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  • 泊松分布近似计算二项分布

    千次阅读 2021-09-25 22:30:50
    二项分布 二项分布是多次伯努利分布实验的概率分布。 以抛硬币举例,在抛硬币事件当中,每一次抛硬币的结果是独立的,并且每次抛硬币正面朝上的概率是恒定的,所以单次抛硬币符合伯努利分布。我们假设硬币正面朝上...

    二项分布

    二项分布是多次伯努利分布实验的概率分布。

    以抛硬币举例,在抛硬币事件当中,每一次抛硬币的结果是独立的,并且每次抛硬币正面朝上的概率是恒定的,所以单次抛硬币符合伯努利分布。我们假设硬币正面朝上的概率是p,忽略中间朝上的情况,那么反面朝上的概率是q=(1-p)

     

    泊松分布

    当一个事件的发生满足以下条件时,可以认为这个事件在某一固定时间段内的发生次数满足柏松分布。

    • 事件是独立发生的
    • 事件发生的概率在给定的固定时间内不随时间变化

    总结起来就是,事件的发生是随机且独立的。

    当二项分布的n>=20,p<=0.05时,可以用\lambda=np用泊松分布的公式近似计算概率。

     

     

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  • 二项分布 二项分布是由伯努利提出的概念,指的是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持...

    二项分布

    二项分布是由伯努利提出的概念,指的是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从 0−1 分布。

    考虑只有两种可能结果的随机试验,当成功的概率(π)是恒定的,且各次试验相互独立,这种试验在统计学上称为伯努利试验(Bernoulli trial)。如果进行n次伯努利试验,取得成功次数为X(X=0,1,2…,n)的概率可用下面的二项分布概率公式来描述:

    P=C(X,n)\times \pi^X\times (1-\pi )^{(n-X)}

    其中,式中n为独立的伯努利试验次数,π为成功的概率,(1−π)为失败的概率。C(X,n)表示在n次试验中出现X的各种组合情况,在此称为二项系数。

    二项分布的示例

    抛硬币试验就是伯努利试验。在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5。且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布。

    基于 scipy 的二分布计算

    在 Python 中, scipy 包提供了丰富的可用函数。其中,计算每次观测的二项分布概率密度函数为: stats.binom.pmf(k,n,p) 其中n 表示测量次数, k 是目标结果的次数, p 为抽样概率。输出为k个元素的数组,数组的每个元素表示出现k次目标结果的概率。

    下面我们通过一个具体例子来说明一下该函数的用法。 有一个质地均匀的骰子,投掷5次骰子,求出现3次点数为6的概率。

    使用 scipy 进行求解为: binom.pmf(range(6), 5, 1/6) 得到输出: array([0.401878, 0.401878, 0.166751, 0.032150, 0.003215, 0.000129]) 由结果可知:出现0或1次6点的概率为40.2%,而出现3次6点的概率为3.215%。

    编程示例

    使用stats.binom.pmf伯努利分布函数解决实际问题,具体要求如下:

    • 从后台获取数据 n 和 p,n 为样本数,p 为抽样概率;
    • 已知实际问题为:抛硬币 n 次,现在每一次朝上的概率是 p,依次求出 0-n 次正面朝上的概率;
    • 通过stats.binom.pmf求出概率值,并打印结果。
    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    n = input()     #n是样本数
    p = input()     #p是抽样概率
    n = int(n)
    p = float(p)
    y = stats.binom.pmf(range(n+1),n,p)
    print(y)
    

    测试输入:

    1. 5
    2. 0.5

    预期输出:

    1. [0.03125 0.15625 0.3125 0.3125 0.15625 0.03125]

     

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  • MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布的概率【语法说明】Y=binopdf(X,N,P):函数返回 X 中的每个值在相应 N、P参数指定的二项分布下的概率值。X 中的元素值必须是 0~N 之间的整数,否则其概率值为零。输入参数 X...

    MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布的概率

    【语法说明】

    Y=binopdf(X,N,P):函数返回 X 中的每个值在相应 N、P参数指定的二项分布下的概率值。X 中的元素值必须是 0~N 之间的整数,否则其概率值为零。输入参数 X、N、P 为同型矩阵,如果有参数为标量,则该参数将被扩展为其他参数同型的数组。

    【功能介绍】计算二项分布概率。二项分布属于离散分布,没有概率密度函数的概念,binopdf函数求得的是二项分布取各个离散值的概率。

    【实例】计算N=8,P分别等于0.3、0.5、0.7时,出现概率最大的随机变量值。

    >> x=0:8;      % 随机变量取值为0~8

    >> p1=binopdf(x,8,0.3)    % p=0.3

    p1 =

    0.0576 0.1977 0.2965 0.2541 0.1361

    0.0467 0.0100 0.0012 0.0001

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.3 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    2

    >> p1=binopdf(x,8,0.5)    % p=0.5

    p1 =

    0.0039 0.0312 0.1094 0.2187 0.2734

    0.2187 0.1094 0.0312 0.0039

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.5 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    4

    >> p1=binopdf(x,8,0.7)    % p=0.7

    p1 =

    0.0001 0.0012 0.0100 0.0467 0.1361

    0.2541 0.2965 0.1977 0.0576

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.7 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    6

    【实例讲解】在[~,index1]=max(p1)中,index1返回最大元素的序号,由于p1(1)~p1(9)分别对应随机变量0~8,因此出现概率最大的随机变量等于index1减1。

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  • 实验三、二项分布与泊松分布实验实验序号:3 日期:2013 年 4 月 3 日班级数学学院2011级 C班学号114080185姓名邓伍丹实验名称二项分布与泊松分布实验问题的背景和目的:随着计算机技术的迅速发展,很多科学试验的全...

    实验三、二项分布与泊松分布实验

    实验序号:3 日期:2013 年 4 月 3 日

    班级数学学院2011级 C班学号114080185姓名邓伍丹实验名称二项分布与泊松分布实验问题的背景和目的:

    随着计算机技术的迅速发展,很多科学试验的全过程都可以在计算机上通过模拟实现。这可以让人们节省大量的时间、人力、物力和财力,具有重要的理论意义和实用价值。

    实验目的是让实验者在计算机上学会二项分布和泊松分布相关概率列、分布函数及分位数的计算方法,掌握在Excel 中动态演示二项分布和泊松分布近似关系的方法.具体要求为:掌握计算二项分布和泊松分布相关概率分布列、分布函数的命令,学会滚动条的制作并能用滚动条对不同的n 和p 进行滚动控制,从而实现对二项分布和泊松分布近似关系的动态演示并对演示结果进行总结分析.实验内容:

    二项分布和泊松分布都是重要的离散型分布,在实际中均有广泛的应用.一般说来,大量重复试验中随机事件出现的频数 X 均服从或近似服从泊松分布.当x服从二项分布,其中n很大,p很小时,np很小,就把np近似为λ, 此时近似服从泊松分布P(λ).本实验就是要通过实际计算、作图和比较等方法对上述结果在不同参数组合情形下给出直观、动态的展示.实验所用软件及版本: Excel2003实验过程:

    1.对于实验(1)在A1中输入函数命令“=BINOMDIST(10,100000,1/10000,0)”,回车后所得结果就是二项分布的概率;在B2中输入函数命令“=BINOMOIST(10,100000,1/1000,1)”,回车后所得结果就是泊松分布的概率。

    2. 仿照实验(1),先设置对实验次数n的滚动条(n的值显示在A3单元格中):在Excel界面中依次单击视图—工具栏—窗体,再出现的表单控件对话框中单击滚动条,然后再工作表空白区任意单击即出现的滚动条,调整其位置、大小,在右击此滚动条,然后再出现的对话框中设置控件格式,包括最大值、最小值分别为30、1、步长为1、页步长为1,确定后完成设置,把该滚动条移动到A4处,再单击滚动条的左右小黑三角就会发现A3中的值在1-30之间变化;下面的是p值的滚动:同上先设置对A9的滚动条,滚动范围是0-100,步长为1,然后再单元格A7内填入“=A8/100”,那么A7的值就随着A8中数值的变化以步长0.01在0-1之间变化。其次在单元格B2和B3中分别填入0和1,选取单元格B2、B3向下拖放填充至B32,就可在单元格B2:B32中得到随机变量X的取值k,k=1,2、、、、、30,再次利用函数BINOMDIST计算二项分布的概率值:现在单元格C2中填入命令“=IF(B2<=$A$3,BINOMDIST(B2,$A$3,$A$7,0),“”)”,算出C2中的概率值P=(X=0),再将C2中计算二项分布概率的公式向下拖放填充至C32,就可计算出全部满足“<=$A$3”的二项分布的概率值P(X=k),k=0,1,2、、、、、30,这里$A$3表示实验次数;最后在利用Excel中的图表向导绘制出二项分布柱形图:选取数据所在的单元格区域$C$2:$C$32,再依次单击插入—图表—柱形图,选取子图表类型中的簇状柱形图,确定后得到柱形图,在对柱形图做一定的修饰。至此只要单击只做好的两个滚动条的左右小黑三角,那么n和p的值就会发生变化,工作表中相应的概率值和柱形图也随之发生变化。

    3.首先在单元格A2、A6中设置滚动条,以滚动条控制二项分布的参数n和p,其中n的变化范围是1-30,步长为1;p的变化范围是0-1,步长为0.01;同时泊松分布的参数(=np)的值显示在单元格A8(公式为“=4($A$2*$A$5)”)中,其次利用拖放填充在单元格B2:B32中给出随机变量X的所有可能取值k,k=1,2、、、30。再利用BINOMDIST和POISSON分别计算对应于每个k的二项分布概率和泊松分布概率值,泊松分布概率的计算公式为””实验结果总结:

    1.对于问题(1),在任一空白单元格(这里为A1)中输入函数命令“=BINOMDIST(10,100000,1/10000,0)”,回车后返回的计算结果为0.125116,对于问题(2),将上述命令的最后一个选项改为1 即可,计算结果为0.583040.如图所示:

    2.两种结果较为接近.即该情况下二项分布不可近似为柏松分布.

    3.设置滚动条

    4.动态地演示二项分布概率是如何随着n 和p 的变化而变化

    5.制作滚动条演示二项分布概率和泊松概率的近似关系.

    实验体会:

    本实验可以得到一个结论就是,二项分布与柏松分布在一定条件下是可以相互近似的.这对在以后数学的学习尤

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二项分布公式如何计算