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  • MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布概率
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    2021-04-18 14:18:51

    MATLAB如何使用binopdf函数计算二项分布的概率

    【语法说明】

    Y=binopdf(X,N,P):函数返回 X 中的每个值在相应 N、P参数指定的二项分布下的概率值。X 中的元素值必须是 0~N 之间的整数,否则其概率值为零。输入参数 X、N、P 为同型矩阵,如果有参数为标量,则该参数将被扩展为其他参数同型的数组。

    【功能介绍】计算二项分布概率。二项分布属于离散分布,没有概率密度函数的概念,binopdf函数求得的是二项分布取各个离散值的概率。

    【实例】计算N=8,P分别等于0.3、0.5、0.7时,出现概率最大的随机变量值。

    >> x=0:8;      % 随机变量取值为0~8

    >> p1=binopdf(x,8,0.3)    % p=0.3

    p1 =

    0.0576 0.1977 0.2965 0.2541 0.1361

    0.0467 0.0100 0.0012 0.0001

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.3 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    2

    >> p1=binopdf(x,8,0.5)    % p=0.5

    p1 =

    0.0039 0.0312 0.1094 0.2187 0.2734

    0.2187 0.1094 0.0312 0.0039

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.5 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    4

    >> p1=binopdf(x,8,0.7)    % p=0.7

    p1 =

    0.0001 0.0012 0.0100 0.0467 0.1361

    0.2541 0.2965 0.1977 0.0576

    >> [~,index1]=max(p1);index1=index1-1 % 计算 p=0.7 时概率最大的随机变量值

    index1 =

    6

    【实例讲解】在[~,index1]=max(p1)中,index1返回最大元素的序号,由于p1(1)~p1(9)分别对应随机变量0~8,因此出现概率最大的随机变量等于index1减1。

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    原文 | https://mp.weixin.qq.com/s/bOchsmHTINKKlyabCQKMSg

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    最大似然估计(概率10)

    寻找“最好”(3)函数和泛函的拉格朗日乘数法

    伯努利分布

      如果随机试验仅有两个可能的结果,那么这两个结果可以用0和1表示,此时随机变量X将是一个0/1的变量,其分布是单个二值随机变量的分布,称为伯努利分布。注意伯努利分布关注的是结果只有0和1,而不管观测条件是什么。

    性质

      设p是随机变量等于1的概率,伯努利分布有一些特殊的性质:

      将上面的两个式子合并:

      伯努利变量是离散型,并且是一个0/1变量,它的数学期望是:

      方差是:

    极大似然

      最大似然估计(概率10)

      对于伯努利分布的质量函数来说,p是唯一的参数。如果给定N个独立同分布的样本 {x(1), x(2), ……, x(N)},x(t)是投硬币的结果,是随机变量,x(t)ϵ{0, 1},可以通过极大似然估计,根据样本推测出p的取值:

      取对数似然函数:

      这是个符合直觉的结果,即使没学过概率和极大似然也能得出这个结论。

    二项分布

      假设某个试验是伯努利试验,成功概率用p表示,那么失败的概率为1-p。现在进行了N次这样的试验,成功了x次,失败了N-x次,发生这种情况的概率是多少?

    质量函数

      对于每次实验来说,成功的概率都是p,失败的概率是1-p。假设已经完成了N次试验,并且前x次都成功了,后N-x次都失败了:

      x次成功的情况当然不止一种,比如成功和失败交叉在一起:

      这种成功和失败的排列顺序共有种不同的情况,因此对于任意N次伯努利试验,成功了x次的概率是:

      的另一种记法是 

      P(x)就是二项分布的质量函数,是N次伯努利试验中取得x次成功的概率。

    性质

      二项分布的均值和方差分别为Np和Np(1-p)。

      从二项分布的质量函数P(x)可知,概率分布只与试验次数N和成功概率p有关,p越接近0.5,二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数N不变,随着成功概率p逐渐接近0.5,二项分布逐渐对称,且近似于均值为Np、方差为Np(1-p)的正态分布:

    多项分布

      多项分布是二项分布的扩展,其中随机试验的结果不是两种状态,而是K种互斥的离散状态,每种状态出现的概率为pi,p1 + p1 + … + pK = 1,在这个前提下共进行了N次试验,用x1~xK表示每种状态出现次数,x1 + x2 + …+ xK = N,称X=(x1, x2, …, xK)服从多项分布,记作X~PN(N:p1, p2,…,pn)。

    质量函数

      如果说二项分布的典型案例是扔硬币,那么多项分布就是扔骰子。骰子有6个不同的点数,扔一次骰子,每个点数出现的概率(对应p1~p6)都是1/6。重复扔N次,6点出现x次的概率是:  

     

      这和二项分布的质量函数类似。现在将问题扩展一下,扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是多少?

      仍然和二项式类似,假设前x1次都是1点,之后的x2次都是2点……最后x6次都是6点:

      1~6出现次数分别是x1~x6的情况不止一种,1点出现x1次的情况有种;在1点出现x1次的前提下,2点出现x2次的情况有种;在1点出现x1次且2点出现x2次的前提下,3点出现x3的情况有种……扔N次骰子,1~6出现次数分别是x1~x6时的概率是:

      根据①:

      最终,扔骰子的概率质量函数是:

      把这个结论推广到多项分布:某随机实验如果有K种可能的结果C1~CK,它们出现的概率是p1~pK。在N随机试验的结果中,分别将C1~CK的出现次数记为随机变量X1~XK,那么C1出现x1次、C2出现x2次……CK出现xK次这种事件发生的概率是:

      其中x1 + x2 + …+ xK = N,p1 + p2 + …+ pK = 1。

    极大似然

      多项式的极大似然是指在随机变量X1=x1, X2=x2, ……, XK=xK时,最可能的p1~pK。

      对数极大似然:

      现在问题变成了求约束条件下的极值:

      根据拉格朗日乘子法:

      寻找“最好”(3)函数和泛函的拉格朗日乘数法

      根据约束条件:

      这也是个符合直觉的结论。面对有N个样本的K分类数据集,当pi = xi/N 时,Ci类最可能出现xi次。为了这个结论我们却大费周章,也许又有人因此而嘲笑概率简单了……


      出处:微信公众号 "我是8位的"

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  • 二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作。伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验。 伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面...

    变量类型:

    1. 连续型变量         如:指数分布、正态分布
    2. 离散型变量         如:二项分布、泊松分布

    三者之间的关系

    二项分布(Binomial distribution)

    二项分布(Binomial distribution)n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作B(n,\pi )伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验。

    伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗?等等

    • 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
    • 进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0<=p<=1),失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布,伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布。

    二项分布的三个特点:

    • 每次实验结果,只能是两个互斥的结果之一。
    • 各次实验独立,各次的实验结果互不影响。。
    • 相同的实验条件下,每次实验中事件A的发生具有相同的概率\pi

    二项分布的概率函数P(X)可用公式

    P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}

    其中,C_{n}^{X}=\frac{n!}{X!(n-X)!}

    对于任何二项分布,总有\sum_{X=0}^{n}P(X)=1

    例1.如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中恰好有10人感染钩虫的概率有多大?

    分析: 
    (1)钩虫感染只有两个互斥的结果,即感染与非感染;
    (2)每个人被钩虫感染的概率相同;
    (3)人与人之间钩虫感染可假设为相互独立的,所以感染钩虫的人数 X 可认为服从 n = 150,π = 0.13的二项分布。

    P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}

    P(X=10)=\frac{150!}{10!(150-10)!}\times (0.13^{10}\times 0.87^{(150-10)})=0.0055

    二项分布的特征

    • n,\pi是二项分布的两个参数,所以二项分布的形状取决于n,\pi(阳性率)。
    • \pi =0.5时分布对称,近似对称分布。
    • \pi ≠0.5时,分布呈偏态,特别是 n 较小时,\pi 偏离0.5越远,分布的对称性越差,但只要不接近1和0时,随着n的增大,分布逐渐逼近正态。
    • \pi1-\pi 不太小,而 n足够大,通常 n\pin(1-\pi )大于或等于5,我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。

    二项分布的正态近似

    • 根据中心极限定理,在n较大,n\pin(1-\pi )均大于或等于5时,二项分布接近与正态分布。
    • n无穷大时,二项分布B(n,\pi)的极限分布是总体均数为\mu =n\pi,总体标准差为\sigma =\sqrt{n\pi (1-\pi )}的正态分布N(n\pi ,n\pi (1-\pi )),此时可用该正态分布进行估计。

    二项分布的均数和标准差

    对于任何一个二项分布B(n,\pi ),如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为\pi,则在 n 次独立重复实验中:

    1、出现  X 次阳性结果

    总体均数(出现阳性结果的次数X的均值):\mu_{X} =n\pi

    标准差(出现阳性结果的次数X的标准差):\sigma_{X} =\sqrt{n\pi (1-\pi )}

    2、阳性结果的频率记做为P=\frac{X}{n}

    P的总体均数(出现阳性结果频率P的均值):\mu_{P} =\pi

    标准差(出现阳性结果频率P的标准差):\sigma_{P} =\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}}

    \sigma_{P}是频率P的标准误,反映阳性频率的抽样误差的大小。

    泊松分布(Poisson distribution)

    泊松分布是二项分布在阳性率特别小时的一种情形,用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布,如:

    • 每毫升水中的大肠杆菌数
    • 单位时间(如1分钟)内放射性质点数
    • 每1000个新生儿中某出生缺陷、多胞胎、染色体异常等事件出现的例数

    泊松分布的三个特点:

    泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况,则泊松分布也遵循二项分布的三个特点:

    • 观察结果相互独立
    • 每次试验只有两个结果
    • 发生的概率\pi不变

    如,人群中传染性疾病首例出现后便成为传染源,会增加后续病例出现的概率,因此病例数的分布不能看作是Poisson分布。

    又如,污染的牛奶中细菌成集落存在,单位容量牛奶中细菌数不能认为服从Poisson分布。 

    泊松分布分布一般记作P(\lambda ),其概率函数为: 

    P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}

    式中,\lambda=n\pi为Poisson分布的总体均数(\pi表示概率);X 为观察单位内某稀有事件的发生次数;e 为自然对数的底,为常数,约等于2.71828,自然对数的底数e是由一个重要极限给出的:当n趋于无限时,\lim_{n \to +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=e

    泊松定理(泊松分布是二项分布当中的一种特殊情况)

    设随机变量X(X=1,2,3,...)服从二项分布,即P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}。其中,\pi(0<\pi <1)是与n有关的数,且设n\pi =\lambda >0是常数,则有\lim_{X \to \propto }P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}X=1,2,3,...

    证明:依题设有\pi =\frac{\lambda }{n},代入P(X)=C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}中,有

    \begin{align}P(X) &=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-X+1)}{X!}(\frac{\lambda }{n})^{X}(1-\frac{\lambda }{n})^{n-X} \\&=\frac{\lambda ^{X}}{X!}[\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}...\cdot \frac{n-X+1}{n}]\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X} \\&=\frac{\lambda ^{X}}{X!}[1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot(1- \frac{2}{n})...\cdot (1-\frac{X-1}{n})]\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}\cdot(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X} \end{align}

    对于固定的X,有

    \lim_{n \to +\propto }1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot(1- \frac{2}{n})...\cdot (1-\frac{X-1}{n})=1

    \lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{n}=\lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{(-\frac{n}{\lambda })\cdot (-\lambda) }=e^{-\lambda }(根据\lim_{n \to +\propto }(1+\frac{1}{n})^n=e

    \lim_{n \to +\propto }(1-\frac{\lambda }{n}) ^{-X}=1

    所以\lim_{X \to \propto }P(X)=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}X=1,2,3,...

    可见,二项分布的极限分布是泊松分布,当n很大,\pi很小时,可用e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{X}}{X!}近似代替C_{n}^{X}\pi^{X}(1-\pi )^{n-X}(n\pi =\lambda ),一般n\geq 20,\pi \leq 0.05时,可采用上次近似公式代替。

    泊松分布的特征

    • 随着\lambda的增大,Poisson分布逐渐趋于对称分布。
    • \lambda>20时,Poisson分布可视为近似正态分布。

    下图表示出了\lambda对泊松分布的影响,\lambda表示泊松分布的均值。当\lambda变大时,不仅整个分布模式向右移动,数据也更加分散,方差随之变大。

    泊松分布的特性

    • 总体均数与总体方差相等:均为\lambda
    • 可加性:从总体均数分别为\lambda1 和\lambda2 的两个Poisson分布总体中各自随机抽出一份样本,其中稀有事件的发生次数分别为X_{1}X_{2} ,则合计发生数T=X_{1}+X_{2 }也服从Poisson分布,总体均数为\lambda1 +\lambda2 。

    可加性的运用:分5次,每次都是监测5毫升的水样,得到的\lambda都比20小,但是5次\lambda相加的之后形成的\lambda比20大的话,我们就可以10毫升水样当中的细菌数的分布用正态近似法了

    例:某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布,平均为  360个,试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。

    \begin{align} P(X>400) & = 1-P(X\leq 400)\approx 1-\Phi (\frac{400+0.5-360}{\sqrt{360}}) \\ & = 1-\Phi(2.135)=0.0164 \end{align}

    其中,0.5表示连续型校正,表示处理离散型变量,应用到连续型的正态分布的时候,效果更佳的一种修正。

    注意:泊松分布不具备可乘性。

    指数分布

    设随机变量X的分布密度函数为

    f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    其中\lambda >0为常数,我们称X服从参数为\lambda的指数分布,记作X\sim E(\lambda ),其相应的分布函数为

    F(x)=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x>0 \\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    f(x)F(x)的图形见下图。

    指数分布的特性

    • 总体均数E(X)=\frac{1}{\lambda},总体方差D(X)=\frac{1}{\lambda ^{2}}

    指数分布通常用作各种“寿命”的分布。例如,无线电元件的寿命,动物的寿命等,另外电话问题的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可以认为服从指数分布,因此,它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用。

    例、某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量,其概率密度为

    f(x)=\left\{\begin{matrix} k e^{-\frac{x}{100}},x>0\\ 0,x\leq 0 \end{matrix}\right.

    (1)确定常数k

    (2)求寿命超过100小时的概率

    (3)已知该元件已经正常使用200小时,求它至少还能正常使用100小时的概率。

    解:

    (1)由概率密度函数性质2知

    \int_{0}^{+\propto }ke^{-\frac{x}{100}}dx=[-100ke^{-\frac{x}{100}}]|_{0}^{+\propto}=100k=1,得k=0.01

    (2)寿命超过100小时的概率为

    P(X>100)=1-F(100)=1-(1-e^{-0.01\times 100})=e^{-1}\approx 0.3679

    (3)条件概率

    \begin{align} P(X>300|X>200) &=\frac{P(X>300,X>200)}{P(X>200)}\\&=\frac{P(X>300)}{P(X>200)}\\&=\frac{e^{-3}}{e^{-2}}=e^{-1}\approx 0.3679 \end{align}

    由(2),(3)可知,该元件寿命超过100小时的概率等于已使用200小时的条件下至少还能使用100小时的概率,这个性质称为指数分布的“无记忆性”。

    若随机变量X对任意的s>0,t>0都有P(X>s+t|X>s)=P(X>t),则称X的分布具有无记忆性。

    因此,指数分布具有无记忆性,若某元件或动物的寿命服从指数分布,则上式表明,如果已知寿命长于s年,则再“活”t年的概率与s无关,即对过去的s时间没有记忆,也就是说只要在某时刻s仍“活”着,它的剩余寿命的分布和原来的寿命分布相同,所以人们也戏称指数分布是“永远年轻的”。

    正态分布(Normal distribution)

    正态分布的概率密度函数(即纵向的曲线高度)

    f(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{X-\mu }{\sigma })^{2}}-\infty < X< +\infty

    \sigma规定了曲线的形状,\mu反应了其在横轴上的位置不同。

    正态分布的特征

    • 关于x=\mu对称,即正态分布以均数为中心,左右对称。
    • x=\mu处取得概率密度函数的最大值,在x=\mu\pm \sigma处有拐点,表现为 钟形曲线。即正态曲线在横轴上方均数处最高。
    • 正态分布有两个参数,即均数\mu和标准差\sigma\mu是位置参数,\sigma是变异度参数(形状参数)。常用N(\mu ,\sigma ^{2})表示均数为\mu,标准差为\sigma的正态分布;用N(0 ,1)表示标准正态分布。
    • 正态曲线下面积分布有一定规律。横轴上正态曲线下的面积等于1(也常写作100%)。

    正态方程的积分式(概率分布函数):

    概率分布函数即为正态概率密度曲线下的面积 。

    F(X)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{X}e^{-\frac{1}{2}(\frac{X-\mu }{\sigma })^{2}}dX

    F(X)为正态变量X的累计分布函数,反映正态曲线下,横轴尺度自-\inftyX的面积,即下侧累计面积。

    标准正态分布

    均数为0,标准差为1的正态分布,这种正态分布称为标准正态分布

    对于任意一个服从正态分布N(\mu ,\sigma ^{2})的随机变量,可作如下的标准化变换,也称Z(z-score)变换

    其中,Z=\frac{X-\mu }{\sigma },标准正态分布的概率密度函数:f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}

    标准正态分布方程积分式(概率分布函数):

    \Phi (Z)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{Z}e^{-\frac{Z^{2}}{2}}dZ

    \Phi (Z)为标准正态变量Z的累计分布函数,反映标准正态曲线下,横轴尺度自-\inftyZ的面积,即下侧累计面积,如下图所示。 

    标准正态分布表

    用查表代替计算必须注意:

    • 表中曲线下面积为-\inftyZ的面积。
    • \mu,\sigmaX已知时,先求出Z值, Z=\frac{X-\mu }{\sigma },再用Z值查表,得所求区间占总面积的比例。
    • \mu\sigma未知时,要用样本均数\overline{X}和样本标准差S来估计Z值,Z=\frac{X-\overline{X} }{S}
    • 曲线下对称于0的区间,面积相等。 
    • 曲线下横轴上的面积为1 (即100% )。

    正态分布是一种对称分布,其对称轴为直线X=\mu,即均数位置。

    理论上:

    • \mu \pm 1\sigma范围内曲线下的面积占总面积的68.27%
    • \mu \pm 1.96\sigma范围内曲线下的面积占总面积的95%
    • \mu \pm 2.58\sigma范围内曲线下的面积占总面积的99% 

    实际上:

    • \overline{X} \pm 1S范围内曲线下的面积占总面积的68.27%
    • \overline{X} \pm 1.96S范围内曲线下的面积占总面积的95%
    • \overline{X} \pm 2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99% 

    实际应用中,我们一般将1.96看似成2,2.58看似成3。

    标准正态分布的\mu=0,\sigma=1,则 

    • \mu \pm 1\sigma相当于区间(­1,1)
    • \mu \pm 1.96\sigma相当于区间(­1.96,1.96)
    • \mu \pm 2.58\sigma相当于区间(­2.58,2.58)
    • 区间(­1,1)的面积:1-2\Phi (-1)=1­-2×0.1587=0.6826=68.26% 
    • 区间(­1.96,1.96)的面积:1-2\Phi (-1.96 )=1­-2×0.0250=0.9500=95.00%
    • 区间(­2.58,2.58)的面积:1-2\Phi (-2.58)=1­-2×0.0049=0.9902=99.02% 

    例: 已知某地1986年120名8岁男童身高均数 \overline{X}=123.02cmS=4.79cm,估计(1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比;(2)身高界于120cm~128cm者占该地8岁男孩总数的比例;(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围?

    (1)先做标准化转换:

    Z=\frac{X-\overline{X} }{S}=\frac{130-123.02}{4.79}=1.46

    \Phi (-Z)=\Phi (-1.46)=0.0721         根据标准正态分布的对称性

    理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。

    (2)

    Z_{1}=\frac{X_{1}-\overline{X} }{S}=\frac{120-123.02}{4.79}=-0.63      \Phi (Z_{1})=\Phi (-0.63)=0.2643

    Z_{2}=\frac{X_{2}-\overline{X} }{S}=\frac{128-123.02}{4.79}=1.04         \Phi (Z_{2})=1-\Phi (-1.04)=0.8508

    \Phi (Z_{2})-\Phi (Z_{1})=0.8508-0.2643=0.5865

    (3)

    查标准正态分布界值表,标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为­1.28,所以80%的8岁男孩身高值集中在\overline{X} \pm 1.28S区间内,即116.9cm~129.2cm

    正态分布的应用

    制定参考值范围的步骤:

    • 选择足够数量的正常人作为调查对象。
    • 样本含量足够大。
    • 确定取单侧还是取双侧正常值范围。

    有些指标过高过低都是异常的,我们需要制定双侧的正常值范围

    有些指标过低才是异常的,比如肺活量,我们只要制定单侧的正常值范围

    • 选择适当的百分界限。

    在实际操作当中,我们一般将正常人中的5%排除在外,计算95%参考值范围。

    • 选择适当的计算方法。

    正态近似法:适用于正态分布或近似正态分布的资料。

    例1  某地调查120名健康女性血红蛋白,直方图显示,其分布近似于正态分布,得均数为117.4g/L,标准差为10.2g/L  ,试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。

    分析:正常人的血红蛋白过高过低均为异常,要制定双侧正常值范围。

     \overline{X} \pm 1.96S=117.4\pm 1.96\times 10.2 = 97.41\sim 137.39

    该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39(g/L) 

    百分位数法:适用于偏态分布资料。 

    例2 某年某市调查了200例正常成人血铅含量(μg/100g)  如下,试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。

    分析:血铅的分布为偏峰分布,且血铅含量只以过高为异常,要用百分位数法制定单侧上限。

    P_{95}=L+\frac{i}{f_{x}}(n\cdot x \%-\sum f_{L})=38+\frac{5}{7}(200\times 95\%-189)=38.7\mu g /100g

     

     

     

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  • 用待定系数法求二次函数... 【知识点梳理】1、用待定系数法求二次函数解析式① 次函数解析式常见有以下几种形式 :(1)一般式:(2)顶点式:(3)交点式:② 确定次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函...

    用待定系数法求二次函数的解析式

    【学习目标】

    1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式;

    2. 经历探索由已知条件特点,灵活选择二次函数三种形式的过程,正确求出二次函数的解析式,

    二次函数三种形式是可以互相转化的.

    【知识点梳理】

    1、用待定系数法求二次函数解析式

    二次函数解析式常见有以下几种形式

    (1)一般式:

    1326aded4b11249cd973eeae5f0ccd48.png

    (2)顶点式:

    618ac3a57c6abb93608053e2d632b4e2.png

    (3)交点式:

    e46f72a5307a3f1a1a5aa2c9ef250905.png

    确定二次函数解析式常用待定系数法,用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下:

    第一步,

    设:先设出二次函数的解析式,

    如 y = ax2 + bx + c 或 y = a(x - h)2 + k 或 y = a(x - x1)(x - x2),其中 a ≠ 0;

    第二步,

    代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组);

    第三步,

    解:解此方程或方程组,求待定系数;

    第四步,

    还原:将求出的待定系数还原到解析式中.

    注:

    在设函数的解析式时,一定要根据题中所给条件选择合适的形式:

    当已知抛物线上的三点坐标时,可设函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ;

    当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.

    可设函数的解析式为 y = a(x - h)2 + k;

    当已知抛物线与x轴的两个交点 ( x1,0 ),( x2,0 )时,

    可设函数的解析式为 y = a(x - x1)(x - x2).

    【典型例题】

    类型一、用待定系数法求二次函数解析式

    【例题1】已知抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 经过 A,B,C 三点,当时 x ≥ 0 时,

    其图象如图1所示 . 求抛物线的解析式,写出顶点坐标 .

    796992cec71e03ef464af7b8d3d91de7.png

    【答案与解析】

    6c205c734eae5fc3c6d3a61dea82793f.png

    注:

    这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标,需要从图象中获取信息.

    已知图象上三个点时,通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.

    要特别注意:如果这道题是求 “图象所表示的函数解析式”,那就必须加上自变量的取值范围 x ≥ 0 .

    【例题2】一条抛物线 y = 1/4 x2 + mx + n 经过点 (0 , 3/2)与 (4 , 3/2).

    求这条抛物线的解析式 .

    【答案与解析】

    ea0749631f2ff7af0c4be1f7bcdde279.png

    注:

    解析式中的 a 值已经知道,只需求出 m , n 的值 .

    已知条件给出了两个点 , 因此可以从二次函数的一般式入手列方程组解答 .

    还可以从所给两点(0 , 3/2)与 (4 , 3/2)的特征入手:

    这两点关于抛物线的对称轴对称,因此可知对称轴是直线 x = 2,这样又可以从抛物线的顶点式入手.

    当点 M(x1, y1)和 N(x2 , y2)都是抛物线上的点时,

    若 y1 = y2,则对称轴方程为 x = 1/2(x1 + x2),这一点很重要也很有用.

    【例题3】已知抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标为(-1,4),

    与 x 轴两交点间的距离为 6,求此抛物线的函数关系式 .

    【答案与解析】

    因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为 x = -1,

    又因为抛物线与 x 轴两交点的距离为 6,

    所以两交点的横坐标分别为:x1 = -1 - 3 ,x2 = -1 + 3, 则两交点的坐标为(-4,0)、(2,0);

    求函数的函数关系式可有两种方法:

    a72617f038976f0b7a0f3c671f3e770a.png

    注:在求函数的解析式时,要根据题中所给条件选择合适的形式.

    类型二用待定系数法解题

    【例题4】已知二次函数的图象如图所示,根据图中的数据,

    (1)求二次函数的解析式;

    (2)设此二次函数的顶点为 P,求 △ABP 的面积.

    0f00255c4efefcfca9b87e658c9c6d21.png

    【答案与解析】

    e8aa0dbdd642573bbfada54a171c5bc1.png
    646f9860f1d92bcbf6a8e79aea893200.png

    注:

    此题主要考查二次函数图象的性质,对称轴及顶点坐标,

    另外巧妙设函数的解析式,从而来减少计算量.

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二项分布求最大概率