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  • "讨论形如 ut = F(u,ux,uxx)的非线性偏微分方程由可积系统 vx = P(v,u,ux),vt = Q( v,u,ux)定义的
  • n阶线性偏微分方程的求解对于我目前的问题来说没什么用,我只是解二阶线性偏微分方程。 下面我只讲二阶方程如何解 2.1 一维波动方程的解 2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0 (当然2.2.1简单的讨论了齐...

    n阶线性偏微分方程的求解对于我目前的问题来说没什么用,我只是解二阶线性偏微分方程

    下面我只讲二阶方程如何解

     

    2.1 一维波动方程的解

     

    2.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 Lu=0   (当然2.2.1简单的讨论了非齐次的情形)

    2.2.1 L(Dx,Dy)为Dx与Dy的齐次式  只考二阶

    代数特征方程的解都不相同 α=a1,a2   a1 != a2

    那么 u=Φ1*(y+a1*x) + Φ2*(y+a2*x)

    代数特征方程的解都相同 α=a1,a2     a1=a2=a

    那么 u=x*Φ1*(y+a*x) + Φ2*(y+a*x)

     

    注:代数特征方程的写法如下

    (Dx**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2)u = 0

    L  = Dt**2 - 2*a*Dt*Dx + a**2*Dx**2 = (Dt - a*Dx)**2

    令 α=Dt/Dx

    则代数特征方程为 (α-a)**2 = 0

     

    2.2.1 L(Dx,Dy)不为Dx与Dy的齐次式   只考一阶

    (Dx-α*Dy-β)*u = 0

    则u=Φ*(y + αx)*exp(βx)

     

    2.2.1 分解因式

    先看L能否分解因式,如果能的话,对各个因式分别写出代数特征方程进行求通解

    最后将所有因式的通解求和,便是最终的通解u

     

    2.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 Lu=f(x,y)

    2.3.1 f=exp(ax+by)

    方程特解 u* = 1/L(a,b)*f

     

    2.3.1 f=exp((ax+by)*i)

    方程特解 u* = 1/L(i*a,i*b)*f

     

    2.3.1 f=sin(ax+by)  或 cos(ax+by)

    方程特解 u*只要取 1/L(i*a,i*b)*f 相应的实部或虚部即可

     

    2.3.1 f=g(x,y)*exp(ax+by)

    先求解 Lv=g(x,y)  得该方程的特解v*

    最终方程特解 u* = v* * exp(ax+by)

     

    2.3.1 f= g(ax+by)  L为Dx Dy的n次

    方程特解 u* = 1/L(a,b)*G(z)

    注:令z=ax+by  G(z)是g(z)的n次积分

     

    2.3.1 f=x^m * y^n 或 f=x^m + y^n

    L = Dx

    特解u*=1/Dx * f  

    注:相当于f对x求积分

     

    L = DxDy

    特解u*=1/Dx/Dy * f

    注:相当于f先对y积分 再对x积分

     

    注:Dx*G 相当于G对x求导;1/Dx*G 相当于G对x求积分

    注:有时还需利用级数展开

    如这个式子,利用1/(1-x) 展开,高阶的省略,只保留前 max(m,n) 阶即可

    展开全文
  • 1 带弱条件的非线性椭圆型方程方程组 2 高阶椭圆型方程组 3 可测系数的二阶非线性非散度型抛物型方程 4 可测系数的二阶非线性非散度型抛物型方程组 5 一阶与二阶双曲型复方程 6 一阶与二阶混合型复方程
  • 叠加原理和齐次化原理 从通解求特解的方法对多数偏微分方程定解问题不适用。求解线性偏微分方程定解问题较多采用以下做法:先求方程的一族...n个自变量的二阶线性偏微分方程 ∑i,j=1naij∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj∂u...

    叠加原理和齐次化原理

    从通解求特解的方法对多数偏微分方程定解问题不适用。求解线性偏微分方程定解问题较多采用以下做法:先求方程的一族特殊解,再将这族特殊解作适当线性叠加求得定解问题的特解。接下将介绍这种做法的理论根据——线性叠加原理,以及由叠加原理导出的处理非齐次方程初值问题的齐次化原理。

    1. 线性叠加原理

    n个自变量的二阶线性偏微分方程
    i,j=1naij2uxixj+j=1nbjuxj+cu=f \sum_{i,j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f
    引入偏微分算子
    L=i,j=1naij2xixj+j=1nbjxj+c(1) L=\sum_{i,j=1}^na_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial}{\partial x_j}+c \tag{1}
    则可简单表示为
    Lu(x)=f(x),x=(x1,x2,,xn) Lu(\bold x)=f(\bold x),\quad \bold x=(x_1,x_2,···,x_n)
    一般地,称从一个函数类(定义域)到另一个函数类(值域)的映射T为一个算子。如果定义域与值域都是数域Λ\Lambda上的线性空间,对定义域中任意两个函数u1,u2u_1,u_2Λ\Lambda中任意两个数λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2T(λ1u1+λ2u2)=λ1Tu1+λ2Tu2T(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)=\lambda_1Tu_1+\lambda_2Tu_2,则称T是线性算子。

    显然,上述二阶偏微分算子(1)式是函数空间C2C^2CC的线性算子,拉普拉斯算子Δ3=2x2+2y2+2z2\Delta_3=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}是其特殊情况。Fourier变换F[f(x)]=+f(x)eiλxdxF[f(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\lambda x}dx,Laplace变换L[f(t)]=0+f(t)eptdtL[f(t)]=\int^{+\infty}_0f(t)e^{-pt}dt都是线性积分算子。若记L1=limt0,L2=limt0t,L3=limxx0(α+βn)L_1=lim_{t\to 0},L_2=lim_{t\to 0}\frac{\partial}{\partial t},L_3=lim_{x\to x_0}(\alpha+\beta\frac{\partial}{\partial n}),则初始条件、边界条件均可表示为线性算子形式
    Lju(x)=φ(x) L_ju(x)=\varphi(x)
    由线性算子的定义,我们有

    定理1:(叠加原理)设L是关于x=(x1,x2,,xn)\bold x=(x_1,x_2,···,x_n)的任意阶线性微分算子(常或偏),则有

    (1)有限叠加原理:若uj(x)u_j(\bold x)满足Luj(x)=fj(x)(j=1,2,,m)Lu_j(\bold x)=f_j(\bold x)(j=1,2,···,m),则当u(x)=j=1mλjuj(x)u(\bold x)=\sum_{j=1}^m\lambda_ju_j(x)时,有Lu(x)=j=1mλjfj(x),λjΛ,j=1,2,,mLu(\bold x)=\sum_{j=1}^m\lambda_jf_j(x),\quad\lambda_j\in \Lambda,\quad j=1,2,···,m

    (2)级数叠加原理:若uj(x)u_j(x)满足Luj(x)=fj(x)(j=1,2,),Lu_j(\bold x)=f_j(\bold x)(j=1,2,···),则当u(x)=j=1λjuj(x)u(\bold x)=\sum_{j=1}^\infty \lambda_ju_j(x)时,有Lu(x)=j=1λjfj(x), λjΛj=1,2,Lu(x)=\sum_{j=1}^\infty \lambda_jf_j(\bold x), \space \lambda_j\in \Lambda,j=1,2,···

    (3)积分叠加原理:若u(x;ξ)u(\bold x;\xi)满足Lu(x;ξ)=f(x;ξ),ξVLu(\bold x;\bold \xi)=f(\bold x;\bold \xi),\quad \xi\in V,则当U(x)=Vλ(ξ)u(x;ξ)dξU(\bold x)=\int_V\lambda(\bold \xi)u(\bold x;\bold \xi)d\xi时,有LU(x)=Vλ(ξ)f(x;ξ)dξ,λ(ξ)Λ,ξVLU(\bold x)=\int_V \lambda(\xi)f(\bold x;\bold \xi)d\xi, \lambda(\xi)\in \Lambda, \xi\in V

    有限叠加原理是线性算子定义的直接推广,而级数叠加原理及积分叠加原理分别要求有关函数项级数、含参量积分收敛,算子L与求和号、积分号可交换次序。在经典意义下这些条件要求很高,实际问题不一定能满足,但是在推广意义下,这种交换总是可进行的。今后,我们将不受限制地使用这些叠加原理。

    在物理问题中,方程或定解条件中的非齐次项通常反映引起物理过程的源,线性叠加原理则说明多个源共同作用的结果等于各个源单独作用的总和,这在物理上称为独立作用原理,这是线性问题的基本特征。利用叠加原理我们总可以把一个较复杂的线性问题分解成若干简单线性问题来求解。

    例1:求解狄利克雷问题
    {2ux2+2uy2=1,x2+y2=1ux2+y2=1=x2 \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=1,\quad x^2+y^2=1 \\ u|_{x^2+y^2=1}=x^2 \end{cases}
    :易见u0=14(x2+y2)u_0=\frac{1}{4}(x^2+y^2)是非齐次泛定方程的一个特解。令v=uu0v=u-u_0,由叠加原理知,v满足边值问题
    {2vx2+2vy2=0vx2+y2=1=x214 \begin{cases} \frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0 \\ v|_{x^2+y^2=1}=x^2-\frac{1}{4} \end{cases}
    解析函数zn(z=x+iy)z^n(z=x+iy)的实、虚部均为调和函数,故1,x,y,x2y2,xy1,x,y,x^2-y^2,xy为次数不超过2的调和多项式,故可设
    v=v0+a1x+a2y+a3(x2y2)+a4xy v=v_0+a_1x+a_2y+a_3(x^2-y^2)+a_4xy
    由叠加原理知,对任意一组{aj,j=0,1,,4}\{a_j,j=0,1,···,4\},v都是拉普拉斯方程的解。代入边界条件
    vx2+y2=1=a0+a1x+a21x2+a3(2x21)+a4x1x2=x214 v|_{x^2+y^2=1}=a_0+a_1x+a_2\sqrt{1-x^2}+a_3(2x^2-1)+a_4x\sqrt{1-x^2}=x^2-\frac{1}{4}
    比较系数,可得
    v=14+12(x2y2) v=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(x^2-y^2)
    从而
    u=34x214y2+14 u=\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{4}y^2+\frac{1}{4}
    对于非线性方程,自然不存在线性叠加原理,因此求解要困难得多。对某些特殊的非线性方程,如果能发现某种形式的叠加原理,则对此非线性问题的研究有重大意义。

    2. 齐次化原理(冲量原理)

    例1中通过求非齐次方程的一个特解将方程齐次化。齐次化原理将解决一般非齐次发展方程齐次化的问题。

    仍以理想弦的横振动为例,考虑在外力作用下弦的纯受迫振动
    {2ut2=a22ux2+f(t,x),t>0,<x<+ut=0=0,utt=0=0(2) \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x),\quad t>0,\quad -\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0 \end{cases} \tag{2}
    这里,f(t,x)f(t,x)是作用在弦身单位质量上的外力,u(t,x)u(t,x)是由此外力从初始时刻t=0t=0持续到t时刻作用引起的位移。由独立作用原理,u(t,x)u(t,x)可看成前后相继的瞬间外力作用冲量f(τ,x)dτ(0τt)f(\tau,x)d\tau(0\leq \tau \leq t)在t时刻引起的位移ω(t,x;τ)dr\omega(t,x;\tau)dr关于drdr的叠加,即u(t,x)=0tω(t,x;τ)dτu(t,x)=\int_0^t\omega(t,x;\tau)d\tau。x显然,当t<τt<\tauωt,x;τ0\omega(t,x;\tau)\equiv 0,当t>τt>\tau时,τ\tau时刻瞬间冲量的作用已转化为从t=τ0t=\tau-0t=τ+0t=\tau+0动量的增加,故w(t,x;τ)w(t,x;\tau)应满足
    {2ωt2=a22ωx2,t>τ, <x<+wt=0=0,wtt=τ=f(τ,x)(3) \begin{cases} \frac{\partial^2 \omega}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 \omega}{\partial x^2},\quad t>\tau, \space -\infty<x<+\infty \\ w|_{t=0}=0, \quad \frac{\partial w}{\partial t}|_{t=\tau}=f(\tau,x) \end{cases} \tag{3}
    而(2)的解则为
    u(t,x)=0tw(t,x;τ)dτ(4) u(t,x)=\int_0^tw(t,x;\tau)d\tau \tag{4}
    实际上,当w(t,x;τ)w(t,x;\tau)是问题(3)的解时,由(4)可验证
    ut=0=0ut=w(t,x;τ)τ=t+0tω(t,x;τ)tdτ=0tω(t,x;r)tdτutt=0=02ut2=ω(t,x;r)tτ=t+0t2ω(t,x;τ)t2dr=f(t,x)+a20t2w(t,x;r)x2dr=f(t,x)+a22ux2 u|_{t=0}=0 \\ \frac{\partial u}{\partial t}=w(t,x;\tau)|_{\tau=t}+\int_0^t\frac{\partial \omega(t,x;\tau)}{\partial t}d\tau=\int_0^t\frac{\partial \omega(t,x;r)}{\partial t}d\tau \\ \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=0 \\ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial \omega(t,x;r)}{\partial t}|_{\tau=t}+\int_0^t\frac{\partial^2\omega(t,x;\tau)}{\partial t^2}dr=f(t,x)+a^2\int_0^t\frac{\partial^2w(t,x;r)}{\partial x^2}dr=f(t,x)+a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
    故式(4)给出了纯受迫振动(2)的解。在(3)中令t=tτ,ω(t,x;τ)t'=t-\tau,\omega(t,x;\tau)可由达朗贝尔公式得到,故纯受迫振动
    u(t,x)=12a0tdτxa(tτ)x+a(tτ)f(τ,ξ)dξ u(t,x)=\frac{1}{2a}\int_0^td\tau \int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\tau,\xi)d\xi
    若作变量代换r=a(tτ)r=a(t-\tau),则
    u(t,x)=12a20atdrxrx+rf(tra,ξ)dξ u(t,x)=\frac{1}{2a^2}\int_0^{at}dr\int_{x-r}^{x+r}f(t-\frac{r}{a},\xi)d\xi
    由此可见纯外力引起的x点t时刻的位移受[xat,x+at][x-at,x+at]内各点所受外力的影响,而在[xr,x+r](0r<at)[x-r,x+r](0\leq r<at)上的外力是trat-\frac{r}{a}时刻的

    由叠加原理可写出一般弦振动方程初值问题
    {2ut2=a22ux2+f(t,x),t>0,<x<+ut=0=φ(x),utt=0=ψ(x) \begin{cases} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x), \quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x) \end{cases}
    的解
    u(t,x)=12[φ(xat)+φ(x+at)]+12axatx+atψ(ξ)dξ+12a0tdrxa(tτ)x+a(tτ)f(τ,ξ)dξ u(t,x)=\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi+\frac{1}{2a}\int_0^tdr\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\tau,\xi)d\xi
    将此齐次化方法推广到一般发展方程的初值问题,有如下原理。

    定理:(齐次化原理)设L是关于t与x=(x1,x2,,xn)x=(x_1,x_2,···,x_n)中各分量的线性偏微分算子,其中关于t的最高阶导数不超过m1m-1阶。若ω(t,x;τ)\omega(t,x;\tau)满足齐次方程初值问题
    {mwtm=Lw,t>τ>0,xRnwt=τ=wtt=τ==m2ωtm2t=r=0,m1wtm1t=τ=f(τ,x)(5) \begin{cases} \frac{\partial^mw}{\partial t^m}=Lw,\quad t>\tau>0,x\in R^n \\ w|_{t=\tau}=\frac{\partial w}{\partial t}|_{t=\tau}=···=\frac{\partial^{m-2}\omega}{\partial t^{m-2}}|_{t=r}=0 ,\\ \frac{\partial^{m-1}w}{\partial t^{m-1}}|_{t=\tau}=f(\tau,\bold x) \end{cases} \tag{5}

    u(t,x)=0tw(t,x;τ)dτ(6) u(t,\bold x)=\int_0^tw(t,\bold x;\tau)d\tau \tag{6}
    是非齐次方程初值问题
    {mutm=Lu+f(t,w),t>0,xRnut=0=utt=0==m1utm1t=0=0(7) \begin{cases} \frac{\partial^mu}{\partial t^m}=Lu+f(t,w),\quad t>0,\bold x\in R^n \\ u|_{t=0}=\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=···=\frac{\partial^{m-1}u}{\partial t^{m-1}}|_{t=0}=0 \end{cases} \tag{7}
    的解。

    定理不难直接验证。因为初值问题是适定的,式(6)给出了初值问题(7)的唯一解。当xVRnx\in V \subset R^n,齐次化原理仍然成立,只需在式(5)和式(7)中分别增加齐次边界条件L1wV=0L_1w|_{\partial V=0}L1uV=0L_1u|_{\partial V}=0L1L_1是关于x的线性偏微分算子。这就是混合问题的齐次化原理。由齐次化原理知,今后对线性发展方程定解问题的讨论主要集中于齐次方程。

    展开全文
  • 2个自变量+拟线性先考虑只有两个自变量的二阶线性方程的定解问题a,b,c和F都是 的已知函数,T是xOy平面上的一条曲线特征理论问题能否唯一确定函数u的各二阶偏导 在 上的值?解列出关于在 上的方程组求出系数行列式...

    59c7c80dbbff02edb50dd50779ca65b6.png

    2个自变量+拟线性

    先考虑只有两个自变量的二阶拟线性方程的定解问题

    4922fbc7c91461e2de5811508899f185.png

    a,b,c和F都是

    equation?tex=x%2Cy%2Cu%2Cu_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D 的已知函数,T是xOy平面上的一条曲线

    特征理论

    问题

    能否唯一确定函数u的各二阶偏导

    equation?tex=u_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D
    equation?tex=%5CGamma
    的值?

    1. 列出关于
      equation?tex=u_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D
      equation?tex=%5CGamma 上的方程组
    2. 求出系数行列式的结果
    3. 判断是否为特征方程、特征曲线
    • 由定解问题的初始条件,可得

    ae3466a5938c79418b19bf12b3ba7b05.png
    • 得到关于
      equation?tex=u_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D
      equation?tex=%5CGamma 上的方程

    78d3555129ece6b952cd967ddffd8bed.png
    • 得到系数行列式

    f4c0e5bf0680cf237997a750669abd86.png
    • 对于系数行列式
      equation?tex=%5CDelta

    曲线

    equation?tex=%5CGamma
    非特征曲线
    equation?tex=%5CDelta+%5Cne+0 时,
    equation?tex=%5CGamma 上的
    equation?tex=u_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D只有唯一解

    曲线

    equation?tex=%5CGamma
    特征曲线
    equation?tex=%5CDelta+%3D+0 时,
    equation?tex=%5CGamma 上的
    equation?tex=u_%7Bxx%7D%2C+u_%7Byy%7D%2Cu_%7Bxy%7D无解或有无穷解

    equation?tex=%5CDelta+%3D+0
    特征方程

    特征方程的其他写法

    (1)dy dx写法

    • 因为

    cc5bd4bab0769396e63b32d5620d77af.png
    • 所以特征方程又写作
      equation?tex=%5CDelta+%3D+a%28dy%29%5E2+-2bdxdy%2Bc%28dx%29%5E2+%3D+0%5C%5C
    • 解得

    a6ed8d8a06d57ad126807f3e5eb1703d.png

    (2) 用曲线隐函数表达式写法

    • equation?tex=%5CGamma 不用参数表达式,用隐函数表达式
      equation?tex=%5CGamma+%3A+%5CPhi%28x%2Cy%29+%3D+0

    67fff577c69e57c7753dbe7c21b832ac.png
    • 因为
      equation?tex=%5CPhi%28x%2Cy%29%3D0 也可写成参数表达式形式,所以上述式可相等
    • 所以,在隐函数表达式下,特征方程写作

    97206116b6f1c640b9f4063f58660446.png

    二阶方程的分类

    二次曲线分类

    • equation?tex=ax%5E2%2B2bxy%2Bcy%5E2%2Bdx%2Bey%2Bf+%3D+0 判别式
      equation?tex=%5CDelta+%3D+b%5E2-ac
    • equation?tex=%5CDelta+%3E0+ 双曲线
    • equation?tex=%5CDelta+%3D0+ 抛物线
    • equation?tex=%5CDelta+%3C0++ 椭圆线

    二阶方程分类:这里的

    equation?tex=%5CDelta
    是判别式,前面的是特征方程

    equation?tex=au_%7Bxx%7D%2B2bu_%7Bxy%7D%2Bcu_%7Byy%7D%2Bdu_x%2Beu_y%2Bgu+%3D+f%28x%2Cy%29

    equation?tex=%5COmega+%5Csubset+R%5E2 是一个区域,
    equation?tex=%28x_0%2Cy_0%29%5Cin%5COmega

    abcdegf都是关于xy的已知函数

    方程在某点

    equation?tex=%28x_0%2Cy_0%29 处为:
    • 双曲型偏微分方程:
      equation?tex=%5CDelta+%28x_0%2Cy_0%29+%3E+0
    • 抛物型偏微分方程:
      equation?tex=%5CDelta+%28x_0%2Cy_0%29+%3D+0
    • 椭圆型偏微分方程:
      equation?tex=%5CDelta+%28x_0%2Cy_0%29+%3C+0

    对于某区域:

    • 方程在某点领域:双曲、椭圆形偏微分方程在某点的领域类型,与在该点的类型相同。但抛物型则不知。
    • 方程在区域
      equation?tex=%5COmega 的类型:
      • 混合型方程:方程在
        equation?tex=%5COmega的一个子区域为双曲型,另一个子区域为椭圆形
      • 退化双曲型方程:方程在
        equation?tex=%5COmega的一个子区域为双曲型,在其余点(不一定构成子区域)为抛物型
      • 退化椭圆形方程:放在在
        equation?tex=%5COmega的一个子区域为椭圆型,在其余点(不一定构成子区域)我抛物型

    方程标准型

    equation?tex=au_%7Bxx%7D%2B2bu_%7Bxy%7D%2Bcu_%7Byy%7D%2Bdu_x%2Beu_y%2Bgu+%3D+f%28x%2Cy%29

    abcdeg均为常数,a不等于0

    分析

    • 换元得到新方程+求解特征方程:
      • equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cxi+%3D+%5Cvarphi%28x%2Cy%29%5C%5C+%5Ceta+%3D+%5Cpsi%28x%2Cy%29+%5Cend%7Bcases%7D

    dd205cf5d5c1ca3652ff70ea395d5f38.png
      • 代回原泛定方程,得

    equation?tex=Au_%7B%5Cxi%5Cxi%7D%2B2Bu_%7B%5Cxi%5Ceta%7D%2BCu_%7B%5Ceta%5Ceta%7D%2BDu_%5Cxi%2BEu_%5Ceta%2BGu+%3D+F%5C%5C

    其中

    8bc139379d52a4fc10341af0125b58d7.png
    • 发现A、C均为特征方程形式
    • 由特征方程
      equation?tex=a%28dy%29%5E2-2bdxdy%2Bc%28dx%29%5E2++%3D+0 可得
      equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cfrac%7Bb%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-ac%7D%7D%7Ba%7D

    双曲型方程

    可从特征方程的解求得两族特征线,

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+y-%5Cfrac%7Bb%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-ac%7D%7D%7Ba%7Dx+%3D+c_1%5C%5C+y-%5Cfrac%7Bb-%5Csqrt%7Bb%5E2-ac%7D%7D%7Ba%7Dx+%3D+c_2+%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cvarphi%28x%2Cy%29%3Dy-%5Cfrac%7Bb%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-ac%7D%7D%7Ba%7Dx+%5C%5C+%5Cpsi%28x%2Cy%29+%3D+y-%5Cfrac%7Bb-%5Csqrt%7Bb%5E2-ac%7D%7D%7Ba%7Dx++%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C

    则这个变换满足特征方程,从而使得A、C均等于0

    由此得到双曲型方程的第一标准型

    equation?tex=u_%7B%5Cxi%5Ceta%7D+%3D+Du_%5Cxi%2BEu_%5Ceta%2BGu+%2B+F%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5C%5C

    equation?tex=%5Coverline+x+%3D+%5Cxi%2B%5Ceta%2C+%5Coverline+y+%3D+%5Cxi+-%5Ceta ,用求解第一标准型相同的方法

    可得第二标准型

    equation?tex=u_%7B%5Coverline+x%5Coverline+x%7D-u_%7B%5Coverline+y%5Coverline+y%7D+%3D+D_1u_%5Coverline+x%2BE_1u_%5Coverline+y%2BG_1u%2BF_1%28%5Coverline+x%2C%5Coverline+y%29%5C%5C

    抛物型

    因为

    equation?tex=%5CDelta+%3D+b%5E2-ac+%3D+0 所以只能从特征方程求得一族双曲线
    equation?tex=y+-+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7Dx+%3D+c

    所以令

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cxi+%3D%5Cvarphi+%28x%2Cy%29+%3D++y+-+%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7Dx+%5C%5C+%5Ceta+%3D+%5Cpsi%28x%2Cy%29+%3D+y+%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C

    此时

    equation?tex=%5Cxi 可以令A = 0,
    equation?tex=%5Cxi%E3%80%81%5Ceta 可以令B = 0

    同求双曲线第一标准型的方法,得到抛物型方程的标准型

    equation?tex=u_%7B%5Ceta%5Ceta%7D+%3D+D_2+u_%5Cxi%2BE_2u_%5Ceta+%2BG_2u%2BF_2%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5C%5C

    椭圆形

    此时特征方程没有实解,但有虚解

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cfrac%7Bb%5Cpm+i%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7Ba%7D

    可以求得两族虚特征线

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+y+-+%5Cfrac%7Bb%2B+i%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7Ba%7Dx+%3D+c_1+%5Ccdots+%281%29%5C%5C+y-+%5Cfrac%7Bb-i%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7Ba%7Dx+%3D+c_2+%5Ccdots%282%29+%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C+

    为了消除复数,做如下变换

    equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cxi+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%281%29%2B%282%29%29+%3D+y-%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7Dx%5C%5C+%5Ceta+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2i%7D%28%281%29-%282%29%29+%3D+-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B-%5CDelta%7D%7D%7Ba%7Dx++%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C

    按照求双曲型第一标准型的方法,可得椭圆型方程的标准型:

    equation?tex=u_%7B%5Cxi%5Cxi%7D%2Bu_%7B%5Ceta%5Ceta%7D+%3D+D_3u_%5Cxi%2BE_3u_%5Ceta%2BG_3u%2BF%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5C%5C

    多个自变量+线性

    有如下定解问题

    56531fd95745e1d3fe1c2f376622c3d6.png

    S为曲面:

    equation?tex=G%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29+%3D+0

    a、b、c、f均是已知的关于

    equation?tex=x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n 的函数

    特征理论

    问题

    唯一确定u的各二阶导数

    equation?tex=u_%7Bx_ix_j%7D
    在S上的值

    (1)当S为超平面时,设该超平面为

    equation?tex=x_n+%3D+x_n%5E0

    (超平面:一个n维中n-1维的子空间,可以把n维空间分成不相交的两部分)

    1. 写出定解问题
    2. 从初值条件可以得出
      equation?tex=u_%7Bx_ix_j%7D++%28i%2Cj%5Cne+n%29 ,
      equation?tex=u_%7Bx_ix_n%7D++%28i%5Cne+n%29
    3. 从泛定方程求得
      equation?tex=u_%7Bx_nx_n%7D
    4. equation?tex=a_%7Bnn%7D 讨论S是否为特征曲面
    • 定解问题如下

    1b0bb91cca81ac37820d733a046c5fd3.png
      • 由边界条件 1 可以求出
        equation?tex=u_%7Bx_ix_j%7D++%28i%2Cj%5Cne+n%29 ,边界条件 2 可以求出
        equation?tex=u_%7Bx_ix_n%7D++%28i%5Cne+n%29
      • 剩下
        equation?tex=u_%7Bx_nx_n%7D++ 未知
    • equation?tex=u_%7Bx_nx_n%7D++,由泛定方程

    1f29c217b8c732c2ec5b01ef826bbc2b.png
      • S为非特征曲面:当
        equation?tex=a_%7Bnn%7D+%5Cne+0 时,
        equation?tex=u_%7Bx_nx_n%7D 有唯一解
      • S为特征曲面:当
        equation?tex=a_%7Bnn%7D+%3D+0 时,
        equation?tex=u_%7Bx_nx_n%7D 无解或有解,有解需满足如下相容性条件

    f639e66799fe6f2703f6f7db2629a066.png

    (2)当S为一般曲面时(这里让S为正规曲面

    1. 将一般曲面变换为超平面:换+验证
    2. 写出新空间下的定解问题
    3. 同上述超平面解法

    1

    • 将S进行拓扑变换,将S由空间
      equation?tex=%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29 转移到空间
      equation?tex=%28%5Cxi_1%2C%5Cxi_2%2C%5Ccdots%2C%5Cxi_n%29 ,该新空间要满足:
      • S在新空间里是超平面
        equation?tex=%5Cxi_n+%3D+%5Cxi_n%5E0
      • 已知
        equation?tex=%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29 可得
        equation?tex=%28%5Cxi_1%2C%5Cxi_2%2C%5Ccdots%2C%5Cxi_n%29
      • 已知
        equation?tex=%28%5Cxi_1%2C%5Cxi_2%2C%5Ccdots%2C%5Cxi_n%29 可得
        equation?tex=%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29
    • 作如下变换:

    equation?tex=%5Cbegin+%7Bcases%7D+%5Cxi_1+%3D+x_1%5C%5C+%5Cxi_2+%3D+x_2%5C%5C+%5Ccdots%5C%5C+%5Cxi_%7Bn-1%7D+%3D+x_%7Bn-2%7D%5C%5C+%5Cxi_n+%3D+G%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29+%3D+0+%5Cend+%7Bcases%7D%5C%5C
    • 证明该平面符合要求:
      • 因为S是正规曲面,所以对任意点
        equation?tex=P%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29
        equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7BG_%7Bx_i%7D%7D%5E2%28x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n%29+%5Cne+0%5C%5C
        equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D+%5Cne+0
      • 由反函数定理,可得已知
        equation?tex=%5Cxi_n 时可求得
        equation?tex=x_n

    23

    在可逆变化下,仍变为一个二阶线性方程

    • 在新空间中的定解问题如下:

    e69cc31ee0671e3825b7f13dc24af992.png
    • 可求出
      equation?tex=u_%7B%5Cxi_i%5Cxi_j%7D+%28i%2Cj%5Cne+n%29
      equation?tex=u_%7B%5Cxi_i%5Cxi_n%7D+%28i%5Cne+n%29 ,剩下
      equation?tex=u_%7B%5Cxi_n%5Cxi_n%7D 未知
    • 因为

    cb64cb83de8d00c5ea5ca76e12ad0f50.png
      • 其中,
        equation?tex=A_%7Bnn%7D%3Da_%7Bij%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+G%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D%5C%5C
      • S为非特征曲面:当
        equation?tex=A_%7Bnn%7D+%5Cne+0 唯一解
      • S为特征曲面:当
        equation?tex=A_%7Bnn%7D%3D0 无解或满足相容性条件时无穷解
      • equation?tex=A_%7Bnn%7D%3D0 为特征方程、

    特征方程的其他形式

    (?)曲面S法线方向余弦:

    55e4b979da54d452346d09c0ab1be419.png
    • 所以特征方程又写作
      equation?tex=%5Csum_%7Bi+%3D+1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bij%7D%5Calpha_i%5Calpha_j%7D+%3D+0%5C%5C

    分类与标准型

    仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程

    37dbbc12970680419499d58231fc3ca4.png

    a均为常数,

    equation?tex=a_%7Bij%7D+%3D+a_%7Bji%7D

    方程标准型

    概念解释:

    • 特征方程:
      equation?tex=%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bij%7D%5Calpha_i%5Calpha_j%7D+%3D+0
    • 特征二次型:
      equation?tex=D+%3D+%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bij%7D%5Calpha_i%5Calpha_j%7D
    • 二次型:n个变量的二次多项式。
    • 二次型的标准型:二次型自变量经过
      equation?tex=%5Coverrightarrow+x+%3D+C%5Coverrightarrow+y 变化后,变成二次项里只有平方项的形式
    • 例子

    73132a301591bdd81b4b3fef54b15e4b.png

    求解方程标准型:

    • 令特征二次型
      equation?tex=D+%3D+%5Csum_%7Bi%2Cj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Ba_%7Bij%7D%5Calpha_i%5Calpha_j%7D%3D%5Calpha%5ETA%5Calpha (因为a是常数所以矩阵A全是常数)
    • 将特征二次型化为标准型:

    equation?tex=%5Coverrightarrow+%5Calpha+%3D+C%5Coverrightarrow+%5Cbeta%5C%5C

    equation?tex=D+%3D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B%5Clambda_i%5Cbeta_i%5E2%7D%5C%5C

    其中

    equation?tex=C%5ETAC 是关于λ的对角矩阵,其中λ取值为0、1、-1
    • equation?tex=+%5Coverrightarrow+y+%3DC%5ET+%5Coverrightarrow+x+ ,从而将原泛定方程转化为

    8799226709901af300c879d2f0bc207f.png

    得到多个自变量的二阶线性方程的标准型(主部是常系数)

    根据标准型分类

    • 椭圆、双曲型:λ全不为0
      • 椭圆型偏微分方程:λ全是1或全是-1
      • 双曲型偏微分方程:
        • λ其中一个为1,另外n-1个为-1
        • λ其中一个为-1,另外n-1个位1
      • 超双曲型偏微分方程:λ取1和-1的个数都超过一个(说明自变量个数大于等于4个)
    • 抛物型偏微分方程:λ中有一个为0,其余全为1或-1
    展开全文
  • 产生 二阶非线性扩散方程所造成的块效应 , 而且与一般四阶偏微分方程相比 , 收敛速度更快 , 同时在一定程度 上避免了处理 图像时常出现的不平整现象 . 关键词 : 图像去噪 ; 异 性扩散 ; 偏微分方程 ; 拉氏锐化算子
  • 微分方程

    2021-03-30 10:12:31
    偏微分方程变为标准形式 研究:物理学、统计学、生物学 假设从多到少,合理(针对探究对象),以斜上抛运动为例,先有基础模型,再进行改进。 马尔萨斯人口模型:差分方程—>微分方程 但应用比较少。 改进:...

    微分方程

    边值问题 -防热服

    把偏微分方程变为标准形式

    研究:物理学统计学生物学

    假设从多到少,合理(针对探究对象),以斜上抛运动为例,先有基础模型,再进行改进。

    马尔萨斯人口模型:差分方程—>微分方程 但应用比较少。

    改进:考虑剩余环境容纳量,logistic模型

    再改进…

    负密度依赖:密度越大,增长越慢

    弦振动、热传导方程

    微分方程的解法

    1.可分离变量的
    2.一阶线性常微分
    3.二阶常系数线性齐次
    4.二阶常系数线性非齐次微分方程
    5.可降阶的(3)

    偏微分方程求解

    1.变量分离法(变量独立的)
    2.行波法(叠加)
    3.特殊函数法
    4.积分变换法
    5.格林函数法

    微分方程的变形

    一、常微分方程的线性化:

    ​ 高阶常微分方程化为一阶常微分方程组
    ​ 一阶齐次偏微分方程化为一阶常微分方程组
    ​ 非自治—>自治方程组
    ​ 自治非线性方程组变为自治线性方程组(多见):线性 化:泰勒公式[一元函数]、

    二、二阶偏微分方程

    化为标准型,结论:
    双曲型方程、抛物型、椭圆型;
    注:同方程的种类,算法不同;非标准形式变为标准形式(微分方程的标准化);现有的算法针对标准化的方程

    三、微分方程数值解:

    1.Matlab: ode系列命令(有局限性)、dde系列命令(实治)
    2.欧拉法
    3.龙格—库塔法
    4.线性多步法
    偏微分方程:
    1.有限差分法(显式格式,隐式格式)pdetools
    注:偏微分要化为标准形式
    精度不高,速度快
    2.有限元法
    注:精度高,语言下的算法

    展开全文
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空空如也

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二阶非线性偏微分方程