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  • 概率密度或分布通用函数,其中包括正态分布二项分布,指数分布
  • 二项分布累积分布函数绘制

    千次阅读 2020-04-16 13:10:24
    1. 二项分布 2. 示例 投篮n次;投中概率0.1。 import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy.special import comb, perm from scipy import integrate fig, ax = plt.subplots(1, 1) n = 500 ...

    1. 二项分布

    在这里插入图片描述

    2. 示例

    投篮n次;投中概率0.1。

    
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np 
    from scipy.special import comb, perm
    from scipy import integrate
    
    fig, ax = plt.subplots(1, 1)
    n = 500
    p = 0.1
    res = []
    for k in range(n):
        def f(x):
            return x**(n-k-1)*((1-x)**k)
        v, err = integrate.quad(f, 0,1-p)
        res.append((n-k)*comb(n,k)*v)
    
    print(res[n//10-1])
    x = np.linspace(0,n, n)
    ax.plot(x, res,'r-', lw=5, alpha=0.6, label='F')
    plt.show()
    

    结果:
    累积分布函数存在发散现象。

    在n比较小,比如100,则没有发散现象:

    在这里插入图片描述

    此外,随着n的增大,比期望值小的累加概率值 p ( x < E ( x ) ) p(x<E(x)) p(x<E(x))也增大.

    n:10,p(x<E[x]):0.3487
    n:100,p(x<E[x]):0.4513
    n:500,p(x<E[x]):0.4782
    

    但是,包含期望值时,

    n:10,p(x<=E[x]):0.7361
    n:100,p(x<=E[x]):0.5832
    n:500,p(x<=E[x]):0.5376
    

    参考:

    1. 二项分布
    展开全文
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  • 概率分布函数--二项分布&poisson分布

    千次阅读 2017-09-26 00:33:42
    size这里模拟的次数 n = 10 p = .5 s = np .random .binomial (n, p, size= 100000 ) plt .xlabel ( "n=10, p=0.5" ) plt .ylabel ( "Binomial" ) count, bins, ignored = plt .hist (s, 10 , color= ...
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np

    课程要求画图,查看官方文档

    numpy.random.binomial(n, p, size=None)

    n trials and p probability of success where n an integer >= 0 and p is in the interval [0,1].
    size这里为模拟的次数

    n = 10
    p = .5
    s = np.random.binomial(n, p, size=100000)
    plt.xlabel("n=10, p=0.5")
    plt.ylabel("Binomial")
    count, bins, ignored = plt.hist(s, 10, color="blue", normed=True)
    plt.show()

    这里写图片描述
    size越大越接近理想模型

    np.random.poisson(lam=1.0, size=None)

    同上

    s = np.random.poisson(lam=3, size=200000)
    plt.xlabel("lambda=3")
    plt.ylabel("Poisson")
    count, bins, ignored = plt.hist(s, 14, color="yellow", normed=True)
    plt.show()

    这里写图片描述

    展开全文
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    《数理统计》课本上对二项分布、泊松分布以及正态分布的特征函数的推导过程没有详细描述,我在利用现有公式对上述三种分布推导一遍,并对相关性质知识进行回顾,以此记录。


    特征函数

    特征函数\varphi_{x}\left ( t \right )是实变量的复值函数,它在一切实数t\in \left ( -\infty,+\infty \right )都有定义,在不引起混淆的情况下,将\varphi_{x}\left ( t \right )简记为\varphi\left ( t \right )

    X是离散型随机变量,其概率分布列为p_{x}=P\left \{ X=x_{k} \right \},则它的特征函数为

                                                                                \varphi\left ( t \right )=E(e^{itX})=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itx_{k}}

    X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则它的特征函数为

                                                                          \varphi\left ( t \right )=E(e^{itX})=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx


    二项分布特征函数推导

    二项分布:离散型概率分布,B\sim (n,p)P\left \{ X=k \right \}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

    期望:E(x)=np

    方差:D(x)=np(1-p)

    特征方程的推导:

    \varphi \left ( t \right )=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itk}

             =\sum_{k}^{ }e^{itk}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}

             =\sum_{k}^{ }\binom{n}{k}\left ( pe^{it} \right )^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}

             =\left ( pe^{it}+\left ( 1-p \right ) \right )^{n}


    泊松分布特征函数推导

    泊松分布:离散型概率分布,P\left \{ X=k \right \}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,...

    期望:E(x)=\lambda

    方差:D(x)=\lambda

    特征方程的推导:

    \varphi \left ( t \right )=\sum_{k}^{ }p_{k}e^{itk}

             =\sum_{k}^{ }\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }e^{itk}

             =e^{-\lambda }\sum_{k}^{ }\frac{\left ( e^{it}\lambda \right )^{k}}{k!}

             =e^{-\lambda }e^{e^{it}\lambda }

             =exp\left \{ \left ( e^{it}-1 \right )\lambda \right \}


    正态分布特征函数推导

    正态分布:连续型概率分布,X\sim \left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )f\left ( x \right )=\frac{1}{\sqrt{2\Pi}\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}

    期望:E(x)=\mu

    方差:D(x)=\sigma ^{2}

    特征方程的推导:

    方法一:

    \varphi \left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx

             =\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left [ \left ( x-\mu \right )-\sigma ^{2} it\right ]^{2}-2\sigma ^{2}\mu it-\sigma ^{4}i^{2}t^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx

             =exp\left \{ i\mu t+\frac{\sigma ^{4}i^{2}t^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}

    由于\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu -\sigma ^{2}it \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx=1U\sim N\left ( (\mu +\sigma ^{2}it),\sigma ^{2} \right )

    由于i=\sqrt{-1},所以i^{2}=-1

             =exp\left \{ i\mu t-\frac{\sigma ^{2}t^{2}}{2} \right \}

    方法二:

    \varphi \left ( t \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{itx}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }exp\left \{ -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}} \right \}dx

             (a=\frac{x-\mu }{\sigma })

             =\frac{1}{\sqrt{2\Pi }\sigma }\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ it\left ( a\sigma +\mu \right )-\frac{a^{2}}{2} \right \}\sigma da

             =e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{a^{2}}{2} +ita\sigma \right \}da

             =e^{i\mu t}\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{\left ( a-it\sigma \right )^{2}}{2}+\frac{\left ( it\sigma \right )^{2}}{2} \right \}da

    同理由于i=\sqrt{-1},所以i^{2}=-1

             =\frac{1}{\sqrt{2\Pi }}exp\left \{​{i\mu t-\frac{t^{2}\sigma ^{2}}{2}} \right \}\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{\left ( a-it\sigma \right )^{2}}{2} \right \}da

    由于\int_{-\infty }^{+\infty }exp\left \{ -\frac{\left ( a-it\sigma \right )^{2}}{2} \right \}da=\sqrt{2\Pi }

             =exp\left \{​{i\mu t-\frac{t^{2}\sigma ^{2}}{2}} \right \}

    以上就是全部推导过程!

    其他函数就不一一展示了,公式在最上方,通过计算可以得到每一种分布的特征函数!

     

    展开全文
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    简单的说

    • 伯努利是扔一次硬币;(二值实验)
    • 二项分布是多次伯努利,即扔多次硬币;(多次二值实验)
    • 泊松分布是 p p p 很小的二项,即扔好多好多次硬币,且扔出正面概率极小;
    • 正态分布是 n n n 很大的二项,即扔好多好多次硬币,且硬币是完全相同的;

    一、泊松分布

    1.1 什么是泊松分布

    泊松分布是一个重要的离散概率分布,常用于描述一个时间或空间间隔内事件发生的次数。
    泊松分布

    1.2 公式表述

    P ( x = k ) = λ k k ! , k = 0 , 1 , . . . P(x=k) = \frac{\lambda^k}{k!}, k=0,1,... P(x=k)=k!λk,k=0,1,...

    • 解释:该公式用于描述某个事件发生 k k k 次的概率
    • 参数:只包含一个变量参数 λ \lambda λ,它表示时间发生的期望(方差),如单位时间内某事件发生的平均次数;
    • 注意:该事件发生的期望和方差相同。

    1.4 分布的特点

    • 离散分布;
    • 变量 k k k 可以取到任意数值;
    • 各次事件的发生相互独立;(第一次是否发生不影响第二次是否发生)
    • 各次事件的发生概率相同;(单位时间内事件发生的概率相同)
    • 某一个瞬间只能发生一个事件;
    • 事件发生的概率与区间是成比例的;

    直观理解:事件发生的概率是一个固定的常数 p p p

    1.5 何时使用

    • p p p很小:事件发生的概率小;
    • 实验的次数多;

    1.4 常见应用

    泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。比如

    • 某一服务设施在一定时间内到达的人数;
    • 电话交换机接到呼叫的次数;
    • 汽车站台的候客人数;
    • 机器出现的故障数;
    • 自然灾害发生的次数;
    • 一块产品上的缺陷数;
    • 显微镜下单位分区内的细菌分布数等;

    二、二项分布

    在n次独立重复的伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,…,n,且对每一个k(0≤k≤n),事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”,随机变量X的离散概率分布即为二项分布(Binomial Distribution)。

    2.4 分布的特点

    • 离散分布;

    2.5 何时使用

    • p p p较大:事件发生的概率较大;比如 > 10 % > 10\% >10%即可;

    2.5 分布转化(二项分布->泊松分布)

    当满足如下条件,则二项分布可接近泊松分布;

    • 事件发生概率 p p p 很小;
    • 实验的次数 n n n 很大;
      此时, n p = λ np = \lambda np=λ

    三、高斯分布

    3.4 分布的特点

    • 连续分布;

    2.5 何时使用

    • 实验次数 n n n 很多;
    • 事件发生的概率 p p p 固定;

    2.6

    正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布,属于连续分布.
    二项分布与泊松分布 则都是离散分布,二项分布的极限分布是泊松分布、泊松分布的极限分布是正态分布.

    四、伯努利分布

    一次二值实验;
    举例:一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验,比如正面或反面,成功或失败,有缺陷或没有缺陷,病人康复或未康复。

    4.5 分布转化(伯努利分布->伯努利分布)

    当满足如下条件,则二项分布可接近泊松分布;

    • 执行多次伯努利实验;

    五、帕累托分布

    参考:https://www.zhihu.com/question/36214010
    参考:http://www.math.wm.edu/~leemis/2008amstat.pdf

    展开全文
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