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  • 二项分布的均值计算
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    2017-08-22 15:41:49

    二项分布的概率质量函数为:

    p(k)=(nk)pk(1p)nk,for 0kn

    期望推导:
    E(k)=k=0nkp(k)=k=0nk(nk)pk(1p)nk=k=1nk(nk)pk(1p)nk=k=1nkn!k!(nk)!pk(1p)nk=k=1nkn!k!(nk)!pkqnk=npk=1n(n1)!(k1)!(nk)!pk1q(n-1)-(k-1)=(nk)=npk=1n(n1k1)pk1q(n1)(k1)(n1)0n11=np00q=1-p
    方差推导:
    E(k2)=k=0nk2p(k)=k=1nk2(nk)pkqnk=k=1n[k(k-1)+k](nk)pkqnk=k=1nk(k1)(nk)pkqnk+k=1nk(nk)pkqnk=E(k)=np=k=1nk(k1)n!k!(nk)!pkqnk+np=n(n1)p2k=1n(n2)!(k2)!(nk)!pk2q(n2)(k2)+np=n(n1)p2k=1n(n2k2)pk2q(n2)(k2)+np=n(n1)p2+np

    Var(k)=E(k2)E(k)2=n(n1)p2+npn2p2=npq

    注:方框内的内容为计算技巧

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  • (好久没写知乎文章了,又不知道该写什么,就随便水一水吧)二项分布: 次试验,每次试验有 的概率出现目标事件,记 为 次试验后出现目标事件的次数;负二项分布:若干次试验,每次试验有 的概率出现目标事件,记 为...

    (好久没写知乎文章了,又不知道该写什么,就随便水一水吧)

    二项分布:

    equation?tex=n 次试验,每次试验有

    equation?tex=p 的概率出现目标事件,记

    equation?tex=x

    equation?tex=n 次试验后出现目标事件的次数;

    负二项分布:若干次试验,每次试验有

    equation?tex=p 的概率出现目标事件,记

    equation?tex=x 为出现

    equation?tex=r 次目标事件所需要的总试验次数。

    首先我们先用最暴力的方法来直接推导它们的期望和方差。

    直接算E(X)和Var(X)

    二项分布的pmf:

    equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+xf%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+x%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Ennp+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=np 提出来,容易观察得出剩下那一部分也是一个二项分布的pmf,只不过

    equation?tex=n 变成了

    equation?tex=n-1

    equation?tex=x 变成了

    equation?tex=x-1 ,那么它求和后结果为1.

    因此:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++E%28X%29%26%3Dnp%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3Dnp++%5Cend%7Balign%7D

    为计算

    equation?tex=Var%28X%29 ,我们先计算

    equation?tex=E%28X%5E2%29

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+x%5E2%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Ennp+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29xp%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3Dnp%5Cleft%5B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n-1+%5C%5Cx-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%28x-1%29p%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5Enp%5E%7Bx-1%7D%281-p%29%5E%7Bn-x%7D%5Cright%5D+%5Cend%7Balign%7D

    右边两个求和,是将

    equation?tex=x 拆成

    equation?tex=%28x-1%29%2B1 的结果,显然第一个求和为二项分布

    equation?tex=B%28n-1%2Cp%29 的均值,第二个求和为二项分布pmf的和,即1。

    因此:

    equation?tex=E%28X%5E2%29%3Dnp%5B%28n-1%29p%2B1%5D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    现在我们再来算负二项分布的

    equation?tex=E%28X%29

    equation?tex=Var%28X%29

    负二项分布的pmf:

    equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D

    那么:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+xf%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty++%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5Cend%7Balign%7D

    显然右边的求和式对应着负二项分布

    equation?tex=r

    equation?tex=r%2B1 时的pmf,因此求和为1.

    equation?tex=E%28X%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D

    另外,

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x%5E2f%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x%5E2+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D+%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+x+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D+%5Cleft%5B%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C-%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x%5C%5Cr+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5E%7Br%2B1%7D%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5Cright%5D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Br%2B1%7D%7Bp%7D-1+%5Cright%29+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28r-p%2B1%29%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    因此:

    equation?tex=Var%28X%29%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D

    (其实,在推导中pmf和为1的隐藏结论是需要通过级数去推的,这也意味着上述式子可以化成特殊级数形式,读者可以自行证明)

    用mgf进行计算会比上述方法稍微简单一些。

    MGF计算

    定义

    equation?tex=M%28t%29%3DE%28e%5E%7BtX%7D%29

    则:

    equation?tex=M%27%28t%29%3DE%28Xe%5E%7BtX%7D%29

    equation?tex=M%27%27%28t%29%3DE%28X%5E2e%5E%7BtX%7D%29

    那么:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DE%28X%5E2%29-%5BE%28X%29%5D%5E2+%5C%5C%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5Cend%7Balign%7D

    那么对于二项分布:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++M%28t%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+e%5E%7Btx%7Df%28x%29+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+e%5E%7Btx%7D%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5En+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+n+%5C%5Cx+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%28pe%5Et%29%5Ex%281-p%29%5E%7Bn-x%7D+%5C%5C%26%3D%281-p%2Bpe%5Et%29%5En+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=M%27%28t%29%3Dnpe%5Et%281-p%2Bpe%5Et%29%5E%7Bn-1%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%27%28t%29%26%3DM%27%28t%29%2Bn%28n-1%29p%5E2e%5E%7B2t%7D%281-p%2Bpe%5Et%29%5E%7Bn-2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    故:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29%3Dnp

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5C%5C%26%3Dnp-np%5E2+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    对于负二项分布:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%28t%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7Btx%7D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+p%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D++%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3Dr%7D%5E%5Cinfty+e%5E%7Bt%28x-r%29%7D+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29+%28pe%5Et%29%5Er%281-p%29%5E%7Bx-r%7D+%5C%5C%26%3D%28pe%5Et%29%5Er%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cleft%28+%5Cbegin%7Bmatrix%7D+x-1%5C%5Cr-1+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%29%5B%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Bx-r%7D++%5Cend%7Balign%7D

    观察和式,令

    equation?tex=w%3D%281-p%29e%5Et

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%281-w%29%5E%7B-r%7D%26%3Dr%281-w%29%5E%7B-r-1%7D%2B%5Cfrac%7Br%28r%2B1%29%7D%7B2%7D%281-w%29%5E%7B-r-2%7D%2B%5Ccdots+%5C%5C%26%2B%5Cleft%28%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-1%5C%5Cr-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%29%281-w%29%5E%7B-r-%28x-r%29%7D++%5Cend%7Balign%7D

    因此:

    equation?tex=M%28t%29%3D%28pe%5Et%29%5Er%281-w%29%5E%7B-r%7D%3D%5Cfrac%7B%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%7D

    则:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%28t%29%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%2Bre%5Et%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br-1%7D%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7B2r%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%2Bre%5Et%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%7D+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+M%27%27%28t%29%26%3D%5Cfrac%7Br%5E2%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B1%7D%2Bre%5Et%28r%2B1%29%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7B2r%2B2%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%5E2%28pe%5Et%29%5Er%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%2Bre%5Et%28r%2B1%29%281-p%29%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B2%7D%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%5Br%2B%281-p%29e%5Et%5D%28pe%5Et%29%5Er%7D%7B%5B1-%281-p%29e%5Et%5D%5E%7Br%2B2%7D%7D+%5Cend%7Balign%7D

    故:

    equation?tex=E%28X%29%3DM%27%280%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28X%29%26%3DM%27%27%280%29-M%27%5E2%280%29+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%28r%2B1-p%29%7D%7Bp%5E2%7D-%5Cfrac%7Br%5E2%7D%7Bp%5E2%7D+%5C%5C%26%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D+%5Cend%7Balign%7D

    当然,我们还可以把二项分布和负二项分布分别拆成若干次独立试验。

    利用伯努利分布和几何分布

    伯努利分布:可以看作二项分布中的单次试验,即

    equation?tex=n%3D1

    几何分布:可以看作负二项分布中

    equation?tex=r%3D1的情况。

    二项分布中的

    equation?tex=n 次试验相互独立,因此可以看作

    equation?tex=n 次相互独立的伯努利试验。

    而单次伯努利试验的期望:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D1%5Ctimes+p%2B0%5Ctimes+%281-p%29%3Dp

    方差:

    equation?tex=Var%28X_i%29%3D%281-p%29%5E2p%2B%280-p%29%5E2%281-p%29%3Dp%281-p%29

    所以二项分布的均值:

    equation?tex=E%28Y%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%28X_i%29%3Dnp

    方差:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+Var%28Y%29%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5BY-E%28Y%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnX_i-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%28X_i%29%5Cright%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28X_i-E%28X_i%29%29%5Cright%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3DE%5Cleft%5C%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5En%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5BX_j-E%28X_j%29%5D%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5BX_j-E%28X_j%29%5D%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Csum_%7Bj%3Di%2B1%7D%5EnE%5BX_i-E%28X_i%29%5DE%5BX_j-E%28X_j%29%5D+%5C%5C%26%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnE%5Cleft%5C%7B%5BX_i-E%28X_i%29%5D%5E2%5Cright%5C%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnVar%28X_i%29+%5C%5C%26%3Dnp%281-p%29+%5Cend%7Balign%7D

    同理,我们计算几何分布的均值:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xp%281-p%29%5E%7Bx-1%7D

    equation?tex=%281-p%29E%28X_i%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xp%281-p%29%5Ex

    两式相减:

    equation?tex=pE%28X_i%29%3Dp%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+p%281-p%29%5Ex

    则:

    equation?tex=E%28X_i%29%3D1%2B%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty%281-p%29%5Ex%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D

    计算方差前,计算

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2p%281-p%29%5E%7Bx-1%7D

    equation?tex=q%3D1-p,则:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%28X_i%5E2%29%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2%281-q%29q%5E%7Bx-1%7D+%5C%5C%26%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5E%7Bx-1%7D-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex+%5Cend%7Balign%7D

    equation?tex=f%28q%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5E%7Bx-1%7D

    则:

    equation?tex=%5Cint+f%28q%29dq%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xq%5Ex%2BC

    错位相减得:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+xq%5Ex%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%5Cleft%28q%2B%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B1-q%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B%281-q%29%5E2%7D

    则:

    equation?tex=f%28q%29%3D%5Cfrac%7B1%2Bq%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    而对于

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex ,我们将其拆成:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29%5E2q%5Ex-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+2xq%5Ex-%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+q%5Ex

    equation?tex=g%28q%29%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29%5E2q%5Ex

    equation?tex=%5Cint+g%28q%29dq%3D%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28x%2B1%29q%5E%7Bx%2B1%7D%2BC

    错位相减得:

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty%28x%2B1%29q%5E%7Bx%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1-q%7D%5Cleft%282q%5E2%2B%5Cfrac%7Bq%5E3%7D%7B1-q%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B2q%5E2-q%5E3%7D%7B%281-q%29%5E2%7D

    则:

    equation?tex=g%28q%29%3D%5Cfrac%7Bq%28q%5E2-3q%2B4%29%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    equation?tex=%5Csum_%7Bx%3D1%7D%5E%5Cinfty+x%5E2q%5Ex%3D%5Cfrac%7Bq%5E2%2Bq%7D%7B%281-q%29%5E3%7D

    所以

    equation?tex=E%28X_i%5E2%29%3D%5Cfrac%7B1-q%5E2%7D%7B%281-q%29%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B2-p%7D%7Bp%5E2%7D

    那么

    equation?tex=Var%28X_i%29%3DE%28X_i%5E2%29-%5BE%28X_i%29%5D%5E2%3D%5Cfrac%7B1-p%7D%7Bp%5E2%7D

    那么负二项分布的均值与方差为:

    equation?tex=E%28Y%29%3DrE%28X_i%29%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Bp%7D%2CVar%28Y%29%3DrVar%28X_i%29%3D%5Cfrac%7Br%281-p%29%7D%7Bp%5E2%7D

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  • 二项分布均值和方差的简单推导

    万次阅读 多人点赞 2016-09-20 21:33:50
    前一篇文章《二项分布》中说过,伯努利分布(也称为两点分布或0-1分布)是二项分布在n=1时的特例。我们先看伯努利分布均值和方差的推导。

       前一篇文章《二项分布》中说过,伯努利分布(也称为两点分布或0-1分布)是二项分布在n=1时的特例。我们先看伯努利分布的均值和方差的推导。

       根据离散型随机变量均值和方差的定义,若离散型随机变量X的分布列为:

    Xx1x2...xi...xn
    Pp1p2...pi...pn

       则称E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn为随机变量X的均值或数学期望,称为随机变量X的方差。

       伯努利分布的分布列为:

    X01
    P1-pp

       则根据离散型随机变量的均值和方差定义:
    E(X)=0*(1-p)+1*p=p
       

    D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)

       对于二项分布X~B(n,p)X表示的是n次伯努利试验中事件发生次数的随机变量。用Xi表示第i次伯努利试验中的随机变量,那么n次伯努利试验总的随机变量X可以表示成:

    X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

       一直没有找到满意的随机变量和、差、积、商的物理/几何/现实意义,如果有了解的朋友不妨留言,不甚感激。

       根据均值和方差的性质,如果两个随机变量X,Y相互独立,那么:

    E(X+Y)=E(X)+E(Y)

    D(X+Y)=D(X)+D(Y)

       对于二项分布X~B(n,p),每一次伯努利试验都相互独立,因此:

    E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

    D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)

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    (好久没写知乎文章了,又不知道该写什么,就随便水一水吧)

    二项分布:

    次试验,每次试验有
    的概率出现目标事件,记
    次试验后出现目标事件的次数;

    负二项分布:若干次试验,每次试验有

    的概率出现目标事件,记
    为出现
    次目标事件所需要的总试验次数。

    首先我们先用最暴力的方法来直接推导它们的期望和方差。

    直接算E(X)和Var(X)

    二项分布的pmf:

    那么:

    提出来,容易观察得出剩下那一部分也是一个二项分布的pmf,只不过
    变成了
    变成了
    ,那么它求和后结果为1.

    因此:

    为计算

    ,我们先计算

    右边两个求和,是将

    拆成
    的结果,显然第一个求和为二项分布
    的均值,第二个求和为二项分布pmf的和,即1。

    因此:

    那么:

    现在我们再来算负二项分布的

    负二项分布的pmf:

    那么:

    显然右边的求和式对应着负二项分布

    时的pmf,因此求和为1.

    另外,

    因此:

    (其实,在推导中pmf和为1的隐藏结论是需要通过级数去推的,这也意味着上述式子可以化成特殊级数形式,读者可以自行证明)


    用mgf进行计算会比上述方法稍微简单一些。

    MGF计算

    定义

    则:

    那么:

    那么对于二项分布:

    故:

    对于负二项分布:

    观察和式,令

    因此:

    则:

    故:


    当然,我们还可以把二项分布和负二项分布分别拆成若干次独立试验。

    利用伯努利分布和几何分布

    伯努利分布:可以看作二项分布中的单次试验,即

    几何分布:可以看作负二项分布中

    的情况。

    二项分布中的

    次试验相互独立,因此可以看作
    次相互独立的伯努利试验。

    而单次伯努利试验的期望:

    方差:

    所以二项分布的均值:

    方差:

    同理,我们计算几何分布的均值:

    两式相减:

    则:

    计算方差前,计算

    ,则:

    则:

    错位相减得:

    则:

    而对于

    ,我们将其拆成:

    错位相减得:

    则:

    所以

    那么

    那么负二项分布的均值与方差为:

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空空如也

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二项分布的均值计算