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  • 二项分布x~b
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    2019-01-27 17:34:34

    二项分布:
    在概率论和统计学里面,带有参数n和p的二项分布表示的是n次独立试验的成功次数的概率分布。在每次独立试验中只有取两个值,表示成功的值的概率为p,那么表示试验不成功的概率为1-p。这样一种判断成功和失败的二值试验又叫做伯努利试验。特殊地,当n=1的时候,我们把二项分布称为伯努利分布。
       二项分布频繁地用于对以下描述的一种实验进行建模:从总数量大小为N的两个事物中进行n次放回抽样,以某一事物为基准,计算成功抽取这个事物的次数的概率。要注意的是必须进行的是放回抽样,对于不放回抽样我们一般用超几何分布来对这样的实验进行建模。
    二项分布的概率质量函数:
       一般来说,如果一个随机变量X满足二项分布的话,那么它一定有一个参数n∈ ℕ且还有一个参数p∈ [0,1]。这样的话,我们可以把关于X的二项分布写成X ~ B(n, p)。对应的概率质量函数如下。
    {\displaystyle Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p{k}(1-p){n-k}}
       这里k = 0, 1, 2, …, n,并且原括号是组合的表示形式,组合的计算公式如下。
    {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}
       这个公式表示的从n个数中取k个数构成一个组合能有多少种不同的取法。整个二项分布我们可以描述为求n次独立的伯努利试验,成功k次的概率是多少。由于一次成功的概率是已知的,因此我们必须求出n次试验中,成功k次可能发生在哪次试验中,一共有多少种可能都要求出来,因此求的就是n取k组合数目。
    二项分布的均值:
       如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的期望值如下。
    {\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}
       证明在最下面的维基百科链接中。
    二项分布的方差:
       同样的,如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的方差如下。
    {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}
       证明在最下面的维基百科的链接中。
    二项分布的和:
       如果存在两个独立的二项分布X~(n, p)和Y~B(m, p),要注意的是它们在一次试验中成功的结果具有相同的概率p,那么X+Y也是一个二项分布。这样一个和的分布可以表示为Z=X+Y ~ B(n+m, p):
    {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p{i}(1-p){n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p{k-i}(1-p){m-k+i}\right]\&={\binom {n+m}{k}}p{k}(1-p){n+m-k}\end{aligned}}
       但是,如果X和Y一次试验成功的结果没有相同的概率p,那么X+Y的和的方差就会比B(n+m, p的均值)这样一个二项分布的方差要小。
    使用二项分布近似其它的分布:
       ①近似正态分布:当n足够大,且二项分布的近似曲线不是很弯曲的时候,我们可以用以下式子使二项分布B(n, p)近似于正态分布。并且我们可以用适当的连续性校正(continuity correction)来改善这样一个近似的正态分布。
    {\displaystyle {\mathcal {N}}(np,np(1-p)),}
       ②近似泊松分布:在np固定不变,n趋于无穷大,p趋于0的时候,我们可以用一个二项分布来近似一个泊松分布。这样的话,泊松分布的λ=np。

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  • 二项分布

    万次阅读 多人点赞 2016-09-16 21:13:13
    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。   伯努利试验的特点是: (1)...

           

       说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)n次独立重复试验伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是

    (1)每次试验事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

     

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=nn次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n/(k*(n-k)),也就是通常的组合公式C(n,k)=n/(k*(n-k))

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n/(k*(n-k))种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。


    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    import numpy as np
    import scipy.stats as sps
    n = 10
    p = 0.3
    k = np.arange(n + 1)
    PX = sps.binom.pmf(k, n, p)
    print(sum(PX[2:]))

    输出结果:

    0.85

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%


       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p)n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)伯努利分布又称为两点分布0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

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  • 二项分布的基本概念

    万次阅读 2016-11-14 10:48:31
    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。  伯努利试验的特点是: (1)...

    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)n次独立重复试验伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是

    (1)每次试验事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5;

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=n,n次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n!/(k!*(n-k)!),也就是通常的组合公式C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)。

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3;

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。

    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

     

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    输出结果:0.85

     

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%

     

       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p),当n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)伯努利分布又称为“两点分布0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

     

    转发自:http://blog.csdn.net/saltriver/article/details/52557709?locationNum=1&fps=1

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  • 离散分布主要包括3个重要的分布:几何分布二项分布和泊松分布,这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题,区别和联系。 1. 几何分布: 问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利...

    离散分布主要包括3个重要的分布:几何分布、二项分布和泊松分布,这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题,区别和联系。

    1. 几何分布:

    问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德不超过2次就能成功滑到坡底的概率有多大?

    试滑一次成功的概率 P(X=1)=0.2

    试滑两次成功的概率为P(X=2)=0.8x0.2=0.16

    试滑不超过2次就成功的概率为P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36

    查德滑雪是几何分布的一个实例,几何分布包含以下几个条件:

    1)进行一系列相互独立的试验

    2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同

    3)主要感兴趣的问题是,为例取得第一次成功需要进行多少次试验。

    成为几何分布,记为:X~Geo(P)

    进行r次实验取得成功的概率为:

                               P(X=r)=pq^r-1

    其中q=1-p为每次实验失败的概率

    几何分布第一次试验取得成功的概率是最高的,其概率分布几何形状如下:

    取得第一次成功需要进行r次以上试验的概率:

                               P(X>r)=q^r

    取得第一次成功需要进行r次以下(包括r)试验的概率:

                               P(X>r)=1-q^r

    需要进行多少次试验取得第一次成功的期望:E(X)=1/p

    需要进行多少次试验取得第一次成功方差:Var(X)=q/p^2

    2. 二项分布:

    问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率有多大?

    0次成功的概率 P(X=0)=0.8^5

    1次成功的概率P(X=1)=C(5,1)x0.8^4x0.2

    2次成功的概率P(X=2)=C(5,2)x0.8^3x0.2^2

    试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率:

    P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

    查德滑雪是二项分布的一个实例,二项分布包含以下几个条件:

    1)进行一系列相互独立的试验

    2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同

    3)主要感兴趣的问题是,在有限的试验次数中,取得几次成功的概率。

    条件1)和2)和几何分布一样,只是关心的问题不一样。

    称为二项分布,记为:X~B(n,p),其中n为试验次数,p为一次试验取得成功的概率

    n次试验取得r次成功的概率为:          

    其中q=1-p为每次实验失败的概率,

    二项分布P(X=r)的分布几何形状:

    取得成功试验次数的期望:

    E(X)=np

    取得成功试验次数的方差:

    Var(X)=npq

    3. 泊松分布:

    问题:爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,或者说爆米花机的平均故障率为3.4,试问:爆米花机器一周不初问题概率有多大?

    这类问题的难点在于,尽管知道爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,但实际发生故障的次数不是固定的。专门处理这种问题的分布--泊松分布。

    泊松分布包括以下条件:

    1)单独事件在给定区间内随机、独立发生,给定区间可以是时间或者空间,例如一星期或者一英里。

    2)已经该区间时间平均发生次数(或者叫发生率),且为有限值,通常用lamda表示。

    称为泊松分布,记为:X~Po(λ)

    对泊松分布,给定区间内,发生r次事件的概率:

    泊松分布的几何形状为:

    在给定区间内,取得成功试验次数的期望:

    E(X)=λ

    取得成功试验次数的方差:

    Var(X)=λ

    回到前面的爆米花机问题,爆米花机一周内不发生故障的概率为

    P(X=0)=e^-3.4 x 3.4^0/0!=e^-3.4=0.033

    4)用泊松分布近似二项分布

    问题:凯特是饼干厂的质量管理员,每块饼干破碎的概率是0.1,求一盒容量为100块的饼干盒子里出现15块碎饼干的概率。

    是一个二项分布问题,X~(100, 0.1), 求P(X=15)=100!/(15!*85!)*0.1^15*0.9^85, 阶乘数计算太大了,普通计算器容易出现溢出问题。

     

    已知X~B(n, p),当n很大且p很小时(n>50, p<0.1),可以用X~P0(np)近似X~B(n, p)

    上述问题就变为求解X~P0(10), P(X=15)的概率,带入泊松分布的概率求解方程即可求解。P(X=15)=e^-10*10^15/15!

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空空如也

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二项分布x~b