二项分布的分布函数表达式

χ^2分布(卡方),t分布，F分布的表达式
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2020-10-21 12:47:23

对于N(0,1)标准正太分布总体的抽样分布

χ^2分布：
$χ^2(n)=X_1^2+X_2^2+……+X_n^2$

t分布
$t(n)=\frac{X}{\sqrt{V/n}}$

f分布
$F(m,n)=\frac{ V_1/m}{V_2/n}$

$t^2(n)\sim F(1,n)$
$\frac{1}{t^2(n)}\sim F(n,1)$

性质

大类图像均值方差
χ^2分布, 非负，不对称 n 2n
t分布，对称，n>45时近似标准正态分布
f分布非负，不对称

 伽马函数-利用偶函数性质与换元-正态分布

 假设检验

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二项分布（Binomial Distribution）

二项分布的基本描述：

　　　在概率论和统计学里面，带有参数n和p的二项分布表示的是n次独立试验的成功次数的概率分布。在每次独立试验中只有取两个值，表示成功的值的概率为p，那么表示试验不成功的概率为1-p。这样一种判断成功和失败的二值试验又叫做伯努利试验。特殊地，当n=1的时候，我们把二项分布称为伯努利分布。

　　　二项分布频繁地用于对以下描述的一种实验进行建模：从总数量大小为N的两个事物中进行n次放回抽样，以某一事物为基准，计算成功抽取这个事物的次数的概率。要注意的是必须进行的是放回抽样，对于不放回抽样我们一般用超几何分布来对这样的实验进行建模。

二项分布的概率质量函数：

　　　一般来说，如果一个随机变量X满足二项分布的话，那么它一定有一个参数n∈ ℕ且还有一个参数p∈ [0,1]。这样的话，我们可以把关于X的二项分布写成X ~ B(n, p)。对应的概率质量函数如下。

$Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

　　　这里k = 0, 1, 2, ......, n，并且原括号是组合的表示形式，组合的计算公式如下。

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

　　　这个公式表示的从n个数中取k个数构成一个组合能有多少种不同的取法。整个二项分布我们可以描述为求n次独立的伯努利试验，成功k次的概率是多少。由于一次成功的概率是已知的，因此我们必须求出n次试验中，成功k次可能发生在哪次试验中，一共有多少种可能都要求出来，因此求的就是n取k组合数目。

二项分布的均值：

　　　如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布，也就是说X是呈现出二项分布的随机变量，n表示试验的总数，p表示每个试验中得到成功结果的概率，那么X的期望值如下。

$\operatorname {E} [X]=np.$

　　　证明在最下面的维基百科链接中。

二项分布的方差：

　　　同样的，如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布，也就是说X是呈现出二项分布的随机变量，n表示试验的总数，p表示每个试验中得到成功结果的概率，那么X的方差如下。

$\operatorname {Var} (X)=np(1-p).$

　　　证明在最下面的维基百科的链接中。

二项分布的和：

　　　如果存在两个独立的二项分布X~(n, p)和Y~B(m, p)，要注意的是它们在一次试验中成功的结果具有相同的概率p，那么X+Y也是一个二项分布。这样一个和的分布可以表示为Z=X+Y ~ B(n+m, p)：

${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}$

　　　但是，如果X和Y一次试验成功的结果没有相同的概率p，那么X+Y的和的方差就会比B(n+m, p的均值)这样一个二项分布的方差要小。

使用二项分布近似其它的分布：

　　　①近似正态分布：当n足够大，且二项分布的近似曲线不是很弯曲的时候，我们可以用以下式子使二项分布B(n, p)近似于正态分布。并且我们可以用适当的连续性校正（continuity correction）来改善这样一个近似的正态分布。

${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),$

　　　②近似泊松分布：在np固定不变，n趋于无穷大，p趋于0的时候，我们可以用一个二项分布来近似一个泊松分布。这样的话，泊松分布的λ=np。

二项分布的属性图：

参考资料：

二项分布-维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

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matlab 曲线参数设置表下面就一起来学习吧

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一，首先来了解一下plot(x,y )函数吧

x和y为长度相同的向量
plot(x,y )是绘制二维图形的最基本函数
例矩阵x=[1 2；3 4] ; y=[5 6; 7 8];plot(x,y )
运行一下上例

x=[1 2;3 4] ; %给定X矩阵y=[5 6; 7 8]; %给定X矩阵plot(x,y ) %绘制图形

运行结果

6.修改这条线颜色

matlab 曲线参数设置表

x=[1 2;3 4] ; %给定X矩阵y=[5 6; 7 8]; %给定X矩阵plot(x,y,'-.or' ) %绘制图形%用点画线，圆圈点形，红色修饰

2.看结果(发现变成了点画线，红色修饰)

二，一起实战吧！

1．生成1×10 维的随机数向量a，分别用红、黄、蓝、绿色绘出其连线图、杆图、阶梯图和条形图，并分别标出标题“连线图”、“杆图”、“阶梯图”、“条形图”。绘制函数曲线，要求写出程序代码。

①连线图

a=rand(1,10)plot(a,'r')title('连线图')

②杆图

a=rand(1,10)stem(a,'y')title('杆图')

④阶梯图

a=rand(1,10)stairs(a,'b')title('阶梯图')

⑤条形图

a=rand(1,10)bar(a,'g')title('条形图')

2. 在区间[0:N/20]均匀的取50个点，构成向量t (N=3位数)；在同一窗口绘制曲线y1=sin(2*t-0.3)； y2=3cos(t+0.5)；要求y1曲线为红色点划线，标记点为圆圈；y2为蓝色虚线，标记点为星号。分别在靠近相应的曲线处标注其函数表达式。

函数功能

subplot是MATLAB中的函数。

使用方法：subplot(m,n,p)或者subplot(m n p)。

subplot是将多个图画到一个平面上的工具。其中，m表示是图排成m行，n表示图排成n列，也就是整个figure中有n个图是排成一行的，一共m行，如果m=2就是表示2行图。p表示图所在的位置，p=1表示从左到右从上到下的第一个位置。

在matlab的命令窗口中输入doc subplot或者help subplot即可获得该函数的帮助信息。

linspace是MATLAB中的函数

用法：linspace(x1,x2,N)

功能：linspace是Matlab中的均分计算指令，用于产生x1,x2之间的N点行线性的矢量。其中x1、x2、N分别为起始值、终止值、元素个数。若默认N，默认点数为100。

在matlab的命令窗口下输入help linspace或者doc linspace可以获得该函数的帮助信息。

①代码

clear all;t=linspace(0,135/20,50)y1=sin(2*t-0.3);y2=3*cos(t+0.5);subplot(1,2,1) %分成两个区域，即1*2plot(t,y1,'-.or')text(5,0.8,'sin(2*t-0.3)') %确定表达式的位置subplot(1,2,2)plot(t,y2,'--b*')text(1.5,2.4,'3*cos(t+0.5)') %确定表达式的位置

②运行结果

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伯努利分布、二项分布、多项分布、Beta分布、Dirichlet分布
万次阅读 多人点赞 2018-06-05 17:40:46
https://blog.csdn.net/michael_r_chang/article/details/39188321https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.htmlhttps://blog.csdn.net/jteng/article/details/603346281. 伯努利分布伯努利分布(Bernoulli ...
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https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.html

https://blog.csdn.net/jteng/article/details/60334628

1. 伯努利分布
伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布，介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验（Bernoulli trial）。

伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：

$P_r[X=1]=p$

$P_r[X=0]=1-p$

伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如，抛一次硬币是正面向上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？等等

如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
进行一次伯努利试验，成功(X=1)概率为p(0<=p<=1)，失败(X=0)概率为1-p，则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布，其概率质量函数为：

$f(x) = p^x(1-p)^{1-x} =\left\{ \begin{array}{ll} p & if \ x=1 \\ 1-p & if\ x=0 \\ 0 & otherwise \end{array} \right.$
2. 二项分布
二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

如果试验E是一个n重伯努利试验，每次伯努利试验的成功概率为p，X代表成功的次数，则X的概率分布是二项分布，记为X~B(n,p)，其概率质量函数为
$P\lbrace X=k\rbrace = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2,....,n.$
显然，
$\sum_{k=0}^n{ P\{ X=k \} } = \sum_{k=0}^n{C_n^k p^k(1-p)^{n-k}} = [p+(1-p)]^n = 1$
从定义可以看出，伯努利分布是二项分布在n=1时的特例
二项分布名称的由来，是由于其概率质量函数中使用了二项系数 $C_n^{k}$ ，该系数是二项式定理中的系数，二项式定理由牛顿提出：
$(x+y)^n=C_n^k x^k y^{n-k}$
二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。
3. 多项分布
多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验，规定了每次试验的结果只有两个，如果现在还是做n次试验，只不过每次试验的结果可以有多m个，且m个结果发生的概率互斥且和为1，则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔n次，如果问有k次都是点数6朝上的概率就是
$P\{ X=k \} = C_n^k p_6^k(1-p_6)^{n-k}, k=0,1,2,....,n.$
多项式分布一般的概率质量函数为：
$P\{ X_1=k_1,X_2=k_2,...,X_n=k_n \} = \frac{n!}{k_1!k_2!...k_n!}\prod_{i=1}^{n}{p_i^{k_i}},\ where \sum_{i=0}^n{k_i} = n.$
4. 贝塔分布
在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前，需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。

通俗的讲，先验概率就是事情尚未发生前，我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5，这就是主观先验概率。
后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。
先验概率和后验概率的区别：先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。另外一种表述：先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率（Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.）是在考虑了一个事实之后的条件概率。
似然函数
共轭分布(conjugacy)：后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式

好了，有了以上先验知识后，终于可以引入贝塔分布啦！！首先，考虑一点，在试验数据比较少的情况下，直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象（比如，扔硬币三次都是正面，那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面）。为了避免这种情况的发生，可以考虑引入先验概率分布 $p(\mu)$ 来控制参数 $\mu$ ，防止出现过拟合现象。那么，问题现在转为如何选择 $p(\mu)$ ！

先验概率和后验概率的关系为：

$posterior=likelihood*prior$

二项分布的似然函数为（就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分，似然函数之所以不是pdf，是因为它不需要归一化）：

$\mu^m(1-\mu)^n$

如果选择的先验概率 $p(\mu)$ 也与 $\mu$ 和 $(1-\mu)$ 次方德乘积的关系，那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说，选择prior的形式是 $w_1*\mu^a(1-\mu)^b$ ，那么posterior就会变成 $w_2*\mu^{m+a}(1-\mu)^{n+b}$ 这个样子了( $w_1,w_2$ 为pdf的归一化参数)，所以posterior和prior具有相同的函数形式(都是 $p(\mu)$ 也与 $\mu$ 和 $(1-\mu)$ 次方的乘积)，这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。

所以，我们选择了贝塔分布作为先验概率，其概率分布函数为：

$Beta(\mu|a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}}$ ，其中 $0<\mu<1,\ \Gamma(n)=(n-1)!,\ n=1,2,3...$
5. 狄利克雷分布
狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是多项分布的共轭分布，也就是它与多项分布具有相同形式的分布函数。

概率分布函数为：
$P\{ p_1,...,p_n;\alpha_1,...\alpha_n \} = \frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^{n}{p_i^{k_i-1}},\ where \ B(\alpha)= \frac{\prod_{i=1}^{n}{\Gamma(\alpha_i)}}{\Gamma(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i})}$
6. 后记

本篇博文只是将伯努利分布、二项分布、多项分布、贝塔分布和狄利克雷分布做了简单的介绍，其中涉及到大量的概率基础和高等数学的知识，文中的介绍只是粗浅的把这些分布的概念作了大概介绍，没有对这些分布的产生历史做介绍。我想，更好的介绍方式，应是从数学史的角度，将这几项分布的发现按照历史规律来展现，这样会更直观、形象。后续再补吧！

在机器学习领域中，概率模型是一个常用的利器。用它来对问题进行建模，有几点好处：1）当给定参数分布的假设空间后，可以通过很严格的数学推导，得到模型的似然分布，这样模型可以有很好的概率解释；2）可以利用现有的EM算法或者Variational method来学习。通常为了方便推导参数的后验分布，会假设参数的先验分布是似然的某个共轭分布，这样后验分布和先验分布具有相同的形式，这对于建模过程中的数学推导可以大大的简化，保证最后的形式是tractable。

在概率模型中，Dirichlet这个词出现的频率非常的高。初始机器学习的同学或者说得再广一些，在学习概率模型的时候，很多同学都不清楚为啥一个表现形式如此奇怪的分布Dirichlet分布会出现在我们的教科书中，它是靠啥关系攀上了多项分布（Multinomial distribution）这个亲戚的，以至于它可以“堂而皇之”地扼杀我大天朝这么多数学家和科学家梦想的？为了引出背后这层关系，我们需要先介绍一个概念——共轭先验（Conjugate Prior）。
- Conjugate Prior: In Bayesian probability theory, if the posterior distributions p(θ|x) are in the same family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are then called conjugate distributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood. ----from wiki
- 用中文来讲，在贝叶斯统计理论中，如果某个随机变量Θ的后验概率 p(θ|x)和气先验概率p(θ)属于同一个分布簇的，那么称p(θ|x)和p(θ)为共轭分布，同时，也称p(θ)为似然函数p(x|θ)的共轭先验。
介绍了这个重要的概念之后，我们回到文章的正题。首先需要弄清楚什么是二项分布（Binomial distribution）。这个概念是从伯努利分布推进的。伯努利分布是一个离散型的随机分布，其中的随机变量只有两类取值，非正即负{+，-}。二项分布即重复n次的伯努利试验，记为 X~b(n,p)。概率密度函数（概率质量函数）为 $P(K=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 。再来看看Beta分布，给定参数 $\alpha>0$ 和 $\beta>0$ ，取值范围为[0,1]的随机变量x的概率密度函数 $f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$ ，其中 $\frac{1}{B(\alpha,\beta)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}$ ， $\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 。这里假定，先验分布和似然概率如下所示：

$p(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$

$p(y|x)=\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$

那么很容易知道后验概率为

$p(x|y)=\frac{1}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta+n-k-1}$

弄清楚了Beta分布和二项分布之间的关系后，对于接下来的Dirichlet 分布和多项分布（Multinomial distribution）的关系理解将会有非常大的帮助。多项分布，从字面上所表现出的含义，我们也大抵知道它的意思。它本身确实也是这样的，其单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的，而是有多种离散值可能（1,2,3...,k），其中 $\sum_{i=1}^k{p_i}=1,p_i>0$ 。多项分布的概率密度函数为 $P(x_1,x_2,...,x_k;n,p_1,p_2,...,p_k)=\frac{n!}{x_1!\cdot\cdot\cdot x_k!}p_1^{x_1}\cdot\cdot\cdot p_k^{x_k}$ 。而Dirichlet分布的的密度函数形式也如出一辙： $f(x_1,x_2,...,x_k;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}$ ，其中 $B(\alpha)=\frac{\prod_{i=1}^k\Gamma(\alpha^i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^k{\alpha^i})},\sum{x_i}=1$ 。到这里，我们可以看到Beta分布和Dirichlet 分布有多相似啊，二项分布和多项分布有多相似啊！

再一次来看看共轭。假设 $x=(x_1,x_2,...,x_k)$ 有先验分布

$p(x;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}$

，

另有似然函数

$p(y|x)=\frac{n!}{n_1!\cdot\cdot\cdot n_k!}x_1^{n_1}\cdot\cdot\cdot x_k^{n_k}，$

则后验概率

$p(x|y)=\frac{1}{Z}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i+n_i-1}}$

，和Dirichlet 分布形式一致。

其实，细心的读者已经发现，这里这四类分布，如果但从数学形式上看，它们的组织形式都是一致的，都是通过乘积的形式构成，加上先验分布、似然函数和后言分布之间的乘积推导关系，可以很容易发现，它们所表现出的共轭性质很容易理解。

Beta分布与Dirichlet分布的定义域均为[0,1]，在实际使用中，通常将两者作为概率的分布，Beta分布描述的是单变量分布，Dirichlet分布描述的是多变量分布，因此，Beta分布可作为二项分布的先验概率，Dirichlet分布可作为多项分布的先验概率。这两个分布都用到了Gamma函数，所以，首先了解一下Gamma函数。

1. Gamma函数

首先看其表达式
Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
这样的表达看懂都很难，更不知道那些数学家怎么想出来的。据LDA数学八卦中记录，在Gamma函数的发现中做出主要贡献的数学家有哥德巴赫、丹尼尔·伯努利(不是伯努利分布的那个伯努利)，最终由欧拉解决这个问题(这些大数学家互相都认识的啊)。
Gamma函数是对阶乘在实数领域的扩展，也就是说，Γ(x+1)=xΓ(x)，下面用分部积分的方法进行推导，如不关心，可以略过。

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt=1x∫∞0e−tdtx=1x(e−ttx|∞0−∫∞0txde−t)=1x∫∞0txe−tdt=1xΓ(x+1)

据PRML第71页(2.14)式，Gamma函数在Beta分布和Dirichlet分布中起到了归一化的作用。

2. Beta分布

Beta分布描述的是定义在区间[0,1]上随机变量的概率分布，由两个参数α>0和β>0决定，通常记为μ∼Beta(μ|α,β)，其概率密度函数如下
P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα−1(1−μ)β−1=1B(α,β)μα−1(1−μ)β−1
其中，Γ(⋅)就是Gamma函数，B(α,β)为Beta函数，并且
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
Beta分布的概率密度函数曲线如下图：(摘自wikipedia Beta distribution)

由于Beta分布定义在区间[0,1]上，所以适合作为概率的分布。第一段提到Beta分布可作为二项分布的先验概率，那就需要从二项分布的定义来理解Beta分布的形式。已知二项分布的形式为：
p(x=k|n,μ)=Cknμk(1−μ)n−k
对 μ 进行后验概率估计时，其似然项是 μ 和 (1−μ) 的指数形式，如果先验概率也选择为 μ 和 (1−μ) 的指数形式，那么后验概率就仍然保持这种指数形式，这种性质叫做共轭分布，我们会在后面的文章中对共轭分布进行介绍。
因此，Beta分布就是 μ 和 (1−μ) 的指数形式，其中Beta函数为归一化系数。Beta分布的均值和方差分别为
E[μ]=αα+β
var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)

3. Dirichlet分布

Dirichlet分布是关于定义在区间[0,1]上的多个随机变量的联合概率分布，假设有d个变量μi，并且∑di=1μi=1，记μ=(μ1,μ2,...,μd)，每个μi对应一个参数αi>0，记α=(α1,α2,...,αd)，α^=∑di=1αi，那么它的概率密度函数为
p(μ|α)=Dir(μ|α)=Γ(α^)Γ(α1)⋯Γ(αd)∏di=1μαi−1i
Dirichlet分布的每一个随机变量具有统计量如下：
E[μi]=αiα^
var(μi)=αi(α^−αi)α^2(α^+1)
cov(μi,μj)=αiαjα^2(α^+1)
由于Dirichlet分布描述的是多个定义于区间[0,1]的随机变量的概率分布，所以通常将其用作多项分布参数μi的概率分布。
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浅谈两点分布，二项分布，伽马分布，指数分布，泊松分布，卡方分布，t分布，F分布，均匀分布，正态分布，β...
千次阅读 多人点赞 2019-10-15 16:39:02

浅谈两点分布，二项分布，伽马分布，指数分布，泊松分布，卡方分布，t分布，F分布，均匀分布，正态分布，β分布，狄利克雷分布。（红丸子，白丸子，四喜丸子。。。）我们知道，在数理统计中，经常是和各种分布打...

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[更新中] 各种常见和不常见的概率分布及其概率函数简介
万次阅读 2019-05-02 15:35:37

本文介绍一些常见的概率论知识和概率分布。

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数学 Python
二元正态分布密度函数图像-基于matlab
千次阅读 2021-04-18 03:22:21

用matlab可以做出二维正态分布密度函数的图像。本文简单介绍二维正态分布及其性质，并给出用matlab的做图程序。很多现象服从二维正态分布。例如某年龄段小女孩的身高和腿长，某种昆虫的触角长和翼长，成年男子的身高...

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正态分布函数(高斯函数)详解
万次阅读 多人点赞 2019-05-16 16:50:32

正态分布 ...2.正态分布函数曲线的性质： 3.正态分布的概率分布函数 概率分布函数是正态分布曲线的定积分，公式为：正态分布曲线与x轴围成的面积是1(积分区间是负无穷到正无穷) 的值代表...

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程序员的自我修养之数学基础11：期望、方差、常见分布（均匀分布、二项分布、泊松分布、正态分布）
千次阅读 2019-09-11 16:00:28

2.二项分布和几何分布 3. 泊松分布 4.正态分布一、期望期望这个概念，初高中就学过了吧，所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...

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径向分布函数
万次阅读 热门讨论 2018-10-14 17:22:15

径向分布函数RDF实现算法 RDF实现算法 RDF是径向分布函数的Radical distribution function的缩写，指的是给定一个空间，在此空间以一个对象为中心，去寻找周围对象的的概率。对于分子模拟的径向分布函数实则也是求解...

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C++ 算法
matlab卡方分布函数代码-gx2:用于计算广义卡方分布的统计量、pdf、cdf、逆cdf和随机数的Matlab工具箱
2021-06-13 01:12:07

matlab卡方分发函数代码广义卡方分布 Matlab 工具箱，用于计算广义卡方分布的统计信息、pdf、cdf、逆 cdf 和随机数。作者 Abhranil Das，德克萨斯大学奥斯汀分校感知系统中心。错误/评论/问题/建议。如果您使用此...

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分布函数总结
千次阅读 2017-12-19 23:05:09

各种重要的分布函数本Markdown编辑器使用[StackEdit][6]修改而来，用它写博客，将会带来全新的体验哦： Markdown和扩展Markdown简洁的语法代码块高亮图片链接和图片上传 LaTex数学公式 UML序列图和流程图 ...

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数理统计
常用分布函数
2021-04-20 22:35:15

0-1分布设随机变量X只可能取0与1两个值，分布律为 P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<...二项分布设随机变量X只可能取0和1两个值，记: P(X=1)=p,P(X=0)=1−pP(X=1)=p, P(X=0)=1-pP(X=1)=p,P(X=0)=1−p, 将该实验重复

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K分布及其函数表的生成
2011-11-19 09:42:37

现有的几种K分布的总结分析，对研究K分布有指导意义。

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高斯分布参数的极大似然估计，EM算法
2019-03-03 15:29:42

哈工大研究生课程讲义高斯分布参数的极大似然估计，EM算法

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先验分布、后验分布、似然函数
万次阅读 2021-04-17 08:57:45

先验——根据若干年的统计（经验）或者气候（常识），某地方下雨的概率；似然/条件概率——有下雨（因）前出现了乌云（果）的概率，即给定原因估计结果的概率；后验——根据天上有乌云（果），下雨（因）的概率...

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机器学习人工智能
各种各样的分布函数-t分布,F分布
千次阅读 2020-04-06 14:31:21

设XXX~N(0,1)N(0,1)N(0,1),YYY ~ χ2(n)\chi^2(n)χ2(n),且XXX与YYY相互独立,则称随机变量T=XY/nT=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}T=Y/nX服从的分布是自由度为nnn的ttt分布,记为TTT~t(n)t(n)t(n) t(n)t(n)t(n)的概率密度...

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经验分布函数（Empirical Distribution Functions）
万次阅读 2019-12-03 20:22:53

二、经验分布函数（EDF，Empirical Distribution Functions）设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x1,x2,⋯,xn 出现的频率。经验分布函数 F n ( x ) Fn(x) 的图形。若把经验分布函数的图形连成折线，那么它实际就是...

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刻度平方误差损失下二项分布参数的Bayes估计问题 (2011年)
2021-05-20 21:53:21

对给定容量为n的二项分布样本X1,X2,…,Xn,在刻度平方误差损失函数下,利用共轭先验分布讨论二项分布参数θ的Bayes估计,得到了该参数的Bayes估计可容许性的一个充要条件,并给出多层Bayes估计的表达式.

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利用Weibull分布函数预测林木的直径分布 (1987年)
2021-05-24 01:59:09

2.提出和讨论了用最小二乘法求解Weibull分布函数的参数的方法,并用此法推算了日本落叶松(Larix leptolepis)模拟密度试验林分的直径分布的各参数;3.weibull分希函数的两种形式(1式和2式)在解析直径分布时,都具有较高...

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