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  • 泊松分布和指数分布

    万次阅读 2016-11-10 10:09:38
    一、先摆出泊松分布表达式:P(x=k;λ)=λkk!e−λP(x=k;\lambda) = \frac{\lambda^k}{k!...一本书里,印刷错误的字的个数: 其中参数λ由二项分布的期望np决定,λ=np,表示该时间(空间)段内的事件发生的频率

    一、先摆出泊松分布表达式:

    P(x=k;λ)=λkk!eλ

    泊松分布的意义:

      首先,泊松分布的描述对象是“离散随机变量”;

      泊松分布是描述特定时间或者空间中事件的分布情况。
      

    1.一本书里,印刷错误的字的个数:

      其中参数λ由二项分布的期望np决定,λ=np,表示该时间(空间)段内的事件发生的频率。这个例子中,表示一般情况下,书内(空间)的出错的频率(期望),n代表所有的字数,p代表印刷错误的概率,k表示印刷错的字数。刚好这个例子包含了,当n很大,p很小的时候,二项分布的极限是泊松分布。因为这个例子同样可以用二项分布的角度来解释:每印刷一个字,表示一次伯努利实验(n代表所有的字数,p代表印刷错误的概率,k表示印刷错的字数。

      当n继续变大,为连续变量的时候,二项分布的极限又成了正态分布(正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布)。

    2.一段时间内的次品率;

    3.某医院平均每小时出生的婴儿数;

    4.某网站每分钟的访问次数;

      注意这里的λ为一段时间内的期望,如果待研究的时间段变化了,λ也要跟着变。比如医院平均每小时出生的婴儿数的参数为λ,则“医院平均每两个小时出生的婴儿数”的参数为2λ,则每两个小时医院出身的婴儿个数为k的概率为:

    P(x=k;λ)=(2λ)kk!e2λ

    泊松分布的柱状图类似正太分布的形状,在 k = λ 的时候概率最大。

    二、指数分布

    概率密度函数:

    f(x)=1θex/θ,x>0

    分布函数:

    P(Xx)=F(x)=1ex/θ,x0

    其中θ>0为常数,则称X服从参数θ的指数分布。

    指数分布的意义:

      首先,指数分布的描述对象是“连续型随机变量”;

      指数分布是泊松过程的事件间隔的分布:泊松分布表示的是事件发生的次数,“次数”这个是离散变量,所以泊松分布是离散随机变量的分布;指数分布是两件事情发生的平均间隔时间,“时间”是连续变量,所以指数分布是一种连续随机变量的分布。

      指数分布的期望为E(X)=θ=1/λ,对,这里的λ的含义就是泊松分布中的λ。如果你平均每个小时接到2次电话(Θ=2),那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时(λ=1/Θ=0.5)。

    指数分布的主要特点是“无记忆性”:P(T>s+t|T>t)=p(T>s)

    即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等.(注意:指数分布的这种特性,与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的,它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以,指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。)

    指数分布的实例有:

      1.旅客进机场的时间间隔;

      2.网站访问的时间间隔;

      3.婴儿出生的时间间隔。

    一句话总结:

      泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布,指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。注意,泊松分布和指数分布的前提是”独立事件”,事件之间不能有关联,否则就不能运用上面的公式。

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    事实上,棣莫弗早在1730年~1733年间便已从二项分布逼近的途径得到了正态密度函数的形式,到了1780年后,拉普拉斯也推出了中心极限定理的一般形式,但无论是棣莫弗,还是拉普拉斯,此时他们这些研究成果都还只是一个数学表达式而非概率分布,也就是压根就还没往误差概率分布的角度上去思索,而只有到了1809年,高斯提出“正太误差”的理论之后,它正太理论才得以“概率分布“的身份进入科学殿堂,从而引起人们的重视。

    追本溯源,正态分布理论这条大河的源头归根结底是测量误差理论。那高斯到底在正态分布的确立做了哪些贡献呢?请看下文。

    1801年1月,天文学家Giuseppe Piazzi发现了一颗从未见过的光度8等的星在移动,这颗现在被称作谷神星(Ceres)的小行星在夜空中出现6个星期,扫过八度角后在就在太阳的光芒下没了踪影,无法观测。而留下的观测数据有限,难以计算出他的轨道,天文学家也因此无法确定这颗新星是彗星还是行星,这个问题很快成了学术界关注的焦点。高斯当时已经是很有名望的年轻数学家了,这个问题也引起了他的兴趣。高斯一个小时之内就计算出了行星的轨道,并预言了它在夜空中出现的时间和位置。1801年12月31日夜,德国天文爱好者奥伯斯(Heinrich Olbers)在高斯预言的时间里,用望远镜对准了这片天空。果然不出所料,谷神星出现了!

    在这里插入图片描述

    高斯为此名声大震,但是高斯当时拒绝透露计算轨道的方法直到1809年高斯系统地完善了相关的数学理论后,才将他的方法公布于众,而其中使用的数据分析方法,就是以正态误差分布为基础的最小二乘法。那高斯是如何推导出误差分布为正态分布的呢?请看下文。

    跟上面一样,还是设真值为在这里插入图片描述,而在这里插入图片描述为n次独立测量值,每次测量的误差为在这里插入图片描述,假设误差ei的密度函数为f(e),则测量值的联合概率为n个误差的联合概率,记为
    在这里插入图片描述
    到此为止,高斯的作法实际上与拉普拉斯相同,但在继续往下进行时,高斯提出了两个创新的想法。

    第一个创新的想法便是:高斯并没有像前面的拉普拉斯那样采用贝叶斯的推理方式,而是直接取L(θ)达到最小值的在这里插入图片描述作为在这里插入图片描述的估计值,这也恰恰是他解决此问题采用的创新方法,即
    在这里插入图片描述

    现在我们把L(θ)称为样本的似然函数,而得到的估计值θˆ称为极大似然估计。高斯首次给出了极大似然的思想,这个思想后来被统计学家R.A.Fisher系统地发展成为参数估计中的极大似然估计理论。

    高斯的第二点创新的想法是:他把整个问题的思考模式倒过来,既然千百年来大家都认为算术平均是一个好的估计,那么就直接先承认算术平均就是极大似然估计(换言之,极大似然估计导出的就应该是算术平均),所以高斯猜测:
    在这里插入图片描述

    然后高斯再去寻找相应的误差密度函数f以迎合这一点。即寻找这样的概率分布函数f,使得极大似然估计正好是算术平均在这里插入图片描述。通过应用数学技巧求解这个函数f,高斯证明了所有的概率密度函数中,唯一满足这个性质的就是(记为(11)式):
    在这里插入图片描述

    而这恰巧是我们所熟知的正态分布的密度函数在这里插入图片描述,就这样,误差的正态分布就被高斯给推导出来了!

    但,高斯是如何证明的呢?也就是说,高斯是如何一下子就把上面(11)式所述的概率密度函数给找出来的呢?如下图所示(摘自数理统计学简史第127页注2,图中开头所说的高斯的第2原则就是上面所讲的高斯的第二点创新的想法,而下图最后所说的(11)式就是上面推导出来的概率密度函数):
    在这里插入图片描述
    进一步,高斯基于这个误差分布函数对最小二乘法给出了一个很漂亮的解释。对于最小二乘公式中涉及的每个误差ei,有在这里插入图片描述则结合高斯的第一个创新方法:极大似然估计及上述的概率密度,(e1,⋯,en)的联合概率分布为在这里插入图片描述
    要使得这个概率最大,必须使得在这里插入图片描述取最小值,这正好就是最小二乘法的要求。

    高斯的这项工作对后世的影响极大,它使正态分布同时有了”高斯分布“的名称,不止如此,后世甚至也把最小二乘法的发明权也归功于他,由于他的这一系列突出贡献,人们 采取了各种形式纪念他,如现今德国10马克的钞票上便印有这高斯头像及正态分布的密度曲线在这里插入图片描述,借此表明在高斯的一切科学贡献中,尤以此”正太分布“的确立对人类文明的进程影响最大。
    在这里插入图片描述
    至此,咱们来总结下:

    如你所见,相比于勒让德1805给出的最小二乘法描述,高斯基于误差正态分布的最小二乘理论显然更高一筹,高斯的工作中既提出了极大似然估计的思想,又解决了误差的概率密度分布的问题,由此我们可以对误差大小的影响进行统计度量了。

    但事情就完了么?没有。高斯设定了准则“最大似然估计应该导出优良的算术平均”,并导出了误差服从正态分布,推导的形式上非常简洁优美。但是高斯给的准则在逻辑上并不足以让人完全信服,因为算术平均的优良性当时更多的是一个经验直觉,缺乏严格的理论支持。高斯的推导存在循环论证的味道:因为算术平均是优良的,推出误差必须服从正态分布;反过来,又基于正态分布推导出最小二乘和算术平均,来说明最小二乘法和算术平均的优良性,故其中无论正反论点都必须借助另一方论点作为其出发点,可是算术平均到并没有自行成立的理由。

    也就是上面说到的高斯的第二点创新的想法“他把整个问题的思考模式倒过来:既然千百年来大家都认为算术平均是一个好的估计,那么就直接先承认算术平均就是极大似然估计(换言之,极大似然估计导出的就应该是算术平均)”存在着隐患,而这一隐患的消除又还得靠咱们的老朋友拉普拉斯解决了。

    也就是上面说到的高斯的第二点创新的想法“他把整个问题的思考模式倒过来:既然千百年来大家都认为算术平均是一个好的估计,那么就直接先承认算术平均就是极大似然估计(换言之,极大似然估计导出的就应该是算术平均)”存在着隐患,而这一隐患的消除又还得靠咱们的老朋友拉普拉斯解决了。

    至此,误差分布曲线的寻找尘埃落定,正态分布在误差分析中确立了自己的地位。在整个正态分布被发现与应用的历史中,棣莫弗、拉普拉斯、高斯各有贡献,拉普拉斯从中心极限定理的角度解释它,高斯把它应用在误差分析中,殊途同归。不过因为高斯在数学家中的名气实在是太大,正态分布的桂冠还是更多的被戴在了高斯的脑门上,目前数学界通行的用语是正态分布、高斯分布,两者并用。

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  • 分布名称 表达式 期望 方差 0-1分布 Pi=P(X=i)=pipn−iP_i=P({X=i})=p^ip^{n-i}...二项分布 Pi=P(X=i)=Cnipipn−iP_i=P({X=i})=C^i_np^ip^{n-i}Pi​=P(X=i)=Cni​pipn−i np np(1-p) 泊松分布 指数分布 ...
    分布名称 表达式 期望 方差
    0-1分布 Pi=P(X=i)=pipni,(i=0,1)P_i=P({X=i})=p^ip^{n-i},(i=0,1) p p(1-p)
    二项分布 Pi=P(X=i)=Cnipipni,(i=0,1,2,3...)P_i=P({X=i})=C^i_np^ip^{n-i},(i=0,1,2,3...) np np(1-p)
    泊松分布 Pi=P(X=i)=λii!eλx,(i=0,1,2,3...)P_i=P({X=i})=\frac{\lambda ^i}{i!}e^{-\lambda x},(i=0,1,2,3...) λ\lambda λ\lambda
    指数分布 f(x)={λeλx,0<x0,x<=0f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},\quad &0<x \\0, &x<=0\end{cases} 1λ\frac{1}{\lambda} 1λ2\frac{1}{\lambda^2}
    几何分布 Pi=P(X=i)=p(1p)i1,(i=0,1,2,3...)P_i=P({X=i})=p(1-p)^{i-1},(i=0,1,2,3...) 1p\frac{1}{p} 1pp2\frac{1-p}{p^2}
    超几何分布 Pi=P(X=i)=CMiCNMniCNn,(i=0,1,2,3...)P_i=P{(X=i)}=\frac{C_M^iC_{N-M}^{n-i}}{C_N^n},(i=0,1,2,3...) nMNn\frac{M}{N} nMN(1MN)Nnn1n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{n-1}
    正态分布 f(x)=1σ2πe(xu)22σ2,(<x<+)f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(x-u)^2}{2 \sigma ^2}},(-\infty <x <+\infty) u σ2\sigma ^2
    χ2\chi^2分布 χ2=x12+x22+....+xn2,(X1,X2,...,XnN(0,1))\chi ^2 = x_1^2+x_2^2+....+x_n^2,(X_1,X_2,...,X_n相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1)) n 2n
    均匀分布 f(x)=1b1f(x) = \frac{1}{b-1} a+b2\frac{a+b}{2} (ba)212\frac{(b-a)^2}{12}
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    Octave/matlab 程序记录(1)

    一元二次方程求解,y是矩阵的情况并画图

    问题描述:已知一元二次方程的表达式:ax^2+bx+y=0 (常数项可以归到函数值y中,也可以求其他高次方程),知道函数值y的分布情况,要求画出(x,y)的曲线图。

    程序代码

    y = 0:0.01:0.25;
    for j = 1:length(y)
        p = [-1 1 -y(j)];
        r(j,:) = roots(p);
    end
    

    这样子r就是y该方程的解,但是并不能直接plo(r,y),一下需要对结果进行一下排序,使变量与函数值能够很好的对应:

    for m = 1:length(y)
        xx(m,1) = min(r(m,:));
        xx(m,2) = max(r(m,:));
    end
    
    x = [xx(:,1)' fliplr(xx(:,2)')];
    yy = [y fliplr(y)];
    

    结果如图所示:

    在这里插入图片描述
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