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  • 样本均值的抽样分布One of the most important concepts discussed in the context of inferential data analysis is the idea of sampling distributions. Understanding sampling distributions helps us better ...

    样本均值的抽样分布

    One of the most important concepts discussed in the context of inferential data analysis is the idea of sampling distributions. Understanding sampling distributions helps us better comprehend and interpret results from our descriptive as well as predictive data analysis investigations. Sampling distributions are also frequently used in decision making under uncertainty and hypothesis testing.

    在推论性数据分析的背景下讨论的最重要的概念之一是采样分布的想法。 了解采样分布有助于我们更好地理解和解释描述性和预测性数据分析调查的结果。 抽样分布也经常用于不确定性和假设检验的决策中。

    什么是抽样分布? (What are sampling distributions?)

    You may already be familiar with the idea of probability distributions. A probability distribution gives us an understanding of the probability and likelihood associated with values (or range of values) that a random variable may assume. A random variable is a quantity whose value (outcome) is determined randomly. Some examples of a random variable include, the monthly revenue of a retail store, the number of customers arriving at a car wash location on any given day, the number of accidents on a certain highway on any given day, weekly sales volume at a retail store, etc. Although the outcome of a random variable is random, the probability distribution allows us to gain and understanding about the likelihood and probabilities of different values occurring in the outcome. Sampling distributions are probability distributions that we attach to sample statistics of a sample.

    您可能已经熟悉概率分布的概念。 概率分布使我们对与随机变量可能采用的值(或值的范围)相关的概率和似然性有所了解。 随机变量是其值(结果)是随机确定的数量。 随机变量的一些示例包括:零售商店的月收入,在任何给定的一天到达洗车地点的顾客数量,在任何给定的一天在特定高速公路上发生的事故数量,在零售店的每周销量尽管随机变量的结果是随机的,但概率分布使我们获得并了解结果中出现的不同值的可能性和概率。 抽样分布是我们附加到样本的样本统计量的概率分布。

    样本均值作为样本统计量 (Sample mean as a sample statistic)

    A sample statistic (also known simply as a statistic) is a value learned from a sample. Here is an example, suppose you collect the results of a survey filled out by 250 randomly selected individuals who live in a certain neighborhood. Based on the survey results you realize that the average annual income of the individuals in this sample is $82,512. This is a sample statistic and is denoted by x̅ = $82,512. The sample mean is also a random variable (denoted by X̅) with a probability distribution. The probability distribution for X̅ is called the sampling distribution for the sample mean. Sampling distribution could be defined for other types of sample statistics including sample proportion, sample regression coefficients, sample correlation coefficient, etc.

    样本统计量(也简称为统计量)是从样本中学到的值。 这是一个示例,假设您收集由居住在某个社区中的250个随机选择的个人填写的调查结果。 根据调查结果,您会发现此样本中的个人平均年收入为$ 82,512。 这是一个样本统计量,用x̅= $ 82,512表示。 样本均值也是具有概率分布的随机变量(用X表示)。 X̅的概率分布称为样本均值的采样分布。 可以为其他类型的样本统计定义样本分布,包括样本比例,样本回归系数,样本相关系数等。

    You might be wondering why X̅ is a random variable while the sample mean is just a single number! The key to understanding this lies in the idea of sample to sample variability. This idea refers to the fact that samples drawn from the same population are not identical. Here’s an example, suppose in the example above, instead of conducting only one survey of 250 individuals living in a particular neighborhood, we conducted 35 samples of the same size in that neighborhood. If we calculated the sample mean for each of the 35 samples, you would be getting 35 different values. Now suppose, hypothetically, we conducted many many surveys of the same size in that neighborhood. We would be getting many many (different) values for sample means. The distribution resulting from those sample means is what we call the sampling distribution for sample mean. Thinking about the sample mean from this perspective, we can imagine how X̅ (note the big letter) is the random variable representing sample means and (note the small letter) is just one realization of that random variable.

    您可能想知道为什么X̅是一个随机变量,而样本均值只是一个数字! 理解这一点的关键在于样本之间的差异性 。 这个想法指的是从相同总体中抽取的样本不完全相同的事实。 这是一个示例,假设在上面的示例中,我们没有对居住在特定社区中的250个人进行一次调查,而是在该社区中进行了35个相同大小的样本。 如果我们为35个样本中的每个样本计算样本均值 ,您将获得35个不同的值。 现在假设,我们在该邻里进行了许多相同规模的调查。 我们将获得许多(不同)样本均值值。 由这些样本均值得出的分布就是所谓的样本均值的采样分布。 从这个角度考虑样本均值,我们可以想象X̅(注意大字母)是代表样本均值和 (注意小字母)的随机变量的方式。 只是该随机变量的一种实现。

    样本均值的抽样分布 (Sampling distribution of the sample mean)

    Assuming that X represents the data (population), if X has a distribution with average μ and standard deviation σ, and if X is approximately normally distributed or if the sample size n is large,

    假设X代表数据(种群),如果X具有平均μ和标准差σ的分布,并且X近似呈正态分布,或者样本量n大,

    Image for post

    The above distribution is only valid if,

    以上分配仅在以下情况下有效:

    • X is approximately normal or sample size n is large, and,

      X近似正常样本大小n大,并且,

    • the data (population) standard deviation σ is known.

      数据(种群)标准偏差σ是已知的。

    If X is normal, then X̅ is also normally distributed regardless of the sample size n. Central Limit Theorem tells us that even if X is not normal, if the sample size is large enough (usually greater than 30), then X̅’s distribution is approximately normal (Sharpe, De Veaux, Velleman and Wright, 2020, pp. 318–320). If X̅ is normal, we can easily standardize and convert it to the standard normal distribution Z.

    如果X是正态的,则X′也将呈正态分布,而与样本大小n无关。 中心极限定理告诉我们,即使X不是正态的,如果样本量足够大(通常大于30),则X的分布近似正态(Sharpe,De Veaux,Velleman和Wright,2020年,第318-320页) )。 如果X̅是正态的,我们可以轻松地将其标准化并将其转换为标准正态分布Z。

    If the population standard deviation σ is not known, we cannot assume that the sample mean X̅ is normally distributed. If certain conditions are satisfied (explained below), then we can transform X̅ to another random variable t such that,

    如果总体标准差σ是知道,我们不能假设样本均值的正态分布。 如果满足某些条件(如下所述),那么我们可以将X transform转换为另一个随机变量t,这样,

    Image for post

    The random variable t is said to follow the t-distribution with n-1 degrees of freedom, where n is the sample size. The t-distribution is bell-shaped and symmetric (just like the normal distribution) but has fatter tails compared to the normal distribution. This means values further away from the mean have a higher likelihood of occurring compared to that in the normal distribution.

    据说随机变量t跟随t分布具有n-1个自由度,其中n是样本大小。 t分布呈钟形且对称(就像正态分布一样),但与正态分布相比,其尾部更胖。 这意味着与正态分布相比,远离平均值的值出现的可能性更高。

    The conditions to use the t-distribution for the random variable t are as follows (Sharpe et al., 2020, pp. 415–420):

    将t分布用于随机变量t的条件如下(Sharpe等人,2020年,第415-420页):

    • If X is normally distributed, even for small sample sizes (n<15), the t-distribution can be used.

      如果X是正态分布的,即使对于小样本量( n < 15),也可以使用t分布。

    • If the sample size is between 15 and 40, the t-distribution can be used as long as X is unimodal and reasonably symmetric.

      如果样本大小在15到40之间,则只要X是单峰且合理对称,就可以使用t分布。
    • For sample sizes greater than 40, the t-distribution can be used unless X’s distribution is heavily skewed.

      对于大于40的样本,除非X的分布严重偏斜,否则可以使用t分布。

    用Python模拟 (Simulation with Python)

    Let’s draw a sample of size n=250 from the normal distribution. Here we are assuming that our data is normally distributed and has parameters μ = 20 and σ = 3. Collecting one sample from this population

    让我们从正态分布中绘制一个大小为n = 250的样本。 这里我们假设我们的数据是正态分布的,并且参数μ= 20和σ=3。从该总体中收集一个样本

    Running this code once gives me one instance (or realization) of the random variable X̅. Below are 10 values for after I ran this code 10 times.

    运行此代码一次,便为我提供了随机变量X̅的一个实例(或实现)。 在我运行此代码10次后,下面是x̅的 10个值。

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    But if I ran this code 10,000 times and recorded the values of and plotted the frequency (or density) of the values, I would get the following result.

    但是,如果我运行此代码10,000次并记录了x values的值并绘制了这些值的频率(或密度),我将得到以下结果。

    Image for post
    The distribution of the sample mean (image by author).
    样本均值的分布(作者提供的图像)。

    As you can see, the distribution is approximately symmetric and bell-shaped (just like the normal distribution) with an average of approximately 20 and a standard error that is approximately equal to 3/sqrt(250) = 0.19.

    如您所见,分布近似对称且呈钟形(就像正态分布一样),平均分布约20,标准误差约等于3 / sqrt(250)= 0.19。

    Sampling from the same population with different sample sizes will result in different measures of spread in the outcome distribution. As we expect, increasing the sample size will reduce the standard error and therefore, the distribution will be narrower around its average. Note that the distribution of X̅ is normal even for extremely small sample sizes. This is because X is normally distributed.

    从具有不同样本量的同一总体中进行采样将导致结果分布中差异的度量不同。 正如我们所期望的,增加样本量将减少标准误差,因此,分布将在其平均值附近变窄。 请注意,即使样本量非常小,X̅的分布也是正常的。 这是因为X是正态分布的。

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    The effect of sample size on the standard error of the distribution for the sample mean (image by author).
    样本量对样本均值分布的标准误差的影响(作者提供的图像)。

    如果总体(数据)不正常怎么办? (What if the population (data) is not normal?)

    No worries! Even if your data is not normally distributed, if the sample size is large enough, the distribution of X̅ can still be approximated using the normal distribution (according to Central Limit Theorem). The following figure shows the distribution of X̅ when X is heavily skewed to the left. As you can see, X̅’s distribution tends to mimic the distribution of X for small sample sizes. However, as sample size grows the distribution of X̅ becomes more symmetric and bell-shaped. As mentioned above, if sample size is large (usually larger than 30), X̅’s distribution is approximately normal regardless of what the distribution of X is.

    别担心! 即使您的数据不是正态分布的,如果样本量足够大,仍可以使用正态分布(根据中心极限定理)来近似估计X̅的分布。 下图显示了X严重偏向左侧时X̅的分布。 如您所见,对于小样本量,X̅的分布趋向于模仿X的分布。 但是,随着样本量的增加,X 1的分布变得更加对称和呈钟形。 如上所述,如果样本量较大(通常大于30),则X的分布近似为正态,而与X的分布无关。

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    X̅’s distribution is normal for large sample sizes, even when X has a skewed distribution (image by author).
    X的分布对于大样本量而言是正常的,即使X的分布​​偏斜(作者提供的图像)。

    示例和应用 (Example and applications)

    Knowing the distribution of X̅ can help us solve problems, where we need to use inferential data analysis to make decisions under uncertainty. Many business problems require decision making tools that are able to address the stochastic and probabilistic nature of random event. Hypothesis testing is one of those tools frequently used in many different business domains including retail operations, marketing, quality assurance, etc.

    知道X̅的分布可以帮助我们解决问题,在这种情况下,我们需要使用推断数据分析来在不确定的情况下做出决策。 许多业务问题都需要决策工具,这些工具必须能够解决随机事件的随机性和概率性。 假设检验是许多不同业务领域(包括零售运营,市场营销,质量保证等)中经常使用的工具之一。

    For example, suppose a retail store has run a major marketing campaign and is interested to investigate the effects of the campaign on average sales of the store. Suppose that the management would like to investigate if average daily sales is now greater than $8,000. The following hypotheses demonstrate this research question:

    例如,假设一家零售商店进行了一次大规模的营销活动,并且有兴趣调查该活动对商店平均销售额的影响。 假设管理层想调查现在的平均每日销售额是否大于8,000美元。 以下假设证明了该研究问题:

    Image for post

    Note that we are conducting a test on the population average sales, hence the μ. To address the test, suppose we record sales volumes over 40 days (sample with n=40) and calculate the required statistics. Suppose the average and standard deviation of daily sales volumes are calculated as x̅=$8,100 and s=$580, respectively. Since the value of σ is not known, and given that the above hypothesis test is being addressed, we can convert X̅ to the random variable t with n-1=39 degrees of freedom where,

    请注意,我们正在对人口平均销售额(即μ)进行测试。 为了进行测试,假设我们记录了40天的销售量( n = 40的样本)并计算所需的统计数据。 假设每日销售量的平均偏差和标准偏差分别计算为x̅= $ 8,100s = $ 580 。 由于σ的值未知,并且鉴于上述假设检验正在解决,我们可以将X̅转换为n-1 = 39自由度的随机变量t ,其中,

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    To address the test, we need to find the p-value associated with the test. This property is calculated as,

    要处理该测试,我们需要找到与该测试关联的p值。 此属性的计算公式为

    Image for post

    The probability density function for the random variable t along with the p-value of the test are depicted below.

    下面描述了随机变量t的概率密度函数以及检验的p值。

    Image for post
    The p-value for the test is highlighted in the picture (image by author).
    图片的高亮显示了测试的p值(作者提供的图像)。

    The following will find the p-value for the test.

    以下将找到测试的p值。

    The calculations give a p-value equal to approximately 0.14. By most standards (significance levels), this is a large p-value indicating that we fail to reject the null hypothesis. In other words, based on the distribution of X̅ and the sample collected, we cannot conclude that the average daily sales volume at the retail store, μ, is greater than $8000. This calculation was possible only because we knew what the distribution of X̅ was.

    计算得出的p值大约等于0.14。 按照大多数标准(显着性水平),这是一个很大的p值,表明我们无法拒绝原假设。 换句话说,根据X的分布和收集的样本,我们不能得出结论,零售商店的平均日销售量μ大于$ 8000。 仅因为我们知道X̅的分布是什么,才可能进行此计算。

    Sampling distributions could be defined for other sample statistics (e.g., sample proportions, regression predictor coefficients, etc.) and are also used in other contexts like confidence and prediction intervals or inferential analysis on regression results.

    可以为其他样本统计数据(例如,样本比例,回归预测系数等)定义采样分布,也可以在其他情况下使用采样分布,例如置信度和预测区间或对回归结果进行推论分析。

    [1]: Sharpe N. R., De Veaux R. D., Velleman P. F., Wright D. (2020) Business Statistics, Fourth Canadian Edition. Pearson Canada Inc.

    [1]:Sharpe NR,De Veaux RD,Velleman PF,Wright D.(2020) 商业统计,加拿大第四版 。 培生加拿大公司

    翻译自: https://towardsdatascience.com/sampling-distribution-sample-mean-fcf69484535e

    样本均值的抽样分布

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  • 在数理统计的学习中,有一个重要的结论,即对于正态分布而言,样本均值和样本方差是独立的。这个结论初看起来是有些让人吃惊的,因为直观上样本方差依赖于样本均值。对此结论,很多教材一般通过构造正交变换来进行...

    前记:假期开始后,主要精力放在了科研上,最近终于抽点时间写点更新。

    在数理统计的学习中,有一个重要的结论,即对于正态分布而言,样本均值和样本方差是独立的。这个结论初看起来是有些让人吃惊的,因为直观上样本方差依赖于样本均值。对此结论,很多教材一般通过构造正交变换来进行论证。但这种证明方式技巧性较强,不易于被学生理解和掌握。本文尝试对此结论给出一个简易的证明。

    定理: 设随机样本

    服从正态分布
    ,样本均值
    且样本方差
    ,则
    1. 相互独立;
    2. 服从
    3. 服从卡方分布
      .

    结论2易得,以下仅证明结论1和3。

    证明: 为证明结论1,首先给出三个引理如下:

    引理1:对任一

    ,
    .

    证明:注意到:

    这里

    从而

    引理2: 对任一

    ,
    服从二元正态分布.

    证明:由引理1的证明可知:

    服从多元正态分布,而多元正态分布的线性变换仍然是正态分布,故此引理得证。

    引理3: 对于二元正态分布,协方差为0等价于独立。

    证明:协方差为0等价于联合密度等于边际密度乘积等价于独立,得证。

    由上述引理1—3,易知对任一

    ,
    是相互独立的。而
    的函数,故仍与
    独立。结论1得证。

    接下来考虑结论3。注意到

    也就是

    等式左边是

    项独立标准正态分布的平方和,故服从
    ,而等式右边第二项是1项标准正态分布的平方和,故服从
    。又由于等式右边的两项是相互独立的,故结论3得证。

    上述证明的核心是基于多元正态分布的典型性质,即不相关和独立等价,从而我们仅需证明变量不相关即可,使得独立性的证明变得简单易懂。

    另外样本均值和样本方差的独立性也可根据Basu’s theorem得到。但Basu’s theorem涉及辅助统计量和完全充分统计量等概念,在此不做详述。

    本文所讨论的定理具有非常显著的统计学意义。实际上,由此定理可导出t分布和F分布等重要的理论分布,该定理是统计学中关于均值和方差的统计推断的理论基础。

    本文主要参考George Casella和Roger Berger所著《统计推断》中定理5.3.1的讨论。

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  • 样本均值的抽样分布的均值问题

    千次阅读 2018-02-05 17:08:45
    为什么用样本均值来作为总体均值的估计? 这样真的好吗?如果好,到底好到什么程度。 目的 本文用来解释下面这句话(本人对下面这句话的逻辑一开始是不接受的,故而写文记录,以分享个人的逻辑理解): ...

    声明: 仅仅个人小记
    为什么用样本均值来作为总体均值的估计?
    这样真的好吗?如果好,到底好到什么程度。

    目的

    本文用来解释下面这句话(本人对下面这句话的逻辑一开始是不接受的,故而写文记录,以分享个人的逻辑理解):
    x ˉ \bar{x} xˉ落在 μ \mu μ的2个 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ左右范围的概率
    等价于
    μ \mu μ落在 x ˉ \bar{x} xˉ的2个 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ左右范围的概率

    正文

    正态分布,从正态分布中随机取出一个值,该值落在 ( μ − σ , μ + σ ) \left ( \mu -\sigma ,\mu +\sigma \right ) (μσ,μ+σ)的概率为68%,落在 ( μ − 2 σ , μ + 2 σ ) \left( \mu -2\sigma, \mu + 2\sigma \right) (μ2σ,μ+2σ)的概率为95.4%,落在 ( μ − 3 σ , μ + 3 σ ) \left( \mu - 3\sigma , \mu +3 \sigma \right) (μ3σ,μ+3σ)的概率为99.7%。

    我们知道样本均值的抽样分布,随着样本容量n的增大,愈而趋向正态分布(这是中心极限定理(Central Limit Theory)告知我们的),而且该分布的均值正是总体均值,这一点不是估算的,而是本来就是,容易理解。

    结合实际,我们生活中采集一批数据,比如100人的身高数据,可以视为总体身高的一个样本数据;1000人的体重数据,可以视为总体体重的一个样本数据;

    而根据样本均值的抽样分布知道,样本均值服从样本均值的抽样分布,也就是,100人身高的均值是服从一个近似正态分布的。 利用正态分布的性质,我们可以值多少,100人身高的均值 x ˉ \bar{x} xˉ落在该分布均值 μ \mu μ周围的多少范围的概率都是可以很容易得到的。

    x ˉ \bar{x} xˉ是服从抽样分布的一次取值,故而知道 x ˉ \bar{x} xˉ落在 ( μ − 2 σ , μ + 2 σ ) \left ( \mu-2\sigma,\mu+2\sigma\right) (μ2σ,μ+2σ)的概率为95.4%,故而不等式 μ − 2 σ x ˉ &lt; x ˉ &lt; μ + 2 σ x ˉ \mu-2\sigma _{\bar{x}}&lt;\bar{x}&lt;\mu+2\sigma _{\bar{x}} μ2σxˉ<xˉ<μ+2σxˉ成立的概率就是95.4%。这个不等式的语义为 x ˉ \bar{x} xˉ落在 μ \mu μ的2个 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ左右范围的概率为95.4%。这个不等式里的未知数是 μ \mu μ x ˉ \bar{x} xˉ就是本次的样本均值。还有就是 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ,这个是根据最大似然估计的思想,认为样本方差就是总体方差。于是不等式可以变换为 x ˉ − 2 σ x ˉ &lt; μ &lt; x ˉ + 2 σ x ˉ \bar{x}-2\sigma _{\bar{x}}&lt;\mu&lt;\bar{x}+2\sigma _{\bar{x}} xˉ2σxˉ<μ<xˉ+2σxˉ,这个不等式成立的概率为95.4%,语义上完全等价的变为, μ \mu μ落在 x ˉ \bar{x} xˉ周围2个 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ的概率为95.4%。计算出 σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ,得到 μ \mu μ的95.4%的置信区间,通常随着样本容量n增大, σ x ˉ \sigma _{\bar{x}} σxˉ越小,也就意味着样本容量越大,用 x ˉ \bar{x} xˉ来作为 μ \mu μ的估计是非常合理的。

    所以,面对样本均值的抽样分布问题的时候,我们会直接用样本均值作为总体均值的估计,也就是抽样分布的均值的估计。这是一件很合理的事情,也是逻辑上比较有说服力的事情。

    当然,样本均值的抽样分布一共有两个参数需要估计,上面所讲的只是均值的估计。至于标准差的估计,只是运用了最大似然估计的方法(我认为这种方法只是一种猜测,不过也还是具有一定的说服力的)。总体 σ ^ = s \hat{\sigma}=s σ^=s(s为样本标准差),根据中心极限定理知道,样本均值的抽样分布的标准差 σ x ˉ = σ n \sigma _{\bar{x}}=\frac {\sigma}{\sqrt{n}} σxˉ=n σ

    2018年2月5日 16:59:44 By Jack Lu

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  • 数学期望:随机变量的平均取值的大小 一个概率性事件的平均大小:盒子里没球的概率0.01 1个球的概率:...越大说明密度越大 概率密度分布:某事件发生概率的分布 离散型分布二项分布,泊松分布 连续型分布:指数分...

    数学期望:随机变量的平均取值的大小 一个概率性事件的平均大小:盒子里没球的概率0.01 1个球的概率:0.7 2个球概率0.2,3个球的概率0.09

    一个各自最有可能的球数:0.01*0+0.7*1+0.2*2+0.09*3 = 1.37

    概率密度: 某种事物发生的概率占总概率1的比例,越大说明密度越大

    概率密度分布:某事件发生概率的分布

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    • 离散型分布:二项分布,泊松分布
    • 连续型分布:指数分布,正态分布,卡方分布,t分布,F分布(后三个也属于抽样分布)
    • 抽样分布只与自由度有关:即(抽样)样本含量

    1.二项分布

    重复试验:每种结果概率恒定

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    所有概率组成一个分布:二项分布

    2.泊松分布

    一个单位(时间,空间,面积等)某稀有事件发生的概率:

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    所有概率组成一个分布:泊松分布

    产生条件:随机事件相继出现:符合平稳性,无后效性,普通性

    平稳性:在任意时间区间内,事件发生k次法概率只依赖于区间的长度而与区间端点无关。

    无后效性:在不相重叠的时间段内,事件发生是相互独立的。

    普通性:如果时间区间充分小,事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计。

    二项分布在事件发生的概率很小,重复次数很大的情况下,分布接近泊松分布。


    1. 均匀分布

    连续型均匀分布:

    可能的结果是连续的,每种可能概率相等

    离散型均匀分布:n中可能的结果,每种可能概率相等

    2.指数分布

    用于表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔

    • 连续性分布,每个点的概率

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    无记忆性:已经有历史数据,但是发生概率与未发生的事件的发生概率相同

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    3.正态分布

    • 描述一个群体的某个指标
    • 指标连续
    • 特定指标在整个群体都有一个概率

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    所有概率组成一个分布:正态分布

    中心极限定理:

    不论总体的分布形式如何,只有样本(抽样样本)含量n足够大,样本均数的分布近似正态分布,均数与总体均数相等,标准差为 总体标准差/n的开方。

    由此:t分布,F分布,卡方分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。

    4.t分布

    • 总体样本为正态分布(抽样样本含量小时:要求为正态分布;较大时由于中心极限定理,近似正态分布,因而差值的概率也呈正态分布,实际上t分布的每条曲线都是正态分布曲线。
    • 从总体样本中抽样很多小样本,每个小样本有一个均值,均值与总体均值有差值t,差值用t估计。
    • 可能很多差值估计都是t,t出现的次数占所有小样本的比例:概率,所有t值的概率分布:t分布的一个曲线
    • 另外做个抽样,每个小样本包含的观测数不同,形成t分布的另外一个曲线。
    • t分布只与自由度有关,自由度越大,越接近正态分布,自由度:抽样小样本的具体观测值的个数(抽样样本含量)-1

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    5.卡方分布(chi square distribution):

    • 从总体样本中抽样很多小样本,观测值平方后求和:卡方,重复抽样获得多个卡方值。
    • 可能很多卡方都是相同,相同卡方出现的次数占总次数的比例:概率,所有概率组成的分布:卡方分布的一个曲线。
    • 另外做个抽样,选取每个小样本包含的观测数不同,形成卡方分布的另外一个曲线。
    • 其余自由度,样本要求同t分布相同,这里也只是将差值换做卡方。
    • 卡方的概率密度分布图:

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    6.F分布

    • 两总体样本方差比的分布。
    • 抽取两个样本,两个样本的观测数可以相同也可不同,分别计算卡方,新变量F:重复抽样获得多个F值。
    • 可能很多F值都是相同,相同F值出现的次数占总次数的比例:概率,所有概率组成的分布:F分布的一个曲线。
    • 其余与t分布相同。

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    t分布:在推算总体平均值时,基于样本平均数的抽样分布。

    卡方分布:用样本方差估计总体方差时,必须已知样本方差的抽样方差。

    F分布:比较两个总体方差比是否相等时,必须已知样本方差的联合抽样分布。

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二项分布的样本均值