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  • 二阶线性非齐次微分方程非齐 重要的性质、定理(共6条): 证明1:若y1、y2、y3是非齐的,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是齐的 由(7) ,则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的。 因为y1、...

    以下简称

    • 二阶线性齐次微分方程 为 齐
    • 二阶线性非齐次微分方程 为 非齐

    重要的性质、定理(共6条):
    重要的6条性质

    证明1:若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=0,y=a y1+by2+cy3则y是齐的解

    由(7) ,则需要证明a y1+by2+cy3是 齐的解。

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)就是齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0


    证明2: 若y1、y2、y3是非齐的解,a、b、c为常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3 则y是非齐的解

    由(1),则需要证明a y1+by2+cy3是非齐的解+齐的解

    因为y1、y2、y3是非齐的解,故y1-y2、y2-y3是齐的解,则
    C1(y1-y2)+C2(y2-y3)也是齐的解,而y3是非齐的解,
    故C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y3就是非齐的解
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1


    证明3:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=0,

    y=a y1+by2+cy3,则y是齐的通解
    由(7)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2=c
    a+b+c=0

    补充证明:现证明y1-y2、y2-y3是线性无关的。

    假设线性有关,则存在不全为0的k1和k2,
    使得k1(y1-y2)+k2(y2-y3)恒等于0
    即:
    (k1)y1+(k2-k1)y2-(k2)y3恒等于0
    由于y1、y2、y3是线性无关的,故k1=0、k2=0,与假设相违背。因此,y1-y2、y2-y3是线性无关的。


    证明4:若y1、y2、y3是非齐的线性无关解,a、b、c为任意常数且a+b+c=1,y=a y1+by2+cy3,则y是非齐的通解

    由(5)
    y1、y2、y3是非齐的线性无关解,现假设y1-y2、y2-y3也是线性无关的,
    则齐的通解y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3) ,
    非齐的解为y3(你换成y1或者y2都是一样的,因为最后大家系数都是要加在一起的)
    显然y1的系数=C1=a
    y2的系数=-C1+C2=b
    y3的系数=-C2+1=c
    a+b+c=1

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  • 二阶常系数非齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 二阶常系数非齐次线性微分方程的...二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解 下面只需要解出微分方程的特解即可 对应微分方程: ay...

    二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

    见课文原文:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    下面看转的一片博客文章:

    二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
    简单记为:通解 = 齐次通解 + 特解。

    二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法:二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    下面只需要解出微分方程的特解即可

    对应微分方程:

    							    ay″+by′+cy=f(x)
    

    右式f(x)有两种形式:
    ①f(x)= e λ x P m ( x ) e^{\lambda x}Pm(x) eλxPm(x)
    此时微分方程对应的特解为:
    y∗=xkRm(x)eλx

    其中:在这里插入图片描述
    得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程,即可解出特解中的系数,到这里,就得到了微分方程的完整特解,于齐次通解相加即的微分方程的通解。

    例:
    求微分方程 2y″+y′−y=2 e x e^{x} ex 的通解

    解:
    微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 2 r 2 r^{2} r2+r−1=0
    可得通解:
    y = c 1 e − x + c 2 e 1 2 x y=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x} y=c1ex+c2e21x

    微分方程的右式f(x)=2e^x满足f(x)= e λ x e^{\lambda x} eλxPm(x)型,且λ=1,m=0λ=1,m=0,
    所以,设特解为:

    y∗=a e x e^{x} ex

    所以y∗=a e x e^{x} ex、y∗′=a e x e^{x} ex、y∗″=a e x e^{x} ex
    带入微分方程左式得:2a e x + a e x − a e x e^{x}+ae^{x}−ae^{x} ex+aexaex=2e^{x}

    得:a=1

    所以特解为:

    y∗= e x e^{x} ex

    微分方程的通解为:

    y = c 1 e − x + c 2 e 1 2 x + e x y=c^{_{1}}e^{-x}+c^{_{2}}e^{\frac{1}{2}x}+e^{x} y=c1ex+c2e21x+ex

    转自:https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/79690752

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  • 一般二阶线性非齐次微分方程与对应齐次方程的关系@(微积分)设p(x),q(x),f(x),f(x)≠0p(x),q(x),f(x),f(x)\neq 0为连续函数,对于下面的二阶线性非齐次方程:y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y = f(x) ...

    一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系

    @(微积分)

    p(x),q(x),f(x),f(x)0 为连续函数,对于下面的二阶线性非齐次方程:

    y+p(x)y+q(x)y=f(x) (1)

    对应的二阶线性齐次方程:

    y+p(x)y+q(x)y=0 (2)

    有下面的论断:

    • y1(x),y2(x),y3(x) 是(1)的三个解,a,b,c是三个常数,并设: y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x) ,
      • 那么y是(1)的的充要条件是:a+b+c = 1
      • y是(2)的的充要条件是a+b+c=0
    • y1(x),y2(x),y3(x) 是(1)的三个线性无关的解,a,b,c是**两个任意常数,并设: y=ay1(x)+by2(x)+cy3(x) ,
      • 那么y是(1)的通解的充要条件是:a+b+c = 1
      • y是(2)的通解的充要条件是a+b+c=0

    思考一道题目:

    p(x),q(x),f(x) 均是x的已知连续函数, y1(x),y2(x),y3(x) y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的三个线性无关的解, C1,C2 是两个任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是:C
    A.(C1+C2)y1+(C2C1)y2+(1C2)y3
    B.(C1+C2)y1+(C2C1)y2+(C1C2)y3
    C.C1y1+(C2C1)y2+(1C2)y3
    D.C1y1+(C2C1)y2+(C1C2)y3

    直接利用上面的定理可知:系数之和为1时,即为通解。那么检验可得C是满足的。

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  • 一,二阶非齐次线性ODE的标准形式: 表示输入、驱动  表示输出、响应 二,通解:   叫补充解,是齐次方程通解 (作为的相伴方程) 是非齐次方程的特解 三,应用: 弹簧—质量—阻尼系统(第九讲) 如...

    一,二阶非齐次线性ODE的标准形式:

    • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)
    • f(x)表示输入、驱动
    •  y(x)表示输出、响应

    二,通解:

    •  y=y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}
    • {\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}叫补充解,是齐次方程{y}''+p(x){y}'+q(x)y=0的通解
    • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=0作为{y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)的相伴方程)
    • y_{p}是非齐次方程{y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)的特解

    三,应用:

    • 弹簧—质量—阻尼系统(第九讲)
    • 如图
    • 在系统中,对小车施加额外的一个力f(t)
    • 标准形式:{x}''+\frac{c}{m}{x}'+\frac{k}{m}x=\frac{1}{m}f(t)
    • 被动系统:当f(t)=0时,系统没有外力干涉,只是被动地对初始条件进行响应
    • 受迫系统:当f(t)\neq 0时,系统一直有外力干涉,强迫它运动

     

    • 电路(第八讲)
    • 如图
    • R表示电阻,C表示电容,q表示电荷,j表示电流,\varepsilon表示电动势
    • 在电路中,串联额外的一个电感L
    • 基尔霍夫定律:当环绕电路运行时,元件的电压降之和为0
    • 数学模型:L{j}'+Rj+\frac{q}{C}=\varepsilon (t)j=\frac{dq}{dt}
    • 两边求导:L{j}''+R{j}'+\frac{1}{C}j={\varepsilon }'(t)
    • 被动电路:当{\varepsilon }'(t)=0时,比如电动势是干电池,或者电路中没有电源,电路中的电荷会趋于静止
    • 受迫电路:当{\varepsilon }'(t)\neq 0时,比如电动势是交流电源,强迫电荷运动

    四,证明通解:

    • {y}''+p(x){y}'+q(x)y=f(x)化为Ly=f(x)
    • L表示二阶线性算子
    • 证明1:y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}是解
    1. y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}代入原方程:L(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})
    2. L(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=L(y_{p})+L({\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})
    3. \becauseL({\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=0L(y_{p})=f(x)
    4. \thereforeL(y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}})=f(x)
    • 证明2:y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}是所有的解
    1. 取任意一个方程的解u(x)
    2. L(u)=f(x)
    3. L(y_{p})=f(x)
    4. L(u)-L(y_{p})=L(u-y_{p})=0
    5. 齐次方程的解:u-y_{p}={\color{Magenta} \widetilde{c}_{1}y_{1}+\widetilde{c}_{2}y_{2}}
    6. \widetilde{c}_{1}\widetilde{c}_{2}是所有常数中选出的特定值
    7. u=y_{p}+{\color{Magenta} \widetilde{c}_{1}y_{1}+\widetilde{c}_{2}y_{2}}

    五,区分稳态解和暂态解的条件:

    • 一阶常系数非齐次线性ODE:{y}'+ky=q(t),k为常数
    • 通解:y=e^{-kt}\int e^{kt}qdt+e^{-kt}C
    • q=0时,{y}'+ky=0是齐次方程,e^{-kt}C是它的通解
    • {y}'+ky=0{y}'+ky=q(x)的相伴方程)
    • e^{-kt}\int e^{kt}qdt非齐次方程{y}'+ky=q(x)的特解
    • k> 0e^{-kt}\int e^{kt}qdt为稳态解,e^{-kt}C为暂态解(见第三讲第七点)
    • k< 0e^{-kt}C\rightarrow \infty,无法区分

     

    • 二阶常系数非齐次线性ODE:{y}''+A{y}'+By=f(t),A和B是常数
    • 通解:y=y_{p}+{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}
    • 当所有特征根都具有负实部时,y_{p}为稳态解,{\color{Magenta} c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}为暂态解,如下表:
    • 特征根相伴方程的通解通解趋于0的条件
      r_{1}\neq r_{2}c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}r_{1}< 0r_{2}< 0
      r_{1}=r_{2}c_{1}e^{rt}+c_{2}e^{rt}tr< 0
      r=a\pm bie^{at}(c_{1}cos(bt)+c_{2}sin(bt))a< 0

       

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *本文略去了很多证明,只记录结论 *文中的微分方程均指代二阶常...由于是二阶线性微分方程,所以它有两个,记为y1、y2y1、y2y_1、y_2,若y1y2≠Cy1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq C(即两个之比不为常数),则y1、...
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  • 知乎链接
  • 如何解二阶齐线性微分方程

    万次阅读 2019-05-04 14:04:30
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  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
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  • MATLAB求解非齐次线性方程

    千次阅读 2019-09-30 11:04:00
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  • 二阶常系数线性微分方程

    千次阅读 2019-06-17 12:10:50
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二阶非齐次线性方程的通解