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  • 解读“二项” (1)某次事件(试验)最终结果只有两个。 例子:工厂产品质量评估只有合格、不合格两个结果。 (2)某次事件(试验)最终结果多于两个,但只关心其中一个,也可以视为两个结果。 例子:国乒乓球队...

    解读“二项”

    (1)某次事件(试验)最终结果只有两个。

    例子:工厂产品质量评估只有合格、不合格两个结果。

    (2)某次事件(试验)最终结果多于两个,但只关心其中一个,也可以视为两个结果。

    例子:国乒乓球队可能获得金牌、银牌或铜牌,但鉴于我国乒乓球的世界地位,我们

    通常只关心结果:是金牌和不是金牌。

    (3)实际运用中,一般用“成功”表示我们感兴趣的结果发生,“失败”表示我们不感兴趣的

    结果发生。这就是二项分布试验,其概率分布称为二项分布。

     

    公式

    某个试验成功的概率用p表示,失败的概率用q表示(q=1-p)。进行n次同样的试验,成功了

    x次,失败次数为n-x。

    上面的公式称为概率质量函数;概率由实验次数n和成功概率p决定。二项分布的概率质量函数

    可以简写成 X~B(n,p)。

    性质

    (1)均值:np  方差:npq

             通过单次试验推导:

    (2)图形变化规律

    成功概率p越接近0.5,失败概率q也越接近0.5,二项分布将越对称。

    保持试验次数n次不变,p越接近0.5,近似于均值为np、方差为npq的正态分布。

    当np>5且nq>5时,二项分布就可以近似等于均值为np,方差为npq的正态分布。

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  • 二项分布

    万次阅读 多人点赞 2016-09-16 21:13:13
    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。   伯努利试验的特点是: (1)...

           

       说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)n次独立重复试验伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是

    (1)每次试验事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

     

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=nn次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n/(k*(n-k)),也就是通常的组合公式C(n,k)=n/(k*(n-k))

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n/(k*(n-k))种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。


    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    import numpy as np
    import scipy.stats as sps
    n = 10
    p = 0.3
    k = np.arange(n + 1)
    PX = sps.binom.pmf(k, n, p)
    print(sum(PX[2:]))

    输出结果:

    0.85

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%


       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p)n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)伯努利分布又称为两点分布0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

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  • Sheet1alternative:true是分布函数;false是密度函数统计变量形状参数特征寿命分布函数密度函数尺寸参数结果1结果2结果3结果4结果1结果2结果3结果4tB1B2B3B4Talte
  • 离散分布主要包括3个重要的分布:几何分布二项分布和泊松分布,这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题,区别和联系。 1. 几何分布: 问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利...

    离散分布主要包括3个重要的分布:几何分布、二项分布和泊松分布,这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题,区别和联系。

    1. 几何分布:

    问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德不超过2次就能成功滑到坡底的概率有多大?

    试滑一次成功的概率 P(X=1)=0.2

    试滑两次成功的概率为P(X=2)=0.8x0.2=0.16

    试滑不超过2次就成功的概率为P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36

    查德滑雪是几何分布的一个实例,几何分布包含以下几个条件:

    1)进行一系列相互独立的试验

    2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同

    3)主要感兴趣的问题是,为例取得第一次成功需要进行多少次试验。

    成为几何分布,记为:X~Geo(P)

    进行r次实验取得成功的概率为:

                               P(X=r)=pq^r-1

    其中q=1-p为每次实验失败的概率

    几何分布第一次试验取得成功的概率是最高的,其概率分布几何形状如下:

    取得第一次成功需要进行r次以上试验的概率:

                               P(X>r)=q^r

    取得第一次成功需要进行r次以下(包括r)试验的概率:

                               P(X>r)=1-q^r

    需要进行多少次试验取得第一次成功的期望:E(X)=1/p

    需要进行多少次试验取得第一次成功方差:Var(X)=q/p^2

    2. 二项分布:

    问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率有多大?

    0次成功的概率 P(X=0)=0.8^5

    1次成功的概率P(X=1)=C(5,1)x0.8^4x0.2

    2次成功的概率P(X=2)=C(5,2)x0.8^3x0.2^2

    试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率:

    P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

    查德滑雪是二项分布的一个实例,二项分布包含以下几个条件:

    1)进行一系列相互独立的试验

    2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同

    3)主要感兴趣的问题是,在有限的试验次数中,取得几次成功的概率。

    条件1)和2)和几何分布一样,只是关心的问题不一样。

    称为二项分布,记为:X~B(n,p),其中n为试验次数,p为一次试验取得成功的概率

    n次试验取得r次成功的概率为:          

    其中q=1-p为每次实验失败的概率,

    二项分布P(X=r)的分布几何形状:

    取得成功试验次数的期望:

    E(X)=np

    取得成功试验次数的方差:

    Var(X)=npq

    3. 泊松分布:

    问题:爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,或者说爆米花机的平均故障率为3.4,试问:爆米花机器一周不初问题概率有多大?

    这类问题的难点在于,尽管知道爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,但实际发生故障的次数不是固定的。专门处理这种问题的分布--泊松分布。

    泊松分布包括以下条件:

    1)单独事件在给定区间内随机、独立发生,给定区间可以是时间或者空间,例如一星期或者一英里。

    2)已经该区间时间平均发生次数(或者叫发生率),且为有限值,通常用lamda表示。

    称为泊松分布,记为:X~Po(λ)

    对泊松分布,给定区间内,发生r次事件的概率:

    泊松分布的几何形状为:

    在给定区间内,取得成功试验次数的期望:

    E(X)=λ

    取得成功试验次数的方差:

    Var(X)=λ

    回到前面的爆米花机问题,爆米花机一周内不发生故障的概率为

    P(X=0)=e^-3.4 x 3.4^0/0!=e^-3.4=0.033

    4)用泊松分布近似二项分布

    问题:凯特是饼干厂的质量管理员,每块饼干破碎的概率是0.1,求一盒容量为100块的饼干盒子里出现15块碎饼干的概率。

    是一个二项分布问题,X~(100, 0.1), 求P(X=15)=100!/(15!*85!)*0.1^15*0.9^85, 阶乘数计算太大了,普通计算器容易出现溢出问题。

     

    已知X~B(n, p),当n很大且p很小时(n>50, p<0.1),可以用X~P0(np)近似X~B(n, p)

    上述问题就变为求解X~P0(10), P(X=15)的概率,带入泊松分布的概率求解方程即可求解。P(X=15)=e^-10*10^15/15!

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  • 二项分布的基本概念

    万次阅读 2016-11-14 10:48:31
    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。  伯努利试验的特点是: (1)...

    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)n次独立重复试验伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是

    (1)每次试验事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5;

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=n,n次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n!/(k!*(n-k)!),也就是通常的组合公式C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)。

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3;

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。

    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

     

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    输出结果:0.85

     

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%

     

       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p),当n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)伯努利分布又称为“两点分布0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

     

    转发自:http://blog.csdn.net/saltriver/article/details/52557709?locationNum=1&fps=1

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二项分布的应用实例