内分解成两个一阶方程。不妨设 a 11 ≠ 0 a_{11}\neq 0 a11=0,相应的一阶方程为
    d y d x = a 12 + i − Δ a 11 和 d y d x = a 12 − i − Δ a 11 \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+i\sqrt{-\Delta}}{a_{11}}\quad 和 \quad \frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-i\sqrt{-\Delta}}{a_{11}} dxdy=a11a12+iΔ dxdy=a11a12iΔ
    此时,不存在实特征线,特征方程(5)的隐式通解为
    φ ( x , y ) ± i ψ ( x , y ) = h \varphi(x,y)\pm i\psi(x,y)=h φ(x,y)±iψ(x,y)=h
    为避免引入复变量,作变换
    { ξ = φ ( x , y ) η = ψ ( x , y ) \begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)
    由定理1将 z = φ ( x , y ) ± i ψ ( x , y ) z=\varphi(x,y)\pm i\psi(x,y) z=φ(x,y)±iψ(x,y)代入式(4),分别取实、虚部,可得 A 11 = A 22 , A 12 = 0 A_{11}=A_{22}, A_{12}=0 A11=A22,A12=0,则有新方程
    ∂ 2 u ∂ ξ 2 + ∂ 2 u ∂ η 2 + 1 A 11 ( B 1 ∂ u ∂ ξ + B 2 ∂ u ∂ η + C u ) = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial\eta^2}+\frac{1}{A_{11}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta}+Cu)=0 ξ22u+η22u+A111(B1ξu+B2ηu+Cu)=0
    称方程为椭圆型方程的标准型。

    一维波动方程、热传导方程和二维调和方程正式三类方程的最简单的标准性。

    例1:求方程
    x 2 ∂ 2 u ∂ x 2 − 2 x y ∂ 2 u ∂ x ∂ y + y 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 0 x^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2xy\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0 x2x22u2xyxy2u+y2y22u+xxu+yyu=0
    的通解。

    Δ = ( x y ) 2 − x 2 y 2 = 0 \Delta=(xy)^2-x^2y^2=0 Δ=(xy)2x2y2=0,方程为抛物型,特征方程
    x 2 ( d y ) 2 + 2 x y d x d y + y 2 ( d x ) 2 = ( x d y + y d x ) 2 = 0 x^2(dy)^2+2xydxdy+y^2(dx)^2=(xdy+ydx)^2=0 x2(dy)2+2xydxdy+y2(dx)2=(xdy+ydx)2=0

    y d x + x d y = 0 ydx+xdy=0 ydx+xdy=0
    积分得一族特征线
    x y = c xy=c xy=c
    作变量代换
    ξ = x y , η = y \xi=xy,\quad \eta=y ξ=xy,η=y
    可把方程变为
    η u η η + u η = 0 \eta u_{\eta\eta}+u\eta=0 ηuηη+uη=0
    v = u η v=u_\eta v=uη,得
    η v η + v = 0 \eta v_\eta+ v=0 ηvη+v=0
    解之得
    u η = v = φ ( ξ ) η − 1 u_{\eta}=v=\varphi(\xi)\eta^{-1} uη=v=φ(ξ)η1
    所以
    u = φ ( ξ ) l n ∣ η ∣ + ψ ( ξ ) = φ ( x y ) l n ∣ y ∣ + ψ ( x , y ) , y ≠ 0 u=\varphi(\xi)ln|\eta|+\psi(\xi)=\varphi(xy)ln|y|+\psi(x,y),\quad y\neq 0 u=φ(ξ)lnη+ψ(ξ)=φ(xy)lny+ψ(x,y),y=0
    其中, φ , ψ \varphi,\psi φ,ψ是任意二次可微函数。

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    对于一般的二阶线性非齐次微分方程

    a{y}''+b{y}'+cy=f\left ( t \right )

    我们先利用格林函数的思想来求解

    ay''+by'+cy=\int_{-\infty }^{t}f(\tau )\delta (t-\tau)d\tau

    固定每一个\tau时刻,假定我们能求解

    aG'+bG'+cG=\delta (t-\tau)

    那么可以证明原方程的解就是

    y(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)G(t-\tau)d\tau

    我们引入阶跃函数将上面等式上限变为正无穷

    y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)G(t-\tau)\epsilon(t-\tau) d\tau

    我们将上式改写为卷积形式

    y(t)=f(t)* G(t)\epsilon (t)

    到这里我们已经形式上解决了这个一般的问题。我们只需要求解G(t),通过一个积分计算,即解决了这个一般性问题。当然这样计算未必很好算。

    求解G(t)最直接的方法是拉普拉斯变换法,这样即可以解出G(t)。这样对所有f(t), 我们都可以通过相同的方法找到通解,这就是信号与系统中核心思想。

    直接运用拉普拉斯变换也可以导出相同的结论,很容易的得到

    Y(s)=F(s)(1/as^2 + bs + c)

    我们将上式反变换写成卷积的形式,并注意到阶跃函数的存在,可以发现积分范围这里是o到t。

    实际上,当存在两个实根时,我们是可以快速写出其一般形式解的。

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二阶非线性偏微分方程