n阶线性偏微分方程的求解对于我目前的问题来说没什么用，我只是解二阶线性偏微分方程。

下面我只讲二阶方程如何解

 

2.1 一维波动方程的解

 

2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0   (当然2.2.1简单的讨论了非齐次的情形)

2.2.1 L(Dx,Dy)为Dx与Dy的齐次式  只考二阶

代数特征方程的解都不相同 α=a1，a2   a1 != a2

那么 u=Φ1*(y+a1*x) + Φ2*(y+a2*x)

代数特征方程的解都相同 α=a1，a2     a1=a2=a

那么 u=x*Φ1*(y+a*x) + Φ2*(y+a*x)

 

注：代数特征方程的写法如下

(Dx**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2)u = 0

L  = Dt**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2 = (Dt - a*Dx)**2

令 α=Dt/Dx

则代数特征方程为 (α-a)**2 = 0

 

2.2.1 L(Dx,Dy)不为Dx与Dy的齐次式   只考一阶

(Dx-α*Dy-β)*u = 0

则u=Φ*(y + αx)*exp(βx)

 

2.2.1 分解因式

先看L能否分解因式，如果能的话，对各个因式分别写出代数特征方程进行求通解

最后将所有因式的通解求和，便是最终的通解u

 

2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 Lu=f(x,y)

2.3.1 f=exp(ax+by)

方程特解 u* = 1/L(a,b)*f

 

2.3.1 f=exp((ax+by)*i) 

方程特解 u* = 1/L(i*a,i*b)*f

 

2.3.1 f=sin(ax+by)  或 cos(ax+by)

方程特解 u*只要取 1/L(i*a,i*b)*f 相应的实部或虚部即可

 

2.3.1 f=g(x,y)*exp(ax+by)

先求解 Lv=g(x,y)  得该方程的特解v*

最终方程特解 u* = v* * exp(ax+by)

 

2.3.1 f= g(ax+by)  L为Dx Dy的n次

方程特解 u* = 1/L(a,b)*G(z)

注：令z=ax+by  G(z)是g(z)的n次积分

 

2.3.1 f=x^m * y^n 或 f=x^m + y^n

L = Dx

特解u*=1/Dx * f  

注：相当于f对x求积分

 

L = DxDy

特解u*=1/Dx/Dy * f

注：相当于f先对y积分 再对x积分

 

注：Dx*G 相当于G对x求导；1/Dx*G 相当于G对x求积分

注：有时还需利用级数展开



如这个式子，利用1/(1-x) 展开，高阶的省略，只保留前 max(m,n) 阶即可

叠加原理和齐次化原理
从通解求特解的方法对多数偏微分方程定解问题不适用。求解线性偏微分方程定解问题较多采用以下做法：先求方程的一族特殊解，再将这族特殊解作适当线性叠加求得定解问题的特解。接下将介绍这种做法的理论根据——线性叠加原理，以及由叠加原理导出的处理非齐次方程初值问题的齐次化原理。
1. 线性叠加原理
n个自变量的二阶线性偏微分方程

$\sum_{i,j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f$

引入偏微分算子

$L=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial}{\partial x_j}+c \tag{1}$

则可简单表示为

$Lu(\bold x)=f(\bold x),\quad \bold x=(x_1,x_2,···,x_n)$

一般地，称从一个函数类（定义域）到另一个函数类（值域）的映射T为一个算子。如果定义域与值域都是数域$\Lambda$上的线性空间，对定义域中任意两个函数$u_1,u_2$和$\Lambda$中任意两个数$\lambda_1,\lambda_2$有$T(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)=\lambda_1Tu_1+\lambda_2Tu_2$，则称T是线性算子。
显然，上述二阶偏微分算子（1）式是函数空间$C^2$到$C$的线性算子，拉普拉斯算子$\Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$是其特殊情况。Fourier变换$F[f(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx$，Laplace变换$L[f(t)]=\int^{+\infty}_0f(t)e^{-pt}dt$都是线性积分算子。若记$L_1=lim_{t\to 0},L_2=lim_{t\to 0}\frac{\partial}{\partial t},L_3=lim_{x\to x_0}(\alpha+\beta\frac{\partial}{\partial n})$，则初始条件、边界条件均可表示为线性算子形式

$L_ju(x)=\varphi(x)$

由线性算子的定义，我们有
定理1：(叠加原理)设L是关于$\bold x=(x_1,x_2,···,x_n)$的任意阶线性微分算子（常或偏），则有
（1）有限叠加原理：若$u_j(\bold x)$满足$Lu_j(\bold x)=f_j(\bold x)(j=1,2,···,m)$，则当$u(\bold x)=\sum_{j=1}^m\lambda_ju_j(x)$时，有$Lu(\bold x)=\sum_{j=1}^m\lambda_jf_j(x),\quad\lambda_j\in \Lambda,\quad j=1,2,···,m$。
（2）级数叠加原理：若$u_j(x)$满足$Lu_j(\bold x)=f_j(\bold x)(j=1,2,···),$则当$u(\bold x)=\sum_{j=1}^\infty \lambda_ju_j(x)$时，有$Lu(x)=\sum_{j=1}^\infty \lambda_jf_j(\bold x), \space \lambda_j\in \Lambda，j=1,2,···$
（3）积分叠加原理：若$u(\bold x;\xi)$满足$Lu(\bold x;\bold \xi)=f(\bold x;\bold \xi),\quad \xi\in V$，则当$U(\bold x)=\int_V\lambda(\bold \xi)u(\bold x;\bold \xi)d\xi$时，有$LU(\bold x)=\int_V \lambda(\xi)f(\bold x;\bold \xi)d\xi, \lambda(\xi)\in \Lambda, \xi\in V$
有限叠加原理是线性算子定义的直接推广，而级数叠加原理及积分叠加原理分别要求有关函数项级数、含参量积分收敛，算子L与求和号、积分号可交换次序。在经典意义下这些条件要求很高，实际问题不一定能满足，但是在推广意义下，这种交换总是可进行的。今后，我们将不受限制地使用这些叠加原理。
在物理问题中，方程或定解条件中的非齐次项通常反映引起物理过程的源，线性叠加原理则说明多个源共同作用的结果等于各个源单独作用的总和，这在物理上称为独立作用原理，这是线性问题的基本特征。利用叠加原理我们总可以把一个较复杂的线性问题分解成若干简单线性问题来求解。
例1：求解狄利克雷问题

$\begin{cases}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=1,\quad x^2+y^2=1 \\
u|_{x^2+y^2=1}=x^2
\end{cases}$

解：易见$u_0=\frac{1}{4}(x^2+y^2)$是非齐次泛定方程的一个特解。令$v=u-u_0$，由叠加原理知，v满足边值问题

$\begin{cases}
\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0 \\
v|_{x^2+y^2=1}=x^2-\frac{1}{4}
\end{cases}$

解析函数$z^n(z=x+iy)$的实、虚部均为调和函数，故$1,x,y,x^2-y^2,xy$为次数不超过2的调和多项式，故可设

$v=v_0+a_1x+a_2y+a_3(x^2-y^2)+a_4xy$

由叠加原理知，对任意一组$\{a_j,j=0,1,···,4\}$，v都是拉普拉斯方程的解。代入边界条件

$v|_{x^2+y^2=1}=a_0+a_1x+a_2\sqrt{1-x^2}+a_3(2x^2-1)+a_4x\sqrt{1-x^2}=x^2-\frac{1}{4}$

比较系数，可得

$v=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(x^2-y^2)$

从而

$u=\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}$

对于非线性方程，自然不存在线性叠加原理，因此求解要困难得多。对某些特殊的非线性方程，如果能发现某种形式的叠加原理，则对此非线性问题的研究有重大意义。
2. 齐次化原理（冲量原理）
例1中通过求非齐次方程的一个特解将方程齐次化。齐次化原理将解决一般非齐次发展方程齐次化的问题。
仍以理想弦的横振动为例，考虑在外力作用下弦的纯受迫振动

$\begin{cases}
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x),\quad t>0,\quad -\infty<x<+\infty \\
u|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0
\end{cases} \tag{2}$

这里，$f(t,x)$是作用在弦身单位质量上的外力，$u(t,x)$是由此外力从初始时刻$t=0$持续到t时刻作用引起的位移。由独立作用原理,$u(t,x)$可看成前后相继的瞬间外力作用冲量$f(\tau,x)d\tau(0\leq \tau \leq t)$在t时刻引起的位移$\omega(t,x;\tau)dr$关于$dr$的叠加，即$u(t,x)=\int_0^t\omega(t,x;\tau)d\tau$。x显然，当$t<\tau$时$\omega（t,x;\tau）\equiv 0$，当$t>\tau$时，$\tau$时刻瞬间冲量的作用已转化为从$t=\tau-0$到$t=\tau+0$动量的增加，故$w(t,x;\tau)$应满足

$\begin{cases}
\frac{\partial^2 \omega}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 \omega}{\partial x^2},\quad t>\tau, \space -\infty<x<+\infty \\
w|_{t=0}=0, \quad \frac{\partial w}{\partial t}|_{t=\tau}=f(\tau,x)
\end{cases} \tag{3}$

而（2）的解则为

$u(t,x)=\int_0^tw(t,x;\tau)d\tau \tag{4}$

实际上，当$w(t,x;\tau)$是问题（3）的解时，由（4）可验证

$u|_{t=0}=0 \\
\frac{\partial u}{\partial t}=w(t,x;\tau)|_{\tau=t}+\int_0^t\frac{\partial \omega(t,x;\tau)}{\partial t}d\tau=\int_0^t\frac{\partial \omega(t,x;r)}{\partial t}d\tau \\
\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0 \\
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial \omega(t,x;r)}{\partial t}|_{\tau=t}+\int_0^t\frac{\partial^2\omega(t,x;\tau)}{\partial t^2}dr=f(t,x)+a^2\int_0^t\frac{\partial^2w(t,x;r)}{\partial x^2}dr=f(t,x)+a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

故式（4）给出了纯受迫振动（2）的解。在（3）中令$t'=t-\tau,\omega(t,x;\tau)$可由达朗贝尔公式得到，故纯受迫振动

$u(t,x)=\frac{1}{2a}\int_0^td\tau \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\tau,\xi)d\xi$

若作变量代换$r=a(t-\tau)$，则

$u(t,x)=\frac{1}{2a^2}\int_0^{at}dr\int_{x-r}^{x+r}f(t-\frac{r}{a},\xi)d\xi$

由此可见纯外力引起的x点t时刻的位移受$[x-at,x+at]$内各点所受外力的影响，而在$[x-r,x+r](0\leq r<at)$上的外力是$t-\frac{r}{a}$时刻的
由叠加原理可写出一般弦振动方程初值问题

$\begin{cases}
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x), \quad t>0,-\infty<x<+\infty \\
u|_{t=0}=\varphi(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x)
\end{cases}$

的解

$u(t,x)=\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi+\frac{1}{2a}\int_0^tdr\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\tau,\xi)d\xi$

将此齐次化方法推广到一般发展方程的初值问题，有如下原理。
定理：（齐次化原理）设L是关于t与$x=(x_1,x_2,···,x_n)$中各分量的线性偏微分算子，其中关于t的最高阶导数不超过$m-1$阶。若$\omega(t,x;\tau)$满足齐次方程初值问题

$\begin{cases}
\frac{\partial^mw}{\partial t^m}=Lw,\quad t>\tau>0,x\in R^n \\
w|_{t=\tau}=\frac{\partial w}{\partial t}|_{t=\tau}=···=\frac{\partial^{m-2}\omega}{\partial t^{m-2}}|_{t=r}=0 ,\\
\frac{\partial^{m-1}w}{\partial t^{m-1}}|_{t=\tau}=f(\tau,\bold x)
\end{cases} \tag{5}$

则

$u(t,\bold x)=\int_0^tw(t,\bold x;\tau)d\tau \tag{6}$

是非齐次方程初值问题

$\begin{cases}
\frac{\partial^mu}{\partial t^m}=Lu+f(t,w),\quad t>0,\bold x\in R^n \\
u|_{t=0}=\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=···=\frac{\partial^{m-1}u}{\partial t^{m-1}}|_{t=0}=0
\end{cases} \tag{7}$

的解。
定理不难直接验证。因为初值问题是适定的,式（6）给出了初值问题（7）的唯一解。当$x\in V \subset R^n$，齐次化原理仍然成立，只需在式（5）和式（7）中分别增加齐次边界条件$L_1w|_{\partial V=0}$和$L_1u|_{\partial V}=0$，$L_1$是关于x的线性偏微分算子。这就是混合问题的齐次化原理。由齐次化原理知，今后对线性发展方程定解问题的讨论主要集中于齐次方程。

2个自变量+拟线性
先考虑只有两个自变量的二阶拟线性方程的定解问题
a,b,c和F都是 
 的已知函数，T是xOy平面上的一条曲线
特征理论
问题
能否唯一确定函数u的各二阶偏导 
在 
 上
的值？
解
列出关于
在 
 上的方程组
求出系数行列式的结果
判断是否为特征方程、特征曲线
由定解问题的初始条件，可得
得到关于
在 
 上的方程
得到系数行列式
对于系数行列式 
曲线 
 为
非特征曲线：
 时，
 上的
只有唯一解
曲线 
 为
特征曲线： 
 时，
 上的
无解或有无穷解
为
特征方程
特征方程的其他写法
（1）dy dx写法
因为
所以特征方程又写作
解得
(2) 用曲线隐函数表达式写法
若 
 不用参数表达式，用隐函数表达式 
因为 
 也可写成参数表达式形式，所以上述式可相等
所以，在隐函数表达式下，特征方程写作
二阶方程的分类
二次曲线分类
 判别式 
 双曲线
 抛物线
 椭圆线
二阶方程分类：这里的 
是判别式，前面的是特征方程
设 
 是一个区域， 
abcdegf都是关于xy的已知函数
方程在某点 
 处为：
双曲型偏微分方程： 
抛物型偏微分方程： 
椭圆型偏微分方程： 
对于某区域：
方程在某点领域：双曲、椭圆形偏微分方程在某点的领域类型，与在该点的类型相同。但抛物型则不知。
方程在区域 
 的类型：
混合型方程：方程在
的一个子区域为双曲型，另一个子区域为椭圆形
退化双曲型方程：方程在
的一个子区域为双曲型，在其余点（不一定构成子区域）为抛物型
退化椭圆形方程：放在在
的一个子区域为椭圆型，在其余点（不一定构成子区域）我抛物型
方程标准型
abcdeg均为常数，a不等于0
分析
换元得到新方程+求解特征方程：
令 
则
代回原泛定方程，得 
        其中
发现A、C均为特征方程形式
由特征方程 
 可得 
双曲型方程
可从特征方程的解求得两族特征线，
令
则这个变换满足特征方程，从而使得A、C均等于0
由此得到双曲型方程的第一标准型：
令 
 ,用求解第一标准型相同的方法
可得第二标准型
抛物型
因为 
 所以只能从特征方程求得一族双曲线 
所以令 
此时 
 可以令A = 0， 
 可以令B = 0
同求双曲线第一标准型的方法，得到抛物型方程的标准型
椭圆形
此时特征方程没有实解，但有虚解 
可以求得两族虚特征线
为了消除复数，做如下变换
按照求双曲型第一标准型的方法，可得椭圆型方程的标准型：
多个自变量+线性
有如下定解问题
S为曲面： 
a、b、c、f均是已知的关于 
 的函数
特征理论
问题
唯一确定u的各二阶导数 
在S上的值
解
（1）当S为超平面时，设该超平面为 
(超平面：一个n维中n-1维的子空间，可以把n维空间分成不相交的两部分)
写出定解问题
从初值条件可以得出 
  ,
从泛定方程求得 
从 
 讨论S是否为特征曲面
定解问题如下
由边界条件 1 可以求出 
  ，边界条件 2 可以求出
剩下 
 未知
求 
，由泛定方程
S为非特征曲面：当 
 时， 
 有唯一解
S为特征曲面：当 
 时， 
 无解或有解，有解需满足如下相容性条件
（2）当S为一般曲面时（这里让S为正规曲面）
将一般曲面变换为超平面：换+验证
写出新空间下的定解问题
同上述超平面解法
1
将S进行拓扑变换，将S由空间 
 转移到空间 
 ，该新空间要满足：
S在新空间里是超平面 
已知 
 可得 
已知 
 可得 
作如下变换：
证明该平面符合要求：
因为S是正规曲面，所以对任意点 
 有 
即 
由反函数定理，可得已知 
 时可求得 
23
在可逆变化下，仍变为一个二阶线性方程
在新空间中的定解问题如下：
可求出 
 与 
 ，剩下 
 未知
因为
其中， 
S为非特征曲面：当 
 唯一解
S为特征曲面：当 
 无解或满足相容性条件时无穷解
 为特征方程、
特征方程的其他形式
（?）曲面S法线方向余弦：
所以特征方程又写作 
分类与标准型
仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程
a均为常数， 
方程标准型
概念解释： 
特征方程： 
特征二次型： 
二次型：n个变量的二次多项式。
二次型的标准型：二次型自变量经过 
 变化后，变成二次项里只有平方项的形式
例子
求解方程标准型：
令特征二次型 
  （因为a是常数所以矩阵A全是常数）
将特征二次型化为标准型：
     其中 
 是关于λ的对角矩阵，其中λ取值为0、1、-1
令 
 ，从而将原泛定方程转化为
得到多个自变量的二阶线性方程的标准型（主部是常系数）
根据标准型分类
椭圆、双曲型：λ全不为0
椭圆型偏微分方程：λ全是1或全是-1
双曲型偏微分方程：
λ其中一个为1，另外n-1个为-1
λ其中一个为-1，另外n-1个位1
超双曲型偏微分方程：λ取1和-1的个数都超过一个（说明自变量个数大于等于4个）
抛物型偏微分方程：λ中有一个为0，其余全为1或-1

微分方程
边值问题 -防热服
把偏微分方程变为标准形式
研究：物理学、统计学、生物学
假设从多到少，合理（针对探究对象），以斜上抛运动为例，先有基础模型，再进行改进。
马尔萨斯人口模型：差分方程—>微分方程 但应用比较少。
改进：考虑剩余环境容纳量，logistic模型
再改进…
负密度依赖：密度越大，增长越慢
弦振动、热传导方程
微分方程的解法
1.可分离变量的

2.一阶线性常微分

3.二阶常系数线性齐次

4.二阶常系数线性非齐次微分方程

5.可降阶的（3）
偏微分方程求解
1.变量分离法（变量独立的）

2.行波法（叠加）

3.特殊函数法

4.积分变换法

5.格林函数法
微分方程的变形
一、常微分方程的线性化：
​	高阶常微分方程化为一阶常微分方程组

​	一阶齐次偏微分方程化为一阶常微分方程组

​	非自治—>自治方程组

​	自治非线性方程组变为自治线性方程组（多见）：线性	化：泰勒公式[一元函数]、
二、二阶偏微分方程
化为标准型，结论：

双曲型方程、抛物型、椭圆型；

注：同方程的种类，算法不同；非标准形式变为标准形式（微分方程的标准化）；现有的算法针对标准化的方程
三、微分方程数值解：
1.Matlab： ode系列命令（有局限性）、dde系列命令（实治）

2.欧拉法

3.龙格—库塔法

4.线性多步法

偏微分方程：

1.有限差分法（显式格式，隐式格式）pdetools

注：偏微分要化为标准形式

精度不高，速度快

2.有限元法

注：精度高，语言下的算法