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  • χ^2分布(卡方),t分布,F分布表达式
    千次阅读
    2020-10-21 12:47:23

    对于N(0,1)标准正太分布总体的抽样分布

    χ^2分布:
    χ 2 ( n ) = X 1 2 + X 2 2 + … … + X n 2 χ^2(n)=X_1^2+X_2^2+……+X_n^2 χ2(n)=X12+X22++Xn2

    t分布
    t ( n ) = X V / n t(n)=\frac{X}{\sqrt{V/n}} t(n)=V/n X

    f分布
    F ( m , n ) = V 1 / m V 2 / n F(m,n)=\frac{ V_1/m}{V_2/n} F(m,n)=V2/nV1/m


    t 2 ( n ) ∼ F ( 1 , n ) t^2(n)\sim F(1,n) t2(n)F(1,n)
    1 t 2 ( n ) ∼ F ( n , 1 ) \frac{1}{t^2(n)}\sim F(n,1) t2(n)1F(n,1)

    性质

    大类图像均值方差
    χ^2分布,非负,不对称n2n
    t分布,对称,n>45时近似标准正态分布
    f分布非负,不对称

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    二项分布(Binomial Distribution)

    二项分布的基本描述:

       在概率论和统计学里面,带有参数n和p的二项分布表示的是n次独立试验的成功次数的概率分布。在每次独立试验中只有取两个值,表示成功的值的概率为p,那么表示试验不成功的概率为1-p。这样一种判断成功和失败的二值试验又叫做伯努利试验。特殊地,当n=1的时候,我们把二项分布称为伯努利分布。

       二项分布频繁地用于对以下描述的一种实验进行建模:从总数量大小为N的两个事物中进行n次放回抽样,以某一事物为基准,计算成功抽取这个事物的次数的概率。要注意的是必须进行的是放回抽样,对于不放回抽样我们一般用超几何分布来对这样的实验进行建模。


    二项分布的概率质量函数:

       一般来说,如果一个随机变量X满足二项分布的话,那么它一定有一个参数n∈ ℕ且还有一个参数p∈ [0,1]。这样的话,我们可以把关于X的二项分布写成X ~ B(np)。对应的概率质量函数如下。

    {\displaystyle Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}

       这里k = 0, 1, 2, ......, n,并且原括号是组合的表示形式,组合的计算公式如下。

    {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

       这个公式表示的从n个数中取k个数构成一个组合能有多少种不同的取法。整个二项分布我们可以描述为求n次独立的伯努利试验,成功k次的概率是多少。由于一次成功的概率是已知的,因此我们必须求出n次试验中,成功k次可能发生在哪次试验中,一共有多少种可能都要求出来,因此求的就是n取k组合数目。


    二项分布的均值:

       如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的期望值如下。

    {\displaystyle \operatorname {E} [X]=np.}

       证明在最下面的维基百科链接中。


    二项分布的方差:

       同样的,如果存在X~B(n, p)这样一个二项分布,也就是说X是呈现出二项分布的随机变量,n表示试验的总数,p表示每个试验中得到成功结果的概率,那么X的方差如下。

    {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}

       证明在最下面的维基百科的链接中。


    二项分布的和:

       如果存在两个独立的二项分布X~(n, p)和Y~B(m, p),要注意的是它们在一次试验中成功的结果具有相同的概率p,那么X+Y也是一个二项分布。这样一个和的分布可以表示为Z=X+Y ~ B(n+m, p):

    {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}

       但是,如果X和Y一次试验成功的结果没有相同的概率p,那么X+Y的和的方差就会比B(n+m, p的均值)这样一个二项分布的方差要小。


    使用二项分布近似其它的分布:

       ①近似正态分布:当n足够大,且二项分布的近似曲线不是很弯曲的时候,我们可以用以下式子使二项分布B(n, p)近似于正态分布。并且我们可以用适当的连续性校正(continuity correction)来改善这样一个近似的正态分布。

    {\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)),}

       ②近似泊松分布:在np固定不变,n趋于无穷大,p趋于0的时候,我们可以用一个二项分布来近似一个泊松分布。这样的话,泊松分布的λ=np。


    二项分布的属性图:

    二项分布概率图二项分布的属性


    参考资料:

    二项分布-维基百科  https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

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    matlab 曲线参数设置表下面就一起来学习吧

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    一,首先来了解一下plot(x,y )函数吧

    1. x和y为长度相同的向量
    2. plot(x,y )是绘制二维图形的最基本函数
    3. 例矩阵x=[1 2;3 4] ; y=[5 6; 7 8];plot(x,y )
    4. 运行一下上例
    x=[1 2;3 4] ; %给定X矩阵y=[5 6; 7 8]; %给定X矩阵plot(x,y ) %绘制图形
    6dd40ae85a7d0120cf37b117e25bec48.png

    运行结果

    8150c1525eda2b8c969fd8185ac81e93.png

    6.修改这条线颜色

    1. matlab 曲线参数设置表
    94e5da51d9d50dbaff0734ce9a33d51a.png
    x=[1 2;3 4] ; %给定X矩阵y=[5 6; 7 8]; %给定X矩阵plot(x,y,'-.or' ) %绘制图形%用点画线,圆圈点形,红色修饰

    2.看结果(发现变成了点画线,红色修饰)

    994bc586d61dde62a9865d14bec26a8a.png

    二,一起实战吧!

    1.生成1×10 维的随机数向量a,分别用红、黄、蓝、绿色绘出其连线图、杆图、阶梯图和条形图,并分别标出标题“连线图”、“杆图”、“阶梯图”、“条形图”。 绘制函数曲线,要求写出程序代码。

    ①连线图

    a=rand(1,10)plot(a,'r')title('连线图') 
    a3df3edfceef6508d5882b01c3cbc66a.png

    ②杆图

    a=rand(1,10)stem(a,'y')title('杆图')
    8ad79224957547fb23c22216d8f8b911.png

    ④阶梯图

    a=rand(1,10)stairs(a,'b')title('阶梯图')
    c492916335d0883a94754e42adb8918f.png

    ⑤条形图

    a=rand(1,10)bar(a,'g')title('条形图')
    d6314ca4f2b3412abc1b8baa53c06cb5.png

    2. 在区间[0:N/20]均匀的取50个点,构成向量t (N=3位数); 在同一窗口绘制曲线y1=sin(2*t-0.3); y2=3cos(t+0.5);要求y1曲线为红色点划线,标记点为圆圈;y2为蓝色虚线,标记点为星号。 分别在靠近相应的曲线处标注其函数表达式。

    函数功能

    subplot是MATLAB中的函数。

    使用方法:subplot(m,n,p)或者subplot(m n p)。

    subplot是将多个图画到一个平面上的工具。其中,m表示是图排成m行,n表示图排成n列,也就是整个figure中有n个图是排成一行的,一共m行,如果m=2就是表示2行图。p表示图所在的位置,p=1表示从左到右从上到下的第一个位置。

    在matlab的命令窗口中输入doc subplot或者help subplot即可获得该函数的帮助信息。

    linspace是MATLAB中的函数

    用法:linspace(x1,x2,N)

    功能:linspace是Matlab中的均分计算指令,用于产生x1,x2之间的N点行线性的矢量。其中x1、x2、N分别为起始值、终止值、元素个数。若默认N,默认点数为100。

    在matlab的命令窗口下输入help linspace或者doc linspace可以获得该函数的帮助信息。

    ①代码

    clear all;t=linspace(0,135/20,50)y1=sin(2*t-0.3);y2=3*cos(t+0.5);subplot(1,2,1) %分成两个区域,即1*2plot(t,y1,'-.or')text(5,0.8,'sin(2*t-0.3)') %确定表达式的位置subplot(1,2,2)plot(t,y2,'--b*')text(1.5,2.4,'3*cos(t+0.5)') %确定表达式的位置

    ②运行结果

    492ae0e0f04f65f11aafa0808f708002.png

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    5680a81e6cbe48dfe295fabd4f629bc6.png

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  • https://blog.csdn.net/michael_r_chang/article/details/39188321https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.htmlhttps://blog.csdn.net/jteng/article/details/603346281. 伯努利分布伯努利分布(Bernoulli ...

    https://blog.csdn.net/michael_r_chang/article/details/39188321

    https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.html

    https://blog.csdn.net/jteng/article/details/60334628

    1. 伯努利分布

    伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布0-1分布,介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验(Bernoulli trial)

    • 伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验,即对于一个随机变量X而言:

    伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗?等等

    • 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验
    • 进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(0<=p<=1),失败(X=0)概率为1-p,则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布,其概率质量函数为:

    2. 二项分布

    二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

    • 如果试验E是一个n重伯努利试验,每次伯努利试验的成功概率为p,X代表成功的次数,则X的概率分布是二项分布,记为X~B(n,p),其概率质量函数为

      显然,

    • 从定义可以看出,伯努利分布是二项分布在n=1时的特例
    • 二项分布名称的由来,是由于其概率质量函数中使用了二项系数,该系数是二项式定理中的系数,二项式定理由牛顿提出:

    • 二项分布的典型例子是扔硬币,硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币,k次为正面的概率即为一个二项分布概率。

    3. 多项分布

    多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验,规定了每次试验的结果只有两个,如果现在还是做n次试验,只不过每次试验的结果可以有多m个,且m个结果发生的概率互斥且和为1,则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

    • 扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子,不同于扔硬币,骰子有6个面对应6个不同的点数,这样单次每个点数朝上的概率都是1/6(对应p1~p6,它们的值不一定都是1/6,只要和为1且互斥即可,比如一个形状不规则的骰子),重复扔n次,如果问有k次都是点数6朝上的概率就是

    • 多项式分布一般的概率质量函数为:

    4. 贝塔分布

    在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前,需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。

    • 通俗的讲,先验概率就是事情尚未发生前,我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率,称为客观先验概率; 当历史资料无从取得或资料不完全时,凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率,称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5,这就是主观先验概率。
    • 后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息,利用贝叶斯公式对先验概率进行修正,而后得到的概率。
    • 先验概率和后验概率的区别:先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的,而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的;后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料,既有先验概率资料,也有补充资料。另外一种表述:先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量;而后验概率(Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.)是在考虑了一个事实之后的条件概率。
    • 似然函数
    • 共轭分布(conjugacy):后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式

    好了,有了以上先验知识后,终于可以引入贝塔分布啦!!首先,考虑一点,在试验数据比较少的情况下,直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象(比如,扔硬币三次都是正面,那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面)。为了避免这种情况的发生,可以考虑引入先验概率分布来控制参数,防止出现过拟合现象。那么,问题现在转为如何选择

    先验概率和后验概率的关系为:

    二项分布的似然函数为(就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分,似然函数之所以不是pdf,是因为它不需要归一化):

    如果选择的先验概率也与次方德乘积的关系,那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说,选择prior的形式是,那么posterior就会变成这个样子了(为pdf的归一化参数),所以posterior和prior具有相同的函数形式(都是也与次方的乘积),这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。

    所以,我们选择了贝塔分布作为先验概率,其概率分布函数为:

    ,其中

    5. 狄利克雷分布

    狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是多项分布的共轭分布,也就是它与多项分布具有相同形式的分布函数。

    • 概率分布函数为:

    6. 后记

    本篇博文只是将伯努利分布、二项分布、多项分布、贝塔分布和狄利克雷分布做了简单的介绍,其中涉及到大量的概率基础和高等数学的知识,文中的介绍只是粗浅的把这些分布的概念作了大概介绍,没有对这些分布的产生历史做介绍。我想,更好的介绍方式,应是从数学史的角度,将这几项分布的发现按照历史规律来展现,这样会更直观、形象。后续再补吧!


       在机器学习领域中,概率模型是一个常用的利器。用它来对问题进行建模,有几点好处:1)当给定参数分布的假设空间后,可以通过很严格的数学推导,得到模型的似然分布,这样模型可以有很好的概率解释;2)可以利用现有的EM算法或者Variational method来学习。通常为了方便推导参数的后验分布,会假设参数的先验分布是似然的某个共轭分布,这样后验分布和先验分布具有相同的形式,这对于建模过程中的数学推导可以大大的简化,保证最后的形式是tractable。

        在概率模型中,Dirichlet这个词出现的频率非常的高。初始机器学习的同学或者说得再广一些,在学习概率模型的时候,很多同学都不清楚为啥一个表现形式如此奇怪的分布Dirichlet分布会出现在我们的教科书中,它是靠啥关系攀上了多项分布(Multinomial distribution)这个亲戚的,以至于它可以“堂而皇之”地扼杀我大天朝这么多数学家和科学家梦想的?为了引出背后这层关系,我们需要先介绍一个概念——共轭先验(Conjugate Prior)

    • Conjugate Prior: In Bayesian probability theory, if the posterior distributions p(θ|x) are in the same family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are then called conjugate distributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood. ----from wiki
    • 用中文来讲,在贝叶斯统计理论中,如果某个随机变量Θ的后验概率 p(θ|x)和气先验概率p(θ)属于同一个分布簇的,那么称p(θ|x)和p(θ)为共轭分布,同时,也称p(θ)为似然函数p(x|θ)的共轭先验。

        介绍了这个重要的概念之后,我们回到文章的正题。首先需要弄清楚什么是二项分布(Binomial distribution)。这个概念是从伯努利分布推进的。伯努利分布是一个离散型的随机分布,其中的随机变量只有两类取值,非正即负{+,-}。二项分布即重复n次的伯努利试验,记为 X~b(n,p)。概率密度函数(概率质量函数)为。再来看看Beta分布,给定参数,取值范围为[0,1]的随机变量x的概率密度函数,其中。这里假定,先验分布和似然概率如下所示:

    那么很容易知道后验概率为

         弄清楚了Beta分布和二项分布之间的关系后,对于接下来的Dirichlet 分布和多项分布(Multinomial distribution)的关系理解将会有非常大的帮助。多项分布,从字面上所表现出的含义,我们也大抵知道它的意思。它本身确实也是这样的,其单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的,而是有多种离散值可能(1,2,3...,k),其中。多项分布的概率密度函数为。而Dirichlet分布的的密度函数形式也如出一辙:,其中。到这里,我们可以看到Beta分布和Dirichlet 分布有多相似啊,二项分布和多项分布有多相似啊

         再一次来看看共轭。假设有先验分布

    另有似然函数

    则后验概率

    ,和Dirichlet 分布形式一致。

        其实,细心的读者已经发现,这里这四类分布,如果但从数学形式上看,它们的组织形式都是一致的,都是通过乘积的形式构成,加上先验分布、似然函数和后言分布之间的乘积推导关系,可以很容易发现,它们所表现出的共轭性质很容易理解。


    Beta分布与Dirichlet分布的定义域均为[0,1],在实际使用中,通常将两者作为概率的分布,Beta分布描述的是单变量分布,Dirichlet分布描述的是多变量分布,因此,Beta分布可作为二项分布的先验概率,Dirichlet分布可作为多项分布的先验概率。这两个分布都用到了Gamma函数,所以,首先了解一下Gamma函数。

    1. Gamma函数

      首先看其表达式 
      Γ(x)=0tx1etdtΓ(x)=∫0∞tx−1e−tdt 
    这样的表达看懂都很难,更不知道那些数学家怎么想出来的。据LDA数学八卦中记录,在Gamma函数的发现中做出主要贡献的数学家有哥德巴赫、丹尼尔·伯努利(不是伯努利分布的那个伯努利),最终由欧拉解决这个问题(这些大数学家互相都认识的啊)。 
      Gamma函数是对阶乘在实数领域的扩展,也就是说,Γ(x+1)=xΓ(x)Γ(x+1)=xΓ(x),下面用分部积分的方法进行推导,如不关心,可以略过。 
      

    Γ(x)=0tx1etdt=1x0etdtx=1x(ettx|00txdet)=1x0txetdt=1xΓ(x+1)Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt=1x∫0∞e−tdtx=1x(e−ttx|0∞−∫0∞txde−t)=1x∫0∞txe−tdt=1xΓ(x+1)

    据PRML第71页(2.14)式,Gamma函数在Beta分布和Dirichlet分布中起到了归一化的作用。

    2. Beta分布

      Beta分布描述的是定义在区间[0,1]上随机变量的概率分布,由两个参数α>0α>0β>0β>0决定,通常记为μBeta(μ|α,β)μ∼Beta(μ|α,β),其概率密度函数如下 
      P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα1(1μ)β1=1B(α,β)μα1(1μ)β1P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα−1(1−μ)β−1=1B(α,β)μα−1(1−μ)β−1 
    其中,Γ()Γ(⋅)就是Gamma函数,B(α,β)B(α,β)为Beta函数,并且 
      B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β) 
    Beta分布的概率密度函数曲线如下图:(摘自wikipedia Beta distribution


    Beta distribution 

    由于Beta分布定义在区间[0,1]上,所以适合作为概率的分布。第一段提到Beta分布可作为二项分布的先验概率,那就需要从二项分布的定义来理解Beta分布的形式。已知二项分布的形式为: 
       p(x=k|n,μ)=Cknμk(1μ)nkp(x=k|n,μ)=Cnkμk(1−μ)n−k  
    μμ 进行后验概率估计时,其似然项是 μμ (1μ)(1−μ) 的指数形式,如果先验概率也选择为 μμ (1μ)(1−μ) 的指数形式,那么后验概率就仍然保持这种指数形式,这种性质叫做共轭分布,我们会在后面的文章中对共轭分布进行介绍。 
    因此,Beta分布就是 μμ (1μ)(1−μ) 的指数形式,其中Beta函数为归一化系数。Beta分布的均值和方差分别为 
       E[μ]=αα+βE[μ]=αα+β  
       var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)

    3. Dirichlet分布

      Dirichlet分布是关于定义在区间[0,1]上的多个随机变量的联合概率分布,假设有dd个变量μiμi,并且di=1μi=1∑i=1dμi=1,记μ=(μ1,μ2,...,μd)μ=(μ1,μ2,...,μd),每个μiμi对应一个参数αi>0αi>0,记α=(α1,α2,...,αd)α=(α1,α2,...,αd)α^=di=1αiα^=∑i=1dαi,那么它的概率密度函数为 
    p(μ|α)=Dir(μ|α)=Γ(α^)Γ(α1)Γ(αd)di=1μαi1ip(μ|α)=Dir(μ|α)=Γ(α^)Γ(α1)⋯Γ(αd)∏i=1dμiαi−1 
      Dirichlet分布的每一个随机变量具有统计量如下: 
      E[μi]=αiα^E[μi]=αiα^ 
      var(μi)=αi(α^αi)α^2(α^+1)var(μi)=αi(α^−αi)α^2(α^+1) 
      cov(μi,μj)=αiαjα^2(α^+1)cov(μi,μj)=αiαjα^2(α^+1) 
      由于Dirichlet分布描述的是多个定义于区间[0,1]的随机变量的概率分布,所以通常将其用作多项分布参数μiμi的概率分布。



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    正态分布 ...2.正态分布函数曲线的性质: 3.正态分布的概率分布函数 概率分布函数是正态分布曲线的定积分,公式为: 正态分布曲线与x轴围成的面积是1(积分区间是负无穷到正无穷) 的值代表...
  • 2.二项分布和几何分布 3. 泊松分布 4.正态分布 一、期望 期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...
  • 径向分布函数

    万次阅读 热门讨论 2018-10-14 17:22:15
    径向分布函数RDF实现算法 RDF实现算法 RDF是径向分布函数的Radical distribution function的缩写,指的是给定一个空间,在此空间以一个对象为中心,去寻找周围对象的的概率。对于分子模拟的径向分布函数实则也是求解...
  • matlab卡方分发函数代码广义卡方分布 Matlab 工具箱,用于计算广义卡方分布的统计信息、pdf、cdf、逆 cdf 和随机数。 作者 Abhranil Das,德克萨斯大学奥斯汀分校感知系统中心。 错误/评论/问题/建议。 如果您使用此...
  • 分布函数总结

    千次阅读 2017-12-19 23:05:09
    各种重要的分布函数本Markdown编辑器使用[StackEdit][6]修改而来,用它写博客,将会带来全新的体验哦: Markdown和扩展Markdown简洁的语法 代码块高亮 图片链接和图片上传 LaTex数学公式 UML序列图和流程图 ...
  • 常用分布函数

    2021-04-20 22:35:15
    0-1分布 设随机变量X只可能取0与1两个值,分布律为 P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<...二项分布 设随机变量X只可能取0和1两个值,记: P(X=1)=p,P(X=0)=1−pP(X=1)=p, P(X=0)=1-pP(X=1)=p,P(X=0)=1−p, 将该实验重复
  • 现有的几种K分布的总结分析,对研究K分布有指导意义。
  • 哈工大研究生课程讲义高斯分布参数的极大似然估计,EM算法
  • 先验分布、后验分布、似然函数

    万次阅读 2021-04-17 08:57:45
    先验——根据若干年的统计(经验)或者气候(常识),某地方下雨的概率; 似然/条件概率——有下雨(因)前出现了乌云(果)的概率,即给定原因估计结果的概率; 后验——根据天上有乌云(果),下雨(因)的概率...
  • 各种各样的分布函数-t分布,F分布

    千次阅读 2020-04-06 14:31:21
    设XXX~N(0,1)N(0,1)N(0,1),YYY ~ χ2(n)\chi^2(n)χ2(n),且XXX与YYY相互独立,则称随机变量T=XY/nT=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}T=Y/n​X​服从的分布是自由度为nnn的ttt分布,记为TTT~t(n)t(n)t(n) t(n)t(n)t(n)的概率密度...
  • 、经验分布函数(EDF,Empirical Distribution Functions) 设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x1,x2,⋯,xn 出现的频率。 经验分布函数 F n ( x ) Fn(x) 的图形。若把经验分布函数的图形连成折线,那么它实际就是...
  • 对给定容量为n的二项分布样本X1,X2,…,Xn,在刻度平方误差损失函数下,利用共轭先验分布讨论二项分布参数θ的Bayes估计,得到了该参数的Bayes估计可容许性的一个充要条件,并给出多层Bayes估计的表达式.
  • 2.提出和讨论了用最小二乘法求解Weibull分布函数的参数的方法,并用此法推算了日本落叶松(Larix leptolepis)模拟密度试验林分的直径分布的各参数;3.weibull分希函数的两种形式(1式和2式)在解析直径分布时,都具有较高...

空空如也

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二项分布的分布函数表达式