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  • 实验三、二项分布与泊松分布实验实验序号:3 日期:2013 年 4 月 3 日班级数学学院2011级 C班学号114080185姓名邓伍丹实验名称二项分布与泊松分布实验问题的背景和目的:随着计算机技术的迅速发展,很多科学试验的全...

    实验三、二项分布与泊松分布实验

    实验序号:3 日期:2013 年 4 月 3 日

    班级数学学院2011级 C班学号114080185姓名邓伍丹实验名称二项分布与泊松分布实验问题的背景和目的:

    随着计算机技术的迅速发展,很多科学试验的全过程都可以在计算机上通过模拟实现。这可以让人们节省大量的时间、人力、物力和财力,具有重要的理论意义和实用价值。

    实验目的是让实验者在计算机上学会二项分布和泊松分布相关概率列、分布函数及分位数的计算方法,掌握在Excel 中动态演示二项分布和泊松分布近似关系的方法.具体要求为:掌握计算二项分布和泊松分布相关概率分布列、分布函数的命令,学会滚动条的制作并能用滚动条对不同的n 和p 进行滚动控制,从而实现对二项分布和泊松分布近似关系的动态演示并对演示结果进行总结分析.实验内容:

    二项分布和泊松分布都是重要的离散型分布,在实际中均有广泛的应用.一般说来,大量重复试验中随机事件出现的频数 X 均服从或近似服从泊松分布.当x服从二项分布,其中n很大,p很小时,np很小,就把np近似为λ, 此时近似服从泊松分布P(λ).本实验就是要通过实际计算、作图和比较等方法对上述结果在不同参数组合情形下给出直观、动态的展示.实验所用软件及版本: Excel2003实验过程:

    1.对于实验(1)在A1中输入函数命令“=BINOMDIST(10,100000,1/10000,0)”,回车后所得结果就是二项分布的概率;在B2中输入函数命令“=BINOMOIST(10,100000,1/1000,1)”,回车后所得结果就是泊松分布的概率。

    2. 仿照实验(1),先设置对实验次数n的滚动条(n的值显示在A3单元格中):在Excel界面中依次单击视图—工具栏—窗体,再出现的表单控件对话框中单击滚动条,然后再工作表空白区任意单击即出现的滚动条,调整其位置、大小,在右击此滚动条,然后再出现的对话框中设置控件格式,包括最大值、最小值分别为30、1、步长为1、页步长为1,确定后完成设置,把该滚动条移动到A4处,再单击滚动条的左右小黑三角就会发现A3中的值在1-30之间变化;下面的是p值的滚动:同上先设置对A9的滚动条,滚动范围是0-100,步长为1,然后再单元格A7内填入“=A8/100”,那么A7的值就随着A8中数值的变化以步长0.01在0-1之间变化。其次在单元格B2和B3中分别填入0和1,选取单元格B2、B3向下拖放填充至B32,就可在单元格B2:B32中得到随机变量X的取值k,k=1,2、、、、、30,再次利用函数BINOMDIST计算二项分布的概率值:现在单元格C2中填入命令“=IF(B2<=$A$3,BINOMDIST(B2,$A$3,$A$7,0),“”)”,算出C2中的概率值P=(X=0),再将C2中计算二项分布概率的公式向下拖放填充至C32,就可计算出全部满足“<=$A$3”的二项分布的概率值P(X=k),k=0,1,2、、、、、30,这里$A$3表示实验次数;最后在利用Excel中的图表向导绘制出二项分布柱形图:选取数据所在的单元格区域$C$2:$C$32,再依次单击插入—图表—柱形图,选取子图表类型中的簇状柱形图,确定后得到柱形图,在对柱形图做一定的修饰。至此只要单击只做好的两个滚动条的左右小黑三角,那么n和p的值就会发生变化,工作表中相应的概率值和柱形图也随之发生变化。

    3.首先在单元格A2、A6中设置滚动条,以滚动条控制二项分布的参数n和p,其中n的变化范围是1-30,步长为1;p的变化范围是0-1,步长为0.01;同时泊松分布的参数(=np)的值显示在单元格A8(公式为“=4($A$2*$A$5)”)中,其次利用拖放填充在单元格B2:B32中给出随机变量X的所有可能取值k,k=1,2、、、30。再利用BINOMDIST和POISSON分别计算对应于每个k的二项分布概率和泊松分布概率值,泊松分布概率的计算公式为””实验结果总结:

    1.对于问题(1),在任一空白单元格(这里为A1)中输入函数命令“=BINOMDIST(10,100000,1/10000,0)”,回车后返回的计算结果为0.125116,对于问题(2),将上述命令的最后一个选项改为1 即可,计算结果为0.583040.如图所示:

    2.两种结果较为接近.即该情况下二项分布不可近似为柏松分布.

    3.设置滚动条

    4.动态地演示二项分布概率是如何随着n 和p 的变化而变化

    5.制作滚动条演示二项分布概率和泊松概率的近似关系.

    实验体会:

    本实验可以得到一个结论就是,二项分布与柏松分布在一定条件下是可以相互近似的.这对在以后数学的学习尤

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  • MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布的概率【语法说明】Y=binopdf(X,N,P):函数返回 X 中的每个值在相应 N、P参数指定的二项分布下的概率值。X 中的元素值必须是 0~N 之间的整数,否则其概率值为零。输入参数 X...

    MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布的概率

    【语法说明】

    Y=binopdf(X,N,P):函数返回 X 中的每个值在相应 N、P参数指定的二项分布下的概率值。X 中的元素值必须是 0~N 之间的整数,否则其概率值为零。输入参数 X、N、P 为同型矩阵,如果有参数为标量,则该参数将被扩展为其他参数同型的数组。

    【功能介绍】计算二项分布概率。二项分布属于离散分布,没有概率密度函数的概念,binopdf函数求得的是二项分布取各个离散值的概率。

    【实例】计算N=8,P分别等于0.3、0.5、0.7时,出现概率最大的随机变量值。

    >> x=0:8;      % 随机变量取值为0~8

    >> p1=binopdf(x,8,0.3)    % p=0.3

    p1 =

    0.0576 0.1977 0.2965 0.2541 0.1361

    0.0467 0.0100 0.0012 0.0001

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.3 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    2

    >> p1=binopdf(x,8,0.5)    % p=0.5

    p1 =

    0.0039 0.0312 0.1094 0.2187 0.2734

    0.2187 0.1094 0.0312 0.0039

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.5 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    4

    >> p1=binopdf(x,8,0.7)    % p=0.7

    p1 =

    0.0001 0.0012 0.0100 0.0467 0.1361

    0.2541 0.2965 0.1977 0.0576

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.7 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    6

    【实例讲解】在[~,index1]=max(p1)中,index1返回最大元素的序号,由于p1(1)~p1(9)分别对应随机变量0~8,因此出现概率最大的随机变量等于index1减1。

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  • 使用R语言计算二项分布的概率和累计概率的过程详解

    需求描述

    利用R语言计算二项分布的概率和累计概率。

    问题分析

    假设某个试验是伯努利试验,其成功概率用p表示,那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验,成功了x次,则失败次数为n-x,发生这种情况的概率可用下面公式来计算:

     

    计算过程为:

    =

    =120*0.0009765625

    =0.1171875

    这里的概率称之为概率质量函数,简称概率函数,而R里称之为密度函数是为了跟连续分布在概念上的统一。

    而累计概率则为X≤7的所有概率之和,这里可以反过来求,即1减去X=8、X=9、X=10的概率,即

    1-P(8)-P(9)-P(10) = 1-(10*9/2+10+1) *0.0009765625 = 0.9453125

    实现方法

    在R里可通过函数dbinom完成该概率的计算:

    dbinom(7, size=10, prob=0.5)

    [1] 0.1171875

    在R里可通过函数pbinom完成该累计概率的计算:

    pbinom(7, size=10, prob=0.5)

    [1] 0.9453125

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  • (好久没写知乎文章了,又不知道该写什么,就随便水一水吧)二项分布: 次试验,每次试验有 的概率出现目标事件,记 为 次试验后出现目标事件的次数;负二项分布:若干次试验,每次试验有 的概率出现目标事件,记 为...

    (好久没写知乎文章了,又不知道该写什么,就随便水一水吧)

    二项分布:

    equation?tex=n 次试验,每次试验有

    equation?tex=p 的概率出现目标事件,记

    equation?tex=x

    equation?tex=n 次试验后出现目标事件的次数;

    负二项分布:若干次试验,每次试验有

    equation?tex=p 的概率出现目标事件,记

    equation?tex=x 为出现

    equation?tex=r 次目标事件所需要的总试验次数。

    首先我们先用最暴力的方法来直接推导它们的期望和方差。

    直接算E(X)和Var(X)

    二项分布的pmf:

    equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+xf%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+x%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Ennp+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=np 提出来,容易观察得出剩下那一部分也是一个二项分布的pmf,只不过

    equation?tex=n 变成了

    equation?tex=n-1

    equation?tex=x 变成了

    equation?tex=x-1 ,那么它求和后结果为1.

    因此:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++E%28X%29%26%3Dnp%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3Dnp++%5Cend%7Balign%7D

    为计算

    equation?tex=Var%28X%29 ,我们先计算

    equation?tex=E%28X%5E2%29

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+x%5E2%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Ennp+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29xp%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3Dnp%5Cleft%5B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%28x-1%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Enp%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D%5Cright%5D+%5Cend%7Balign%7D

    右边两个求和,是将

    equation?tex=x 拆成

    equation?tex=%28x-1%29%2B1 的结果,显然第一个求和为二项分布

    equation?tex=B%28n-1%2Cp%29 的均值,第二个求和为二项分布pmf的和,即1。

    因此:

    equation?tex=E%28X%5E2%29%3Dnp%5B%28n-1%29p%2B1%5D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    现在我们再来算负二项分布的

    equation?tex=E%28X%29

    equation?tex=Var%28X%29

    负二项分布的pmf:

    equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+xf%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty++%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5Cend%7Balign%7D

    显然右边的求和式对应着负二项分布

    equation?tex=r

    equation?tex=r%2B1 时的pmf,因此求和为1.

    equation?tex=E%28X%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D

    另外,

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x%5E2f%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x%5E2+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D+%5Cleft%5B%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C-%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5Cright%5D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Br%2B1%7D%7Bp%7D-1+%5Cright%29+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28r-p%2B1%29%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    因此:

    equation?tex=Var%28X%29%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D

    (其实,在推导中pmf和为1的隐藏结论是需要通过级数去推的,这也意味着上述式子可以化成特殊级数形式,读者可以自行证明)

    用mgf进行计算会比上述方法稍微简单一些。

    MGF计算

    定义

    equation?tex=M%28t%29%3DE%28e%5E%7BtX%7D%29

    则:

    equation?tex=M%27%28t%29%3DE%28Xe%5E%7BtX%7D%29

    equation?tex=M%27%27%28t%29%3DE%28X%5E2e%5E%7BtX%7D%29

    那么:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2+%5C%5C%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5Cend%7Balign%7D

    那么对于二项分布:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++M%28t%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+e%5E%7Btx%7Df%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+e%5E%7Btx%7D%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%28pe%5Et%29%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%281-p%2Bpe%5Et%29%5En+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=M%27%28t%29%3Dnpe%5Et%281-p%2Bpe%5Et%29%5E%7Bn-1%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%27%28t%29%26%3DM%27%28t%29%2Bn%28n-1%29p%5E2e%5E%7B2t%7D%281-p%2Bpe%5Et%29%5E%7Bn-2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    故:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29%3Dnp

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5C%5C%26%3Dnp-np%5E2+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    对于负二项分布:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%28t%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7Btx%7D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7Bt%28x-r%29%7D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+%28pe%5Et%29%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5C%5C%26%3D%28pe%5Et%29%5Er%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%5B%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Bx-r%7D++%5Cend%7Balign%7D

    观察和式,令

    equation?tex=w%3D%281-p%29e%5Et

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%281-w%29%5E%7B-r%7D%26%3Dr%281-w%29%5E%7B-r-1%7D%2B%5Cfrac%7Br%28r%2B1%29%7D%7B2%7D%281-w%29%5E%7B-r-2%7D%2B%5Ccdots+%5C%5C%26%2B%5Cleft%28%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-1%5C%5Cr-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%29%281-w%29%5E%7B-r-%28x-r%29%7D++%5Cend%7Balign%7D

    因此:

    equation?tex=M%28t%29%3D%28pe%5Et%29%5Er%281-w%29%5E%7B-r%7D%3D%5Cfrac%7B%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%7D

    则:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%28t%29%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%2Bre%5Et%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br-1%7D%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7B2r%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%2Bre%5Et%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%27%28t%29%26%3D%5Cfrac%7Br%5E2%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%2Bre%5Et%28r%2B1%29%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7B2r%2B2%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%5E2%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%2Bre%5Et%28r%2B1%29%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B2%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%5Br%2B%281-p%29e%5Et%5D%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B2%7D%7D+%5Cend%7Balign%7D

    故:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28r%2B1-p%29%7D%7Bp%5E2%7D-%5Cfrac%7Br%5E2%7D%7Bp%5E2%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    当然,我们还可以把二项分布和负二项分布分别拆成若干次独立试验。

    利用伯努利分布和几何分布

    伯努利分布:可以看作二项分布中的单次试验,即

    equation?tex=n%3D1

    几何分布:可以看作负二项分布中

    equation?tex=r%3D1的情况。

    二项分布中的

    equation?tex=n 次试验相互独立,因此可以看作

    equation?tex=n 次相互独立的伯努利试验。

    而单次伯努利试验的期望:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D1%5Ctimes+p%2B0%5Ctimes+%281-p%29%3Dp

    方差:

    equation?tex=Var%28X_i%29%3D%281-p%29%5E2p%2B%280-p%29%5E2%281-p%29%3Dp%281-p%29

    所以二项分布的均值:

    equation?tex=E%28Y%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%28X_i%29%3Dnp

    方差:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28Y%29%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5BY-E%28Y%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnX_i-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%28X_i%29%5Cright%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28X_i-E%28X_i%29%29%5Cright%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5BX_j-E%28X_j%29%5D%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5BX_j-E%28X_j%29%5D%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Csum_%7Bj%3Di%2B1%7D%5EnE%5BX_i-E%28X_i%29%5DE%5BX_j-E%28X_j%29%5D+%5C%5C%26%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnVar%28X_i%29+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    同理,我们计算几何分布的均值:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xp%281-p%29%5E%7Bx-1%7D

    equation?tex=%281-p%29E%28X_i%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xp%281-p%29%5Ex

    两式相减:

    equation?tex=pE%28X_i%29%3Dp%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+p%281-p%29%5Ex

    则:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D1%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty%281-p%29%5Ex%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D

    计算方差前,计算

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2p%281-p%29%5E%7Bx-1%7D

    equation?tex=q%3D1-p,则:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X_i%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2%281-q%29q%5E%7Bx-1%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5E%7Bx-1%7D-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=f%28q%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5E%7Bx-1%7D

    则:

    equation?tex=%5Cint+f%28q%29dq%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xq%5Ex%2BC

    错位相减得:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xq%5Ex%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%5Cleft%28q%2B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B1-q%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%281-q%29%5E2%7D

    则:

    equation?tex=f%28q%29%3D%5Cfrac%7B1%2Bq%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    而对于

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex ,我们将其拆成:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29%5E2q%5Ex-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+2xq%5Ex-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+q%5Ex

    equation?tex=g%28q%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29%5E2q%5Ex

    equation?tex=%5Cint+g%28q%29dq%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29q%5E%7Bx%2B1%7D%2BC

    错位相减得:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty%28x%2B1%29q%5E%7Bx%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%5Cleft%282q%5E2%2B%5Cfrac%7Bq%5E3%7D%7B1-q%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B2q%5E2-q%5E3%7D%7B%281-q%29%5E2%7D

    则:

    equation?tex=g%28q%29%3D%5Cfrac%7Bq%28q%5E2-3q%2B4%29%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex%3D%5Cfrac%7Bq%5E2%2Bq%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    所以

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29%3D%5Cfrac%7B1-q%5E2%7D%7B%281-q%29%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B2-p%7D%7Bp%5E2%7D

    那么

    equation?tex=Var%28X_i%29%3DE%28X_i%5E2%29-%5BE%28X_i%29%5D%5E2%3D%5Cfrac%7B1-p%7D%7Bp%5E2%7D

    那么负二项分布的均值与方差为:

    equation?tex=E%28Y%29%3DrE%28X_i%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%2CVar%28Y%29%3DrVar%28X_i%29%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D

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二项分布如何计算方法