解读“二项”
 
（1）某次事件（试验）最终结果只有两个。
 
例子：工厂产品质量评估只有合格、不合格两个结果。
 
（2）某次事件（试验）最终结果多于两个，但只关心其中一个，也可以视为两个结果。
 
例子：国乒乓球队可能获得金牌、银牌或铜牌，但鉴于我国乒乓球的世界地位，我们
 
通常只关心结果：是金牌和不是金牌。
 
（3）实际运用中，一般用“成功”表示我们感兴趣的结果发生，“失败”表示我们不感兴趣的
 
结果发生。这就是二项分布试验，其概率分布称为二项分布。
 
 
 
公式
 
某个试验成功的概率用p表示，失败的概率用q表示（q=1-p）。进行n次同样的试验，成功了
 
x次，失败次数为n-x。
 
 
上面的公式称为概率质量函数；概率由实验次数n和成功概率p决定。二项分布的概率质量函数
 
可以简写成 X~B(n，p)。
 
 
性质
 
（1）均值：np  方差：npq
 
         通过单次试验推导：
 
 
（2）图形变化规律
 
成功概率p越接近0.5，失败概率q也越接近0.5，二项分布将越对称。
 
保持试验次数n次不变，p越接近0.5，近似于均值为np、方差为npq的正态分布。
 
当np>5且nq>5时，二项分布就可以近似等于均值为np，方差为npq的正态分布。

       
 
   说起二项分布(binomial distribution)，不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)，也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。
 
   伯努利试验的特点是：
 
（1）每次试验中事件只有两种结果：事件发生或者不发生，如硬币正面或反面，患病或没患病；
 
（2）每次试验中事件发生的概率是相同的，注意不一定是0.5；
 
（3）n次试验的事件相互之间独立。
 
   举个实例，最简单的抛硬币试验就是伯努利试验，在一次试验中硬币要么正面朝上，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一样p=0.5，且每次抛硬币的事件相互独立，即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币，正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个，那么k显然是一个随机变量，这里就称随机变量k服从二项分布。
 
 
 
 
   
 
   我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=n，n次抛硬币中获得k次正面，第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式，则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式，以此类推，则出现的总可能方式是：n(n-1)...(n-k+1)种，如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序，因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k！种，分子和分母同时乘以(n-k)！，则该式等于n！/(k！*(n-k)！)，也就是通常的组合公式C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)。
 
        那么对于抛n次硬币，其中正面出现的次数是k，反面出现的次数必然为n-k次，不考虑顺序的情况下，则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k，而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)种，因此，n次抛硬币中恰好出现k次的概率为
 
P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k
 
这就是二项分布的分布律，记作X~B(n,p)，其中C(n,k)是组合数，在数学中也叫二项式系数，这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外，关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p，方差D(X)=n*p*(1-p)，具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。
 
   看一个示例：某人篮球投篮的命中率是0.3，总共投篮10次，问至少投中2次的概率?
 
分析：
 
（1）每次投篮有2种结果，投中或没投中；
 
（2）每次投篮的投中概率是相同的，都为0.3；
 
（3）每次投篮可认为是独立事件。
 
 因此，符合二项分布。
 

 
 
投中次数的概率质量分布
 
   显然，二项分布属于离散型分布。
 
 
   至少2次投中概率即：P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。
 
import numpy as np
import scipy.stats as sps
n = 10
p = 0.3
k = np.arange(n + 1)
PX = sps.binom.pmf(k, n, p)
print(sum(PX[2:]))

 输出结果： 
0.85
 
 
   再看一个例子：某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08，问某社区卫生院在接种该疫苗100人后，少于3人有过敏反应的概率是多少？
 
采用上例中的分析方法，该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应，即求：
 
P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%
 

 
 
   在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等，它们与二项分布之间有什么关系呢？
 
         X~B(n,p)，当n = 1时，二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)，伯努利分布又称为“两点分布”或“0-1分布”，或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例，即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称，又都是二项分布在n=1时的特例。
 

离散分布主要包括3个重要的分布：几何分布、二项分布和泊松分布，这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题，区别和联系。
 
1. 几何分布：
 
问题：查德在任意一次滑雪中（假定每次滑雪都是独立事件）不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2，试问：查德不超过2次就能成功滑到坡底的概率有多大？
 
试滑一次成功的概率 P(X=1)=0.2
 
试滑两次成功的概率为P(X=2)=0.8x0.2=0.16
 
试滑不超过2次就成功的概率为P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36
 
查德滑雪是几何分布的一个实例，几何分布包含以下几个条件：
 
1）进行一系列相互独立的试验
 
2）每一次实验都有成功的可能，也有失败的可能，且单次成功的概率相同
 
3）主要感兴趣的问题是，为例取得第一次成功需要进行多少次试验。
 
成为几何分布，记为：X~Geo(P)
 
进行r次实验取得成功的概率为：
 
                           P(X=r)=pq^r-1
 
其中q=1-p为每次实验失败的概率
 
几何分布第一次试验取得成功的概率是最高的，其概率分布几何形状如下：
 
 
取得第一次成功需要进行r次以上试验的概率：
 
                           P(X>r)=q^r
 
取得第一次成功需要进行r次以下（包括r）试验的概率：
 
                           P(X>r)=1-q^r
 
需要进行多少次试验取得第一次成功的期望：E(X)=1/p
 
需要进行多少次试验取得第一次成功方差：Var(X)=q/p^2
 
 
2. 二项分布：
 
问题：查德在任意一次滑雪中（假定每次滑雪都是独立事件）不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2，试问：查德试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率有多大？
 
0次成功的概率 P(X=0)=0.8^5
 
1次成功的概率P(X=1)=C(5,1)x0.8^4x0.2
 
2次成功的概率P(X=2)=C(5,2)x0.8^3x0.2^2
 
试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率：
 
P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
 
 
查德滑雪是二项分布的一个实例，二项分布包含以下几个条件：
 
1）进行一系列相互独立的试验
 
2）每一次实验都有成功的可能，也有失败的可能，且单次成功的概率相同
 
3）主要感兴趣的问题是，在有限的试验次数中，取得几次成功的概率。
 
条件1）和2）和几何分布一样，只是关心的问题不一样。
 
称为二项分布，记为：X~B(n,p)，其中n为试验次数，p为一次试验取得成功的概率
 
n次试验取得r次成功的概率为：          
 
 
其中q=1-p为每次实验失败的概率，
 
 
二项分布P(X=r)的分布几何形状：
 
 
 
取得成功试验次数的期望:
 
E(X)=np
 
取得成功试验次数的方差：
 
Var(X)=npq
 
 
3. 泊松分布：
 
问题：爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次，或者说爆米花机的平均故障率为3.4，试问：爆米花机器一周不初问题概率有多大？
 
这类问题的难点在于，尽管知道爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次，但实际发生故障的次数不是固定的。专门处理这种问题的分布--泊松分布。
 
泊松分布包括以下条件：
 
1）单独事件在给定区间内随机、独立发生，给定区间可以是时间或者空间，例如一星期或者一英里。
 
2）已经该区间时间平均发生次数（或者叫发生率），且为有限值，通常用lamda表示。
 
称为泊松分布，记为：X~Po(λ)
 
 
对泊松分布，给定区间内，发生r次事件的概率：
 
 
泊松分布的几何形状为：
 
 
在给定区间内，取得成功试验次数的期望:
 
E(X)=λ
 
取得成功试验次数的方差：
 
Var(X)=λ
 
 
回到前面的爆米花机问题，爆米花机一周内不发生故障的概率为
 
P(X=0)=e^-3.4 x 3.4^0/0!=e^-3.4=0.033
 
4）用泊松分布近似二项分布
 
问题：凯特是饼干厂的质量管理员，每块饼干破碎的概率是0.1，求一盒容量为100块的饼干盒子里出现15块碎饼干的概率。
 
是一个二项分布问题，X~(100, 0.1), 求P(X=15)=100!/(15!*85!)*0.1^15*0.9^85, 阶乘数计算太大了，普通计算器容易出现溢出问题。
 
 
 
已知X~B(n, p)，当n很大且p很小时（n>50, p<0.1），可以用X~P0(np)近似X~B(n, p)
 
上述问题就变为求解X~P0(10), P(X=15)的概率，带入泊松分布的概率求解方程即可求解。P(X=15)=e^-10*10^15/15!
 

说起二项分布(binomial distribution)，不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)，也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。
 
   伯努利试验的特点是：
 
（1）每次试验中事件只有两种结果：事件发生或者不发生，如硬币正面或反面，患病或没患病；
 
（2）每次试验中事件发生的概率是相同的，注意不一定是0.5；
 
（3）n次试验的事件相互之间独立。
 
   举个实例，最简单的抛硬币试验就是伯努利试验，在一次试验中硬币要么正面朝上，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一样p=0.5，且每次抛硬币的事件相互独立，即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币，正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个，那么k显然是一个随机变量，这里就称随机变量k服从二项分布。
 
   
 
   我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=n，n次抛硬币中获得k次正面，第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式，则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式，以此类推，则出现的总可能方式是：n(n-1)...(n-k+1)种，如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序，因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k！种，分子和分母同时乘以(n-k)！，则该式等于n！/(k！*(n-k)！)，也就是通常的组合公式C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)。
 
        那么对于抛n次硬币，其中正面出现的次数是k，反面出现的次数必然为n-k次，不考虑顺序的情况下，则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k，而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)种，因此，n次抛硬币中恰好出现k次的概率为
 
P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k
 
这就是二项分布的分布律，记作X~B(n,p)，其中C(n,k)是组合数，在数学中也叫二项式系数，这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外，关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p，方差D(X)=n*p*(1-p)，具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。
 
   看一个示例：某人篮球投篮的命中率是0.3，总共投篮10次，问至少投中2次的概率?
 
分析：
 
（1）每次投篮有2种结果，投中或没投中；
 
（2）每次投篮的投中概率是相同的，都为0.3；
 
（3）每次投篮可认为是独立事件。
 
 因此，符合二项分布。
 
 
投中次数的概率质量分布
 
   显然，二项分布属于离散型分布。
 
 
 
   至少2次投中概率即：P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。
 
输出结果：0.85
 
 
 
   再看一个例子：某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08，问某社区卫生院在接种该疫苗100人后，少于3人有过敏反应的概率是多少？
 
采用上例中的分析方法，该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应，即求：
 
P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%
 
 
 
   在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等，它们与二项分布之间有什么关系呢？
 
         X~B(n,p)，当n = 1时，二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)，伯努利分布又称为“两点分布”或“0-1分布”，或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例，即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称，又都是二项分布在n=1时的特例。
 
 
 
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