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  • χ^2分布(卡方),t分布,F分布的表达式
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    2020-10-21 12:47:23

    对于N(0,1)标准正太分布总体的抽样分布

    χ^2分布:
    χ 2 ( n ) = X 1 2 + X 2 2 + … … + X n 2 χ^2(n)=X_1^2+X_2^2+……+X_n^2 χ2(n)=X12+X22++Xn2

    t分布
    t ( n ) = X V / n t(n)=\frac{X}{\sqrt{V/n}} t(n)=V/n X

    f分布
    F ( m , n ) = V 1 / m V 2 / n F(m,n)=\frac{ V_1/m}{V_2/n} F(m,n)=V2/nV1/m


    t 2 ( n ) ∼ F ( 1 , n ) t^2(n)\sim F(1,n) t2(n)F(1,n)
    1 t 2 ( n ) ∼ F ( n , 1 ) \frac{1}{t^2(n)}\sim F(n,1) t2(n)1F(n,1)

    性质

    大类图像均值方差
    χ^2分布,非负,不对称n2n
    t分布,对称,n>45时近似标准正态分布
    f分布非负,不对称

    伽马函数-利用偶函数性质与换元-正态分布

    假设检验

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  • 二项分布 二项的意思就是2种可能性 公式为 C是 比如 抛硬币5次(n),恰巧有3次正面朝上(x=3,抛硬币正面朝上概率p=1/2) 那么 结果为 再举个例子,,比如做选择题,成功概率为1/4,,,那么做...

     

     

     

    二项分布

     

     

    二项的意思就是2种可能性

    公式为

     

    C是

     

    比如

    抛硬币5次(n),恰巧有3次正面朝上(x=3,抛硬币正面朝上概率p=1/2)

    那么

    结果为

     

     

     

    再举个例子,,比如做选择题,成功概率为1/4,,,那么做4道题,答对3道的概率是

     

     

     

     

     

     

    其实这个公式表示的意思就是

    比如第二个例子

    我们以前学过的

    首先C34,就是在4个中选出3个,一共有多少种组合

    那么再乘上成功的概率,,,再乘上失败的概率

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 二项分布

    万次阅读 多人点赞 2016-09-16 21:13:13
    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。   伯努利试验的特点是: (1)...

           

       说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment)n次独立重复试验伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是

    (1)每次试验事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

     

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=nn次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n/(k*(n-k)),也就是通常的组合公式C(n,k)=n/(k*(n-k))

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n/(k*(n-k))种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。


    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    import numpy as np
    import scipy.stats as sps
    n = 10
    p = 0.3
    k = np.arange(n + 1)
    PX = sps.binom.pmf(k, n, p)
    print(sum(PX[2:]))

    输出结果:

    0.85

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%


       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p)n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution)伯努利分布又称为两点分布0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

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  • 二项分布的基本概念

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    二项分布的基本概念 说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也即n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。 伯努利...

    二项分布的基本概念

     

    说起二项分布(binomial distribution),不得不提的前提是伯努利试验(Bernoulli experiment),也n次独立重复试验。伯努利试验是在同样的条件下重复、相互独立进行的一种随机试验。

       伯努利试验的特点是:

    (1)每次试验中事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面,患病或没患病;

    (2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5;

    (3)n次试验的事件相互之间独立。

       举个实例,最简单的抛硬币试验就是伯努利试验,在一次试验中硬币要么正面朝上,要么反面朝上,每次正面朝上的概率都一样p=0.5,且每次抛硬币的事件相互独立,即每次正面朝上的概率不受其他试验的影响。如果独立重复抛n=10次硬币,正面朝上的次数k可能为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一个,那么k显然是一个随机变量,这里就称随机变量k服从二项分布

       

       我们推导下随机变量X=k的分布律。显然0<=k<=n,n次抛硬币中获得k次正面,第1次正面在n次抛硬币中出现有n种方式,则第2次正面在n次抛硬币中出现有n-1种方式,以此类推,则出现的总可能方式是:n(n-1)...(n-k+1)种,如果我们并不考虑这k次正面出现的排列顺序,因此恰好出现k次的总可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k!种,分子和分母同时乘以(n-k)!,则该式等于n!/(k!*(n-k)!),也就是通常的组合公式C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)。

            那么对于抛n次硬币,其中正面出现的次数是k,反面出现的次数必然为n-k次,不考虑顺序的情况下,则每一次恰好获得k次正面的概率是pk*(1-p)n-k,而n次试验中恰好出现k次正面的可能性是C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)种,因此,n次抛硬币中恰好出现k次的概率为

    P(X=k) = C(n,k) * pk*(1-p)n-k

    这就是二项分布的分布律,记作X~B(n,p),其中C(n,k)是组合数,在数学中也叫二项式系数,这就是二项分布名称的来历。判断某个随机变量X是否符合二项分布除了满足上述的伯努利试验外,关键是这个X是否表示事件发生的次数。二项分布的数学期望E(X)=n*p,方差D(X)=n*p*(1-p),具体证明可见《二项分布均值和方差的简单推导》。

       看一个示例:某人篮球投篮的命中率是0.3,总共投篮10次,问至少投中2次的概率?

    分析:

    (1)每次投篮有2种结果,投中或没投中;

    (2)每次投篮的投中概率是相同的,都为0.3;

    (3)每次投篮可认为是独立事件。

     因此,符合二项分布。

    投中次数的概率质量分布

       显然,二项分布属于离散型分布。

     

       至少2次投中概率即:P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+...+P(X=10)。

    输出结果:0.85

     

       再看一个例子:某种疫苗注射后过敏反应的概率是0.08,问某社区卫生院在接种该疫苗100人后,少于3人有过敏反应的概率是多少?

    采用上例中的分析方法,该问题也属于二项分布问题。少于3人有过敏反应,即求:

    P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=C(100,0)(0.08)0(0.02)100+C(100,1)(0.08)1(0.02)99+C(100,2)(0.08)2(0.02)98=0.01127=1.127%

     

       在实际应用中还有伯努利分布、两点分布、0-1分布等,它们与二项分布之间有什么关系呢?

             X~B(n,p),当n = 1时,二项分布就变成了伯努利分布(Bernoulli distribution),伯努利分布又称为“两点分布”或“0-1分布”,或者说伯努利分布/两点分布/0-1分布是二项分布在n=1时的特例,即伯努利分布、两点分布、0-1分布这三种分布是同一个分布的不同名称,又都是二项分布在n=1时的特例。

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空空如也

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二项分布表达式