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  • 许多的统计分布都是指数型分布,彼此之间具有一定的共性,在研究其统计性质分布特征时,利用指数型分布族的特征,可以将这一族分布的特征分别表示出。在广义线性模型的统计推断中,常假设样本服从指数型分布。 ...

    1、什么是指数分布族

    1.1 基本描述

            指数型分布是一类重要的分布族,在统计推断中,指数型分布族占有重要的地位,在各领域应用广泛。许多的统计分布都是指数型分布,彼此之间具有一定的共性,在研究其统计性质与分布特征时,利用指数型分布族的特征,可以将这一族分布的特征分别表示出。在广义线性模型的统计推断中,常假设样本服从指数型分布。

    1.2 定义

           指数分布族可以写成如下的形式:
                                                         
            在这里,η叫做分布的自然参数,a(η)叫做累积量母函数(又称log partition function)。exp(-α(η))这个量是分布p(y;η)的归一化常数,用来确保分布p(y;η)对y的积分为1。T(y)称为充分统计量(sufficient statistic),对于我们考虑的分布,一般认为T(y)=y。
    一组确定的T,a和b定义了这样一个以η为参数的分布族。对于不同的η,我们可以得到指数分布族中不同的分布。

    1.3 数学特征

            对于单参数指数型分布的随机变量,记,分别表示关于η的函数a对η求一二阶导数,则有以下结论:
    1. 指数型分布随机变量的期望
    2. 指数型分布随机变量的方差

    2、高斯分布属于指数分布族的证明

            对于高斯分布,当方差已知时,(方差对模型的参数没有影响,所以我们可以任意地选一个方差),在这里我们令,则其分布可以表示为:
                                            
            为了将其向指数分布族靠拢,我们进行如下表示:
                                             
            这显示了高斯分布可以被写成是指数分布族的形式,所以高斯分布属于指数分布族。
            进一步地,我们用指数分布族的性质去验证一下,有:
                                            
                                              
            刚好是高斯分布的期望和方差,所以验证成功。
     
     

    3、二项分布属于指数分布族的证明

            对于二项分布(伯努利分布),每一个取不同均值的参数Φ,就会唯一确定一个y属于{0,1}之间的分布。所以可以表示为
                                       
            故二项分布的分布函数只以Φ作为参数,统一这样表示二项分布:
                                                   
            这样,自然参数为:,翻转一下,有:
            为了进一步将二项分布向指数分布族靠拢,我们可以进行如下表示:
                                                     
            这显示了二项分布可以被写成是指数分布族的形式,所以二项分布属于指数分布族。
     
            进一步地,我们用指数分布族的性质去验证一下,有:
                                           
                                           
            刚好是二项分布的期望与方差,故满足性质。

    转载于:https://www.cnblogs.com/linyuanzhou/p/4947931.html

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  • 2.二项分布和几何分布 3. 泊松分布 4.正态分布 一、期望 期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...

    目录

    一、期望

    1. 离散型随机变量的期望

    2. 连续型随机变量的期望

    3. 期望的性质

    二、方差和均方差

    1. 定义

    2. 计算

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    2. 二项分布和几何分布

    3. 泊松分布

    4. 正态分布


    一、期望

    期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。

    1. 离散型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k

    2. 连续型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

    3. 期望的性质

    • E(cX)=xE(x)
    • E(X+Y)=E(x)+E(Y)
    • X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)

    二、方差和均方差

    1. 定义

    方差,主要用于研究随机变量与其均值的偏离程度:

    D(X)=E[X-E(X)]^2

    均方差又称标准差:

    \sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{E[X-E(X)]^2}

    2. 计算

    设 g(X)=E[X-E(X)]^2,那么,方差,就相当于g(X)的期望。

    因此,对于离散型随机变量,有:

    D(X)=\sum_{k=1}^{n}[x_k-E(X)]^2p_k

    对于连续型随机变量,有:

    D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }[x_k-E(X)]^2f(x)dx

    3. 性质

    • 若c为常数,则D(C)=0
    • 若X是随机变量,C是常数,则有 D(CX)=C^2D(X)D(X+C)=D(X)
    • 若X,Y是连个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
    • 若X,Y相互独立,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    这个太简单了,我都不想说了……

    函数定义

    概率分布图像: 

    这里写图片描述

     关于均匀分布,我们还需要知道:

    • 期望:\bg_white E(x)=\frac{a+b}{2}
    • 方差:\bg_white D(x)=\frac{(b-a)^2}{12}

    2. 二项分布和几何分布

    二项,二项,为啥叫二项分布呢?顾名思义,就是这个随机事件只有两种可能的结果,也就是所谓的“不成功便成仁”,因此,二项分布也被称为0-1分布。

    二项分布必须满足下面4个特点:一是某件事情发生的次数(试验次数)是固定的,一般用n来表示;二是每件事情都有两个可能的结果(成功或失败);三是每一次试验中成功的概率都是相等的,一般用p来表示;四是我们感兴趣的是成功x次的概率问题,也就是在n次试验中x次的结果为成功的概率

    二次分布的公式如下:

    p(x)=C_n^x p^x (1-p)^{n-x}

    关于二次分布,你还要知道:

    • 期望E(x)=np(表示事情发生n次预计成功多少次)
    • 标准差\sigma (x)=\sqrt{np(1-p)}(表示数据的波动大小)

    几何分布和二项分布兼职就是“海尔兄弟”。几何分布也需要满足4个特点,前三个和二次分布完全一样,不同的是,在几何分布问题中,我们感兴趣的是,在第x次试验中取得第一次成功的概率有多大。举个例子,同样是抛硬币,抛5次,二项分布可能关注,5次试验中3次结果为朝上的概率,而几何分布中,我们关注的是“只有第五次正面朝上的概率”,也就是说,前四次均失败但第五次成功的概率。

    几何分布的公式是这个样子的:

    \bg_white p(x)=(1-p)^{x-1}p

    几何分布的期望\bg_white E(x)=\frac{1}{p},标准差\sigma (x)=\frac{1-p}{p^2}

    3. 泊松分布

    泊松分布(Poisson Distribution),一般用于描述在连续时间和空间单位上随机事件的概率,也就是说,我们可以基于已有的经验,预测该随机事件在新的同样长的时间里或同样大的空间中发生N次的概率。比如,机器在一定时间内故障的次数、汽车站台在一定时间内的候车人数、某地区自然灾害发生的次数等等。

    泊松分布需要满足以下三个特点:

    1)在给定区间内(可以是时间或者空间),事件是独立事件

    2)在任意相同的时间范围内,事件发生的次数(概率)相同,一般用\lambda 表示该区间内事件的平均发生次数;

    3)我们关注的是某个区间内,事件发生x次的概率。

    Poisson分布的概率函数为:

    在这里,我们用到了指数函数e^{-\lambda},这里的e是自然对数(ln)的底数,e\approx 2.718281828

    泊松分布的期望\bg_white E(x)=\lambda,方差为\sigma (x)=\lambda

    在二项分布的p很小的时候,泊松分布和二次分布较为接近。

    4. 正态分布

    正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

    正态分布的图像,就是著名的“钟形曲线”,如下图所示:

    正态分布的期望\bg_white E(x)=\mu,方差\bg_white D(x)=\sigma ^2。若随机变量X服从正态分布,记为X\sim N(\mu ,\sigma ^2)。正态分布的概率密度函数为:

    我们常说的标准正态分布,是指未知参数 \mu=0,尺度参数\sigma ^2=1的正态分布。其表达式可以简化为:

    正态分布具有许多独特的性质:

    • 密度函数关于平均值(即\mu、位置参数、期望)对称
    • 平均值=众数=中位数

     

    参考:

    http://www.360doc.com/content/17/1231/22/9200790_718001949.shtml

    https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81327881

    https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/80610361

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  • 本文你主要讲解了随机变量,分布函数的定义及基本性质;离散型随机变量的二项分布和泊松分布;连续型随机变量的定义,概率密度的性质,以及主要的均匀分布,正态分布,标准正态分布,Γ分布指数分布。

    目录

    1 随机变量的定义

    随机变量

    分布函数

    分布函数的基本性质

    2 离散型随机变量及其分布

    二项分布

    泊松分布

    3连续型随机变量及其分布

    定义和概率密度的性质

    均匀分布

    正态分布

    标准正态分布

    Γ分布和指数分布


    本文你主要讲解了随机变量,分布函数的定义及基本性质;离散型随机变量的二项分布和泊松分布;连续型随机变量的定义,概率密度的性质,以及主要的均匀分布,正态分布,标准正态分布,Γ分布和指数分布。

    1 随机变量的定义

    随机变量

    设E是随机试验,它的样本空间S={e}, 如果对于每一个 e∈S, 有一个实数X(e)与之对应,这样就得到定义在样本空间S上的单值实函数X=X(e),称X=X(e)为随机变量

    随机变量分为两类:离散型随机变量和非离散型随机变量。

    非离散型随机变量最常见的是连续型随机变量。

    分布函数

    设X是一个随机变量,x是任意实数,称函数

    为随机变量X的分布函数。

    由分布函数的定义可知,对任意实数a,b,有

    分布函数的基本性质

    2 离散型随机变量及其分布

    二项分布

    设随机变量X具有分布律

    其中 0<p<1为常数,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为 X ~ B(n,p)

    二项分布是专门用来描述只有“成功”和“失败”两种结果的数学模型。

    泊松分布

    设随机变量X的分布律为

    其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ)

    泊松定理:

    设随机变量Xn (n=1,2,…)服从二项分布,其分布律为

    又设pn=λ>0(n=1,2,…)是常数,则有:

    3连续型随机变量及其分布

    定义和概率密度的性质

    设随机变量X的分布函数为F(x), 若存在非负可积函数f(x), 使对于任意实数x, 有

    则称X为连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。

     

    概率密度f(x)具有以下性质:

    概率密度的图形称为分布曲线,性质(1)表示分布曲线位于x轴的上方。

    均匀分布

    如果随机变量X的概率密度为

    则称X在(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)

    服从均匀分布的概率密度的图形为:

    正态分布

    如果随机变量X的概率密度为

    其中, 则称X服从参数为 的正态分布,记为 .

    正态分布又称为高斯分布,f(x)的图形为:

    如图可知,f(x)在x=μ处达到最大值

    正态分布概率密度曲线的这种“中间高,两头低”的特点反映了在正常状态下一般事物所遵循的客观规律。例如一大群人的身高,特别高大和特别矮小者占少数,而处于中间状态者居多;各种职业的人的合法收入等。

    标准正态分布

    μ=0 δ2=1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布。记为X~N(0,1)

    通常用φx, Φ(x)分别表示其概率密度和分布函数

    标准正态分布的图形函数为:

    Γ分布和指数分布

    如果随机变量X的概率密度为:

    则称X服从分布,记为

     

    分布的概率密度为:

    此时称随机变量X服从参数为β的指数分布

     

     

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  • 为了研究幂级数分布族性质,首先给出幂级数分布族的定义,并证明幂级数...得出结论:两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布二项分布等常见离散型随机变量分布,在幂级数分布族概念下其函数形式与参数结构都是统一的.
  • 概率论复习(二)随机变量及其分布.md基本概念随机变量离散型随机变量离散型随机变量分布律性质几个重要的离散型随机变量(0—1) 分布二项分布伯努利试验二项分布二项分布与(0 — 1)分布有着密切关系泊松分布泊松分布...

    概率论复习笔记(二)随机变量及其分布

    基本概念

    随机变量及其分布函数

    随机变量 : 设随机试验EE的样本空间为Ω\Omega, 如果对于Ω\Omega内的每一个样本点ee都有一个实数x 与之对应, 则称XX为随机变量, 记为 X=X(e).X= X(e).

    简言之, 随机变量就是定义在样本空间Ω\Omega上的样本点 e 的实值单值函数X(e).X(e).我们一般用大写字母如XYZ,X,Y,Z,\dots表示随机变量 。

    随机变量的分类 :
    {{ 随机变量 \begin{cases} 离散型 \\ 非离散型 \begin{cases} 连续型 \\ 其他 \end{cases} \end{cases}

    不要误以为 , 一个随机变量如果不是离散型就是连续型的.实际上还存在非离散非连续型的 。

    随机变量的取值是有概率规律的, 这种概率规律叫做随机变量的概率分布.在概率分布的描述上,离散型随机变量和连续型随机变量所采用的方法是不同的.前者主要采用列举法, 后者主要采用积分法.

    分布函数

    XX 是一个随机变量,x,x是任意实数, 函数
    F(x)=P{Xx},<x< F(x)=P\{X\leq x\},-\infty<x<\infty

    称为XX的分布函数.

    分布函数的性质

    1. 单调性:F(x)F(x)是一个单调不减的函数, 即当x1<x2x_1<x_2,F(x1)F(x2);,F(x_1)\leq F(x_2);

    2. 有界性 :
      0F(x1)1,F(+)=limx+F(x)=1;F()=limxF(x)=0; 0\leq F(x_1)\leq 1,且\\ F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1;\\ F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0;

    3. 连续性:F(x+0)=F(x),F(x+0)=F(x),F(x)F(x)是右连续函数.

    用分布函数表示概率:

    P{X=a}=P{Xa}P{X<a}=F(a)F(a0)P{X>a}=1P{Xa}=1F(a)P{a<Xb}=P{Xb}P{Xa}=F(b)F(a)P{a<X<b}=P{X<b}P{Xa}=F(b0)F(a)P{aXb}=P{Xb}P{X<a}=F(b)F(a0)P{aX<b}=P{X<b}P{X<a}=F(b0)F(a0) P\{X=a\}=P\{X\leq a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0)\\ P\{X>a\}=1-P\{X\leq a\}=1-F(a)\\ P\{a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X\leq a\}=F(b)-F(a)\\ P\{a<X<b\}=P\{X<b\}-P\{X\leq a\}=F(b-0)-F(a)\\ P\{a\leq X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<a\}=F(b)-F(a-0)\\ P\{a\leq X<b\}=P\{X<b\}-P\{X<a\}=F(b-0)-F(a-0)\\

    离散型随机变量及其概率分布

    离散型随机变量

    若随机变量XX的全部可能取值是有限个或可列个, 则称XX为离散型随机变量.

    分布律

    离散型随机变量XX所有可能取值为xk(k=1,2,),x_k(k=1,2,\cdots), 事件{X=xk}\{X=x_k\}的概率为P{X=xk}=pk(k=1,2,),P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots),这里有0pk1,0\leq p_k\leq 1,并且kpk=1\sum_kp_k=1则 称 P{X=xk}=pk(k=1,2,)P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots)XX的分布律或分布列。

    分布律也可以写成表格形式:

    XX x1x_1 x2x_2 \cdots xkx_k \cdots
    PP p1p_1 p2p_2 \cdots pkp_k \cdots

    性质

    离散型随机变量 x的分布律的性质:

    1. P{X=xk}=pk0(k=1,2,)P\{X=x_k\}=p_k\geq0(k=1,2,\cdots)
    2. kP{X=xk}=kpk=1\sum_kP\{X=x_k\}=\sum_kp_k=1

    离散型随机变量XX的分布律与分布函数和事件概率的关系

    1. 如果已知XX的分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,),P\{X=x_k\}=p_k(k=1,2,\cdots),XX的分布函数

    F(x)=P{Xx}=xkxpk; F(x)=P\{X\leq x\}=\sum_{x_k\leq x}p_k;

    而事件的概率为
    P{a<Xb}=a<xkbpk. P\{a<X\leq b\}=\sum_{a<x_k\leq b}p_k.

    1. 如果已知XX的分布函数F(x),F(x),XX的分布律为
      P{X=xk}=F(xk)F(xk0),k=1,2,, P\{X=x_k \}=F( x_ k ) — F ( x_ k — 0),k=1,2,\cdots,

    F(x)F(x) 的值是X=xX=x点的左边(含xx点)全部所有点概率值的累加和.

    F(x)F(x)的图形是右升的台阶形, 每个台阶处的跃度等于XX取该值的概率.基于这点 , 由XX的分布函数的图形可以求出XX的分布律

    几个重要的离散型随机变量

    (0—1) 分布

    设随机变量 X只可能取 0 与1 两个值, 它的分布律是 P{X=k}=pk(1p)1k,k=0,1,0<p<1P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1,0<p<1

    XX 0 1
    pkp_k 1p1-p pp

    (0 — 1) 分布是经常遇到的一种分布, 用来描述只有两种对应结果的伯努利试验( 如成功与失败, 合格与不合格, 出现与不出现等).这些时候我们可以定义一个服从(0 — 1) 分布的随机变量:
    X={0,A1,A X= \begin{cases} 0,A不发生\\ 1,A发生 \end{cases}

    二项分布

    伯努利试验

    设试验EE只有两种可能结果,A 及A\overline{A}, 则EE称为伯努利试验.若将试验EE独立地重复进行nn次, 则称这个试验为nn重伯努利试验.

    伯努利试验是一个很重要的数学模型.

    二项分布

    nn重伯努利试验中,若P(A)=pP(A)=1p.P(A)= p,P(\overline{A})= 1—p.记X为nn次试验中事件A 发生的次数,显然XX是一个随机变量, 它的取值为$ 0,1,2,\dots,n.$它的分布律为
    P{X=k}=Cnkpk(1p)nkk=012,n, P\{X = k\}= C^k_np^k(1 —p)^{n-k} ,k = 0,1, 2, \dots,n,
    称 X服从参数为n,pn,p的二项分布,记为
    XB(n,p) X\sim B(n,p)

    二项分布与(0 — 1)分布有着密切关系
    1. 在二项分布中, 若n=1,n=1, 二项分布就变成 (0 — 1) 分布;

    2. nn次伯努利试验中, 若只考虑某一次试验,比如第ii次试验, 可定义随机变量XiX_i如下:
      Xi={1,Ai0,Ai,i=1,2,,n, X_i= \begin{cases} 1,当A_i发生时\\ 0,当\overline{A_i}发生时 \end{cases},i=1,2,\cdots,n,

      XiX_i服从( 0 — 1) 分 布. 对前面的XX,显然有X=i=1nXi.X=\sum_{i=1}^{n}X_i.XX服从二项分布.所以说:nn个服从(0-1)分布的且相互独立的随机变量XiX_i的和服从二项分布.

    二项分布分布律中概率的最大值问题

    1.取k0=[(n+1)p]P{X=k0}k_0=[(n+1)p],P\{X=k_0\}为分布律中的最大值([ ]为取整记号).
    2.若(n+1)p=k0( n+ 1)p=k_0为 整 数, 则P{X=k0}=P{X=k01}P\{X = k0\}=P\{X=k_0-1\}同为分布律中的最大值.

    泊松分布

    泊松分布的定义

    对于常数λ>0\lambda>0,如果随机变量 XX的分布律为
    P{X=k}=λkekk!,k=0,1,2,, P\{X=k\}=\frac {\lambda^ke^k}{k!},k=0,1,2,\cdots,
    则称XX服从参数为 A 的泊松分布, 记为XB(λ)X\sim B(\lambda).

    泊松定理

    设有XB(n,pn)X\sim B(n,p_n)和常数λ>0,\lambda> 0,如果npn=λ,np_n=\lambda,
    limnCnkpnk(1pn)nk=λkeλk!,k=0,1,2,. \lim_{n\to \infty} C^k_np^k_n(1-p_n)^{n-k}=\frac {\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots.

    ①泊松定理说明,当nn\to \infty时,二项分布的极限分布为泊松分布.这从理论上说明了泊松分布的来源.

    另一方面也表明 , 当 nn很大很大时,二项分布可以用泊松分布近似代替.

    实践中, 对XB(n,p)X\sim B(n,p)的情况, 当n50,np10n\geq50,np\leq10时,记λ=np.\lambda=np.则有
    Cnkpk(1p)nkλkeλk!. C^k_np^k(1-p)^{n-k}\approx\frac {\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.

    ② 具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的, 如一本书一页中的印刷错误字数、 一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数 、 电影院的观众数 , 等等. 泊松分布也是概率论中的一种重要分布.

    超几何分布

    超几何分布定义

    KaTeX parse error: No such environment: align at position 57: …{N}^{n}} \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ ,k=0,1,2,\cdot…

    随机变量 X 服从参数为$n, N,M 的超几何分布, 记为X\sim H( n,N,M)$

    超几何分布的含义

    NN个球, 其中有 MM个白球,NMN—M个黑球.从中取出nn个球, 取到 kk个白球的概率.

    几何分布

    几何分布定义

    P{X=k}=qk1p,k=1,2,3P \{ X = k \} = q^{k-1}p,k = 1,2,3,\cdots, 其中p0,q=1p.p\geq0,q=1-p.随机变量XX服从参数为pp的几何分布, 记为XG(p).X\sim G(p).

    几何分布的背景

    每次 A 发生的概率为p,p,而直到第kk次才出现A.

    连续型随机变量及其概率分布

    连续型随机变量

    如果对于随机变量XX的分布函数F(x),F(x),存在非负函数f(x),f(x),使对于任意实数xx
    F(x)=xf(t)dt, F(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt},
    则称XX为连续型随机变量, 其中函数f(x)f(x)称为XX的概率密度函数, 简称概率密度.

    概率密度的性质

    1. f(x)0;f(x)\geq 0;

    2. +f(x)dx=1;\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1;

    3. 对于任意实数x1,x2(x1x2),x_1,x_2(x_1\leq x_2),
      KaTeX parse error: No such environment: equation at position 23: …<X<x_2\} \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ =F(x_2)-F(x_1)…

    4. f(x)f(x)若在点xx处连续,则有F(x)=f(x).F'(x)=f(x).

    常见连续型随机变量

    均匀分布

    均匀分布定义

    若连续型随机变量XX具有概率密度
    f(x)={1ba,a<x< b0,其他, f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a}, \text{a<x< b} \\ 0, \text{其他,} \end{cases}
    则称 X 在区间(a,b)(a,b)上服从均匀分布. 记为XU(a,b).X\sim U(a,b).

    XX的分布函数为
    F(x)={0,x<a1ba,ax<b,1,xb F(x)= \begin{cases} 0, x<a,\\ \frac{1}{b-a},a\leq x< b,\\ 1, x\geq b \end{cases}

    均匀分布的性质

    (c,d)(a,b),(c,d)\subset(a,b),则有
    P{cXd}=dcba(). P\{c\leq X\leq d\}=\frac{d-c}{b-a}(几何概率).

    指数分布

    指数分布定义

    若连续型随机变量 XX 的概率密度为
    f(x)={λeλx,x>00,x0. f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, x>0,\\ 0,x\leq 0.\\ \end{cases}
    其中λ>0\lambda>0为常数,则称XX服从参数为λ\lambda的指数分布.

    XX的分布函数为F(x)={0,x>01eλx,x0.F(x)= \begin{cases} 0, x>0,\\ 1-e^{-\lambda x},x\leq 0.\\ \end{cases}

    指数分布的性质(无记忆性)

    XE(λ),X\sim E(\lambda),则对任何正数x,x0,x,x_0,必有
    P{X>x+x0X>x0}=P{X>x}. P\{X>x+x_0\mid X>x_0\}=P\{X>x\}.

    指数分布常用作描述一些电子元件的使用寿命,当x>0x>0,P{X>x}=eλx,P\{X>x\}=e^{-\lambda x}

    记住积分公式0+xnexdx=n!\int_{0}^{+\infty}{x^ne^{-x}dx}=n!对指数分布的计算很有帮助, 可能减少许多积分过程.

    正态分布

    正态分布定义

    若连续型随机变量XX的概率密度函数为
    f(x)=12πσe(xμ)22σ2(<x<+), f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(-\infty<x<+\infty),
    其中的正态分布μ\muσ>0\sigma>0都是常数,则称服从参数为μ\muσ\sigma的正态分布.简记为$X\sim N(\mu,\sigma^2). $

    正态分布的性质
    1. f(x)f(x)的图形关于x=μx =\mu对称;

    2. x=μx =\mu时,f(μ)=12πσf(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}为最大值.

      XX的分布函数为
      F(x)=12πσxe(tμ)22σ2dt. F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int _{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt.

    标准正态分布

    μ=0,σ=1\mu=0,\sigma=1时称随机变量XX服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用φ(x),Φ(x)\varphi(x),\Phi(x)表示,即有
    φ(x)=12πσet22,Φ(x)=12πσxet22dt. \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}},\\ \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int _{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt.

    标准正态分布的性质
    1. Φ(x)=1Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x)Φ(0)=12\Phi(0)=\frac {1}{2}此性质在计算和查表时都是很有用的.

    2. XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),Z=XμσN(0,1).Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).

      XX得到ZZ这种做法叫正态分布的标准化步骤.解决正态分布的计算问题最重要的, 首先要考虑的就是对XX进行标准化.

    3. XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),

    P{aXb}=Φ(bμσ)Φ(aμσ). P\{a\leq X\leq b\}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}).

    特例:
    P{μkσXμ+kσ}=Φ(μ+kσμσ)Φ(μkσμσ)=Φ(k)Φ(k)=2Φ(k)1 P\{\mu-k\sigma\leq X\leq \mu+k\sigma\}\\ =\Phi(\frac{\mu+k\sigma-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{\mu-k\sigma-\mu}{\sigma})\\ =\Phi(k)-\Phi(-k)\\ =2\Phi(k)-1

    它的等价形式为
    P{Xμkσ}=2Φ(k)1 P\{\mid X-\mu\mid\leq k\sigma\}=2\Phi(k)-1
    此概率值与μ,σ\mu,\sigma大小无关,只与kk的数值有关.

    kk P{Xμkσ}P\{\mid X-\mu\mid\leq k\sigma\}
    1 0.6826
    2 0.9544
    3 0.9974

    随机向量及其分布

    二维随机变量

    EE是随机试验,样本空间为Ω={e}\Omega=\{e\},X=X(e)X=X(e)Y=Y(e)Y=Y(e)构成的一个向量$(X , Y) $叫做二维随机变量。

    联合分布

    二维随机变量的联合分布函数

    (X,Y)(X,Y) 是二维随机变量,x,y,x,y是两个任意实数,则称定义在平面上的二元函数P{Xx,Yy}P\{X\leq x,Y\leq y\}(X,Y)(X,Y)的分布函数,或称为
    XXYY的联合分布函数,记作F(x,y),F(x,y),
    F(x,y)=P{Xx,Yy}. F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}.

    F(x,y)F(x,y)的性质

    1. 0F(x,y)1,0\leq F(x,y)\leq 1,F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1F(-\infty,y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1

    2. F(x,y)F(x,y)是变量xxyy的单调不减函数.

    3. )F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),F(x,y)F(x,y)关于xxyy都是右连续的.

    4. 对任意(x1,y1),(x2,y2),(x_1,y_1),(x_2,y_2),x1<x2,y1<y2x_1<x_2,y_1<y_2时有
      P{x1<Xx2,y1<Yy2}=F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)+F(x1,y1)0. P\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\geq0.

    联合分布律

    (X,Y)(X,Y)所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,.(x_i,y_j),i,j=1,2,\cdots.则称(X,Y)(X,Y) 是离散型的随机变量.

    P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots为二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y) 的分布律,或随机变量XXYY的联合分布律.
    也能用表格来表示XXYY的联合分布律, 如下表所示.

    Y/XY/ X x1x_1 x2x_2 \cdots xix_i \cdots
    y1y_1 p11p_{11} p21p_{21} \cdots pi1p_{i1} \cdots
    y2y_2 p12p_{12} p22p_{22} \cdots pi2p_{i2} \cdots
    \cdots \cdots \cdots \cdots
    yjy_j p1jp_{1j} p2jp_{2j} \cdots pijp_{ij} \cdots
    \cdots \cdots \cdots \cdots

    这里pijp_{ij}具有下列性质:

    1. pij0(i,j=1,2,);p_{ij}\geq 0(i,j=1,2,\cdots);

    2. ijpij=1. \sum_i\sum_jp_{ij}=1.

      (X,Y)(X,Y)的联合分布函数为
      F(x,y)=xix,yjyP{X=xi,Y=yj}. F(x,y)=\sum_{x_i\leq x,y_j\leq y}P\{X=x_i,Y=y_j\}.

    联合概率密度

    若存在非负的函数f(x,y)f(x,y)使对任意有分布函数F(x,y)=xyf(u,v)dudv,F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv,则称(X,Y)(X,Y)是连续型随机变量.f(x,y)f(x,y)称为(X,Y)(X,Y)的联合概率密度.

    联合密度的性质

    1. f(x,y)0.f(x,y)\geq0.

    2. ++f(x,y)dydx=F(+,+)=1.\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dydx=F(+\infty,+\infty)=1.

    3. f(x,y)f(x,y)在点(x,y)(x,y)处连续, 则2F(x,y)xy=f(x,y).\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y).

    4. GGxOyxOy平面上一个区域,则
      P{(X,Y)G}=Gf(x,y)dxdy P\{(X,Y)\in G\}=\iint_Gf(x,y)dxdy

    常见的二维随机变量的分布

    二维均匀分布

    如果二维随机变量(X,Y)(X,Y)有概率密度
    f(x,y)={1A,(x,y)G,0,. f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{A},(x,y)\in G,\\ 0,其他. \end{cases}
    其中GG为平面有界区域,A,A为其面积,则称(X,Y)(X,Y)GG上服从二维均匀分布.

    二维均匀分布的性质

    在正矩形(矩形边与坐标轴平行)上,二维均匀分布的边缘分布是均匀分布,并且XXYY相互独立.

    二维正态分布

    如果二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为
    f(x,y)=12πσ1σ21ρ2exp{12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]}(<x,y<+), f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}(-\infty<x,y<+\infty),
    其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho均为常数,且σ1>0,σ2>0,1<ρ<1,\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1,则称(X,Y)(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho的二维正态分布,记作
    (X,Y)N(μ1,σ12;μ2,σ22;ρ). (X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho).
    特别,当μ1=μ2=0,σ1=σ2=1\mu_1=\mu_2=0,\sigma_1=\sigma_2=1时,则称(X,Y)(X,Y)服从标准正态分布.

    二维正态分布的性质

    (X,Y)N(μ1,σ12;μ2,σ22;ρ)XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22) (X,Y)\sim N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho)\Rightarrow X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)

    逆命题不成立.

    边缘分布

    边缘分布函数:

    关于XX有:

    FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<+};F_X(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x,Y<+\infty\};

    关于YY

    FY(y)=P{Yy}=P{X<+,Yy};F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{X<+\infty,Y\leq y\};

    由联合分布函数F(x,y)F(x,y)求边缘分布函数,有
    FX(x)=F(x,+)=limy+F(x,y),FY(y)=F(+,y)=limx+F(x,y). F_X(x)=F(x,+\infty)=\lim _{y\to+\infty}F(x,y),F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim _{x\to+\infty}F(x,y).

    离散型随机变量的边缘分布

    边缘分布律

    关于XX有:
    P{X=xi}=jP{X=xi,Y=yj}=jpij=pi} P\{X=x_i\}=\sum_jP\{X= x_i,Y=y_j\}=\sum_jp_ij=p_i\}
    关于YY
    P{Y=yj}=iP{X=xi,Y=yj}=ipij=pj} P\{Y= y_j\}=\sum_iP\{X= x_i,Y=y_j\}=\sum_ip_ij=p_j\}

    边缘分布函数

    关于XX有:
    FX(x)=xixpi. F_X(x)=\sum_{x_i\leq x}p_i.
    关于YY有:
    FY(y)=yiypj. F_Y(y)=\sum_{y_i\leq y}p_j.

    连续型随机变量的边缘分布

    f(x,y)f(x,y)为联合密度函数 .

    边缘密度函数

    关于XX有:
    fX(x)=+f(x,y)dy, f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy,
    关于YY有:
    fY(y)=+f(x,y)dx. f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx.

    边缘分布函数

    关于XX有:
    FX(x)=xfX(x)dx=x+f(x,y)dydx, F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dydx,
    关于YY有:
    FY(y)=yfY(y)dx=y+f(x,y)dxdy. F_Y(y)=\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)dx=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy.

    条件分布

    离散型随机变量的条件分布律

    (X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的j,j,P{Y=yj}>0,P\{Y=y_j\}>0,则称
    pXY(ij)=P{X=xiY=yj}=pijpj(i=1,2,) p_{X\mid Y}(i\mid j)=P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac {p_{ij}}{p_j}(i=1,2,\cdots)
    为在{Y=yj}\{Y=y_j\}条件下随机变量XX的条件分布律.

    同样, 对于固定的i,i,P{X=xi}>0,P\{X=x_i\}>0,则称
    pYX(ji)=P{Y=yjX=xi}=pijpi(j=1,2,) p_{Y\mid X}(j\mid i)=P\{Y=y_j\mid X=x_i \}=\frac {p_{ij}}{p_i}(j=1,2,\cdots)
    为在{X=xi}\{X=x_i\}条件下随机变量YY的条件分布律.

    连续型随机变量的条件概率密度

    (X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量,若fY(y)>0,f_Y(y)>0,则称
    pXY(xy)=f(x,y)fY(y)(<x<+) p_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac {f(x,y)}{f_Y(y)}(-\infty<x<+\infty)
    为在{Y=y}\{Y=y\}条件下随机变量XX的条件概率密度.

    fX(x)>0,f_X(x)>0,则称
    pYX(yx)=f(x,y)fX(x)(<y<+) p_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac {f(x,y)}{f_X(x)}(-\infty<y<+\infty)
    为在{X=x}\{X=x\}条件下随机变量YY的条件概率密度.

    随机变量的独立性

    二维随机变量的独立性

    若对任何都有P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy},P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\},F(x,y)=FX(x)FY(y),F( x , y ) = F_X( x )F_Y ( y ) ,则称随机变量XXYY是相互独立的.

    独立性的判断方法 :
    (1) 用分布函数:

    X,YX,Y相互独立的充分必要条件是在任何点(x,y)(x,y )都有F(x,y)=FX(x)FY(y);F( x , y ) = F_X( x )F_Y ( y ) ;
    (2) 对离散型随机变量:

    X,YX,Y相互独立的充分必要条件是对所有的i,j,i,j,都有P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj};P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\};
    (3) 对连续型随机变量:

    X,YX,Y 相互独立的充分必要条件是对任何点(x,y)(x,y)都有f(x,y)=fX(x)fY(y).f ( x , y ) = f_X( x ) f_Y ( y ) .

    多维随机变量的分布

    联合分布函数为
    F(x1,x2,,xn)=P{X1x1,X2x2,,Xnxn}. F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\cdots,X_n\leq x_n\}.
    边缘分布函数为
    FXi(xi)=P{Xixi}=F(+,+,,xi,,+,+),(i=1,2,,n). F_{X_i}(x_i)=P\{X_i\leq x_i\}=F(+\infty,+\infty,\cdots,x_i,\cdots,+\infty,+\infty),(i=1,2,\cdots,n).

    多维随机变量的独立性

    若对所有x1,x2,,xnx_1,x_2,\cdots,x_n都有
    P{X1x1,X2x2,,Xnxn}=P{X1x1}P{Xnxn}, P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,\cdots,X_n\leq x_n\}=P\{X_1\leq x_1\}\cdots P\{X_n\leq x_n\},
    则称X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n是相互独立的.

    X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n相互独立的判断条件:

    1. X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n相互独立的充分必要条件是

      F(x1,x2,,xn)=F(x1)F(x2)F(xn).F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n).

    2. 对离散型随机变量:X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n相互独立的充分必要条件是

      P{X1=x1,X2=x2,,Xn=xn}=P{X1=x1}P{Xn=xn}P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=P\{X_1=x_1\}\cdots P\{X_n=x_n\}

    3. 对连续型随机变量:X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n相互独立的充分必要条件是

      f(x1,x2,,xn)=fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn).f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)\cdot f_{X_n}(x_n).

    随机变量的函数的分布

    这里要解决的问题是: 已知随机变量XX的分布,Y=g(X),g,Y=g(X),g是连续函数,求随机变量YY的分布.

    离散型随机变量函数的分布

    设随机变量 X 的 分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,,P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,\cdots, 则当Y=g(X)Y=g(X)的所有取值为:yj(j=1,2,)y_j(j=1,2,\cdots)时, 随机变量YY有分布律
    P{Y=yj}=g(xi)=yjP{X=xi}. P\{Y=y_j\}=\sum_{g(x_i)=y_j}P\{X=x_i\}.

    连续型随机变量函数的分布

    分布函数法

    设随机XX的慨率密度函数为fX(x)(<x<+),f_X(x)(-\infty<x<+\infty),那么Y=g(X)Y=g(X)的分布函数为
    FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=g(x)yfX(x)dx, F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=\int_{g(x)\leq y}{f_X(x)dx},
    其概率密度为fY(y)=FY(y).f_Y(y)=F'_Y(y).

    公式法

    设随机变量XX具有概率密度函数fX(x)(<x<+),g(x)f_X(x)(-\infty<x<+\infty),g(x)(<x<+)(-\infty<x<+\infty)内的严格单调的可导函数,则随机变量Y=g(X)Y=g(X)的概率密度为
    fY(y)={fX[h(y)]h(y),α<y<β0,. f_Y(y)= \begin{cases} f_X[h(y)]\mid h'(y)\mid,\alpha<y<\beta\\ 0,其他.\\ \end{cases}
    其中h(y)h(y)g(x)g(x)的反函数,
    α=min{g(),g(+)},β=max{g(),g(+)} \alpha=min\{g(-\infty),g(+\infty)\},\\ \beta=max\{g(-\infty),g(+\infty)\}
    其分布函数为FY(y)=yfY(t)dt.F_Y(y)=\int^{y}_{-\infty}{f_Y(t)dt}.

    两个随机变量的函数的分布

    (X,Y)(X,Y)为二维随机变量,z=g(x,y)z=g(x,y)为连续函数,则称Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的函数.

    显然ZZ为一维随机变量,其分布函数为FZ(z)=P{Zz}=P{g(X,Y)z}F_{Z}(z)=P\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}
    (X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量,设其分布密度为f(x,y)f(x,y)ZZ的分布函数可表示为

    FZ(z)=P{Zz}=g(x,y)zf(x,y)dxdy, F_{Z}(z)=P\{Z\leq z\}=\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy,
    由此得ZZ的分布密度为
    fZ(z)=dFZ(z)dz=ddzg(x,y)zf(x,y)dxdy. f_Z(z)=\frac{dF_Z(z)}{dz}=\frac{d}{dz}\iint_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy.

    Z=X+YZ=X+Y的分布

    根据定义计算

    FZ(z)=P{Zz}=P{X+Yz} F_{Z}(z)=P\{Z\leq z\}=P\{X+Y\leq z\}

    分三种情况计算
    1. X,YX,Y是离散型:直接计算 Z 的分布律;

    2. X,YX,Y是连续型:利用定义计算 Z 的分布函数和分布密度,或根据fZ(z)f_Z(z)作一重积分计算:
      fZ(z)=+f(x,zx)dx. f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x,z-x)dx}.
      特别, 当 XXYY相互独立时,
      fZ(z)=fXfY=+fX(x)fY(zx)dx=+fX(zy)fY(y)dx(). f_Z(z)=f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}{f_X(x)·f_Y(z-x)dx}=\int_{-\infty}^{+\infty}{f_X(z-y)·f_Y(y)dx}(卷积公式).

    3. X 是离散型, Y 是连续型:使用全概率公式.

    关于正态分布的结论

    两个独立的正态分布的仍为正态分布,即若XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)Z=X+YN(μ1+μ2,σ12+σ22).Z=X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2).

    典型例题

    一维随机变量的分布函数

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    一维离散型随机变量的计算

    二项分布与超几何分布

    袋中装有6个大小相同的球,4个红色,2个白色.现从中连取5次,每次取一球,求取得红球的个数X的分布律:
    (1)每次取出球观察颜色后,即放回袋中,拌匀后再取下一个球;
    (2)每次取出球观察颜色后,不放回袋中,再取下一个球.

    解:

    (1) 随机变量X服从二项分布,则X(5,23)X\sim (5,\frac{2}{3})
    P{X=k}=C5k(23)k(13)5kk=0123,4,5, P\{X = k\}= C^k_5(\frac{2}{3})^k(\frac{1}{3})^{5-k} ,k = 0,1, 2,3,4,5,
    因此X的分布律为

    XX 0 1 2 3 4 5
    pkp_k 1243\frac{1}{243} 10243\frac{10}{243} 40243\frac{40}{243} 80243\frac{80}{243} 80243\frac{80}{243} 32243\frac{32}{243}

    (2)随机变量XX服从超几何分布,故
    P{X=k}=C4kC645kC65,k=3,4 P\{X=k\}=\frac {C_4^k·C_{6-4}^{5-k}}{C _{6}^{5}},k=3,4
    因此XX的分布律为

    XX 3 4
    pkp_k 23\frac{2}{3} 13\frac{1}{3}

    几何分布

    一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的,有一只鸟自开着的窗子飞入房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间。鸟飞向各扇窗子都是随机的。
    (1)假定鸟是没有记忆的,以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律;
    (2)户主称,他养的鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次,以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y的分布律.
    解:

    (1) X服从几何分布,每次只能从开着的窗子飞出去,飞出去的概率为13\frac{1}{3},因此XX的分布律为
    P{X=k}=(23)k113(k=1,2,). P \{ X = k \} = (\frac{2}{3})^{k-1}\frac{1}{3}(k = 1,2,\cdots).
    (2)当鸟是有记忆的时,由题意,Y的可能取值为1,2.3.
    Y=1,表明鸟从3扇窗子中选对了1扇,因对鸟面言.3扇窗是等可能的,P{Y=1}=13,P\{Y=1\}=\frac{1}{3}
    Y=2,表明鸟第1次试飞失败概率为23,\frac{2}{3},第二次,鸟舍弃已飞过的那扇窗,而从余下的一开一关两扇窗中选一,成功机会为12\frac{1}{2},故P{Y=2}=23×12=13P\{Y=2\}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}
    Y=3,表明鸟第1次试飞失败概率为23,\frac{2}{3},第二次,鸟舍弃已飞过的那扇窗,而从余下的一开一关两扇窗中选一,失败机会为12\frac{1}{2},第三次从剩下的唯开着的窗子飞出,成功的概率为1.故P{Y=3}=23×12×1=13P\{Y=3\}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{3}
    因此Y的分布律为

    Y 1 2 3
    pkp_k 13\frac{1}{3} 13\frac{1}{3} 13\frac{1}{3}

    泊松分布

    由商店过去的销售记录知道,某商品每月的销售数可以用参数λ=10的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证不脱销,问商店在上一个月底至少应进某种商品多少件?
    解:

    设该商店每月销售某种商品X件,X服从参数λ= 10的泊松分布,故

    P{X=k}=10kekk!,k=0,1,2,, P\{X=k\}=\frac {10 ^ke^k}{k!},k=0,1,2,\cdots,
    设月底的进货为a件,则当XaX\leq a时就不会脱销,因而按题意要求为P{Xa}0.95,P\{X\leq a\}\geq 0.95,

    k=0a10ke10k!>0.95, \sum_{k=0}^{a}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}>0.95,
    由泊松分布表可得
    k=01410ke10k!0.9166<0.95,k=01510ke10k!0.9513>0.95. \sum_{k=0}^{14}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}\approx 0.9166<0.95,\\ \sum_{k=0}^{15}\frac {10 ^ke^{-10}}{k!}\approx 0.9513>0.95.
    于是,这家商店只要在月底进货某种商品15件(假定上个月没存货),就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.

    一维连续型随机变量的计算

    均匀分布

    设X在[2,5]上服从均匀分布,求X的取值小于3的概率。

    总长度:3

    小于3的长度:1

    P(X3)P_{(X的取值小于3)}=13\frac{1}{3}

    指数分布

    某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从λ=1/2000\lambda=1/2000的指数分布。
    求:(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率;
    (2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。
    在这里插入图片描述

    正态分布

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    一维随机变量函数的分布

    公式法

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    分布函数法

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