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  • 四、随机变量及其分布函数的基本定义和性质 random variables and distribution
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    2021-07-10 10:52:30

    1、随机变量是一个从样本空间Ω映射到实数集合R的函数。

    2、随机变量的分布函数: F X ( x ) = P ( X ≤ x ) F_X(x)=P(X \leq x) FX(x)=P(Xx),称为X服从 F X ( x ) F_X(x) FX(x),记为 X ∼ F X ( x ) X \sim F_X(x) XFX(x)

    • 离散型随机变量:分布列
    • 连续型随机变量: X ∼ F ( x ) X \sim F(x) XF(x),存在非负可积函数 f ( x ) f(x) f(x),使得 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)dt F(x)=xf(t)dt,则称X为连续性随机变量, f ( x ) f(x) f(x)为X的概率密度函数(PDF)。

    概率密度函数一定满足: ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1 +f(x)dx=1

    连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数,但分布函数在R上是连续函数的随机变量不一定是连续型随机变量。

    连续型随机变量的单点概率为0,f(x)不是其单点概率。

    3、分布函数的性质:

    • 单调性:F(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (,+)上单调非减。
    • 有界性 ∀ x ∈ R , 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 \forall x\in R, 0 \leq F(x) \leq 1 xR,0F(x)1
    • 右连续性 ∀ x 0 ∈ R , lim ⁡ x → x 0 F ( x ) = F ( x 0 ) \displaystyle \forall x_0 \in R , \lim_{x \to x_0} F(x) = F(x_0) x0R,xx0limF(x)=F(x0)

    利用分布函数计算随机变量在不同区间上的概率:
    P ( a < x ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) P ( x = a ) = P ( x ≤ a ) − P ( x < a ) = F ( a ) − lim ⁡ x → a − F ( x ) = F ( a ) − F ( a − ) P ( a ≤ x ≤ b ) = F ( b ) − F ( a − ) \begin{aligned} P(a<x\leq b) & = F(b)- F(a)\\ P(x=a) &=P(x\leq a)-P(x < a) =F(a)- \lim_{x \to a-}F(x)=F(a)-F(a-)\\ P(a \leq x \leq b) & = F(b) -F(a-) \end{aligned} P(a<xb)P(x=a)P(axb)=F(b)F(a)=P(xa)P(x<a)=F(a)xalimF(x)=F(a)F(a)=F(b)F(a)
    4、计算随机变量分布函数唯一且最有效的方法:利用定义 F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x)=P(X \leq x) F(x)=P(Xx)

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    引言

    正态分布是19世纪德国科学家Gauss(1777—1855)在研究单个测量误差 ε \varepsilon ε的分布时导出一元正态分布 N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^2) N(0,σ2),而多元正态是由多个测量误差的联合分布导出的 N p ( μ , ε ) N_p(\mu,\varepsilon) Np(μ,ε)。多元正态分布在多元统计分析中所占的重要地位,如同一元统计分析中一元正态分布所占的重要地位一样,多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上,多元正态分布是多元统计分析的基础,同时它具有许多优良的性质。此外,在实用中遇到的随机向量常常是服从正态分布或近似正态分布。因此现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总体服从正态分布或近似正态分布为前提的。

    一元正态分布的定义

    定义1: 一元正态分布的概率密度函数为: f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ [ − 1 2 ( x − μ σ ) 2 ] − ∞ < x < + ∞ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right] \quad -\infty<x < +\infty f(x)=2πσ 1exp[21(σxμ)2]<x<+

    多元正态分布的定义

    定义2: 多元正态分布是一元正态分布的推广,若 p p p维随机向量 X = ( X 1 , ⋯   , X p ) ⊤ X=(X_1,\cdots,X_p)^{\top} X=(X1,,Xp)的密度函数为 f ( x ) = 1 ( 2 π ) p ∣ Σ ∣ 1 2 exp ⁡ [ − 1 2 ( x − μ ) ⊤ Σ − 1 ( x − μ ) ] f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)}^p|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\exp \left[-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right] f(x)=(2π) pΣ211exp[21(xμ)Σ1(xμ)]其中, x = ( x 1 , ⋯   , x p ) ⊤ x=(x_1,\cdots,x_p)^{\top} x=(x1,,xp) μ \mu μ是随机向量 X X X p p p维均值向量, Σ \Sigma Σ X X X p p p阶协方差阵(是正定阵以保证 Σ − 1 \Sigma^{-1} Σ1存在),则称 X X X服从 p p p元正态分布,也称 X X X p p p维正态随机向量,简记为 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ),显然当 p = 1 p=1 p=1时,即为一元正态密度函数。

    定义3: 独立标准正态变量 X 1 , ⋯   , X p X_1,\cdots,X_p X1,,Xp的有限线性组合: Y = [ Y 1 ⋮ Y m ] = A m × p [ X 1 ⋮ X p ] + μ m × 1 Y=\left[\begin{array}{c}Y_1\\ \vdots\\ Y_m\end{array}\right]=A_{m\times p} \left[\begin{array}{c}X_1\\ \vdots\\ X_p\end{array}\right]+\mu_{m\times 1} Y=Y1Ym=Am×pX1Xp+μm×1称为 m m m维正态随机向量,记为 Y ∼ N m ( μ , Σ ) Y \sim N_m(\mu,\Sigma) YNm(μ,Σ),其中 Σ = A A ⊤ \Sigma=AA^{\top} Σ=AA,这里需要注意的是 Σ = A A ⊤ \Sigma=AA^{\top} Σ=AA的分解一般不是唯一的。

    定义4: X X X的特征函数为 Φ ( t ) = exp ⁡ ( i t ⊤ μ − 1 2 t ⊤ Σ t ) , \Phi(t)=\exp(i t^{\top}\mu-\frac{1}{2}t^{\top}\Sigma t), Φ(t)=exp(itμ21tΣt),其中 t t t为实向量,则称 X X X服从 p p p元正态分布,显然用特征函数定义,可以包括 ∣ Σ ∣ = 0 |\Sigma|=0 Σ=0情况。

    多元正态变量的基本性质

    • X = ( X 1 , ⋯   , X p ) ⊤ ∼ N ( μ , Σ ) X=(X_1,\cdots,X_p)^{\top}\sim N(\mu,\Sigma) X=(X1,,Xp)N(μ,Σ) Σ \Sigma Σ是对角阵,则 X 1 , ⋯   , X p X_1,\cdots,X_p X1,,Xp相互独立。
    • 若总体 X = ( X 1 , ⋯   , X p ) ⊤ ∼ N ( μ , Σ ) X=(X_1,\cdots,X_p)^{\top}\sim N(\mu,\Sigma) X=(X1,,Xp)N(μ,Σ),则每个分量 X i ∼ N ( μ i , σ i i ) ( i = 1 , ⋯   , p ) X_i \sim N(\mu_i,\sigma_{ii})(i=1,\cdots,p) XiN(μi,σii)(i=1,,p) X X X中的任何部分集合构成的向量也服从正态分布,即多元正态随机向量 X X X的所有子集都服从正态分布。
    • 若总体 X = ( X 1 , ⋯   , X p ) ⊤ ∼ N p ( μ , Σ ) X=(X_1,\cdots,X_p)^{\top}\sim N_p(\mu,\Sigma) X=(X1,,Xp)Np(μ,Σ),则随机变量的任意线性组合: a ⊤ X = a 1 X 1 + a 2 X 2 + ⋯ + a p X p ∼ N ( a ⊤ μ , a ⊤ Σ a ) a^{\top}X=a_1X_1+a_2X_2+\cdots+a_pX_p \sim N(a^{\top}\mu,a^{\top}\Sigma a) aX=a1X1+a2X2++apXpN(aμ,aΣa)。反之,如果对任意向量 a a a a ⊤ X ∼ N ( a ⊤ μ , a ⊤ Σ a ) a^{\top}X\sim N(a^{\top}\mu,a^{\top}\Sigma a) aXN(aμ,aΣa),则 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ)
    • X ∼ N p ( μ , Σ ) X \sim N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ) A A A s × p s \times p s×p阶常数阵, d d d s s s维常数向量,则 A X + d ∼ N s ( A μ + d , A Σ A ⊤ ) AX+d\sim N_s(A\mu+d,A\Sigma A^{\top}) AX+dNs(Aμ+d,AΣA),即正态随机向量的线性函数还是正态的。
    • X ∼ N p ( μ , Σ ) X \sim N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ),将 X , μ , Σ X,\mu,\Sigma X,μ,Σ作如下部分: X = ( X ( 1 ) X ( 2 ) ) p − q q μ = ( μ ( 1 ) μ ( 2 ) ) Σ = ( Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ) p − q q X=\left(\begin{array}{c}X^{(1)}\\X^{(2)}\end{array}\right)^q_{p-q}\quad \mu=\left(\begin{array}{c}\mu^{(1)}\\\mu^{(2)}\end{array}\right)\quad \Sigma=\left(\begin{array}{cc}\Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\\Sigma_{21}&\Sigma_{22}\end{array}\right)^{q}_{p-q} X=(X(1)X(2))pqqμ=(μ(1)μ(2))Σ=(Σ11Σ21Σ12Σ22)pqq X ( 1 ) ∼ N q ( μ ( 1 ) , Σ 11 ) X^{(1)}\sim N_q(\mu^{(1)},\Sigma_{11}) X(1)Nq(μ(1),Σ11) X ( 2 ) ∼ N p − q ( μ ( 2 ) , Σ 22 ) X^{(2)}\sim N_{p-q}(\mu^{(2)},\Sigma_{22}) X(2)Npq(μ(2),Σ22)
    • X ∼ N p ( μ , Σ ) X \sim N_p(\mu,\Sigma) XNp(μ,Σ) ∣ Σ ∣ > 0 |\Sigma|>0 Σ>0,则 Σ − 1 ( x − μ ) ∼ χ 2 ( p ) \Sigma^{-1}(x-\mu)\sim \chi^2(p) Σ1(xμ)χ2(p)
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  • 泊松分布和二项分布在n趋向时也服从正态分布。这七种概率分布因其基础性与常见性,因而在实际生活中应用广泛,特别是工程,医药,财经等领域。 本文先是介绍了一些基本的概率知识,用集合的方法定义一些概率的概念...
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    chi square-卡方分布定义性质摘要χ2\chi^2χ2分布 (卡方分布) 的定义gammagammagamma 分布gammagammagamma 分布的期望、方差及距生成函数χ2\chi^2χ2分布的 pdfχ2\chi^2χ2分布性质χ2\chi^2χ2分布与正态...

    摘要

    本文将介绍卡方分布的定义及相关性质,以及卡方分布与正态分布的关系。

    χ 2 \chi^2 χ2分布 (卡方分布) 的定义

    g a m m a gamma gamma 分布

    首先, χ 2 \chi^2 χ2分布是一种特殊的 g a m m a gamma gamma 分布。所以在看卡方分布的定义及性质之前,我们先来看 Gamma 分布的定义。

    g a m m a gamma gamma 分布由两个参数 α \alpha α β \beta β 决定。 g a m m a ( α ,   β ) gamma(\alpha, \, \beta) gamma(α,β) 的概率密度函数 (pdf) 为:
    f ( x ∣ α , β ) = 1 Γ ( α ) β α x α − 1 e − x / β ,   0 < x < ∞ , α > 0 , β > 0 (1) \displaystyle f(x|\alpha, \beta) = \dfrac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta},\, 0 < x < \infty, \alpha > 0, \beta > 0 \tag{1} f(xα,β)=Γ(α)βα1xα1ex/β,0<x<,α>0,β>0(1)
    其中 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x) 是 gamma 函数, Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t \displaystyle \Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} dt Γ(α)=0tα1etdt

    g a m m a ( α ,   β ) gamma(\alpha, \, \beta) gamma(α,β) 分布中,如果我们令 α = p / 2 ,   β = 2 \alpha = p / 2, \, \beta = 2 α=p/2,β=2,那么我们就得到了自由度为 p p p χ 2 \chi^2 χ2 分布,记为 χ p 2 \chi^2_p χp2 分布。

    g a m m a gamma gamma 分布的期望、方差及距生成函数

    在看卡方分布的性质之前,我们先看一下 g a m m a gamma gamma 分布的性质。

    假设 X ∼ g a m m a ( α ,   β ) X \sim gamma(\alpha, \, \beta) Xgamma(α,β),那么我们有
    E ( X ) = α β , Var ( X ) = α β 2 \mathbb{E}(X) = \alpha \beta, \text{Var}(X) = \alpha \beta^2 E(X)=αβ,Var(X)=αβ2
    证明过程可参见 [1]。我们在附录中给出 Var ( X ) = α β 2 \text{Var}(X) = \alpha \beta^2 Var(X)=αβ2 的证明。

    g a m m a gamma gamma 分布的距生成函数 (moment-generating function, mgf) 为
    M X ( t ) = E ( e t x ) = ( 1 1 − β t ) α , t < 1 β \displaystyle M_X(t) = \mathbb{E}(e^{tx}) = \Big ( \dfrac{1}{1 - \beta t} \Big) ^{\alpha}, t < \dfrac{1}{\beta} MX(t)=E(etx)=(1βt1)α,t<β1

    其证明过程可参见 Casella Example 2.3.8。

    另外,根据 Casella Theorem 4.6.7,我们知道如果
    X 1 ∼ g a m m a ( α 1 , β ) ,   X 1 ∼ g a m m a ( α 2 , β ) , ⋯   , X n ∼ g a m m a ( α n , β ) X_1 \sim gamma(\alpha_1, \beta), \, X_1 \sim gamma(\alpha_2, \beta), \cdots, X_n \sim gamma(\alpha_n, \beta) X1gamma(α1,β),X1gamma(α2,β),,Xngamma(αn,β)
    X i X_i Xi 是独立的,那么
    X 1 + X 2 + ⋯ X n ∼ g a m m a ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n , β ) X_1 + X_2 + \cdots X_n \sim gamma(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n, \beta) X1+X2+Xngamma(α1+α2++αn,β)
    n n n 个独立的有相同 β \beta β 参数的 g a m m a gamma gamma 分布的和仍然是一个 g a m m a gamma gamma 分布。

    χ 2 \chi^2 χ2分布的 pdf

    α = p / 2 ,   β = 2 \alpha = p / 2, \, \beta = 2 α=p/2,β=2 代入 g a m m a ( α ,   β ) gamma(\alpha, \, \beta) gamma(α,β) 的 pdf,我们有
    f ( x ∣ p ) = 1 Γ ( p / 2 ) 2 p / 2 x p 2 − 1 e − x / 2 ,      0 < x < ∞ (2) f(x \vert p) = \frac{1}{\Gamma(p / 2) 2^{p / 2}} x^{\frac{p}{2} - 1} e^{-x / 2}, \, \, \, \, 0 < x < \infty \tag{2} f(xp)=Γ(p/2)2p/21x2p1ex/2,0<x<(2)
    这便是 χ p 2 \chi^2_p χp2 分布的概率密度函数。

    χ 2 \chi^2 χ2分布的性质

    由于 χ p 2 \chi^2_p χp2 分布是 α = p / 2 \alpha = p / 2 α=p/2, β = 2 \beta = 2 β=2 g a m m a gamma gamma 分布,故我们可以直接套用 g a m m a gamma gamma 分布的期望与方差公式。
    E χ p 2 ( X ) = p , Var χ p 2 ( X ) = 2 p \mathbb{E}_{\chi^2_p}(X) = p, \text{Var}_{\chi^2_p}(X) = 2p Eχp2(X)=p,Varχp2(X)=2p

    另外,根据独立 g a m m a gamma gamma 分布的相加性的性质,我们有对于独立的 χ p 2 \chi^2_p χp2 分布 X i ∼ χ p i 2 X_i \sim \chi^2_{p_i} Xiχpi2,那么 ∑ X i ∼ χ ∑ p i 2 \displaystyle \sum X_i \sim \chi^2_{\sum p_i} Xiχpi2
    n n n 个独立的 χ 2 \chi^2 χ2 分布的和仍然是一个 χ 2 \chi^2 χ2 分布,加和分布的自由度等于所有自由度的和。

    χ 2 \chi^2 χ2分布与正态分布的关系

    χ 2 \chi^2 χ2分布与正态分布有什么关系呢?

    首先,如果 Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim N(0, 1) ZN(0,1),即 Z Z Z 服从标准正态分布,那么 Z 2 ∼ χ 1 2 Z^2 \sim \chi^2_1 Z2χ12。即标准正态分布的平方服从自由度为 1 的卡方分布。证明过程比较直接,参见附录。

    另外,我们有如下定理。

    如果有 n n n 个独立同分布的正态分布 X i ∼ N ( μ ,   σ 2 ) , i = 1 ,   2 ,   ⋯   , n X_i \sim N(\mu, \, \sigma^2), i = 1, \, 2, \, \cdots, n XiN(μ,σ2),i=1,2,,n。样本方差为 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \displaystyle S^2 =\dfrac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (X_i - \bar{X})^2 S2=n11i=1n(XiXˉ)2。那么 ( n − 1 ) S 2 / σ 2 \displaystyle (n - 1)S^2/\sigma^2 (n1)S2/σ2 服从自由度为 n − 1 n - 1 n1 χ 2 \chi^2 χ2分布。

    这个结论的证明可见 Casella Theorem 5.3.1。

    scipy 中的函数

    scipychi2 可以用来产生 χ 2 \chi^2 χ2分布的各种相关函数。

    • pdf(x, df, loc=0, scale=1) 是自由度为 df 的 χ 2 \chi^2 χ2分布的 pdf;
    • rvs(df, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None) 可以生成 size 个服从自由度为 df 的 χ 2 \chi^2 χ2分布的随机数;
    • cdf(x, df, loc=0, scale=1) 是自由度为 df 的 χ 2 \chi^2 χ2分布的 cdf;
    • ppf(q, df, loc=0, scale=1) 是自由度为 df 的 χ 2 \chi^2 χ2分布的分位数。

    附录

    g a m m a gamma gamma 分布的方差公式

    假设 X ∼ g a m m a ( α ,   β ) X \sim gamma(\alpha, \, \beta) Xgamma(α,β)。这里我们假设已经证明了 E ( X ) = α β \mathbb{E} (X) = \alpha \beta E(X)=αβ。我们计算 E ( X 2 ) \mathbb{E} (X^2) E(X2)

    E ( X 2 ) = ∫ 0 ∞ x 2 1 Γ ( α ) β α x α − 1 e − x / β d x = 1 Γ ( α ) β α ∫ 0 ∞ x α + 1 e − x / β d x \begin{aligned} \mathbb{E}(X^2) &= \int_0^{\infty} x^2 \dfrac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta} dx \\ &= \dfrac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} \int_0^{\infty} x^{\alpha + 1} e^{-x/\beta} dx \end{aligned} E(X2)=0x2Γ(α)βα1xα1ex/βdx=Γ(α)βα10xα+1ex/βdx
    因为我们知道 ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x / β d x = Γ ( α ) β α \displaystyle \int_0^{\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x/\beta} dx = \Gamma(\alpha) \beta^\alpha 0xα1ex/βdx=Γ(α)βα (根据 pdf 积分为1 可知),所以我们有 ∫ 0 ∞ x α + 1 e − x / β d x = Γ ( α + 2 ) β α + 2 = ( α + 1 ) Γ ( α + 1 ) β α + 2 = α ( α + 1 ) Γ ( α ) β α + 2 \displaystyle \int_0^{\infty} x^{\alpha + 1} e^{-x/\beta} dx= \Gamma(\alpha + 2) \beta^{\alpha + 2} = (\alpha + 1) \Gamma(\alpha + 1) \beta^{\alpha + 2} =\alpha (\alpha + 1) \Gamma(\alpha) \beta^{\alpha + 2} 0xα+1ex/βdx=Γ(α+2)βα+2=(α+1)Γ(α+1)βα+2=α(α+1)Γ(α)βα+2。故 E ( X 2 ) = α ( α + 1 ) β 2 \mathbb{E} (X^2) = \alpha (\alpha + 1) \beta^2 E(X2)=α(α+1)β2

    于是,
    Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 = α ( α + 1 ) β 2 − ( α β ) 2 = α β 2 \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \mathbb{E} (X^2) - (\mathbb{E} (X))^2 \\ &= \alpha (\alpha + 1) \beta^2 - ( \alpha \beta)^2 \\ &=\alpha \beta^2 \end{aligned} Var(X)=E(X2)(E(X))2=α(α+1)β2(αβ)2=αβ2

    标准正态分布的平方

    假设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) XN(0,1) Y = X 2 Y = X^2 Y=X2。我们要求出 Y Y Y 的分布。我们计算 F ( k ) = P ( Y ≤ k ) , k > 0 F(k) = P(Y \leq k), k > 0 F(k)=P(Yk),k>0。求出累积分布函数 F ( k ) F(k) F(k) 之后,我们可以对 F ( k ) F(k) F(k) 求导,来求出 Y Y Y 的概率密度函数。

    F ( k ) = P ( Y ≤ k ) = P ( − k ≤ X ≤ k ) = ∫ − k k 1 2 π e − x 2 / 2 d x = ∫ − ∞ k 1 2 π e − x 2 / 2 d x − ∫ − ∞ − k 1 2 π e − x 2 / 2 d x \begin{aligned} F(k) = P(Y \leq k) &= P(-\sqrt{k} \leq X \leq \sqrt{k}) \\ &= \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx \\ &= \int_{-\infty}^{\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx - \int_{-\infty}^{-\sqrt{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2 / 2} dx \end{aligned} F(k)=P(Yk)=P(k Xk )=k k 2π 1ex2/2dx=k 2π 1ex2/2dxk 2π 1ex2/2dx
    F ( k ) F(k) F(k) 求导,我们有
    d d k F ( k ) = 1 2 π e − ( k ) 2 / 2 d d k ( k ) − 1 2 π e − ( − k ) 2 / 2 d d k ( − k ) = 1 2 π e − k 2 1 k \begin{aligned} \frac{d}{dk} F(k) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(\sqrt{k})^2 / 2} \frac{d}{dk} (\sqrt{k}) - \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(-\sqrt{k})^2 / 2} \frac{d}{dk} (-\sqrt{k}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{k}{2}} \frac{1}{\sqrt{k}} \end{aligned} dkdF(k)=2π 1e(k )2/2dkd(k )2π 1e(k )2/2dkd(k )=2π 1e2kk 1

    这正是
    f ( x ∣ p ) = 1 Γ ( p / 2 ) 2 p / 2 x p 2 − 1 e − x / 2 ,      0 < x < ∞ f(x \vert p) = \frac{1}{\Gamma(p / 2) 2^{p / 2}} x^{\frac{p}{2} - 1} e^{-x / 2}, \, \, \, \, 0 < x < \infty f(xp)=Γ(p/2)2p/21x2p1ex/2,0<x<
    p = 1 p = 1 p=1 时卡方分布 pdf 的表达式。

    于是, Y ∼ χ 1 2 Y \sim \chi^2_1 Yχ12

    参考文献

    [1] George Casella, Roger L. Berger, Statistical inference, Chapter 3.3

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     伽马函数的定义为Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dxΓ(α)=∫0∞​xα−1e−xdx其中参数α>0\alpha>0α>0。伽马函数具有如下性质: Γ(1)=1\Gamma(1)=1Γ(1)...
  • 1.伯努利分布和二项分布  对于伯努利分布,我们是十分熟悉的,从小学开始,老师就教会我们如何对掷硬币这件事进行数据建模:对于一个二元随机变量,表示掷硬币结果为正面朝上,表示反面朝上。根据常识,我们都认为...
  • 为了研究幂级数分布性质,首先给出幂级数分布族的定义,并证明幂级数...得出结论:两点分布二项分布、泊松分布、几何分布和 项分布等常见离散型随机变量分布,在幂级数分布族概念下其函数形式与参数结构都是统一的.
  • https://blog.csdn.net/michael_r_chang/article/details/39188321https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.htmlhttps://blog.csdn.net/jteng/article/details/603346281. 伯努利分布伯努利分布(Bernoulli ...
  • F 分布定义和概率密度函数

    千次阅读 2021-07-02 13:59:40
    定义: 设 X1∼χ2(m),X2∼χ2(n)X_{1} \sim \chi^{2}(m), X_{2} \sim \chi^{2}(n)X1​∼χ2(m),X2​∼χ2(n), X1X_{1}X1...服从自由度为 mmm 及 nnn 的 FFF 分布, mmm 称为第一自由度, n\boldsymbol{n}n 称为第自由
  • 二项分布(又名帕斯卡分布两点分布二项分布、几何分布、超几何分布和泊松分布一样是常见的离散型分布。从定义上可以看成是几何分布的推广,从推导形式上也可以看成二项分布的推广。由于负二项分布的展开式...
  • t-分布(学生分布), t-distribution 的定义性质

    千次阅读 多人点赞 2020-05-04 09:58:06
    t-分布, t-distribution 的定义性质摘要ttt-分布定义 摘要 ttt-分布定义
  • 为了研究幂级数分布性质,首先给出幂级数分布族的定义,并证明幂级数...得出结论:两点分布二项分布、泊松分布、几何分布和二项分布等常见离散型随机变量分布,在幂级数分布族概念下其函数形式与参数结构都是统一的.
  • 二项分布 前文列表 计数原理 组合与排列 统计与分布之高斯分布 统计与分布之泊松分布 伯努利分布 伯努利分布(Bernoulli Distribution),是一种离散分布,又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。...
  • 如果无穷随机变量序列是独立同分布(i.i.d.)的,而且每个随机变量都服从参数为p的伯努利分布,那么随机变量就形成参数为p的一系列伯努利试验。同样,如果n个随机变量独立同分布,并且都服从参数为p的伯努利分布,...
  • 二项分布均值方差的简单推导

    万次阅读 多人点赞 2016-09-20 21:33:50
    前一篇文章《二项分布》中说过,伯努利分布(也称为两点分布或0-1分布)是二项分布在n=1时的特例。我们先看伯努利分布的均值方差的推导。
  • 二项分布4. 正态分布5. 其他连续分布5.1 卡方分布5.2 t分布5.3 F分布6. 变量的关系6.1 联合概率分布6.2变量的独立性6.3 变量的相关性6.4 上证指数与深证成指相关性分析 统计分析是可以帮助人们认清、刻画不确定性的...
  • 伽玛分布(伽玛分布性质及其应用)

    千次阅读 2021-04-18 03:00:42
    相信很多人对于伽玛分布(伽玛分布性质及其应用)并不是非常的了解,因此小编在这里为您详解的讲解一下相关信息!伽玛分布是统计学的一种连续概率函数。Gamma分布中的参数α,形状参数(shape parameter),β称为尺度...
  • 投一枚硬币四次,两次正面,两次背面,问:投这枚... 我们根据实验的结论,2/4 = 0.5, 所以硬币是正面的概率是0.5。 上面的两种错误相互对立,历史告诉我们,将两种对立的错误加以整合,往往就能得到一个超级自然...
  • 2.二项分布和几何分布 3. 泊松分布 4.正态分布 一、期望 期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...
  • 《数理统计》课本上对二项分布、泊松分布以及正态分布的特征函数的推导过程没有详细描述,我在利用现有公式对上述三种分布推导一遍,并对相关性质知识进行回顾,以此记录。 特征函数 特征函数是实变量的复值函数,...
  • 分布函数性质&公式

    2021-08-11 08:48:43
    定义 性质
  • 幂律分布性质

    2021-09-02 17:23:39
    1、幂律分布定义 很多实际网络的度分布并不服从具有均匀特征的泊松分布,而是可以较好的用如下形式的幂律分布来表示: 其中λ\lambdaλ>0为幂指数,通常取值在2与3之间。 2、幂律分布的检验 2.1 双对数坐标系中...
  • 这节介绍常用分布。分常用离散分布和常用连续分布两类。常用离散分布二项分布(Binomial Distribution)记 为 重伯努利试验中成功的...容易想到,二项概率恰好是二项式 的展开式的第 ,这也是“二项分布”的名称的...
  • ----------------------------------------------------------二项分布------------------------------------------------------------------------------------- 一.伯努利概型 定义:在一定条件下进行n次独立...

空空如也

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