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  • 一、二项分布性质计算1 二项分布性质在概率空间为 的n重伯努利试验中,事件 出现的概率记为 。事件 那么恰好出现 次的概率为 。这里的 被称为二项分布。课本给出了20重伯努利试验分别在 时会出现事件 的次数为...

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    一、二项分布的性质与计算

    1 二项分布的性质

    在概率空间为

    的n重伯努利试验中,事件
    出现的概率记为
    。事件
    那么恰好出现
    次的概率为

    这里的

    被称为
    二项分布

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    课本给出了20重伯努利试验分别在

    时会出现事件
    的次数为
    的对应的概率值,并绘制成了一个折线图。我们便可以直观地体会并理解到二项分布的性质。

    在此我们做一个简单的分析。由于

    。当
    时,
    关于变量
    单调递增,当
    时,
    单调递减。

    2 产品抽样验收与(n,c)方案

    抽样检验是生产管理中的必要手段,检验的原则是次品率小于等于某一临界值时 , 认为此批产品为合格品,否则认为不合格品。而这个原则在实际操作时采用如下方案:抽检

    件产品,仅当次品数不大于
    件时认为此批产品为合格品,否则为不合格品,称这种方案为
    (n,c)方案

    这样抽样调查的结果

    的选择显然不是固定的或绝对的,而是人为选择的。但不恰当的选择有可能会导致生产者风险(拒收过多合格品)或者消费者风险(接受过多残次品),那我们应当如何选择这两个数字?

    首先我们记

    为真实的
    废品率
    为在废品率
    接收这批产品的概率。这时如果抽样的方式是可放回的或者样品量十分庞大,我们可以把看其为二项分布
    。这时候我们视情况需要找两个比较小的整数
    去限制

    的曲线被称为
    抽检特性曲线,简称OC曲线

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    二、二项分布的泊松逼近

    在二项分布的计算中,当n很大时,计算相当复杂。为了简化计算,我们试图找到一个方便使用的近似公式。

    做到这一想法的是泊松定理。 在独立试验中,以

    代表事件
    在试验中出现的概率,它与试验次数
    有关,如果
    ,则当

    定理的证明置于文末。

    这个在应用中的表现为

    非常小
    又比较大的时候
    的时候,一般理解为
    ,用近似公式
    作计算。

    三、泊松分布

    在上文的叙述中,泊松定理实际上可以理解为给出了一个新的分布,我们称之为泊松分布:

    为一个正参数。

    这个分布非常重要,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等大量问题中很常见。

    接下来我们进一步研究泊松分布的机理,我们首先有柯西引理

    是一个连续函数(或者单调函数),且对
    (或
    )成立
    ,则

    引理的证明置于文末。

    随后我们考虑泊松过程:

    考虑来到某交换装置的电话呼叫次数为例来作说明,其有三个性质。由这三个性质能推导电话呼叫次数服从泊松分布。

    (1)平稳性 对于时间段

    内发生的呼叫次数只与
    有关而与
    无关。而且
    ,记
    为时长
    的时间里发生了
    次呼叫,那么有

    (2)独立增量性(无后效性) 对于时间段

    内发生的呼叫次数与
    以前发生的事件都相互独立,且在互不相交的时间区间内事件发生是相互独立的。

    (3)普通性 在充分小的时间间隔内,最多来一个呼叫。

    。在这个条件下,意味着同时进来两个或以上的通话是不可能的。

    独立增量性全概率公式可得

    特别地,我们有

    ,而且会是一个关于
    的单调递减函数,结合本节中的柯西引理那么有
    。而这里无论是
    或者
    都不是符合概率的性质或者不是我们想要的结果。我们考虑
    ,那么一定

    利用上述式子,当

    时,可以得到

    (误差大小为

    (误差大小为

    回到最开始的式子,

    那么也就会有

    前面我们已知

    ,又知任意一个
    对应的导数,也即
    变化的变化量。那么我们就可以解得一切的

    至此我们将泊松分布成功推导了出来。


    APPENDIX

    2.柯西引理:

    是一个连续函数(或者单调函数),且对
    (或
    )成立
    ,则

    证明:

    由条件

    我们可知对于
    ,有

    于是我们便可不断迭代这一结果,对于

    ,有

    这个地方我们取

    ,便得到

    再利用条件里的式子,对于

    这里由

    的任意性,记
    ,那么对于
    ,有

    现在再利用

    的随机性或单调性,便能进一步推广到无理数成立。
    证毕

    (证明待更新)

    雷咖吼:《概率论基础》目录zhuanlan.zhihu.com
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  • 一、几何分布 假设某种赌博游戏的胜率为0.2,那么意味着你玩第一次就胜...如果用p代表某件事发生的概率,则它不发生的概率为1-p,我们将此概率称为q,于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率: 这个公式叫做...

    一、几何分布

    假设某种赌博游戏的胜率为0.2,那么意味着你玩第一次就胜出的概率为0.2

    那玩第二次才胜出呢?“玩第二次才胜出”就意味着玩第一次是失败的,而直到第二次才胜出,那么这件事发生的概率就是0.8×0.2=0.16

    那么第三次、第四次呢?

    如果用p代表某件事发生的概率,则它不发生的概率为1-p,我们将此概率称为q,于是可以用下式计算任何具有这一性质的概率:

    这个公式叫做概率的几何分布。变量X表示为了取得第一次成功所需进行的试验次数,为了在第r次试验时取得成功,首先要先失败r-1次

    几何分布同样适用于不等式。

    P(Xr)指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。为了让需要进行的试验次数大于r,意味着前r次试验必须以失败告终。也就是说,将失败概率乘上r次就是所求的概率:

    利用这个,可以求出P(Xr),即为了取得一次成功而需要尝试r次或r次以下的概率:

    如果一个变量X的概率符合几何分布,且单次试验的成功概率为p,则可以写作:

    几何分布的期望模式

    在数学期望已知的情况下,就可以得出试验在成功之前需要试验的次数的期望值。

    假设X~Geo(0.2),那么:

    如果将xP(X=x)的累计总和画成图形:

    xP(X=x)的累计总和画成图形后,可以看出,随着x的变大,累计总和越来越接近一个特定数值:5。即:E(X)=5

    式的意义直观:单次试验的成功概率为0.2,则可以理解为试验5次中就有一次可能成功

    以上情况可以推而广之任意数值p。如果X~Geo(p),则:

    二、二项分布

    假设进行一项试验的成功的概率为0.25,那么连续进行三次试验,用X代表成功的次数,则P(X=0)P(X=1) P(X=2) P(X=3)分别为多少?

    很明显能看出规律:x的值与0.250.75幂次存在某种关系。

    中的结果可以式来归纳

    进而将此式推广到一般情况:

    这类问题被称为二项分布,写作:

    并且,只要X~B(n,p),则:

    三、泊松分布

    假如某台机器一周内发生故障的平均次数为3.4,那么下周这台机器不发生故障的概率有多大?

    一类问题的难点在于,尽管我们知道机器的周平均故障次数,实际的故障发生次数固定的,如果倒霉的话,发生故障的次数就会多,如果幸运的话,一次故障都不会发生。这时就需要借助泊松分布来解决这一类问题。

    泊松分布包含以下条件:

    单独事件在给定区间内随机、独立地发生;

    ②已知区间内的事件平均发生次数(或发生率),且为有限数值。

    如果X符合泊松分布,且发生率为λ,则写作:

    且:

    回到刚才的问题,机器在下周不发生故障的概率为多少?

    那么下周机器发生三次故障的概率

    如果X~Po (λx)Y~Po (λy),则:

    再来看下面这道问题:一个学生要参加一场考试,但他没有做任何复习。他需要猜测每一道题的答案,每一题答对的几率为0.05,考卷上共有50个问题,他答对5题的概率是多少?

    这是一道二项分布问题,但如果用二项分布求解,那么幂次会非常之大,计算起来困难。

    当n很大且p很小时,可以用X~Po(np)近似代替X~B(n,p)。于是:

    #转自知乎:

    Q:泊松分布的现实意义是什么,为什么现实生活多数服从于泊松分布?
    A:先说结论:泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式
    二项分布是说,已知某件事情发生的概率是p,那么做n次试验,事情发生的次数就服从于二项分布。
    泊松分布是指某段连续的时间内某件事情发生的次数,而且“某件事情”发生所用的时间是可以忽略的。例如,在五分钟内,电子元件遭受脉冲的次数,就服从于泊松分布。
    假如你把“连续的时间”分割成无数小份,那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内,电子元件都有可能“遭受到脉冲”或者“没有遭受到脉冲”,这就可以被认为是一个p很小的二项分布。而因为“连续的时间”被分割成无穷多份,因此n(试验次数)很大。所以,泊松分布可以认为是二项分布的一种极限形式。
    因为二项分布其实就是一个最最简单的“发生”与“不发生”的分布,它可以描述非常多的随机的自然界现象,因此其极限形式泊松分布自然也是非常有用的。

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  • 2.二项分布和几何分布 3. 泊松分布 4.正态分布 一、期望 期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...

    目录

    一、期望

    1. 离散型随机变量的期望

    2. 连续型随机变量的期望

    3. 期望的性质

    二、方差和均方差

    1. 定义

    2. 计算

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    2. 二项分布和几何分布

    3. 泊松分布

    4. 正态分布


    一、期望

    期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。

    1. 离散型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k

    2. 连续型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

    3. 期望的性质

    • E(cX)=xE(x)
    • E(X+Y)=E(x)+E(Y)
    • X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)

    二、方差和均方差

    1. 定义

    方差,主要用于研究随机变量与其均值的偏离程度:

    D(X)=E[X-E(X)]^2

    均方差又称标准差:

    \sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{E[X-E(X)]^2}

    2. 计算

    设 g(X)=E[X-E(X)]^2,那么,方差,就相当于g(X)的期望。

    因此,对于离散型随机变量,有:

    D(X)=\sum_{k=1}^{n}[x_k-E(X)]^2p_k

    对于连续型随机变量,有:

    D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }[x_k-E(X)]^2f(x)dx

    3. 性质

    • 若c为常数,则D(C)=0
    • 若X是随机变量,C是常数,则有 D(CX)=C^2D(X)D(X+C)=D(X)
    • 若X,Y是连个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
    • 若X,Y相互独立,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    这个太简单了,我都不想说了……

    函数定义

    概率分布图像: 

    这里写图片描述

     关于均匀分布,我们还需要知道:

    • 期望:\bg_white E(x)=\frac{a+b}{2}
    • 方差:\bg_white D(x)=\frac{(b-a)^2}{12}

    2. 二项分布和几何分布

    二项,二项,为啥叫二项分布呢?顾名思义,就是这个随机事件只有两种可能的结果,也就是所谓的“不成功便成仁”,因此,二项分布也被称为0-1分布。

    二项分布必须满足下面4个特点:一是某件事情发生的次数(试验次数)是固定的,一般用n来表示;二是每件事情都有两个可能的结果(成功或失败);三是每一次试验中成功的概率都是相等的,一般用p来表示;四是我们感兴趣的是成功x次的概率问题,也就是在n次试验中x次的结果为成功的概率

    二次分布的公式如下:

    p(x)=C_n^x p^x (1-p)^{n-x}

    关于二次分布,你还要知道:

    • 期望E(x)=np(表示事情发生n次预计成功多少次)
    • 标准差\sigma (x)=\sqrt{np(1-p)}(表示数据的波动大小)

    几何分布和二项分布兼职就是“海尔兄弟”。几何分布也需要满足4个特点,前三个和二次分布完全一样,不同的是,在几何分布问题中,我们感兴趣的是,在第x次试验中取得第一次成功的概率有多大。举个例子,同样是抛硬币,抛5次,二项分布可能关注,5次试验中3次结果为朝上的概率,而几何分布中,我们关注的是“只有第五次正面朝上的概率”,也就是说,前四次均失败但第五次成功的概率。

    几何分布的公式是这个样子的:

    \bg_white p(x)=(1-p)^{x-1}p

    几何分布的期望\bg_white E(x)=\frac{1}{p},标准差\sigma (x)=\frac{1-p}{p^2}

    3. 泊松分布

    泊松分布(Poisson Distribution),一般用于描述在连续时间和空间单位上随机事件的概率,也就是说,我们可以基于已有的经验,预测该随机事件在新的同样长的时间里或同样大的空间中发生N次的概率。比如,机器在一定时间内故障的次数、汽车站台在一定时间内的候车人数、某地区自然灾害发生的次数等等。

    泊松分布需要满足以下三个特点:

    1)在给定区间内(可以是时间或者空间),事件是独立事件

    2)在任意相同的时间范围内,事件发生的次数(概率)相同,一般用\lambda 表示该区间内事件的平均发生次数;

    3)我们关注的是某个区间内,事件发生x次的概率。

    Poisson分布的概率函数为:

    在这里,我们用到了指数函数e^{-\lambda},这里的e是自然对数(ln)的底数,e\approx 2.718281828

    泊松分布的期望\bg_white E(x)=\lambda,方差为\sigma (x)=\lambda

    在二项分布的p很小的时候,泊松分布和二次分布较为接近。

    4. 正态分布

    正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

    正态分布的图像,就是著名的“钟形曲线”,如下图所示:

    正态分布的期望\bg_white E(x)=\mu,方差\bg_white D(x)=\sigma ^2。若随机变量X服从正态分布,记为X\sim N(\mu ,\sigma ^2)。正态分布的概率密度函数为:

    我们常说的标准正态分布,是指未知参数 \mu=0,尺度参数\sigma ^2=1的正态分布。其表达式可以简化为:

    正态分布具有许多独特的性质:

    • 密度函数关于平均值(即\mu、位置参数、期望)对称
    • 平均值=众数=中位数

     

    参考:

    http://www.360doc.com/content/17/1231/22/9200790_718001949.shtml

    https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81327881

    https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/80610361

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  • 方差及常见分布的方差计算与推导

    千次阅读 多人点赞 2020-07-08 14:33:05
    1. 介绍方差定义和性质 2. 离散型随机变量(01分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布)和连续型随机变量(均匀分布,指数分布,正态分布)分布的方差计算以及推导过程,并汇总形成表格,方便查阅和记录

    1. 方差定义

    • 引言

      我们知道,数学期望表示随机变量的平均值,例如,有一批灯泡,其平均寿命是E(X)=1000E(X)=1000(小时),但是仅有这一项指标并不能知道这批灯泡质量的好坏,如有可能大部分的寿命在9501050950\sim1050之间,也有可能其中约一半是高质量的,寿命可能在13001300小时左右,其余的则质量较差,寿命约只有700700小时,因此,研究随机变量与其平均值的偏离程度是十分必要的,为了度量这个偏离程度,我们很容易想到E{XE(X)}E\{|X-E(X)|\} .由于该式中带有绝对值,运算不便,且有些时候绝对值不可导,不方便进行研究,因此,我们用E{[XE(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\} 来度量随机变量XX与其均值E(X)E(X)的偏离程度。

    • 定义

      XX是一个随机变量,若E{[XE(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\}存在,则称E{[XE(X)]2}E\{[X-E(X)]^2\}XX方差. 记为D(X)D(X)Var(X)V_{ar}(X),即D(X)=Var(X)=E{[XE(X)]2}D(X)=V_{ar}(X)=E\{[X-E(X)]^2\}

      在应用上还引入量D(X)\sqrt{D(X)},记为σ(X)\sigma(X),称为标准差均方差

      实际上,根据方差的定义,方差和均值是有一个单位的问题的,如引言中灯泡的寿命,期望的单位为‘小时’,方差的单位为‘小时的平方’,引入标准差之后,标准差的单位则和期望的单位就保持一致了.

    • 由定义可知,方差其实是随机变量XX的函数g(X)=[XE(X)]2g(X)=[X-E(X)]^2的数学期望,因此

      • 对于离散型随机变量,有D(X)=k=1[xkE(X)]2pk,D(X)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k, 其中P{X=xk}=pk,k=1,2,P\{X=x_k\}=p_k,\quad k=1,2,\cdotsXX的分布律
      • 对于连续型随机变量,有D(X)=+[xkE(X)]2f(x)dx,\begin{aligned} D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x_k-E(X)]^2f(x)dx \end{aligned}, 其中f(x)f(x)XX的概率密度。
    • 在实际计算方差中,我们往往使用D(X)=E(X2)[E(X)]2.D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.

      证明:

      D(X)=E{[XE(X)]2}=E{X22XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2\quad\begin{aligned} D(X)&=E\{[X-E(X)]^2\} = E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\} \\&= E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(X)]^2\\&=E(X^2)-[E(X)]^2 \end{aligned}

    • 标准化

      设随机变量XX具有数学期望E(X)=μE(X)=\mu,方差D(X)=σ20D(X)=\sigma^2\neq0 ,记X=XμσX^*=\frac{X-\mu}{\sigma} , 则其期望为E(X)=E(Xμσ)=E(X)E(μ)E(σ)=μμσ=0.\begin{aligned} E(X^*) = E(\frac{X-\mu}{\sigma}) = \frac{E(X)-E(\mu)}{E(\sigma)} = \frac{\mu-\mu}{\sigma} = 0 .\end{aligned} 方差为D(X)=E(Xμσ)2=E(Xμ)2σ2=E(X2)+E(μ2)2E(X)E(μ)σ=E(X2)μ2σ2=E(X2)[E(X)]2σ2=D(X)σ2=σ2σ2=1.\begin{aligned} D(X^*) &= E(\frac{X-\mu}{\sigma})^2 = \frac{E(X-\mu)^2}{\sigma^2} = \frac{E(X^2)+E(\mu^2)-2E(X)E(\mu)}{\sigma} \\&= \frac{E(X^2)-\mu^2}{\sigma^2} = \frac{E(X^2)-[E(X)]^2} {\sigma^2} \\&=\frac{D(X)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1.\end{aligned}

      X=XμσX^*=\frac{X-\mu}{\sigma} 的数学期望为00,方差为11. XX^*称为XX标准化变量 .

    2. 方差性质

    • CC是常数,则D(C)=0D(C)=0

      证明:

      D(C)=E[CE(C)]2=E(C2)[E(C)]2=C2C2=0D(C)=E[C-E(C)]^2 = E(C^2)-[E(C)]^2 = C^2-C^2 = 0

      根据方差的定义,方差表示随机变量和期望的偏离程度,随机变量恒为一个常数,很明显,不存在偏离,因此D(C)=0.D(C)=0.

    • XX是随机变量,CC是常数,则有
      1oD(CX)=C2D(X)1^o \quad D(CX)=C^2D(X)

      证明:

      D(CX)=E(C2X2)[E(CX)]2=C2E(X2)C2[E(X)]2=C2{E(X2)[E(X)]2}=C2D(X)D(CX)=E(C^2X^2)-[E(CX)]^2 = C^2E(X^2)-C^2[E(X)]^2 = C^2\{E(X^2)-[E(X)]^2\}=C^2D(X)

      2oD(X+C)=D(X)2^o \quad D(X+C) = D(X)

      证明:

      D(X+C)=E[(C+X)2][E(C+X)]2=E[C2+2CX+X2][E(C)+E(X)]2=E(C2)+2E(C)E(X)+E(X2)[E(C)]22E(C)E(X)[E(X)]2=E(X2)[E(X)]2=D(X)\begin{aligned} D(X+C)&=E[(C+X)^2]-[E(C+X)]^2 = E[C^2+2CX+X^2]-[E(C)+E(X)]^2 = E(C^2)+2E(C)E(X)+E(X^2)-[E(C)]^2-2E(C)E(X)-[E(X)]^2\\&=E(X^2)-[E(X)]^2\\&= D(X) \end{aligned}

    • X,YX,Y 是两个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]}.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}.

      证明:

      D(X+Y)=E[(X+Y)E(X+Y)]2=E{[XE(X)]+[YE(Y)]}2=E[XE(X)]2+E[YE(Y)]2+2E{[XE(X)][YE(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]}\quad\begin{aligned} D(X+Y) &= E[(X+Y)-E(X+Y)]^2 = E\{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]\}^2 \\&=E[X-E(X)]^2+E[Y-E(Y)]^2+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} \\&=D(X)+D(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} \end{aligned}

      特别,若X,YX,Y相互独立,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)

      证明 :

      D(X+Y)=E(X+Y)2[E(X+Y)]2=E(X2+Y2+2XY)[E(X)+E(Y)]2=E(X2)+E(Y2)+2E(XY)[E(X)]2[E(Y)]22E(X)E(Y)(1)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)E(Y))]X,YE(XY)=E(X)E(Y)=D(X)+D(Y)\quad\begin{aligned} D(X+Y) &= E(X+Y)^2-[E(X+Y)]^2 = E(X^2+Y^2+2XY) - [E(X)+E(Y)]^2 \\&=E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)-[E(X)]^2-[E(Y)]^2-2E(X)E(Y) \quad (1) \\&=D(X)+D(Y) + 2[E(XY)-E(X)E(Y))] \\&\because X,Y 相互独立,\quad \therefore E(XY) = E(X)E(Y)\\ &=D(X)+D(Y) \end{aligned}

      这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

    • D(X)=0D(X)=0的充要条件是XX以概率11取常数E(X)E(X),即P{X=E(X)}=1.P\{X=E(X)\}=1.

      证明:

      充分性,已知P{X=E(X)}=1P\{X=E(X)\}=1 ,则 P{X2=[E(X)]2}=1E(X2)=E[E(X)]2=[E(X)]2D(X)=E(X2)[E(X)]2=0P\{X^2=[E(X)]^2\}=1 \quad \therefore E(X^2) = E[E(X)]^2 = [E(X)]^2 \quad \therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 0

      注意,这里不能根据P{X=E(X)}=1P\{X=E(X)\}=1 判定随机变量X为一个常数CC, 原因是离散型可以得出这个结论,但是对于连续型,其选中有限个点之后,剩余的点的概率仍为1,但是这部分被选中的点的取值,不一定为该常数CC


      必要性,已知D(X)=0D(X)=0 ,要证明P{X=E(X)}=1P\{X=E(X)\}=1 ,利用反证法,证明如下:

      假设P{X=E(X)}<1P\{X=E(X)\}<1,则对于某一个数ϵ>0\epsilon>0,有P{XE(X)ϵ}>0P\{|X-E(X)|\geq\epsilon\}>0 ,由切比雪夫不等式,对于任意的 ϵ>0\epsilon>0,有 P{XE(X)ϵ}D(X)ϵ=0P\{|X-E(X)|\geq\epsilon\}\leq \frac{D(X)}{\epsilon}=0 与假设矛盾,P{X=E(X)}=1\therefore P\{X=E(X)\}=1

    3. 常见随机变量分布的方差

    3.1 (01)(0-1)分布

    • 随机变量XX服从(01)(0-1)分布,则其分布律为 P{X=k}=pk(1p)1k,k=0,1P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1

      此时有D(X)=p(1p)D(X)=p(1-p) .

      证明:

      E(X)=p\quad E(X)=p

      E(X2)=k=01xk2pk=02p0(1p)10+12p1(1p)11=p\quad E(X^2)=\sum\limits_{k=0}^{1}x_k^2p_k = 0^2\cdot p^0(1-p)^{1-0}+1^2\cdot p^1(1-p)^{1-1} = p

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=pp2=p(1p)\quad \therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = p-p^2=p(1-p)

    3.2 二项分布

    • Xb(n,p)X\sim b(n,p) ,则其分布律为P{X=k}=(kn)pkqnkk=0,1,2,nP\{X=k\} = \left(_k^n\right)p^kq^{n-k} \quad k=0,1,2\cdots, n ,此时有D(X)=np(1p).D(X)=np(1-p).

      证明:

      E(X)=np\quad E(X) =np

      E(X2)=k=0nk2(kn)pkqnk=k=0nk2n!k!(nk)!pkqnk=k=1nkn!(k1)!(nk)!pkqnk=k=1n(k1)n!(k1)!(nk)!pkqnk+k=1nn!(k1)!(nk)!pkqnk=k=2nn!(k2)!(nk)!pkqnk+npk1=0n1(n1)!(k1)!(nk)!pk1qnk=n(n1)p2k2=0n2(n2)!(k2)!(nk)!pk2qnk+np(p+q)n1=(n2p2np2)(p+q)n2+np=n2p2np2+np\quad\begin{aligned}E(X^2) &= \sum\limits_{k=0}^{n}k^2(_k^n)p^kq^{n-k} =\sum\limits_{k=0}^{n}k^2\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}\\& = \sum\limits_{k=1}^{n}k\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^kq^{n-k}\\&= \sum\limits_{k=1}^{n}(k-1)\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^kq^{n-k}+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^kq^{n-k} \\& = \sum\limits_{k=2}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^kq^{n-k}+np\sum\limits_{k-1=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k} \\&= n(n-1)p^2\sum\limits_{k-2=0}^{n-2}\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{n-k}+np(p+q)^{n-1} \\&=(n^2p^2-np^2)(p+q)^{n-2}+np \\&=n^2p^2-np^2+np\end{aligned}

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=(n2p2np2+np)(np)2=npnp2=np(1p)\quad \therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = (n^2p^2-np^2+np)-(np)^2 = np-np^2 = np(1-p)

    3.3 泊松分布

    • Xπ(λ)X\sim \pi(\lambda) ,则其分布律为P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,P\{X=k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k=0,1,2,\cdots ,此时有D(X)=λ.D(X)=\lambda.

      证明:

      E(X)=λ\quad E(X) = \lambda

      E(X2)=k=0k2λkk!eλ=k=1kλk(k1)!eλ=k=1(k1)λk(k1)!eλ+k=1λk(k1)!eλ=λ2k=2λk2(k2)!eλ+λk=1λk1(k1)!eλ=λ2+λ\quad\begin{aligned}E(X^2) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = \sum\limits_{k=1}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\&=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(k-1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\&= \lambda^2\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}e^{-\lambda} + \lambda\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda} \\&= \lambda^2+\lambda \quad \end{aligned}\quad

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=(λ2+λ)(λ)2=λ\quad \therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = (\lambda^2+\lambda)-(\lambda)^2 = \lambda

    3.4 几何分布

    • XG(p)X\sim G(p) ,则其分布律为P{X=k}=(1p)k1pk=1,2,3,P\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p \quad k = 1,2,3,\cdots ,此时有D(X)=1pp2.D(X)=\frac{1-p}{p^2}.

      证明:

      E(X)=1p\quad E(X) = \frac{1}{p}

      E(X2)=k=1k2(1p)k1p=pk=1k2(1p)k1\quad\begin{aligned} &E(X^2) = \sum\limits_{k=1}^{\infty}k^2(1-p)^{k-1}p = p\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^2(1-p)^{k-1} \end{aligned}
      \quad 我们在计算几何分布的数学期望时,引入了一个求导技巧,即

      0<x<1kk=1kxk1=(k=1xk)=(x1x)=1(1x)2x=1pxk=1kxk1=x1(1x)2k=1kxk=x1(1x)2k=1k2xk1=(k=1kxk)=[x(1x)2]=1+x(1x)3\quad当0<x<1时 且 k\to\infty, \sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k-1} =(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^k)' =(\frac{x}{1-x})' = \frac{1}{(1-x)^2}\\\quad结合我们的证明需求,该式中,x=1-p 为常数,因此有x\sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k-1} = x \frac{1}{(1-x)^2} \\\quad即 \sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k} = x \frac{1}{(1-x)^2} ,此时有 \sum\limits_{k=1}^{\infty}k^2x^{k-1} = (\sum\limits_{k=1}^{\infty}kx^{k})' = [\frac{x}{(1-x)^2}]' = \frac{1+x}{(1-x)^3}

      E(X2)=pk=1k2(1p)k1=p1+1p[1(1p)]3=2pp2\quad\therefore E(X^2) = p\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^2(1-p)^{k-1} = p\frac{1+1-p}{[1-(1-p)]^3} = \frac{2-p}{p^2}

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=2pp2(1p)2=1pp2.\quad\therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{2-p}{p^2}-(\frac{1}{p})^2 = \frac{1-p}{p^2}.

    3.5 超几何分布

    • XH(n,M,N)X\sim H(n,M,N) ,则其分布律为P{X=k}=(kM)(nkNM)(nN)k=0,1,,min{n,M}.P\{X=k\} = \frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} \quad k= 0,1,\cdots,min\{n,M\}. ,此时有D(X)=nMN(1MN)(NnN1).D(X)=n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}).

      证明:

      E(X)=nMN\quad E(X) = n\frac{M}{N}

      E(X2)=k=0min{n,M}k2(kM)(nkNM)(nN)=k=0min{n,M}k2M!k!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!=k=1min{n,M}kM!(k1)!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!=k=1min{n,M}(k1)M!(k1)!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!+k=1min{n,M}M!(k1)!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!=k=2min{n,M}M(M1)(M2)!(k2)!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!+k=0min{n,M}kM!k!(Mk)!(nkNM)n!(Nn)!N!=M(M1)n!(Nn)!N!k=2min{n,M}(k2M2)(nkNM)+E(X)=M(M1)n!(Nn)!N!(n2N2)+nMN(Cm+nk=i=0kCmiCnki)=M(M1)n(n1)N(N1)+nMN=nMN[(M1)(n1)N1+1]\quad\begin{aligned} E(X^2) &= \sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k^2\frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} \\&=\sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k^2\frac{M!}{k!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!} \\&=\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}k\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}(k-1)\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}+\sum\limits_{k=1}^{min\{n,M\}}\frac{M!}{(k-1)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}\\&=\sum\limits_{k=2}^{min\{n,M\}}\frac{M(M-1)(M-2)!}{(k-2)!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!}+\sum\limits_{k=0}^{min\{n,M\}}k\frac{M!}{k!(M-k)!}(_{n-k}^{N-M})\frac{n!(N-n)!}{N!} \\&=M(M-1)\frac{n!(N-n)!}{N!}\sum\limits_{k=2}^{min\{n,M\}}(_{k-2}^{M-2})(_{n-k}^{N-M})+E(X)\\&=M(M-1)\frac{n!(N-n)!}{N!}(_{n-2}^{N-2})+n\frac{M}{N} \quad (范德蒙恒等式C_{m+n}^k = \sum\limits_{i=0}^{k}C_{m}^iC_{n}^{k-i})\\&=M(M-1)\frac{n(n-1)}{N(N-1)}+n\frac{M}{N} \\&=n\frac{M}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1] \end{aligned}

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=nMN[(M1)(n1)N1+1](nMN)2=nMN(MnMn+1+N1N1nMN)=nMN[MNnMNNn+N2MNn+MnN(N1)]=nMN[N(NM)n(NM)N(N1)]=nMN[(NM)(Nn)N(N1)]=nMN(1MN)(NnN1).\quad\begin{aligned} \therefore D(X) &= E(X^2)-[E(X)]^2 = n\frac{M}{N}[\frac{(M-1)(n-1)}{N-1}+1]-(n\frac{M}{N})^2 = n\frac{M}{N}(\frac{Mn-M-n+1+N-1}{N-1}-n\frac{M}{N})\\ &= n\frac{M}{N}\bigg[\frac{MNn-MN-Nn+N^2-MNn+Mn}{N(N-1)}\bigg] \\&= n\frac{M}{N}\bigg[\frac{N(N-M)-n(N-M)}{N(N-1)}\bigg] = n\frac{M}{N}\bigg[\frac{(N-M)(N-n)}{N(N-1)}\bigg]\\&= n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1}). \end{aligned}

    3.6 均匀分布

    • XU(a,b)X\sim U(a,b) ,则其概率密度为f(x)={1ba,a<x<b0,else.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},\quad a<x<b, \\ 0,\quad else \end{cases}. ,此时有D(X)=(ba)212.D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.

      证明:

      E(X)=a+b2\quad E(X) = \frac{a+b}{2}

      E(X2)=+x2f(x)dx=ax20dx+abx21badx+b+x20dx=0+(131bax3)ab+0=b3a33(ba)=a2+b2+ab3\quad\begin{aligned} E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}x^2\cdot0dx+\int_{a}^{b}x^2\frac{1}{b-a}dx+\int_{b}^{+\infty}x^2\cdot0dx\\&=0+(\frac{1}{3}\frac{1}{b-a}x^3)\bigg|_a^b+0 \\&=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2+b^2+ab}{3}\end{aligned}

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=a2+b2+ab3(a+b2)2=(ba)212.\therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{a^2+b^2+ab}{3}-(\frac{a+b}{2})^2 = \frac{(b-a)^2}{12}.

    3.7 指数分布

    • XE(θ)X\sim E(\theta) ,则其概率密度为f(x)={1θex/θ,0<x0,else(θ>0).f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad 0<x, \\ 0,\quad else \end{cases} \quad (\theta>0). ,此时有D(X)=θ2.D(X)=\theta^2.

      证明:

      E(X)=θ\quad E(X) = \theta
      E(X2)=+x2f(x)dx=0x20dx+0+x21θex/θdx=0+(x2ex/θ)0+0+2xex/θdx=20+xex/θdx()=2[(xθex/θ)0+)]20+θex/θdx=2θ20+1θex/θdx=2θ2(0+1θex/θdx=F()F(0)=1)\quad \begin{aligned} E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}x^2\cdot0dx+\int_{0}^{+\infty}x^2\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}dx\\&=0+(-x^2e^{-x/\theta})\bigg|_0^{+\infty} -\int_{0}^{+\infty}-2xe^{-x/\theta}dx =2\int_{0}^{+\infty}xe^{-x/\theta}dx\quad (分部积分法)\\&=2\bigg[(-x\theta e^{-x/\theta})\bigg|_0^{+\infty})\bigg]-2\int_{0}^{+\infty}-\theta e^{-x/\theta}dx = 2\theta^2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}dx \\&= 2\theta^2 \quad (积分项 \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}dx = F(\infty)-F(0) = 1)\end{aligned}

      D(X)=E(X2)[E(X)]2=2θ2(θ)2=θ2.\quad \therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 2\theta^2 -(\theta)^2 = \theta^2.

    3.8 正态分布

    • XN(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2) ,则其概率密度为f(x)=12πσe(xμ)22σ2,<x<+.f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} , \quad -\infty<x<+\infty. ,此时有D(X)=σ2.D(X)=\sigma^2.

    证明:

    E(X)=μ\quad E(X) = \mu

    E(X2)=+x2f(x)dx=+x212πσe(xμ)22σ2dx\quad \begin{aligned} E(X^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \end{aligned}

    \quadt=xμσ,x=tσ+μt = \frac{x-\mu}{\sigma},则 x = t\sigma+\mu,另外我们还知道+et22dt=2π\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}} dt=\sqrt{2\pi}(连续型随机变量及其常见分布函数和概率密度 中有相关证明,不在赘述) ,则此时有

    E(X2)=+(tσ+μ)212πσet22σdt=12π+t2σ2et22dt+12π+2tσμet22dt+12π+μ2et22dt=σ22π+t2et22dt+2σμ2π+tet22dt+μ22π+et22dt=σ22π[(tet22)++et22dt]+2σμ2π[et22]++μ22π2π=σ22π+et22dt+0+μ2=σ22π2π+μ2=σ2+μ2\quad\begin{aligned} E(X^2) & =\int_{-\infty}^{+\infty}(t\sigma+\mu)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2}}\sigma dt \\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}t^2\sigma^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}2t\sigma\mu e^{-\frac{t^2}{2}}dt+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\mu^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt \\&=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}t^2e^{-\frac{t^2}{2}}dt+\frac{2\sigma\mu}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}te^{-\frac{t^2}{2}}dt+\frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \\&= \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\bigg[(-te^{-\frac{t^2}{2}})\bigg|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}-e^{-\frac{t^2}{2}}dt\bigg] + \frac{2\sigma\mu}{\sqrt{2\pi}}\bigg[-e^{-\frac{t^2}{2}}\bigg]\bigg|_{-\infty}^{+\infty}+ \frac{\mu^2}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}\\&=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt + 0 +\mu^2\\&=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}+\mu^2\\&=\sigma^2+\mu^2\end{aligned}

    D(X)=E(X2)[E(X)]2=σ2+μ2(μ)2=σ2.\quad\therefore D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = \sigma^2+\mu^2 -(\mu)^2 = \sigma^2.

    证明方法二:

    \quad随机变量XX进行 标准化,令Z=XμσZ = \frac{X-\mu}{\sigma} , 此时有f(z)=12πex22f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} ,此时有

    E(Z)=0\quad E(Z)=0

    E(Z2)=+z2f(z)dz=+z212πex22=12π[(zez22)++ez22dz]=12π2π=1\quad\begin{aligned} E(Z^2) &= \int_{-\infty}^{+\infty}z^2f(z)dz = \int_{-\infty}^{+\infty}z^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \\&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigg[(-ze^{-\frac{z^2}{2}})\bigg|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}-e^{-\frac{z^2}{2}}dz\bigg]\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi} \\&= 1 \end{aligned}

    D(Z)=E(Z2)[E(Z)]2=12(0)2=1.D(Xμσ)=1σ2D(X)=1D(X)=σ2\quad\begin{aligned}&\therefore D(Z) = E(Z^2)-[E(Z)]^2 = 1^2 -(0)^2 = 1. 即\\&D(\frac{X-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{\sigma^2}D(X)=1\\&\therefore D(X)= \sigma^2\end{aligned}

    3.9 常见分布的方差和期望汇总表

    分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差
    (01)(0-1)分布 0<p<10<p<1 P{X=k}=pk(1p)1k,k=0,1P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, \quad k=0,1 pp p(1p)p(1-p)
    二项分布 Xb(n,p)X\sim b(n,p) n10<p<1n\geq1\\0<p<1 P{X=k}=(kn)pkqnkk=0,1,2,nP\{X=k\} = \left(_k^n\right)p^kq^{n-k} \quad k=0,1,2\cdots, n npnp np(1p)np(1-p)
    泊松分布 Xπ(λ)X\sim \pi(\lambda) λ>0\lambda>0 P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,P\{X=k\} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k=0,1,2,\cdots λ\lambda λ\lambda
    几何分布XG(p)X\sim G(p) 0<p<10<p<1 P{X=k}=(1p)k1pk=1,2,3,P\{X=k\} = (1-p)^{k-1}p \quad k = 1,2,3,\cdots 1p\frac{1}{p} 1pp2\frac{1-p}{p^2}
    超几何分布 XH(n,M,N)X\sim H(n,M,N) N,M,nNMNnN,M,n\\N\geq M\\ N\geq n P{X=k}=(kM)(nkNM)(nN)k=0,1,,min{n,M}.P\{X=k\} = \frac{(_k^M)(_{n-k}^{N-M})}{(_n^N)} \quad k= 0,1,\cdots,min\{n,M\}. nMNn\frac{M}{N} nMN(1MN)(NnN1)n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})(\frac{N-n}{N-1})
    均匀分布 XU(a,b)X\sim U(a,b) a<ba<b f(x)={1ba,a<x<b0,else.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},\quad a<x<b, \\ 0,\quad else \end{cases}. a+b2\frac{a+b}{2} (ba)212\frac{(b-a)^2}{12}
    指数分布 XE(θ)X\sim E(\theta) θ>0\theta>0 f(x)={1θex/θ,0<x0,else.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\quad 0<x, \\ 0,\quad else \end{cases} \quad . θ\theta θ2\theta^2
    正态分布 XN(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2) μσ>0\mu\\\sigma>0 f(x)=12πσe(xμ)22σ2,<x<+.f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} , \quad -\infty<x<+\infty. μ\mu σ2\sigma^2
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  • 数学期望及常见分布的期望计算与推导

    千次阅读 多人点赞 2020-07-01 14:04:28
    1. 介绍数学期望定义和性质 2. 离散型随机变量(01分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布)和连续型随机变量(均匀分布,指数分布,正态分布)分布的期望计算以及推导过程,并汇总形成表格,方便查阅和记录
  • 建立了保费收取过程和理赔过程均为负二项过程、投资收益率为常数的多险种随机风险模型,通过分析盈利过程的性质,得到终极破产概率的计算公式和破产概率上界的Lundberg不等式,特别地,给出了两险种时,保费和理赔额服从...
  • 离散型随机变量的概率...本专题主要讨论离散型随机变量的概率分布及性质、条件概率及其性质、相互独立事件、离散型随机变量的数学期望与方差、常见离散型随机变量的概率分布(两点分布、超几何分布、二项分布)以及数...
  • 离散型随机变量的概率...本专题主要讨论离散型随机变量的概率分布及性质、条件概率及其性质、相互独立事件、离散型随机变量的数学期望与方差、常见离散型随机变量的概率分布(两点分布、超几何分布、二项分布)以及数...
  • 1、本章的重点内容随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)﹔分布律和概率密度的性质(充要条件)﹔八大常见的分布:0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的...
  • 一维高斯分布

    万次阅读 2017-12-03 09:44:06
    棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。故名高斯模糊。 高斯滤波实际上是一种低通滤波器,也就是说,低波通过,高波滤去。对于...
  • 一、离散型随机变量及其分布律1、随机变量2、离散型随机变量3、两点分布4、二项分布5、泊松分布 二、连续型随机变量及其概率密度1、连续型随机变量2、均匀分布3、指数分布 三、分布函数与函数的分布1、分布...
  • 本章给了一些常用的例子,二项分布,多项分布,高斯分布。这些分布的优点在于他们有一些不错的性质性质,比如导数简单、参数积分方便等,参数存在可以简化计算的先验分布形式(也就是书中讲的conjugate prior)。...
  • 正态分布 对于正态分布,首先补充其理论知识,然后我们根据&...棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物...
  • 假设有一批产品,不合格品率为P,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品,其中不合格品数X服从的分布为二项分布。 X的概率分布为: 0 x=0,1,……,n X的期望 E(X)=np X的方差 D(X)=np(1-p) 3.2.3 ...
  • 以及常用离散或连续分布期望方差的计算2、掌握期望和方差的性质3、掌握协方差,相关系数,协方差矩阵4、掌握矩估计和极大似然估计算法1 期望和方差期望:连续求积,离散求和指数分布证明均匀分布证明高斯分布证明01...
  • 频率稳定度是振荡器的一十分重要的技术指标,表示一定时间范围内或一定的温度、湿度、电源电压等变化范围内振荡频率的相对变化程度,振荡频率的相对变化量越小,则表明振荡频率稳定度越高。 式中为标称频率,为...
  • 概率学习线路

    2017-10-29 21:35:05
    概率学习注意要点 对事件的性质需要明确...而二项分布在大量样本情况下,可以近似使用泊松分布计算。 需要特别注意全概率公式和贝叶斯公式。 学习路线 事件(事件性质): 事件定义,古典概率和几何概率。 条件概率:
  • 051 二项式系数递归 052 背包问题 053 顺序表插入和删除 054 链表操作(1) 055 链表操作(2) 056 单链表就地逆置 057 运动会分数统计 058 双链表 059 约瑟夫环 060 记录个人资料 061 二叉树遍利 062 ...
  • 第八章 排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复组合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式...
  • 第八章 排列·组合与二项式定理 1.排列 1·1 不同元素的排列 1·2 含相同元素的排列与重复排列 2.组合 2·1 不同元素的组合 2·2 重复组合 3.二项式定理 3·1 二项式定理 3·2 二项式系数间的关系 3·3 一般的二项式...
  • 2.2 二项分布​ 2.3泊松分布 2.4均匀分布 2.5指数分布 2.6正态分布 3.期望与方差的性质 3.1期望的性质 3.2方差的性质​ ​4.协方差与协方差矩阵 4.1协方差 ​4.2协方差矩阵 1.期望与方差的定义 1.1期望 ...
  • 随机变量X的方差 两点分布二项分布泊松分布 2.方差的性质 均匀分布指数分布正态分布 3.常见分布的方差 (离散型,连续型,一般型) 计算方差的常用公式 1)D(C)=0 2)D(CX)=C2 D(X) 3) 4) X1 与 X2 相互独立,则 * * * * * ...
  • 3 回归实战

    2020-03-05 19:22:21
    假设是二项分布(线性分布是假设会高斯分布)求似然函数 求似然函数, 取对数, 求偏导数 这里的参数迭代和线性回归很像,以为同是指数族,有相似性质 3.对数线性模型的反推 4.ROC曲线和AUC面积 我个人理解就是...

空空如也

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