一般地，n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为
$$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{j=1}^n{b}_j(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_j}+c(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)u=f(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$
当系数$a_{ij},b_j,c$均为常数时，称为常系数线性偏微分方程，否则为变系数的，且总可假定$a_{ij}=a_{ji}$。方程中不含未知函数的项$f(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_n)$称为非齐次项，当$f\equiv 0$时方程为二阶齐次线性偏微分方程，否则为非齐次的。

作为（1）式的特殊情况，一维波动方程能分解为两个一阶线性偏微分方程，从而利用特征线求出其通解。对于一般的二阶线性偏微分方程（1），接下来将通过自变量的变量代换化简方程中的二阶偏导数部分，并用方程在变量代换下的不变性对方程进行分类。这里只讨论两个自变量的情形。

1. 特征方程和特征线

两个自变量的二阶齐次线性偏微分方程为
$$a_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+2a_{12}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+a_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partial u}{\partial y}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$a_{11},a_{12},a_{22}$不同时为0，这里略写了已知函数$a_{ij},b_j(i,j=1,2)$和c的自变量。

设有自变量的变量代换
$$\{\begin{array}{l}\xi =\phi (x,y),\\ \eta =\psi (x,y),\end{array}$$
其中，函数$\phi ,\psi$有二阶连续偏导，雅可比（Jacobi）行列式
$$J=\frac{\partial (\phi ,\psi )}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \phi }{\partial x}& \frac{\partial \phi }{\partial y}\\ \frac{\partial \psi }{\partial x}& \frac{\partial \psi }{\partial y}\end{array}\right|\ne 0$$
以保证函数$\phi ,\psi$相互独立，有反函数存在。未知函数u作为新的自变量$\xi ,\eta$的函数仍记为$u(\xi ,\eta )$，利用复合函数求导的链式法则，可将方程（2）变成一个新的二阶线性偏微分方程
$$A_{11}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}+2A_{12}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }+A_{22}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}+B_1\frac{\partial u}{\partial \xi }+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta }+Cu=0\text{\hspace{1em}(a)}$$
其中，二阶偏导数项的系数
$$\begin{gathered} A_{11}=a_{11}(\frac{\partial \phi }{\partial x}{)}^2+2a_{12}\frac{\partial \phi }{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \phi }{\partial y}{)}^2, \\ {A}_{12}=a_{11}\frac{\partial \phi }{\partial x}\frac{\partial \psi }{\partial x}+2a_{12}(\frac{\partial \phi }{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial y}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{\partial \phi }{\partial x})+a_{22}\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial y}(3) \\ {A}_{11}=a_{11}(\frac{\partial \psi }{\partial x}{)}^2+2a_{12}\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial \psi }{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial \psi }{\partial y}{)}^2 \end{gathered}$$
其他系数可推导而得。

为化简方程中的二阶偏导数部分，由（3）式可见，若选取$\phi (x,y)$或$\psi (x,y)$是一阶非线性偏微分方程
$$a_{11}(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+2a_{12}\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}+a_{22}(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2=0\text{\hspace{1em}(4)}$$
的解，则新方程中$A_{11}$与$A_{22}$至少有一个为0，方程化简。

类似于之前对一阶线性偏微分方程的讨论，一阶偏微分方程(4)的求解归结为一阶常微分方程
$$a_{11}(dy{)}^2-2a_{12}dxdy+a_{22}(dx{)}^2=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
的求解。相应地，有

定理1：若$\phi (x,y)=h$（h为常数）是常微分方程（5）的隐式通解（积分曲线族），则$z=\phi (x,y)$是偏微分方程（4）的解。定理的逆命题也成立。

上述定理揭示了常微分方程（5）与二阶线性偏微分方程（2）之间的关系，提供了化简二阶线性偏微分方程的具体方法。称一阶常微分方程（5）为二阶线性偏微分方程（2）的特征方程，称特征方程的积分曲线为方程（2）的特征曲线。

2. 方程的分类、化简和标准形

特征方程（4）的解取决于它的判别式
$$\Delta =a_{12}^2-a_{11}{a}_{22}$$
由（3）式可推出，二阶线性偏微分方程（2）经过变量代换后得到的新方程式的判别式为
$$A_{12}^2-A_{11}{A}_{22}=J^2\Delta$$
当Jacobi行列式$J\ne 0$时，在自变量的变量代换下，判别式$\Delta$的符号保持不变，反映了方程的本性，据此可将方程分类。

在$(x_0,y_0)$点，若$\Delta >0$，则称二阶线性偏微分方程（2）式在$(x_0,y_0)$点为双曲型的；若$\Delta =0$则称（2）式在$(x_0,y_0)$为抛物型的；若$\Delta <0$，则称（2）式在$(x_0,y_0)$为椭圆型的。若在平面区域D内有$\Delta >0$或$\Delta =0$，或$\Delta <0$，则相应地称方程（2）在区域D内为双曲型、抛物型或椭圆型方程。若方程在区域D的一部分是双曲型的，另一部分是椭圆型的，而在交界线上是抛物型的，则称该方程在D内是混合型方程。

易见，弦振动方程
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
的$\Delta \equiv a^2>0$

一维热传导方程
$$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
的$\Delta \equiv 0$

二维拉普拉斯方程
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$
的$\Delta =-1<0$，它们在全平面上依次为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程。

对于三种类型的二阶线性偏微分方程，可按以下步骤化简。

当$\Delta >0$，特征方程（5）可分解为两个一阶常微分方程。不妨设$a_{11}\ne 0$，此时，有
$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta }}{a_{11}},\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta }}{a_{11}}$$
解得两族特征线
$$\phi (x,y)=h_1,\psi (x,y)=h_2$$
令$\xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)$，由定理1和公式（3）知$A_{11}=A_{22}=0$，新方程（a）有简单形式
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }+\frac{1}{2A_{12}}(B_1{u}_{\xi }+B_2{u}_{\eta }+Cu)=0\text{\hspace{1em}(7)}$$
因为沿两族特征线分别有
$$\frac{\partial \phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \phi }{\partial y}dy=0,\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=0$$
从而
$$\frac{\partial \phi }{\partial x}/\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{a_{12}+\sqrt{\Delta }}{a_{11}},\frac{\partial \phi }{\partial x}/\frac{\partial \psi }{\partial y}=-\frac{a_{12}-\sqrt{\Delta }}{a_{11}}$$
由$a_{11}\ne 0$可知$\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial y}\ne 0$。从雅克比行列式算得
$$J=-\frac{2\sqrt{\Delta }}{a_{11}}\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial y}\ne 0$$
故$\xi ,\eta$是两个独立的变量，同理由式（3）可算得
$$A_{12}=-\frac{2\Delta }{a_{11}}\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial y}\ne 0$$
而$B_1,B_2,C$也可由推导出的公式算出

若对式（7）再作变量代换
$$s=\frac{1}{2}(\xi +\eta ),t=\frac{1}{2}(\xi -\eta )$$
可得方程
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial s^2}+\frac{1}{{\hat{A}}_{11}}({\hat{B}}_1{u}_t+{\hat{B}}_2{u}_s+\hat{C}u)=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
方程（7）和（8）都称为双曲型方程的标准型。

当$\Delta =0$时，由特征方程（5）只能得到一个一阶线性常微分方程。不妨设$a_{11}\ne 0$，该方程为
$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}}{a_{11}}$$
解得一族特征曲线$\phi (x,y)=h$。任取二元函数$\psi (x,y)$，使得$J=\frac{\partial (\phi ,\psi )}{\partial (x,y)}\ne 0$。作变量代换
$$\xi =\phi (x,y),\eta =\psi (x,y)$$
可得$A_{11}=0,A_{22}\ne 0$。因$a_{12}^2=a_{11}{a}_{22}$，$\frac{\partial \phi }{\partial x}/\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{a_{22}}{a_{11}}$，从式（3）可得
$$A_{12}=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}\frac{\partial \phi }{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \phi }{\partial y})(a_{11}\frac{\partial \psi }{\partial x}+a_{12}\frac{\partial \psi }{\partial y})=0$$
新方程为
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}+\frac{1}{A_{22}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi }+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta }+Cu)=0$$
称为抛物线方程的标准形。

当$\Delta <0$时，特征方程（5）只能在复数域内分解成两个一阶方程。不妨设$a_{11}\ne 0$，相应的一阶方程为
$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}+i\sqrt{-\Delta }}{a_{11}}和\frac{dy}{dx}=\frac{a_{12}-i\sqrt{-\Delta }}{a_{11}}$$
此时，不存在实特征线，特征方程（5）的隐式通解为
$$\phi (x,y)\pm i\psi (x,y)=h$$
为避免引入复变量，作变换
$$\{\begin{array}{l}\xi =\phi (x,y)\\ \eta =\psi (x,y)\end{array}$$
由定理1将$z=\phi (x,y)\pm i\psi (x,y)$代入式（4），分别取实、虚部，可得$A_{11}=A_{22},A_{12}=0$，则有新方程
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\eta }^2}+\frac{1}{A_{11}}(B_1\frac{\partial u}{\partial \xi }+B_2\frac{\partial u}{\partial \eta }+Cu)=0$$
称方程为椭圆型方程的标准型。

一维波动方程、热传导方程和二维调和方程正式三类方程的最简单的标准性。

例1：求方程
$$x^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2xy\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=0$$
的通解。

解：$\Delta =(xy{)}^2-x^2{y}^2=0$，方程为抛物型，特征方程
$$x^2(dy{)}^2+2xydxdy+y^2(dx{)}^2=(xdy+ydx{)}^2=0$$
即
$$ydx+xdy=0$$
积分得一族特征线
$$xy=c$$
作变量代换
$$\xi =xy,\eta =y$$
可把方程变为
$$\eta u_{\eta \eta }+u\eta =0$$
令$v=u_{\eta }$，得
$$\eta v_{\eta }+v=0$$
解之得
$$u_{\eta }=v=\phi (\xi ){\eta }^{-1}$$
所以
$$u=\phi (\xi )ln|\eta |+\psi (\xi )=\phi (xy)ln|y|+\psi (x,y),y\ne 0$$
其中，$\phi ,\psi$是任意二次可微函数。

对于一般的二阶线性非齐次微分方程

我们先利用格林函数的思想来求解

固定每一个时刻，假定我们能求解

那么可以证明原方程的解就是

我们引入阶跃函数将上面等式上限变为正无穷

我们将上式改写为卷积形式

到这里我们已经形式上解决了这个一般的问题。我们只需要求解G(t)，通过一个积分计算，即解决了这个一般性问题。当然这样计算未必很好算。

求解G(t)最直接的方法是拉普拉斯变换法，这样即可以解出G(t)。这样对所有f(t), 我们都可以通过相同的方法找到通解，这就是信号与系统中核心思想。

直接运用拉普拉斯变换也可以导出相同的结论，很容易的得到

Y(s)=F(s)(1/as^2 + bs + c)

我们将上式反变换写成卷积的形式，并注意到阶跃函数的存在，可以发现积分范围这里是o到t。

实际上，当存在两个实根时，我们是可以快速写出其一般形式解的。